Фазовая плоскость - Phase plane

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

В Прикладная математика, в частности в контексте нелинейный системный анализ, а фазовая плоскость является визуальным отображением определенных характеристик определенных видов дифференциальные уравнения; координатная плоскость с осями, являющимися значениями двух переменных состояния, скажем (Икс, у), или же (q, п) и т. д. (любая пара переменных). Это двумерный случай генерала п-размерный фазовое пространство.

В метод фазовой плоскости относится к графическому определению существования предельные циклы в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функции. Графически это можно изобразить на фазовой плоскости как двумерный векторное поле. Векторы, представляющие производные точек относительно параметра (скажем, времени т), то есть (dx/dt, dy/dt), в репрезентативных точках. При наличии достаточного количества этих стрелок поведение системы в анализируемых областях может быть визуализировано и предельные циклы можно легко идентифицировать.

Все поле - это фазовый портрет, конкретный путь, взятый вдоль линии потока (т. е. путь, всегда касающийся векторов), является фазовый путь. Потоки в векторном поле указывают на временную эволюцию системы, описываемой дифференциальным уравнением.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физические системы; в частности, колебательных систем типа модели хищник-жертва (видеть Уравнения Лотки – Вольтерра ). В этих моделях фазовые траектории могут «закручиваться» по направлению к нулю, «по спирали» к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых ситуаций, называемых центрами, где траектория может быть либо круговой, эллиптической, либо овальной, либо каким-либо его вариантом. Это полезно для определения того, стабильна динамика или нет.^[1]

Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции с несколькими стадиями, некоторые из которых включают динамическое равновесие, а не реакции, которые идут до завершения. В таких случаях можно смоделировать рост и падение концентрации реагента и продукта (или массы, или количества вещества) с помощью правильных дифференциальных уравнений и хорошего понимания химическая кинетика.^[2]

Пример линейной системы

Двумерная система линейные дифференциальные уравнения можно записать в виде:^[1]

${ displaystyle { begin {align} { frac {dx} {dt}} & = Ax + By { frac {dy} {dt}} & = Cx + Dy end {align}}}$

который можно организовать в матрица уравнение:

${ displaystyle { begin {align} & { frac {d} {dt}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}} & { frac {d mathbf {x}} {dt}} = mathbf {A} mathbf {x}. end {выровненный}}}$

куда А это 2 × 2 матрица коэффициентов выше, и Икс = (Икс, у) это вектор координат из двух независимые переменные.

Такие системы могут быть решены аналитически, в этом случае путем интегрирования:^[3]

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {Cx + Dy} {Ax + By}}}$

хотя решения неявные функции в Икс и у, и их трудно интерпретировать.^[1]

Решение с использованием собственных значений

Чаще они решаются с помощью коэффициентов правой части, записанных в матричной форме с использованием собственные значения λ, задаваемое детерминант:

${ Displaystyle Det ( mathbf {A} - lambda mathbf {I}) = 0}$

и собственные векторы:

${ Displaystyle mathbf {A} mathbf {x} = lambda mathbf {x}}$

Собственные значения представляют собой степени экспоненциальных компонентов, а собственные векторы являются коэффициентами. Если решения записаны в алгебраической форме, они выражают основной мультипликативный множитель экспоненциального члена. Из-за неединственности собственных векторов каждое полученное таким образом решение имеет неопределенные константы c₁, c₂, ... c_п.

Общее решение:

${ displaystyle x = { begin {bmatrix} k_ {1} k_ {2} end {bmatrix}} c_ {1} e ^ { lambda _ {1} t} + { begin {bmatrix} k_ {3} k_ {4} end {bmatrix}} c_ {2} e ^ { lambda _ {2} t}.}$

где λ₁ и λ₂ - собственные значения, а (k₁, k₂), (k₃, k₄) - основные собственные векторы. Константы c₁ и c₂ учитывают неединственность собственных векторов и не разрешимы, если для системы не задано начальное условие.

Указанный выше определитель приводит к характеристический многочлен:

${ displaystyle lambda ^ {2} - (A + D) lambda + (AD-BC) = 0}$

что просто квадратное уровненеие формы:

${ displaystyle lambda ^ {2} -p lambda + q = 0}$

куда;

${ Displaystyle р = А + D = mathrm {tr} ( mathbf {A}) ,,}$

(«тр» означает след ) и

${ Displaystyle д = AD-BC = det ( mathbf {A}) ,.}$

Явное решение собственных значений тогда дается квадратичная формула:

${ displaystyle lambda = { frac {1} {2}} (p pm { sqrt { Delta}}) ,}$

куда

${ Displaystyle Delta = p ^ {2} -4q ,.}$

Собственные векторы и узлы

Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых путей, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамической системы, как показано ниже.

Классификация точек равновесия линейный автономная система.^[1] Эти профили возникают и для нелинейных автономных систем в линеаризованных приближениях.

Затем сначала настраивается фазовая плоскость путем рисования прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые представляют устойчивые ситуации, когда система либо сходится к этим линиям, либо расходится от них). Затем фазовая плоскость строится с использованием сплошных линий вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений указывают на поведение фазовой плоскости:

• Если знаки противоположные, то пересечение собственных векторов есть точка перевала.
• Если оба знака положительные, собственные векторы представляют устойчивые ситуации, от которых система расходится, и пересечение является неустойчивый узел.
• Если оба знака отрицательны, собственные векторы представляют устойчивые ситуации, к которым система сходится, и пересечение является стабильный узел.

Сказанное выше можно визуализировать, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.

Повторяющиеся собственные значения

В этом примере рассматривается только случай реальных отдельных собственных значений. Действительные повторяющиеся собственные значения требуют решения матрицы коэффициентов с неизвестным вектором и первым собственным вектором для генерации второго решения системы два на два. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для генерации второго решения.

Комплексные собственные значения

Комплексные собственные значения и собственные векторы порождают решения в виде синусы и косинусы а также экспоненты. Одна из простостей этой ситуации заключается в том, что для генерации полного набора решений для системы необходимы только одно из собственных значений и один из собственных векторов.

Смотрите также

• Фазовая линия, 1-мерный случай
• Фазовое пространство, п-мерный корпус
• Фазовый портрет

Рекомендации

внешняя ссылка

• Университет Ламара, Онлайн-математические заметки - Фазовая плоскость, П. Докинз
• Университет Ламара, Онлайн-математические заметки - Системы дифференциальных уравнений, П. Докинз
• Обзор метода фазовой плоскости