Проблема двух тел - Two-body problem

Оставили: Два тела с похожими масса вращающийся вокруг общего барицентр вне обоих тел, с эллиптические орбиты - типичный для двойных звезд. Правильно: Два тела с «небольшой» разницей в массе, вращающиеся вокруг общего центра масс. Размеры и этот тип орбиты аналогичны Система Плутон – Харон (в котором барицентр находится вне обоих тел), и земной шар –Луна система - где центр тяжести находится внутри большего тела.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Параметры орбиты Апсис Аргумент периапсиса Азимут Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Виды двухчастичные орбиты, к эксцентриситет Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита (Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки (Гало-орбиты ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта

В классическая механика, то проблема двух тел заключается в предсказании движения двух массивных объектов, которые абстрактно рассматриваются как точечные частицы. Проблема предполагает, что два объекта взаимодействуют только друг с другом; единственная сила, действующая на каждый объект, исходит от другого, а все остальные объекты игнорируются.

Наиболее ярким случаем классической задачи двух тел является гравитационный чехол (см. также Проблема Кеплера ), возникающий в астрономии для предсказания орбит (или ухода с орбиты) таких объектов, как спутники, планеты, и звезды. Двухточечная модель такой системы почти всегда описывает ее поведение достаточно хорошо, чтобы дать полезные сведения и прогнозы.

Более простая модель "одного тела", "проблема центральной силы ", рассматривает один объект как неподвижный источник силы, действующей на другой. Затем пытаются предсказать движение единственного оставшегося подвижного объекта. Такое приближение может дать полезные результаты, когда один объект намного массивнее другого (как в случае легкая планета, вращающаяся вокруг тяжелой звезды, где звезду можно рассматривать как практически неподвижную).

Однако приближение одного тела обычно не требуется, кроме как в качестве ступеньки. Для многих сил, в том числе гравитационных, общая версия задачи двух тел может быть сводится к паре задач одного тела, позволяя решить эту проблему полностью и давая решение, достаточно простое для эффективного использования.

Напротив, проблема трех тел (и, в более общем плане, ппроблема тела за п ≥ 3) не может быть решена в терминах первых интегралов, за исключением особых случаев.

Результаты для выдающихся случаев

Гравитация и другие примеры обратных квадратов

Задача двух тел интересна в астрономии, потому что пары астрономических объектов часто быстро движутся в произвольных направлениях (поэтому их движения становятся интересными), широко разделены друг от друга (чтобы они не сталкивались) и даже более широко отделены от других объектов. (так что внешние влияния будут достаточно малы, чтобы их можно было безопасно игнорировать).

Под силой сила тяжести, каждый член пары таких объектов будет вращаться вокруг своего общего центра масс по эллиптической схеме, если только они не движутся достаточно быстро, чтобы полностью ускользнуть друг от друга, и в этом случае их пути будут расходиться вдоль других плоских конические секции. Если один объект намного тяжелее другого, он будет двигаться намного меньше другого относительно общего центра масс. Взаимный центр масс может находиться даже внутри более крупного объекта.

Математическое резюме решений для этого случая см. Гравитационная задача двух тел. По поводу вывода решений см. Классическая проблема центральной силы или же Проблема Кеплера.

В принципе, те же решения применимы к макроскопическим задачам, в которых объекты взаимодействуют не только посредством гравитации, но и через любые другие притягивающие скалярное силовое поле подчиняясь закон обратных квадратов, с электростатическое притяжение являясь очевидным физическим примером. На практике такие проблемы возникают редко. За исключением, возможно, экспериментальной аппаратуры или другого специализированного оборудования, мы редко сталкиваемся с электростатически взаимодействующими объектами, которые движутся достаточно быстро и в таком направлении, чтобы избежать столкновения, и / или которые достаточно изолированы от своего окружения.

Динамическая система системы двух тел под действием крутящего момента оказывается уравнением Штурма-Лиувилля.^[1]

Неприменимость к атомам и субатомным частицам

Хотя модель двух тел рассматривает объекты как точечные частицы, классическая механика применима только к системам макроскопического масштаба. Большинство поведения субатомных частиц не можешь можно предсказать, исходя из классических допущений, лежащих в основе этой статьи, или с использованием математики здесь.

Электроны в атоме иногда описывается как «вращающийся по орбите» ядро, следуя раннее предположение из Нильс Бор (это источник термина "орбитальный "). Однако электроны на самом деле не вращаются вокруг ядер в каком-либо значимом смысле, и квантовая механика необходимы для любого полезного понимания реального поведения электрона. Решение классической задачи двух тел для электрона, вращающегося вокруг ядра атома, вводит в заблуждение и не дает много полезных идей.

Сведение к двум независимым задачам одного тела

Эта секция дубликаты объем других разделов, конкретно, Классическая проблема центральной силы # Отношение к классической задаче двух тел. Пожалуйста обсуждать эту проблему на странице обсуждения и отредактируйте ее в соответствии с Руководство по стилю Википедии заменив раздел ссылкой и резюме повторяющегося материала, или путем выделения повторяющегося текста в отдельную статью. (Июнь 2019)

Полную задачу двух тел можно решить, переформулируя ее как две задачи одного тела: тривиальную и ту, которая включает решение для движения одной частицы во внешнем пространстве. потенциал. Поскольку многие задачи одного тела могут быть решены точно, соответствующая задача двух тел также может быть решена.

Координаты Якоби для задачи двух тел; Координаты Якоби: ${ displaystyle { boldsymbol {R}} = { frac {m_ {1}} {M}} { boldsymbol {x}} _ {1} + { frac {m_ {2}} {M}} { boldsymbol {x}} _ {2}}$ и ${ displaystyle { boldsymbol {r}} = { boldsymbol {x}} _ {1} - { boldsymbol {x}} _ {2}}$ с ${ Displaystyle М = м_ {1} + м_ {2} }$.^[2]

Позволять Икс₁ и Икс₂ - векторные положения двух тел, и м₁ и м₂ быть их массами. Цель - определить траектории Икс₁(т) и Икс₂(т) на все времена т, учитывая исходные позиции Икс₁(т = 0) и Икс₂(т = 0) и начальные скорости v₁(т = 0) и v₂(т = 0).

Применительно к двум массам Второй закон Ньютона утверждает, что

${ displaystyle mathbf {F} _ {12} ( mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}) = m_ {1} { ddot { mathbf {x}}} _ {1} quad quad quad ( mathrm {Equation} 1)}$

${ displaystyle mathbf {F} _ {21} ( mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}) = m_ {2} { ddot { mathbf {x}}} _ {2} quad quad quad ( mathrm {Equation} 2)}$

куда F₁₂ сила, действующая на массу 1 из-за ее взаимодействия с массой 2, и F₂₁ сила, действующая на массу 2 из-за ее взаимодействия с массой 1. Две точки наверху Икс векторы положения обозначают их вторую производную по времени или их векторы ускорения.

Сложение и вычитание этих двух уравнений разделяют их на две задачи одного тела, которые можно решать независимо. Добавление уравнения (1) и (2) приводят к уравнению, описывающему центр массы (барицентр ) движение. Напротив, вычитание уравнение (2) из ​​уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор р = Икс₁ − Икс₂ между массами меняется со временем. Решения этих независимых задач одного тела могут быть объединены для получения решений для траекторий Икс₁(т) и Икс₂(т).

Движение центра масс (1-я задача одного тела)

Позволять ${ displaystyle mathbf {R}}$ быть позицией центр массы (барицентр ) системы. Сложив силовые уравнения (1) и (2), получаем

${ displaystyle m_ {1} { ddot { mathbf {x}}} _ {1} + m_ {2} { ddot { mathbf {x}}} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) { ddot { mathbf {R}}} = mathbf {F} _ {12} + mathbf {F} _ {21} = 0}$

где мы использовали Третий закон Ньютона F₁₂ = −F₂₁ и где

${ Displaystyle { ddot { mathbf {R}}} Equiv { frac {m_ {1} { ddot { mathbf {x}}} _ {1} + m_ {2} { ddot { mathbf {x}}} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}$

Полученное уравнение:

${ displaystyle { ddot { mathbf {R}}} = 0}$

показывает, что скорость ${ displaystyle { mathbf {v}} = {dR over dt}}$ центра масс постоянна, из чего следует, что полный импульс м₁ v₁ + м₂ v₂ также постоянна (сохранение импульса ). Следовательно, позиция р (т) центра масс всегда можно определить по начальным положениям и скоростям.

Движение вектора смещения (2-я задача одного тела)

Разделив оба уравнения силы на соответствующие массы, вычтя второе уравнение из первого и переставив, получим уравнение

${ displaystyle { ddot { mathbf {r}}} = { ddot { mathbf {x}}} _ {1} - { ddot { mathbf {x}}} _ {2} = left ( { frac { mathbf {F} _ {12}} {m_ {1}}} - { frac { mathbf {F} _ {21}} {m_ {2}}} right) = left ( { frac {1} {m_ {1}}} + { frac {1} {m_ {2}}} right) mathbf {F} _ {12}}$

где мы снова использовали Третий закон Ньютона F₁₂ = −F₂₁ и где р это вектор смещения от массы 2 до массы 1, как определено выше.

Сила между двумя объектами, возникающая в двух объектах, должна быть только функцией их разделения. р а не их абсолютных позиций Икс₁ и Икс₂; иначе не было бы поступательная симметрия, и законы физики должны были бы меняться от места к месту. Таким образом, вычитаемое уравнение можно записать:

${ displaystyle mu { ddot { mathbf {r}}} = mathbf {F} _ {12} ( mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}) = mathbf {F} ( mathbf {r})}$

куда ${ displaystyle mu}$ это уменьшенная масса

${ displaystyle mu = { frac {1} {{ frac {1} {m_ {1}}} + { frac {1} {m_ {2}}}}} = { frac {m_ {1) } м_ {2}} {м_ {1} + м_ {2}}}.}$

Решая уравнение для р(т) является ключом к проблеме двух тел. Решение зависит от удельной силы между телами, которая определяется соотношением ${ Displaystyle mathbf {F} ( mathbf {r})}$. Для случая, когда ${ Displaystyle mathbf {F} ( mathbf {r})}$ следует за закон обратных квадратов см. Проблема Кеплера.

Один раз р (т) и р(т) определены, исходные траектории могут быть получены

${ displaystyle mathbf {x} _ {1} (t) = mathbf {R} (t) + { frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} mathbf {r } (t)}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {2} (t) = mathbf {R} (t) - { frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} mathbf {r } (t)}$

что можно проверить, заменив определения р и р в правые части этих двух уравнений.

Движение двух тел - плоское

Движение двух тел относительно друг друга всегда лежит в плоскости (в плоскости центр масс кадра ).

Доказательство: определение линейный импульс п и угловой момент L системы относительно центра масс уравнениями

${ displaystyle mathbf {L} = mathbf {r} times mathbf {p} = mathbf {r} times mu { frac {d mathbf {r}} {dt}},}$

где μ - уменьшенная масса и р относительное положение р₂-р₁ (при этом они написаны с центром масс в качестве начала координат, и, таким образом, оба параллельны р) скорость изменения углового момента L равняется сети крутящий момент N

${ displaystyle mathbf {N} = { frac {d mathbf {L}} {dt}} = { dot { mathbf {r}}} times mu { dot { mathbf {r}} } + mathbf {r} times mu { ddot { mathbf {r}}} ,}$

и используя свойство векторное произведение который v × ш = 0 для любых векторов v и ш указывая в том же направлении,

${ Displaystyle mathbf {N} = { frac {d mathbf {L}} {dt}} = mathbf {r} times mathbf {F} ,}$

с F = μ d²р /dt².

Вводя предположение (верное для большинства физических сил, поскольку они подчиняются Сильный третий закон движения Ньютона ), что сила между двумя частицами действует вдоль линии между их положениями, отсюда следует, что р × F =  0 и вектор углового момента L постоянно (сохранено). Следовательно, вектор смещения р и его скорость v всегда в самолете перпендикуляр к постоянному вектору L.

Энергия системы двух тел

Если сила F(р) является консервативный то система имеет потенциальная энергия U(р), поэтому сумма энергия можно записать как

${ displaystyle E _ { text {tot}} = {1 over 2} m_ {1} { dot { mathbf {x}}} _ {1} ^ {2} + {1 over 2} m_ { 2} { dot { mathbf {x}}} _ {2} ^ {2} + U ( mathbf {r}) = {1 over 2} (m_ {1} + m_ {2}) { точка { mathbf {R}}} ^ {2} + {1 over 2} mu { dot { mathbf {r}}} ^ {2} + U ( mathbf {r})}$

В центре масс кадра кинетическая энергия является самым низким, а общая энергия становится

${ displaystyle E = {1 over 2} mu { dot { mathbf {r}}} ^ {2} + U ( mathbf {r})}$

Координаты Икс₁ и Икс₂ можно выразить как

${ displaystyle mathbf {x} _ {1} = { frac { mu} {m_ {1}}} mathbf {r}}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {2} = - { frac { mu} {m_ {2}}} mathbf {r}}$

и аналогичным образом энергия E связано с энергиями E₁ и E₂ которые по отдельности содержат кинетическую энергию каждого тела:

${ displaystyle { begin {align} E_ {1} & = { frac { mu} {m_ {1}}} E = {1 over 2} m_ {1} { dot { mathbf {x} }} _ {1} ^ {2} + { frac { mu} {m_ {1}}} U ( mathbf {r}) [4pt] E_ {2} & = { frac { mu } {m_ {2}}} E = {1 over 2} m_ {2} { dot { mathbf {x}}} _ {2} ^ {2} + { frac { mu} {m_ { 2}}} U ( mathbf {r}) [4pt] E _ { text {tot}} & = E_ {1} + E_ {2} end {align}}}$

Центральные силы

Для многих физических проблем сила F(р) это центральная сила, т.е. имеет вид

${ Displaystyle mathbf {F} ( mathbf {r}) = F (r) { шляпа { mathbf {r}}}}$

куда р = |р| и р = р/р соответствующий единичный вектор. Теперь у нас есть:

${ displaystyle mu { ddot { mathbf {r}}} = {F} (r) { hat { mathbf {r}}} ,}$

куда F(р) отрицательна в случае силы притяжения.

Смотрите также

• Энергетический дрейф
• Уравнение центра
• Проблема трех тел Эйлера
• Гравитационная задача двух тел
• Орбита Кеплера
• Проблема Кеплера
• ппроблема тела
• Проблема трех тел
• Проблема двух тел (карьера)
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Теорема вириала

Рекомендации

Библиография

• Ландау Л.Д.; Лифшиц Е.М. (1976). Механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. ISBN  0-08-029141-4.
• Гольдштейн Х (1980). Классическая механика (2-е изд.). Нью-Йорк: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02918-9.

внешняя ссылка

• Проблема двух тел в Мир физики Эрика Вайсштейна