Теорема Ирншоу - Википедия - Earnshaws theorem

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

Теорема Ирншоу заявляет, что собрание точечные сборы не может содержаться в стабильной стационарной равновесие конфигурация исключительно электростатический взаимодействие зарядов. Впервые это доказал британский математик. Сэмюэл Эрншоу в 1842 г. обычно упоминается магнитные поля, но сначала был применен к электростатические поля.

Теорема Ирншоу применима к классическим закон обратных квадратов силы (электрические и гравитационный ), а также к магнитным силам постоянные магниты, если магниты жесткие (магниты не меняются по силе под действием внешних полей). Теорема Ирншоу запрещает Магнитная левитация во многих обычных ситуациях.

Если материалы не твердые, Браунбек расширение показывает, что материалы с относительной магнитная проницаемость больше одного (парамагнетизм ) дополнительно дестабилизируют, но материалы с проницаемостью меньше единицы (диамагнитный материалы) допускают стабильные конфигурации.

Объяснение

Неформально, случай точечного заряда в произвольном статическом электрическом поле является простым следствием Закон Гаусса. Для того чтобы частица находилась в устойчивом равновесии, небольшие возмущения («толчки») частицы в любом направлении не должны нарушать равновесие; частица должна «упасть» в прежнее положение. Это означает, что силовые линии поля вокруг положения равновесия частицы должны быть направлены внутрь, к этому положению. Если все окружающие силовые линии указывают на точку равновесия, то расхождение поля в этой точке должно быть отрицательным (т.е. эта точка действует как сток). Однако закон Гаусса гласит, что расходимость любого возможного электрического силового поля равна нулю в свободном пространстве. В математических обозначениях электрическая сила F(р) происходящий из потенциального U(р) всегда будет бездивергентной (удовлетворять Уравнение Лапласа ):

${ displaystyle nabla cdot mathbf {F} = nabla cdot (- nabla U) = - nabla ^ {2} U = 0.}$

Поэтому нет местных минимумы или же максимумы потенциала поля в свободном пространстве, только седловые точки. Устойчивого равновесия частицы существовать не может, и должна быть неустойчивость в каком-то направлении. Этого аргумента может быть недостаточно, если все вторые производные от U нулевые.^[1]

Чтобы быть полностью строгим, строго говоря, существование устойчивой точки не требует, чтобы все соседние векторы силы указывали точно в сторону устойчивой точки; например, векторы силы могут закручиваться по спирали в направлении устойчивой точки. Один из способов справиться с этим заключается в том, что помимо расхождения завиток любого электрического поля в свободном пространстве также равна нулю (при отсутствии каких-либо магнитных токов).

Эту теорему также можно доказать непосредственно из уравнений силы / энергии для статического магнитные диполи (ниже). Однако интуитивно кажется вероятным, что если теорема верна для одного точечного заряда, то она также будет верна для двух противоположных точечных зарядов, соединенных вместе. В частности, оно будет выполняться в пределе, когда расстояние между зарядами уменьшается до нуля при сохранении дипольного момента, то есть оно будет выполняться для электрический диполь. Но если теорема верна для электрического диполя, то она будет верна и для магнитного диполя, поскольку (статические) уравнения силы / энергии принимают одинаковую форму как для электрических, так и для магнитных диполей.

Как практическое следствие, эта теорема также утверждает, что не существует возможной статической конфигурации ферромагнетики что может стабильно левитировать объект против гравитации, даже если магнитные силы сильнее гравитационных.

Теорема Ирншоу была даже доказана для общего случая протяженных тел, и это так, даже если они гибкие и проводящие, при условии, что они не диамагнитный,^[2][3] поскольку диамагнетизм представляет собой (небольшую) силу отталкивания, но не притяжение.

Однако есть несколько исключений из допущений правила, которые позволяют Магнитная левитация.

Лазейки

Теорема Ирншоу не имеет исключений для неподвижного перманента. ферромагнетики. Однако теорема Ирншоу не обязательно применима к движущимся ферромагнетикам,^[4] некоторые электромагнитные системы, псевдолевитационные и диамагнитные материалы. Таким образом, они могут показаться исключениями, хотя на самом деле они используют ограничения теоремы.

Спиновые ферромагнетики (такие как Левитрон ) может - во время вращения - магнитно левитировать, используя только постоянные ферромагнетики.^[4] Обратите внимание, что поскольку он вращается, это не неподвижный ферромагнетик.

Переключение полярности электромагнита или системы электромагнитов может левитировать систему за счет непрерывного расхода энергии. Маглев поезда это одно приложение.

Псевдолевитация ограничивает движение магнитов, обычно используя ту или иную форму привязи или стены. Это работает, потому что теорема показывает только то, что есть какое-то направление, в котором будет нестабильность. Ограничение движения в этом направлении позволяет левитации с менее чем полными 3 измерениями, доступными для движения (обратите внимание, что теорема доказана для 3-х измерений, а не для 1D или 2D).

Диамагнитный материалы исключены, потому что они проявляют только отталкивание против магнитного поля, тогда как теорема требует материалов, которые обладают как отталкиванием, так и притяжением. Пример тому - знаменитый левитирующая лягушка (видеть диамагнетизм ).

Влияние на физику

Конфигурации классических заряженных частиц, вращающихся друг вокруг друга, нестабильны из-за потерь энергии на электромагнитное излучение. В течение некоторого времени это привело к загадочному вопросу о том, почему материя остается вместе, поскольку было обнаружено множество доказательств того, что материя удерживается вместе электромагнитно, но статические конфигурации будут нестабильными, а электродинамические конфигурации, как ожидается, будут излучать энергию и распадаться.

Эти вопросы в конечном итоге указали путь к квантово-механический объяснения структуры атома, где существование стационарных (неизлучающих) состояний, в которых электрон имеет ненулевой импульс (и, следовательно, не является фактически статичным), решает вышеуказанную загадку на фундаментальном уровне. На более практическом уровне можно сказать, что Принцип исключения Паули а наличие дискретных электронных орбиталей отвечает за жесткость массивной материи.

Доказательства магнитных диполей

Вступление

Хотя возможно более общее доказательство, здесь рассматриваются три конкретных случая. Первый случай - это магнитный диполь постоянной величины, который имеет быструю (фиксированную) ориентацию. Второй и третий случаи представляют собой магнитные диполи, в которых ориентация изменяется, чтобы оставаться параллельной или антипараллельной силовым линиям внешнего магнитного поля. В парамагнитных и диамагнитных материалах диполи ориентированы параллельно и антипараллельно силовым линиям соответственно.

Фон

Рассматриваемые здесь доказательства основаны на следующих принципах.

Энергия U магнитный диполь с магнитный дипольный момент M во внешнем магнитном поле B дан кем-то

${ displaystyle U = - mathbf {M} cdot mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}$

Диполь будет устойчиво левитировать только в точках, где энергия минимальна. Энергия может иметь минимум только в точках, где лапласиан энергии больше нуля. То есть где

${ displaystyle nabla ^ {2} U = { frac { partial ^ {2} U} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} U} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} U} { partial z ^ {2}}}> 0.}$

Наконец, поскольку и дивергенция, и ротор магнитного поля равны нулю (в отсутствие тока или изменяющегося электрического поля), лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю. То есть,

${ displaystyle nabla ^ {2} B_ {x} = nabla ^ {2} B_ {y} = nabla ^ {2} B_ {z} = 0.}$

Это доказывается в самом конце этой статьи, так как это важно для понимания общего доказательства.

Резюме доказательств

Для магнитного диполя фиксированной ориентации (и постоянной величины) энергия будет равна

${ Displaystyle U = - mathbf {M} cdot mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}),}$

куда M_Икс, M_у и M_z постоянны. В этом случае лапласиан энергии всегда равен нулю,

${ displaystyle nabla ^ {2} U = 0,}$

поэтому у диполя не может быть ни минимума энергии, ни максимума энергии. То есть нет точки в свободном пространстве, где диполь был либо устойчив во всех направлениях, либо нестабилен во всех направлениях.

Магнитные диполи, ориентированные параллельно или антипараллельно внешнему полю с величиной диполя, пропорциональной внешнему полю, будут соответствовать парамагнитным и диамагнитным материалам соответственно. В этих случаях энергия будет выражаться

${ Displaystyle U = - mathbf {M} cdot mathbf {B} = -k mathbf {B} cdot mathbf {B} = -k left (B_ {x} ^ {2} + B_ { y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} right),}$

куда k является константой больше нуля для парамагнитных материалов и меньше нуля для диамагнитных материалов.

В этом случае будет показано, что

${ displaystyle nabla ^ {2} left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} right) geq 0,}$

что в сочетании с постоянной k, показывает, что парамагнитные материалы могут иметь максимумы энергии, но не минимумы энергии, а диамагнитные материалы могут иметь минимумы энергии, но не максимумы энергии. То есть парамагнитные материалы могут быть нестабильными во всех направлениях, но не стабильными во всех направлениях, а диамагнитные материалы могут быть стабильными во всех направлениях, но не нестабильными во всех направлениях. Конечно, оба материала могут иметь седловые точки.

Наконец, магнитный диполь ферромагнитного материала (постоянного магнита), расположенный параллельно или антипараллельно магнитному полю, будет иметь вид

${ Displaystyle mathbf {M} = к { mathbf {B} over | mathbf {B} |},}$

так что энергия будет отдана

${ Displaystyle U = - mathbf {M} cdot mathbf {B} = -k {{ mathbf {B} cdot mathbf {B}} over | mathbf {B} |} = - k { | mathbf {B} | ^ {2} over | mathbf {B} |} = - k left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} right) ^ { frac {1} {2}};}$

но это всего лишь квадратный корень из энергии для парамагнитного и диамагнитного случая, описанного выше, и, поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, любой минимум или максимум в парамагнитном и диамагнитном случае будет здесь также минимумом или максимумом. Однако не существует известных конфигураций постоянных магнитов, которые стабильно левитируют, поэтому могут быть другие причины, не обсуждаемые здесь, почему невозможно поддерживать постоянные магниты в ориентации, антипараллельной магнитным полям (по крайней мере, без вращения - см. Левитрон ).

Подробные доказательства

Теорема Ирншоу была первоначально сформулирована для электростатики (точечных зарядов), чтобы показать, что не существует стабильной конфигурации набора точечных зарядов. Доказательства, представленные здесь для отдельных диполей, должны быть обобщены на совокупность магнитных диполей, потому что они сформулированы в терминах энергии, которая является аддитивной. Однако тщательное рассмотрение этой темы в настоящее время выходит за рамки данной статьи.

Магнитный диполь с фиксированной ориентацией

Будет доказано, что во всех точках свободного пространства

${ displaystyle nabla cdot ( nabla U) = nabla ^ {2} U = { partial ^ {2} U over { partial x} ^ {2}} + { partial ^ {2} U over { partial y} ^ {2}} + { partial ^ {2} U over { partial z} ^ {2}} = 0.}$

Энергия U магнитного диполя M во внешнем магнитном поле B дан кем-то

${ displaystyle U = - mathbf {M} cdot mathbf {B} = -M_ {x} B_ {x} -M_ {y} B_ {y} -M_ {z} B_ {z}.}$

Лапласиан будет

${ displaystyle nabla ^ {2} U = - { partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) over { partial x} ^ {2}} - { partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) over { partial y} ^ {2}} - { partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}) over { partial z} ^ {2}}}$

Расширяя и переставляя термины (и отмечая, что диполь M постоянно) мы имеем

${ displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} U & = - M_ {x} left ({ partial ^ {2} B_ {x} over { partial x} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {x} over { partial y} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {x} over { partial z} ^ {2}} right) - M_ {y} left ({ partial ^ {2} B_ {y} over { partial x} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {y} over { partial y} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {y} over { partial z} ^ {2}} right) -M_ {z} left ({ partial ^ {2} B_ {z} over { partial x} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {z} over { partial y} ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {z} over { partial z} ^ {2}} right) [3pt] & = - M_ {x} nabla ^ {2} B_ {x} -M_ {y} nabla ^ {2} B_ {y} -M_ {z} nabla ^ {2} B_ {z} end {выровнено}}}$

но лапласианы отдельных компонентов магнитного поля равны нулю в свободном пространстве (не считая электромагнитного излучения), поэтому

${ displaystyle nabla ^ {2} U = -M_ {x} 0-M_ {y} 0-M_ {z} 0 = 0,}$

что завершает доказательство.

Магнитный диполь, выровненный с внешними силовыми линиями

Сначала рассматривается случай парамагнитного или диамагнитного диполя. Энергия дается

${ Displaystyle U = -k | mathbf {B} | ^ {2} = - k left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} верно).}$

Расширение и перестановка сроков,

${ displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} | mathbf {B} | ^ {2} & = nabla ^ {2} left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} right) & = 2 left (| nabla B_ {x} | ^ {2} + | nabla B_ {y} | ^ {2} + | nabla B_ {z} | ^ {2} + B_ {x} nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} nabla ^ {2} B_ {z} right) end {align}}}$

но поскольку лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю,

${ displaystyle nabla ^ {2} | mathbf {B} | ^ {2} = 2 left (| nabla B_ {x} | ^ {2} + | nabla B_ {y} | ^ {2} + | набла B_ {z} | ^ {2} right);}$

и поскольку квадрат величины всегда положителен,

${ displaystyle nabla ^ {2} | mathbf {B} | ^ {2} geq 0.}$

Как обсуждалось выше, это означает, что лапласиан энергии парамагнитного материала никогда не может быть положительным (отсутствие стабильной левитации), а лапласиан энергии диамагнитного материала никогда не может быть отрицательным (отсутствие нестабильности во всех направлениях).

Кроме того, поскольку энергия для диполя фиксированной величины, выровненного по внешнему полю, будет квадратным корнем из энергии, указанной выше, применим тот же анализ.

Лапласиан отдельных компонент магнитного поля

Здесь доказано, что лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю. Это показывает необходимость задействовать свойства магнитных полей, которые расхождение магнитного поля всегда равно нулю и завиток магнитного поля равно нулю в свободном пространстве. (То есть при отсутствии тока или изменяющегося электрического поля.) См. Уравнения Максвелла для более подробного обсуждения этих свойств магнитных полей.

Рассмотрим лапласиан x-компоненты магнитного поля

${ displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} B_ {x} & = { partial ^ {2} B_ {x} over partial x ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {x} over partial y ^ {2}} + { partial ^ {2} B_ {x} over partial z ^ {2}} & = { partial over partial x} { partial B_ {x} over partial x} + { partial over partial y} { partial B_ {x} over partial y} + { partial over partial z} { partial B_ { x} over partial z} end {выровнено}}}$

Потому что завиток B равно нулю,

${ displaystyle { frac { partial B_ {x}} { partial y}} = { frac { partial B_ {y}} { partial x}},}$

и

${ displaystyle { frac { partial B_ {x}} { partial z}} = { frac { partial B_ {z}} { partial x}},}$

так что у нас есть

${ displaystyle nabla ^ {2} B_ {x} = { partial over partial x} { partial B_ {x} over partial x} + { partial over partial y} { partial B_ {y} over partial x} + { partial over partial z} { partial B_ {z} over partial x}.}$

Но с тех пор B_Икс непрерывно, порядок дифференцирования не имеет значения, давая

${ displaystyle nabla ^ {2} B_ {x} = { partial over partial x} left ({ partial B_ {x} over partial x} + { partial B_ {y} over частичное y} + { partial B_ {z} over partial z} right) = { partial over partial x} ( nabla cdot mathbf {B}).}$

Расхождение B равно нулю,

${ Displaystyle набла cdot mathbf {B} = 0,}$

так

${ displaystyle nabla ^ {2} B_ {x} = { partial over partial x} ( nabla cdot mathbf {B}) = 0.}$

Лапласиан у составляющая магнитного поля B_у поле и лапласиан z составляющая магнитного поля B_z можно рассчитать аналогично. В качестве альтернативы можно использовать личность

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {B} = nabla ( nabla cdot mathbf {B}) - nabla times left ( nabla times mathbf {B} right),}$

где оба члена в скобках равны нулю.

Смотрите также

• Магнитная левитация
• Электростатическая левитация

Примечания

Рекомендации

• Эрншоу, Сэмюэл (1842). «О природе молекулярных сил, регулирующих состав светоносного эфира». Пер. Camb. Фил. Soc. 7: 97–112.
• Скотт, В. Т. (1959). «Кто был Эрншоу?». Американский журнал физики. 27: 418. Bibcode:1959AmJPh..27..418S. Дои:10.1119/1.1934886.

внешняя ссылка

• "Возможна ли магнитная левитация? ", обсуждение теоремы Эрншоу и ее последствий для левитации, а также несколько способов левитации с помощью электромагнитных полей.