Числа Эйлера - Euler numbers

В математика, то Числа Эйлера площадь последовательность E_п из целые числа (последовательность A122045 в OEIS ) определяется Серия Тейлор расширение

{ displaystyle { frac {1} { cosh t}} = { frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {E_ {n}} {n!}} cdot t ^ {n}}

,

где $шиш т$ это гиперболический косинус. Числа Эйлера связаны со специальным значением Полиномы Эйлера, а именно:

{ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({ tfrac {1} {2}}).}

Числа Эйлера появляются в Серия Тейлор расширение секущий и гиперболический секанс функции. Последняя функция в определении. Они также встречаются в комбинаторика, особенно при подсчете количества чередующиеся перестановки набора с четным числом элементов.

Примеры

Все числа Эйлера с нечетным индексом нуль. Чётно-индексированные (последовательность A028296 в OEIS ) имеют чередующиеся знаки. Вот некоторые значения:

E₀	=	1
E₂	=	−1
E₄	=	5
E₆	=	−61
E₈	=	1385
E₁₀	=	−50521
E₁₂	=	2702765
E₁₄	=	−199360981
E₁₆	=	19391512145
E₁₈	=	−2404879675441

Некоторые авторы повторно индексируют последовательность, чтобы опустить нечетные числа Эйлера со значением ноль, или изменить все знаки на положительные (последовательность A000364 в OEIS ). Эта статья соответствует принятой выше конвенции.

Явные формулы

В терминах чисел Стирлинга второго рода

Следующие две формулы выражают числа Эйлера через Числа Стирлинга второго рода^[1] ^[2]

{ displaystyle E_ {r} = 2 ^ {2r-1} sum _ {k = 1} ^ {r} { frac {(-1) ^ {k} S (r, k)} {k + 1 }} left (3 left ({ frac {1} {4}} right) ^ {(k)} - left ({ frac {3} {4}} right) ^ {(k) }правильно),}

{ Displaystyle E_ {2l} = - 4 ^ {2l} sum _ {k = 1} ^ {2l} (- 1) ^ {k} cdot { frac {S (2l, k)} {k + 1}} cdot left ({ frac {3} {4}} right) ^ {(k)},}

где ${ Displaystyle S (г, к)}$ обозначает Числа Стирлинга второго рода, и ${ Displaystyle х ^ {(п)} = (х) (х + 1) cdots (х + п-1)}$ обозначает возрастающий факториал.

В виде двойной суммы

Следующие две формулы выражают числа Эйлера как двойные суммы^[3]

{ Displaystyle E_ {2k} = (2k + 1) sum _ { ell = 1} ^ {2k} (- 1) ^ { ell} { frac {1} {2 ^ { ell} ( ell +1)}} { binom {2k} { ell}} sum _ {q = 0} ^ { ell} { binom { ell} {q}} (2q- ell) ^ {2k },}

{ displaystyle E_ {2k} = sum _ {i = 1} ^ {2k} (- 1) ^ {i} { frac {1} {2 ^ {i}}} sum _ { ell = 0 } ^ {2i} (- 1) ^ { ell} { binom {2i} { ell}} (i- ell) ^ {2k}.}

В виде повторной суммы

Явная формула для чисел Эйлера:^[4]

{ displaystyle E_ {2n} = i sum _ {k = 1} ^ {2n + 1} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {k} {j}} { frac {( -1) ^ {j} (k-2j) ^ {2n + 1}} {2 ^ {k} i ^ {k} k}},}

где $я$ обозначает мнимая единица с участием $я 2 = -1$ .

В сумме по разделам

Число Эйлера $E 2 п$ можно выразить как сумму по четным перегородки из $2 п$ ,^[5]

{ displaystyle E_ {2n} = (2n)! sum _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq n} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {n, sum mk_ {m}} left (- { frac {1} {2!}} right) ^ {k_ {1}} left (- { frac {1} {4!}} right) ^ {k_ {2}} cdots left (- { frac {1} {(2n)!}} right) ^ {k_ {n}},}

а также сумму по нечетным разбиениям $2 п - 1$ ,^[6]

{ displaystyle E_ {2n} = (- 1) ^ {n-1} (2n-1)! sum _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {n} leq 2n-1} { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} delta _ {2n-1, sum (2m-1) k_ {m}} left (- { frac {1} {1!}} Right) ^ {k_ {1}} left ({ frac {1} {3!}} Right) ^ {k_ {2}} cdots left ({ frac {(- 1) ^ {n}} {(2n-1)!}} Right) ^ {k_ {n}},}

где в обоих случаях $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k п$ и

{ displaystyle { binom {K} {k_ {1}, ldots, k_ {n}}} Equiv { frac {K!} {k_ {1}! cdots k_ {n}!}}}

это полиномиальный коэффициент. В Дельты Кронекера в приведенных выше формулах ограничивают суммы по $k$ с к $2 k 1 + 4 k 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 нк п = 2 п$ и чтобы $k 1 + 3 k 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 п - 1) k п = 2 п - 1$ соответственно.

Например,

{ displaystyle { begin {align} E_ {10} & = 10! left (- { frac {1} {10!}} + { frac {2} {2! , 8!}} + { frac {2} {4! , 6!}} - { frac {3} {2! ^ {2} , 6!}} - { frac {3} {2! , 4! ^ { 2}}} + { frac {4} {2! ^ {3} , 4!}} - { frac {1} {2! ^ {5}}} right) [6pt] & = 9! Left (- { frac {1} {9!}} + { Frac {3} {1! ^ {2} , 7!}} + { Frac {6} {1! , 3 ! , 5!}} + { Frac {1} {3! ^ {3}}} - { frac {5} {1! ^ {4} , 5!}} - { frac {10} {1! ^ {3} , 3! ^ {2}}} + { frac {7} {1! ^ {6} , 3!}} - { frac {1} {1! ^ {9 }}} right) [6pt] & = - 50 , 521. end {align}}}

В качестве определяющего

$E 2 п$ дается детерминант

{ displaystyle { begin {align} E_ {2n} & = (- 1) ^ {n} (2n)! ~ { begin {vmatrix} { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ & ~ { frac {1} {4!}} & { frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ vdots & ~ & ddots ~~ & ddots ~~ & ~ { frac {1} {(2n-2)!}} & { frac {1} {(2n-4)!}} & ~ & { frac {1} {2!}} & 1 { frac {1} {(2n)!}} & { frac {1} {(2n-2)!}} & cdots & { frac {1} {4!}} & { frac {1} { 2!}} End {vmatrix}}. End {align}}}

Как интегральная

$E 2 п$ также задается следующими интегралами:

{ Displaystyle { begin {align} (- 1) ^ {n} E_ {2n} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2n}} { cosh { frac { pi t} {2}}}} ; dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} { ch x}} ; dx [8pt] & = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n} int _ { 0} ^ {1} log ^ {2n} left ( tan { frac { pi t} {4}} right) , dt = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 1} int _ {0} ^ { pi / 2} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [8pt] & = { frac {2 ^ {2n + 3}} { pi ^ {2n + 2}}} int _ {0} ^ { pi / 2} x log ^ {2n} ( tan x) , dx = left ({ frac {2} { pi}} right) ^ {2n + 2} int _ {0} ^ { pi} { frac {x} {2 }} log ^ {2n} left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx. end {выравнивается}}}

Сравнения

В. Чжан^[7] получили следующие комбинационные тождества относительно чисел Эйлера для любого простого ${ displaystyle p}$ , у нас есть

{ displaystyle (-1) ^ { frac {p-1} {2}} E_ {p-1} Equiv textstyle { begin {cases} 0 mod p & { text {if}} p Equiv 1 { bmod {4}}; - 2 mod p & { text {if}} p Equiv 3 { bmod {4}}. End {case}}}

В. Чжан и З. Сюй^[8] доказал, что для любого простого ${ Displaystyle п эквив 1 { pmod {4}}}$ и целое число ${ displaystyle alpha geq 1}$ , у нас есть

{ displaystyle E _ { phi (p ^ { alpha}) / 2} not Equiv 0 { pmod {p ^ { alpha}}}}

где ${ Displaystyle фи (п)}$ это Функция Эйлера.

Асимптотическое приближение

Для больших индексов числа Эйлера растут довольно быстро, поскольку они имеют нижнюю границу

{ displaystyle | E_ {2n} |> 8 { sqrt { frac {n} { pi}}} left ({ frac {4n} { pi e}} right) ^ {2n}.}

Зигзагообразные числа Эйлера

В Серия Тейлор из ${ displaystyle sec x + tan x = tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac {x} {2}} right)}$ является

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {A_ {n}} {n!}} x ^ {n},}

где $А п$ это Зигзагообразные числа Эйлера, начиная с

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (последовательность A000111 в OEIS )

Для всех даже $п$ ,

{ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n} {2}} E_ {n},}

где $E п$ - число Эйлера; и для всех странностей $п$ ,

{ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ { frac {n-1} {2}} { frac {2 ^ {n + 1} left (2 ^ {n + 1} -1 right ) B_ {n + 1}} {n + 1}},}

где $B п$ это Число Бернулли.

Для каждого п,

{ displaystyle { frac {A_ {n-1}} {(n-1)!}} sin { left ({ frac {n pi} {2}} right)} + sum _ { m = 0} ^ {n-1} { frac {A_ {m}} {m! (nm-1)!}} sin { left ({ frac {m pi} {2}} right )} = { frac {1} {(n-1)!}}.}

^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

использованная литература

^ Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли, включающая число Эйлера». Московский журнал комбинаторики и теории чисел. 8 (4): 385–387. Дои:10.2140 / москва.2019.8.389.
^ Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула для чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода».
^ Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера». Журнал неравенств и приложений. 219 (2015). Дои:10.1186 / s13660-015-0738-9.
^ Тан, Росс (2012-05-11). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх / вниз) из степенного ряда» (PDF).
^ Велла, Дэвид С. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера». Целые числа. 8 (1): A1.
^ Маленфант, Дж. (2011). «Конечные, замкнутые выражения для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv:1103.1585 [math.NT ].
^ Чжан, В. (1998). «Некоторые тождества с участием Эйлера и центральных факториалов» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 36 (4): 154–157.
^ Zhang, W.P .; Сюй, З.Ф. (2007). «О гипотезе чисел Эйлера». Журнал теории чисел. 127 (2): 283–291. Дои:10.1016 / j.jnt.2007.04.004.

внешние ссылки

[1] Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли, включающая число Эйлера». Московский журнал комбинаторики и теории чисел. 8 (4): 385–387. Дои:10.2140 / москва.2019.8.389.

[2] Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула для чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода».

[3] Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера». Журнал неравенств и приложений. 219 (2015). Дои:10.1186 / s13660-015-0738-9.

[4] Тан, Росс (2012-05-11). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх / вниз) из степенного ряда» (PDF).

[5] Велла, Дэвид С. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера». Целые числа. 8 (1): A1.

[6] Маленфант, Дж. (2011). «Конечные, замкнутые выражения для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv:1103.1585 [math.NT ].

[7] Чжан, В. (1998). «Некоторые тождества с участием Эйлера и центральных факториалов» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 36 (4): 154–157.

[8] Zhang, W.P .; Сюй, З.Ф. (2007). «О гипотезе чисел Эйлера». Журнал теории чисел. 127 (2): 283–291. Дои:10.1016 / j.jnt.2007.04.004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]