Счастливый номер - Lucky number

В теория чисел, а счастливый номер это натуральное число в наборе, который создается определенным "сито ". Это сито похоже на Сито Эратосфена что порождает простые числа, но он удаляет числа на основе их положения в оставшемся наборе, а не их значения (или положения в начальном наборе натуральных чисел).^[1]

Этот термин был введен в 1956 году в статье Гардинера, Лазаря, Мегаполис и Улам. Они предлагают также называть его определяющим ситом "сито Иосиф Флавий Флавий "^[2] из-за его сходства с игрой на отсчет в Проблема Иосифа.

Счастливые числа имеют общие свойства с простыми числами, например асимптотическое поведение в соответствии с теорема о простых числах; также версия Гипотеза Гольдбаха был распространен на них. Счастливых чисел бесконечно много. Однако если L_п обозначает п-е счастливое число и п_п то п-е простое число, затем L_п > п_п для всех достаточно больших п.^[3]

Из-за этих очевидных связей с простыми числами некоторые математики предположили, что эти свойства могут быть обнаружены в более широком классе наборов чисел, генерируемых решетами определенной неизвестной формы, хотя для этого мало теоретических оснований. догадка. Двойные счастливые числа и простые числа-близнецы также появляются с аналогичной частотой

Процесс рассева

Начните со списка целые числа начиная с 1:
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
Каждый второй номер (все четные числа ) в списке удаляется, оставляя только нечетные целые числа:
1		3		5		7		9		11		13		15		17		19		21		23		25
Первое число, оставшееся в списке после 1, равно 3, поэтому каждое третье число, остающееся в списке (нет каждое кратное 3) исключается. Первых из них 5:
1		3				7		9				13		15				19		21				25
Следующее выжившее число теперь 7, поэтому каждое седьмое оставшееся число удаляется. Первый из них - 19:
1		3				7		9				13		15						21				25

Продолжайте удалять поставшиеся числа, где п это следующее число в списке после последнего оставшегося числа. Следующим в этом примере является 9.

Анимация, демонстрирующая решето счастливых чисел. Цифры на красном фоне - счастливые числа. Когда число удаляется, его фон меняется с серого на фиолетовый.

Одним из отличий применения этой процедуры от сита Эратосфена является то, что п будучи числом, умножаемым на определенном проходе, первое число, исключенное на проходе, - это п-е оставшееся число, которое еще не было удалено, в отличие от числа 2n. То есть список чисел, через которые проходит подсчет этого сита, различается на каждом проходе (например, 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19 ... на третьем проходе), тогда как в Решете Эратосфена сито всегда учитывает весь исходный список (1, 2, 3 ...).

Когда эта процедура будет полностью выполнена, оставшиеся целые числа станут счастливыми числами:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, ... (последовательность A000959 в OEIS ).

Счастливое число, которое удаляет п из списка счастливых номеров: (0, если п это счастливое число)

0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 9, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 0, 2, 13, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 15, 2, 9, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, ... (последовательность A264940 в OEIS )

Счастливые простые числа

«Счастливое простое число» - это простое счастливое число. Они есть:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, ... (последовательность A031157 в OEIS ).

Неизвестно, бесконечно много счастливых простых чисел.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

дальнейшее чтение

Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. C3. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

внешняя ссылка

Петерсон, Иварс. MathTrek: счастливое число Мартина Гарднера
Вайсштейн, Эрик В. "Счастливый номер". MathWorld.
Счастливые числа Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram.
Симондс, Риа. «31: И другие счастливые числа». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал в 2016-09-19. Получено 2013-04-02.

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Счастливый номер". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-11.

[2] Гардинер, Верна; Lazarus, R .; Метрополис, Н.; Улам, С. (1956). «О некоторых последовательностях целых чисел, определяемых ситами». Математический журнал. 29 (3): 117–122. Дои:10.2307/3029719. ISSN 0025-570X. Zbl 0071.27002.

[3] Hawkins, D .; Бриггс, W.E. (1957). «Теорема о счастливом числе». Математический журнал. 31 (2): 81–84, 277–280. Дои:10.2307/3029213. ISSN 0025-570X. Zbl 0084.04202.

[1]

[2]

[3]