Ядерная структура - Википедия - Nuclear structure

Понимание структуры атомное ядро одна из центральных задач в ядерная физика.

Модели

Модель жидкой капли

Модель жидкой капли - одна из первых моделей ядерная структура, предложено Карл Фридрих фон Вайцзеккер в 1935 г.^[1] Он описывает ядро как полуклассическая жидкость состоит из нейтроны и протоны, с внутренним отталкивающим электростатическая сила пропорционально количеству протонов. В квантово-механический природа этих частиц проявляется через Принцип исключения Паули, который утверждает, что никакие два нуклона одного и того же типа не могут находиться в одном государственный. Таким образом, жидкость на самом деле известна как Ферми жидкость В этой модели энергия связи ядра с ${ displaystyle Z}$ протоны и ${ displaystyle N}$ нейтронов определяется выражением

{ displaystyle E_ {B} = a_ {V} A-a_ {S} A ^ {2/3} -a_ {C} { frac {Z ^ {2}} {A ^ {1/3}}} -a_ {A} { frac {(NZ) ^ {2}} {A}} - delta (A, Z)}

куда ${ displaystyle A = Z + N}$ общее количество нуклоны (Массовое число ). Сроки, пропорциональные ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle A ^ {2/3}}$ представляют объемную и поверхностную энергию жидкой капли, член, пропорциональный ${ displaystyle Z ^ {2}}$ представляет собой электростатическую энергию, член, пропорциональный ${ Displaystyle (Н-Я) ^ {2}}$ представляет принцип исключения Паули и последний член ${ displaystyle delta (A, Z)}$ - член спаривания, понижающий энергию для четного числа протонов или нейтронов. ${ displaystyle a_ {V}, a_ {S}, a_ {C}, a_ {A}}$ и сила парного члена может быть оценена теоретически или согласована с данными. Эта простая модель воспроизводит основные особенности энергия связи ядер.

Предположение о ядре как о капле Ферми жидкость до сих пор широко используется в форме модели капель с конечным радиусом действия (FRDM) из-за возможного хорошего воспроизведения энергии связи ядер на всей диаграмме с необходимой точностью для предсказаний неизвестных ядер.^[2]

Модель оболочки

Выражение «модель оболочки» неоднозначно, поскольку оно относится к двум различным эпохам в современном уровне техники. Ранее он использовался для описания существования нуклонных оболочек в ядре в соответствии с подходом, более близким к тому, что сейчас называется теория среднего поля В настоящее время это относится к формализму, аналогичному конфигурационное взаимодействие формализм, используемый в квантовая химия. Мы представим здесь последнее.

Введение в концепцию оболочки

Разница между экспериментальными энергиями связи и предсказаниями модели жидкой капли в зависимости от числа нейтронов для Z> 7

Систематические измерения энергия связи ядер атомов демонстрируют систематические отклонения от оценок по модели жидкой капли. В частности, некоторые ядра, имеющие определенные значения числа протонов и / или нейтронов, связаны друг с другом более прочно, чем предсказывается моделью жидкой капли. Эти ядра называются однократно / дважды магия. Это наблюдение привело ученых к предположению о существовании оболочечной структуры нуклоны (протоны и нейтроны) внутри ядра, как у электроны внутри атомов.

Действительно, нуклоны квантовые объекты. Строго говоря, об энергиях отдельных нуклонов говорить не приходится, потому что все они коррелированы между собой. Однако в качестве приближения можно представить себе среднее ядро, внутри которого нуклоны распространяются индивидуально. Благодаря своему квантовому характеру они могут занимать только дискретный уровни энергии. Эти уровни ни в коем случае не распределены равномерно; некоторые интервалы энергии переполнены, а некоторые пусты, создавая разрыв в возможных энергиях. Оболочка - это такой набор уровней, отделенных от других широкой пустой щелью.

Уровни энергии находятся путем решения Уравнение Шредингера для одиночного нуклона, движущегося в среднем потенциале, создаваемом всеми остальными нуклонами. Каждый уровень может быть занят нуклоном или пустым. На некоторых уровнях находятся несколько разных квантовых состояний с одинаковой энергией; их называют выродиться. В частности, это происходит, если в среднем ядре есть симметрия.

Концепция оболочек позволяет понять, почему одни ядра связаны сильнее, чем другие. Это связано с тем, что два нуклона одного вида не могут находиться в одном и том же состоянии (Принцип исключения Паули ). Таким образом, состояние ядра с самой низкой энергией - это такое, в котором нуклоны заполняют все энергетические уровни от основания до некоторого уровня. Ядро с полными оболочками исключительно стабильно, как будет объяснено ниже.

Как и электроны в электронная оболочка Согласно модели, протоны в самой внешней оболочке относительно слабо связаны с ядром, если в этой оболочке всего несколько протонов, потому что они находятся дальше всего от центра ядра. Следовательно, ядра, которые имеют полную внешнюю протонную оболочку, будут более тесно связаны и будут иметь более высокую энергию связи, чем другие ядра с аналогичным общим числом протонов. Все это верно и для нейтронов.

Кроме того, энергия, необходимая для возбуждения ядра (т.е. перемещения нуклона на более высокий, ранее незанятый уровень), в таких ядрах исключительно высока. Всякий раз, когда этот незанятый уровень является следующим после полной оболочки, единственный способ возбудить ядро - поднять один нуклон. через разрыв, тратя при этом большое количество энергии. В противном случае, если самый высокий занятый уровень энергии находится в частично заполненной оболочке, требуется гораздо меньше энергии, чтобы поднять нуклон в более высокое состояние в той же оболочке.

Какая-то эволюция оболочечной структуры, наблюдаемая в стабильных ядрах, ожидается вдали от долина стабильности. Например, наблюдения нестабильных изотопы показали сдвиг и даже переупорядочение уровней отдельных частиц, из которых состоит структура оболочки.^[3] Иногда это наблюдается как создание остров инверсии или в уменьшении разрыва энергии возбуждения по сравнению с традиционными магическими числами.

Основные гипотезы

Для того, чтобы дать точную концептуальную основу модели оболочки, выдвигаются некоторые основные гипотезы:

Атомное ядро - это квант псистема кузова.
Внутреннее движение нуклонов внутри ядра является нерелятивистским, и их поведение определяется Уравнение Шредингера.
Нуклоны считаются точечными, без какой-либо внутренней структуры.

Краткое описание формализма

Общий процесс, используемый в расчетах модели оболочки, следующий. Первый Гамильтониан для ядра определяется. Обычно для удобства вычислений в этом определении учитываются только одно- и двухчастичные термины. Взаимодействие - это эффективная теория: содержит свободные параметры, которые необходимо согласовать с экспериментальными данными.

Следующий шаг состоит в определении основа одночастичных состояний, т.е. совокупность волновые функции описывающий все возможные состояния нуклона. В большинстве случаев этот базис получается с помощью Хартри – Фок вычисление. С этим набором одночастичных состояний Детерминанты Слейтера построены, то есть волновые функции для Z протонные переменные или N нейтронные переменные, которые являются антисимметричными продуктами одночастичных волновых функций (антисимметричные означают, что при обмене переменными для любой пары нуклонов волновая функция меняет только знак).

В принципе, количество квантовые состояния для отдельного нуклона при конечной энергии конечна, скажем п. Число нуклонов в ядре должно быть меньше числа доступных состояний, иначе ядро не сможет удерживать все свои нуклоны. Таким образом, есть несколько способов выбрать Z (или же N) государств среди п возможный. В комбинаторная математика, количество вариантов Z объекты среди п это биномиальный коэффициент C^Z
_п. Если п намного больше, чем Z (или же N), это увеличивается примерно как п^Z. На практике это число становится настолько большим, что любое вычисление невозможно для А=N+Z больше 8.

Чтобы избежать этой трудности, пространство возможных одночастичных состояний разделено на остовное и валентное по аналогии с химией (см. основной электрон и валентный электрон ). Ядро - это набор одиночных частиц, которые считаются неактивными в том смысле, что они являются хорошо связанными состояниями с наименьшей энергией, и нет необходимости пересматривать их ситуацию. Они не появляются в детерминантах Слейтера, в отличие от состояний в валентном пространстве, которое является пространством всех одночастичных состояний. не в ядре, но, возможно, будет учтено при выборе сборки (Z-) Nволновая функция тела. Набор всех возможных определителей Слейтера в валентном пространстве определяет основа за (Z-) N-тело заявляет.

Последний шаг состоит в вычислении матрицы гамильтониана в этом базисе и ее диагонализации. Несмотря на уменьшение размеров основы за счет фиксации сердечника, диагонализуемые матрицы легко достигают размеров порядка 10⁹, и требуют специальных методов диагонализации.

Расчеты модели оболочки в целом отлично согласуются с экспериментальными данными. Однако они сильно зависят от двух основных факторов:

Способ разделения одночастичного пространства на ядро и валентность.
Эффективное нуклон-нуклонное взаимодействие.

Теории среднего поля

Модель независимых частиц (IPM)

В взаимодействие между нуклонами, что является следствием сильные взаимодействия и связывает нуклоны внутри ядра, демонстрирует своеобразное поведение конечного пробега: оно исчезает, когда расстояние между двумя нуклонами становится слишком большим; он привлекателен на средних дистанциях и отталкивает на очень малых. Это последнее свойство коррелирует с Принцип исключения Паули согласно которому два фермионы (нуклоны - фермионы) не могут находиться в одном квантовом состоянии. Это приводит к очень большому длина свободного пробега предсказано для нуклона внутри ядра.^[4]

Основная идея подхода независимых частиц состоит в том, что нуклон движется внутри определенной потенциальной ямы (которая удерживает его связанной с ядром) независимо от других нуклонов. Это равносильно замене Nпроблема тела (N взаимодействующие частицы) на N проблемы с одним телом. Это существенное упрощение проблемы лежит в основе теорий среднего поля. Они также широко используются в атомная физика, где электроны движутся в среднем поле за счет центрального ядра и самого электронного облака.

Модель независимых частиц и теории среднего поля (мы увидим, что существует несколько вариантов) имеют большой успех в описании свойств ядра, исходя из эффективного взаимодействия или эффективного потенциала, поэтому они являются базовой частью теории атомного ядра. Также следует отметить, что они достаточно модульные, в том смысле, что их довольно легко расширить модель ввести эффекты, такие как спаривание ядер или коллективные движения нуклона, подобные вращение, или же вибрация, добавив в формализм соответствующие энергетические члены. Это означает, что во многих представлениях среднее поле является лишь отправной точкой для более полного описания, которое вводит корреляции, воспроизводящие такие свойства, как коллективные возбуждения и перенос нуклона.^[5]^[6]

Ядерный потенциал и эффективное взаимодействие

Большая часть практических трудностей, встречающихся в теориях среднего поля, связана с определением (или расчетом) потенциал самого среднего поля. Можно очень грубо различить два подхода:

В феноменологический подход представляет собой параметризацию ядерного потенциала соответствующей математической функцией. Исторически, эта процедура был применен с наибольшим успехом Свен Гёста Нильссон, который использовал в качестве потенциала (деформированный) гармонический осциллятор потенциал. Самые последние параметризации основаны на более реалистичных функциях, которые, например, более точно учитывают эксперименты по рассеянию. В частности, форма, известная как Потенциал Вудса – Саксона можно упомянуть.
В самосогласованный или же Хартри – Фок Подход направлен на математический вывод ядерного потенциала из эффективного нуклон-нуклонного взаимодействия. Этот метод подразумевает разрешение Уравнение Шредингера итеративным образом, начиная с волновой функции анзаца и улучшая ее вариационно, поскольку потенциал зависит от волновых функций, которые необходимо определить. Последние записываются как Детерминанты Слейтера.

В случае подходов Хартри – Фока проблема состоит не в том, чтобы найти математическую функцию, которая лучше всего описывает ядерный потенциал, а в том, чтобы лучше всего описать нуклон-нуклонное взаимодействие. Действительно, в отличие от атомная физика где взаимодействие известно (это Кулон взаимодействие), нуклон-нуклонное взаимодействие внутри ядра аналитически не известно.

Этому есть две основные причины. Во-первых, сильное взаимодействие существенно действует между кварки образуя нуклоны. В нуклон-нуклонное взаимодействие в вакууме просто последствие кварк-кваркового взаимодействия. Хотя последнее хорошо понимается в рамках Стандартная модель при высоких энергиях все намного сложнее при низких энергиях из-за ограничение цвета и асимптотическая свобода. Таким образом, до сих пор нет фундаментальной теории, позволяющей вывести нуклон-нуклонное взаимодействие из кварк-кваркового взаимодействия. Более того, даже если бы эта проблема была решена, оставалась бы большая разница между идеальным (и концептуально более простым) случаем двух нуклонов, взаимодействующих в вакууме, и этими нуклонами, взаимодействующими в ядерной материи. Чтобы пойти дальше, нужно было изобрести концепцию эффективное взаимодействие. Последний в основном представляет собой математическую функцию с несколькими произвольными параметрами, которые настраиваются в соответствии с экспериментальными данными.

Большинство современных взаимодействий являются нулевыми, поэтому они действуют только тогда, когда два нуклона находятся в контакте, как введено Тони Скирм.^[7]

Самосогласованные подходы типа Хартри – Фока.

в Хартри – Фок подход ппроблема тела, отправной точкой является Гамильтониан содержащий п кинетическая энергия сроки и потенциальные условия. Как упоминалось ранее, одна из гипотез теории среднего поля состоит в том, что необходимо учитывать только взаимодействие двух тел. Потенциальный член гамильтониана представляет все возможные взаимодействия двух тел в множестве п фермионы. Это первая гипотеза.

Второй шаг состоит в предположении, что волновая функция системы можно записать как Определитель Слейтера одночастичного спин-орбитали. Это утверждение является математическим переводом модели независимых частиц. Это вторая гипотеза.

Теперь остается определить компоненты этого детерминанта Слейтера, то есть индивидуальный волновые функции нуклонов. С этой целью предполагается, что полная волновая функция (определитель Слейтера) такова, что энергия минимальна. Это третья гипотеза.

Технически это означает, что нужно вычислить среднее значение (известного) двухчастного Гамильтониан на (неизвестный) определитель Слейтера, и наложите, что его математическая вариация исчезает. Это приводит к набору уравнений, в которых неизвестными являются отдельные волновые функции: уравнениям Хартри – Фока. Решение этих уравнений дает волновые функции и индивидуальные уровни энергии нуклонов, а значит, и полную энергию ядра и его волновую функцию.

Этот краткий отчет о Хартри – Фок объясняет, почему он также называется вариационный подход. В начале расчета полная энергия является «функцией отдельных волновых функций» (так называемый функционал), и затем все делается для того, чтобы оптимизировать выбор этих волновых функций так, чтобы функционал имел минимум - надеюсь абсолютное, и не только местное. Чтобы быть более точным, следует упомянуть, что энергия является функционалом плотность, определяемый как сумма отдельных квадратов волновых функций. Метод Хартри – Фока также используется в атомная физика и физика конденсированного состояния как функциональная теория плотности, DFT.

Процесс решения уравнений Хартри – Фока может быть только итерационным, поскольку они фактически являются Уравнение Шредингера в котором потенциал зависит от плотность, то есть именно на волновые функции быть определенным. На практике алгоритм начинается с набора отдельных, в общем, разумных волновых функций (в общем, собственных функций гармонический осциллятор ). Это позволяет вычислить плотность и оттуда потенциал Хартри – Фока. После этого уравнение Шредингера решается заново и т. Д. Вычисление прекращается - сходимость достигается - когда разница между волновыми функциями или уровнями энергии для двух последовательных итераций меньше фиксированного значения. Затем полностью определяется потенциал среднего поля, и уравнения Хартри – Фока становятся стандартными уравнениями Шредингера. Соответствующий гамильтониан в таком случае называется гамильтонианом Хартри – Фока.

Подходы релятивистского среднего поля

Родился впервые в 1970-х годах. Джон Дирк Валека на квантовая гадродинамика, то релятивистский модели ядра были отточены к концу 1980-х П. Рингом с сотрудниками. Отправной точкой этих подходов является релятивистский квантовая теория поля. В этом контексте взаимодействия нуклонов происходят через обмен виртуальные частицы называется мезоны. Идея состоит в том, чтобы на первом этапе создать Лагранжиан содержащие эти условия взаимодействия. Во-вторых, применением принцип наименьшего действия, получаем систему уравнений движения. Реальные частицы (здесь нуклоны) подчиняются Уравнение Дирака, а виртуальные (здесь мезоны) подчиняются Уравнения Клейна – Гордона.

Ввиду не-пертурбативный природа сильного взаимодействия, а также ввиду того, что точная потенциальная форма этого взаимодействия между группами нуклонов относительно плохо известна, использование такого подхода в случае атомных ядер требует радикальных приближений. Основное упрощение состоит в замене в уравнениях всех полевых членов (которые являются операторы в математическом смысле) их среднее значение (которые функции ). Таким образом, получается система связанных интегро-дифференциальные уравнения, которая может быть решена численно, если не аналитически.

Модель взаимодействующих бозонов

В модель взаимодействующих бозонов (IBM) - это модель в ядерной физике, в которой нуклоны представлены парами, каждая из которых действует как бозонная частица, с интегральным спином 0, 2 или 4. Это делает вычисления возможными для более крупных ядер. Существует несколько ветвей этой модели. модель - в одной из них (IBM-1) можно сгруппировать все типы нуклонов в пары, в других (например, IBM-2) рассматривать протоны и нейтроны попарно.

Самопроизвольное нарушение симметрии в ядерной физике

Один из фокусов всей физики - симметрия. Нуклон-нуклонное взаимодействие и все эффективное взаимодействие используемые на практике обладают определенной симметрией. Они инвариантны по перевод (изменение системы отсчета так, чтобы направления не менялись), вращение (поворот системы отсчета вокруг некоторой оси), или паритет (изменение направления осей) в том смысле, что взаимодействие не изменяется ни при одной из этих операций. Тем не менее в подходе Хартри – Фока могут появиться решения, не инвариантные относительно такой симметрии. Тогда говорят о спонтанное нарушение симметрии.

Качественно эти спонтанные нарушения симметрии можно объяснить следующим образом: в теории среднего поля ядро описывается как набор независимых частиц. Большинство дополнительных корреляций между нуклонами, не попадающими в среднее поле, не учитываются. Однако они могут появиться из-за нарушения симметрии гамильтониана среднего поля, которое является только приближенным. Если плотность, используемая для начала итераций процесса Хартри – Фока, нарушает определенные симметрии, окончательный гамильтониан Хартри – Фока может нарушить эти симметрии, если это выгодно сохранить нарушенными с точки зрения полной энергии.

Он также может сходиться к симметричному решению. В любом случае, если окончательное решение нарушает симметрию, например вращательную симметрию, так что ядро оказывается не сферическим, а эллиптическим, все конфигурации, полученные из этого деформированного ядра посредством вращения, являются такими же хорошими решениями для Хартри. –Проблема Фока. Основное состояние ядра тогда выродиться.

Аналогичное явление происходит с ядерным спариванием, которое нарушает сохранение числа барионов (см. Ниже).

Расширения теорий среднего поля

Ядерное спаривание

Наиболее распространенное расширение теории среднего поля - это спаривание ядер. Ядра с четным числом нуклонов систематически более связаны, чем ядра с нечетным числом. Это означает, что каждый нуклон связывается с другим, образуя пару, следовательно, система не может быть описана как независимые частицы, подверженные общему среднему полю. Когда в ядре есть четное количество протонов и нейтронов, каждый из них находит себе партнера. Чтобы возбудить такую систему, нужно хотя бы использовать такую энергию, чтобы пара разорвалась. И наоборот, в случае нечетного числа протонов или нейтронов существует неспаренный нуклон, которому требуется меньше энергии для возбуждения.

Это явление очень похоже на явление 1-го типа. сверхпроводимость в физике твердого тела. Первое теоретическое описание спаривания ядер было предложено в конце 1950-х гг. Оге Бор, Бен Моттельсон, и Дэвид Пайнс (что способствовало получению Бором и Моттельсоном Нобелевской премии по физике в 1975 г.).^[8] Это было близко к Теория BCS Бардина, Купера и Шриффера, который объясняет сверхпроводимость металлов. Теоретически явление спаривания, описываемое теорией БКШ, сочетается с теорией среднего поля: нуклоны подвержены как потенциалу среднего поля, так и парному взаимодействию.

В Хартри – Фок – Боголюбов (HFB) - более сложный подход, ^[9] позволяя рассматривать спаривание и взаимодействия среднего поля последовательно на равных основаниях. В настоящее время HFB является стандартом де-факто в среднеполевой обработке ядерных систем.

Восстановление симметрии

Особенностью методов среднего поля является вычисление ядерных свойств по явному нарушение симметрии. Расчет среднего поля самосогласованными методами (например, Хартри-Фока) нарушает вращательную симметрию, а расчет свойства спаривания нарушает число частиц.

Было разработано несколько методов восстановления симметрии путем проецирования на хорошие квантовые числа.^[10]

Вибрационная муфта частиц

Методы среднего поля (в конечном итоге с учетом восстановления симметрии) являются хорошим приближением для основного состояния системы, даже постулируя систему независимых частиц. Поправки высшего порядка учитывают тот факт, что частицы взаимодействуют друг с другом посредством корреляции. Эти корреляции могут быть введены с учетом связи независимых степеней свободы частиц, низкоэнергетического коллективного возбуждения систем с четным числом протонов и нейтронов.

Таким образом, возбужденные состояния могут быть воспроизведены с помощью приближение случайной фазы (RPA), также в конечном итоге последовательно вычисляя поправки к основному состоянию (например, с помощью теория ядерного поля^[6]).

Смотрите также

Ядерный магнитный момент
CHARISSA, коллаборация по исследованию ядерной структуры

дальнейшее чтение

Основная аудитория

Джеймс М. Корк; Radioactivité и телосложение nucléaire, Данод (1949).

Вступительные тексты

Люк Валентин; Le monde subatomique - Des quarks aux centrales nucléaires, Германн (1986).
Люк Валентин; Нойа и детали - Модели и симметрии, Германн (1997).
Дэвид Халлидей; Введение в ядерную физику, Wiley & Sons (1957).
Кеннет Крейн; Введение в ядерную физику, Wiley & Sons (1987).
Карлос Бертулани; Ядерная физика в двух словах, Издательство Принстонского университета (2007).

Основные тексты

Питер Э. Ходжсон; Ядерные реакции и структура ядра. Издательство Оксфордского университета (1971).
Ирвинг Каплан; Ядерная физика, Серия Аддисона-Уэсли в ядерной науке и технике, Аддисон-Уэсли (1956). 2-е издание (1962 г.).
А. Бор и Б. Моттельсон; Ядерная структура, 2 т., Бенджамин (1969–1975). Том 1: Движение одной частицы ; Том 2: Ядерные деформации. Rédité par World Scientific Publishing Company (1998), ISBN 981-02-3197-0.
П. Ринг и П. Шак; Ядерная проблема многих тел, Springer Verlag (1980), ISBN 3-540-21206-X
А. де Шалит и Х. Фешбах; Теоретическая ядерная физика, 2 тома, John Wiley & Sons (1974). Том 1: Ядерная структура; Том 2: Ядерные реакции, ISBN 0-471-20385-8

внешняя ссылка

английский

(по-английски) Institut de Physique Nucléaire (IPN), Франция
(по-английски) Центр исследования антипротонов и ионов (FAIR), Германия
(по-английски) Gesellschaft für Schwerionenforschung (GSI), Германия
(по-английски) Объединенный институт ядерных исследований (ОИЯИ), Россия
(по-английски) Аргоннская национальная лаборатория (ANL), США
(по-английски) Райкен, Япония
(по-английски) Национальная сверхпроводящая циклотронная лаборатория, Университет штата Мичиган, США
(по-английски) Установка для пучков редких изотопов, Университет штата Мичиган, США

Французский

(На французском) Institut de Physique Nucléaire (IPN), Франция
(На французском) Центр спектрометрии Nucléaire et de Spectrométrie de Masse (CSNSM), Франция
(На французском) Service de Physique Nucléaire CEA / DAM, Франция
(На французском) Национальный институт Nucléaire et de Physique des Particules (In2p3), Франция
(На французском) Grand Accélérateur National d'Ions Lourds (GANIL), Франция
(На французском) Commissariat à l'Energie Atomique (CEA), Франция
(На французском) Центр европейских научных исследований, Швейцария
ЖИВАЯ карта нуклидов - МАГАТЭ

[1] фон Вайцзеккер, К. Ф. (1935). "Zur Theorie der Kernmassen". Zeitschrift für Physik (на немецком). 96 (7–8): 431–458. Bibcode:1935ZPhy ... 96..431W. Дои:10.1007 / BF01337700. S2CID 118231854.

[2] Moeller, P .; Myers, W. D .; Swiatecki, W.J .; Трейнер, Дж. (3 сентября 1984 г.). «Модель конечной капли». Конференция: 7. Международная конференция по атомным массам и фундаментальным константам (AMCO-7), Дармштадт-Зеехайм, Ф. Германия. OSTI 6441187.

[3] Сорлин, О .; Поркет, М.-Г. (2008). «Ядерные магические числа: новые возможности, далекие от стабильности». Прогресс в физике элементарных частиц и ядерной физике. 61 (2): 602–673. arXiv:0805.2561. Bibcode:2008ПрПНП..61..602С. Дои:10.1016 / j.ppnp.2008.05.001. S2CID 118524326.

[4] Бринк, Дэвид; Бролья, Рикардо А. (2005). Ядерная сверхтекучесть. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781139443074.

[5] Кольцо, П .; Шук П. (1980). Ядерная проблема многих тел. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-21206-5.

[NFT-6] а ^б Идини, А .; Potel, G .; Barranco, F .; Vigezzi, E .; Броглия, Р. А. (2015). «Переплетение элементарных мод возбуждения в сверхтекучих ядрах через взаимодействие частиц и колебаний: количественный учет разнообразия наблюдаемых структур ядер». Физический обзор C. 92 (3): 031304. arXiv:1504.05335. Дои:10.1103 / PhysRevC.92.031304. S2CID 56380507.

[7] Бейнер, М .; Flocard, H .; Ван Гиай, Нгуен; Квентин, П. (1975). «Ядерные свойства основного состояния и самосогласованные расчеты со скирмовским взаимодействием». Ядерная физика A. 238: 29–69. Bibcode:1975НуФА.238 ... 29Б. Дои:10.1016/0375-9474(75)90338-3.

[8] Broglia, Ricardo A .; Зелевинский, Владимир (2013). Пятьдесят лет ядерной ДКС: спаривание в конечных системах. World Scientific. Дои:10.1142/8526. ISBN 978-981-4412-48-3.

[9] ttp://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/hfbtho16w/node2.html

[10] Байман, Б. Ф. (1960). «Вывод метода парно-корреляции». Nucl. Phys. 15: 33–38. Bibcode:1960НукФ..15 ... 33Б. Дои:10.1016/0029-5582(60)90279-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]