All-pay аукцион - All-pay auction

В экономика и теория игры, аукцион с полной оплатой является аукцион в котором каждый участник торгов должен заплатить независимо от того, выиграл ли он приз, который присуждается участнику, предложившему самую высокую цену, как на обычном аукционе.

На аукционе с полной оплатой равновесие по Нэшу таков, что каждый участник торгов играет смешанная стратегия и их ожидаемая отдача равна нулю.^[1] Ожидаемый доход продавца равен стоимости приза. Однако некоторые экономические эксперименты показали, что завышение ставок - обычное дело. То есть доход продавца часто превышает размер приза, и в повторных играх даже участники торгов, которые часто выигрывают приз, скорее всего, понесут убытки в долгосрочной перспективе.^[2]

Бланки безоплатных аукционов

Самая простая форма аукциона с полной оплатой - это Tullock аукцион, иногда называемый Лотерея Таллока, в котором каждый подает заявку, но проигравшие и победители оплачивают свои заявки. Это помогает описать определенные идеи в общественный выбор экономика.^{[нужна цитата ]} В долларовый аукцион - это аукцион Таллока для двух игроков или многопользовательская игра, в которой только два участника, сделавших самую высокую ставку, платят свои ставки.

Обычный лотерея или же розыгрыш также можно рассматривать как связанный процесс, поскольку все держатели билетов заплатили, но только один получает приз. Банальные практические примеры аукционов с полной оплатой можно найти на нескольких «копейках» / торги на аукционе веб-сайты.

Существуют и другие формы аукционов с полной оплатой, такие как война на истощение (также известные как биологические аукционы^[3]), в котором побеждает участник, предложивший самую высокую цену, но все (или, как правило, оба) участники платят только меньшую ставку. Война на истощение используется биологами для моделирования обычных состязаний или агонистические взаимодействия решено без обращение к физической агрессии.

Правила

Следующий анализ следует нескольким основным правилам.^[4]

• Каждый участник торгов подает заявку, которая зависит только от их оценки.
• Участники торгов не знают оценок других участников торгов.
• Анализ основан на среде независимой частной стоимости (IPV), где оценка каждого участника торгов проводится независимо от равномерного распределения [0,1]. В среде IPV, если мое значение равно 0,6, то вероятность того, что какой-то другой участник торгов имеет более низкое значение, также равна 0,6. Соответственно, вероятность того, что два других участника торгов имеют более низкую стоимость, равна ${extstyle 0,6 ^ {2} = 0,36}$.

Допущение симметрии

В IPV участники торгов являются симметричными, поскольку оценки производятся из одного распределения. Это позволяет сосредоточить анализ на симметричных и монотонных стратегиях назначения ставок. Это означает, что два участника торгов с одинаковой оценкой подадут одно и то же предложение. В результате при симметрии всегда побеждает участник с наибольшей стоимостью.^[4]

С помощью Эквивалент выручки прогнозировать функцию торгов

Рассмотрим вариант аукциона с полной оплатой для двух игроков и ${displaystyle v_ {i}, v_ {j}}$ - частные оценки, независимые и одинаково распределенные на равномерном распределении из [0,1]. Мы хотим найти функцию монотонного увеличения ставок, ${displaystyle b (v)}$, который образует симметричное равновесие по Нэшу.

Обратите внимание, что если игрок ${displaystyle i}$ ставки ${displaystyle b (x)}$, он выигрывает аукцион, только если его ставка больше, чем у игрока ${displaystyle j}$ставка ${displaystyle b (v_ {j})}$. Вероятность того, что это произойдет, равна

${displaystyle mathbb {P} [b (x)> b (v_ {j})] = mathbb {P} [x> v_ {j}] = x}$, поскольку ${displaystyle b}$ монотонный и ${displaystyle v_ {j} sim}$ Unif [0,1]

Таким образом, вероятность отнесения товара к ${displaystyle i}$ является ${displaystyle x}$.Таким образом, ${displaystyle i}$ожидаемая полезность, когда он делает ставку, как если бы его частная ценность ${displaystyle x}$ дан кем-то

${displaystyle u_ {i} (x | v_ {i}) = v_ {i} x-b (x)}$.

За ${displaystyle b}$ быть равновесием Байеса-Нэша, ${displaystyle u_ {i} (x_ {i} | v_ {i})}$ должен иметь максимум на ${displaystyle x_ {i} = v_ {i}}$ так что ${displaystyle i}$ не имеет стимула отклоняться от данного ${displaystyle j}$ придерживается своей ставки ${displaystyle b (v_ {j})}$.

${displaystyle подразумевает u_ {i} '(v_ {i}) = 0implies v_ {i} = b' (v_ {i})}$

После интегрирования получаем ${displaystyle b (v_ {i}) = {гидроразрыв {v_ {i} ^ {2}} {2}}}$.

Поскольку эта функция действительно монотонно возрастает, эта стратегия назначения ставок ${displaystyle b}$ составляет Байесовское равновесие-Нэш. В этом примере доход от аукциона с полной оплатой составляет

${displaystyle R = b (v_ {1}) + b (v_ {2}) = {frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {frac {v_ {2} ^ {2}} { 2}}}$

С ${displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$ нарисованы iid от Unif [0,1] ожидаемый доход составляет

${displaystyle mathbb {E} [R] = mathbb {E} [{frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} + {frac {v_ {2} ^ {2}} {2}}] = mathbb {E} [v ^ {2}] = int limits _ {0} ^ {1} v ^ {2} dv = {frac {1} {3}}}$.

Из-за теорема об эквивалентности доходов, ожидаемый доход на всех аукционах с 2 игроками составит ${displaystyle {frac {1} {3}}}$ когда частные оценки iid из Unif [0,1].^[5]

Примеры

Рассмотрим коррумпированного чиновника, который имеет дело со спонсорами кампании: каждый хочет, чтобы он оказал им услугу, которая стоит им где-то от 0 до 1000 долларов (равномерно распределенных). Их фактическая стоимость составляет 250, 500 и 750 долларов. Они могут только наблюдать за своими собственными оценками. Каждый из них угощает чиновника дорогим подарком - если они потратят на подарок X долларов, то он принесет чиновнику X долларов. Чиновник может сделать только одну услугу и окажет услугу дарителю, который преподносит ему самый дорогой подарок.

Это типичная модель аукциона с полной оплатой. Чтобы рассчитать оптимальную ставку для каждого донора, нам нужно нормализовать оценки {250, 500, 750} до {0,25, 0,5, 0,75}, чтобы можно было применить IPV.

Согласно формуле оптимальной ставки:

${displaystyle b_ {i} (v_ {i}) = left ({frac {n-1} {n}} ight) {v_ {i}} ^ {n}}$

Оптимальные ставки для трех доноров по ИПВ:

${displaystyle b_ {1} (v_ {1}) = left ({frac {n-1} {n}} ight) {v_ {1}} ^ {n} = left ({frac {2} {3}}) ight) {0,25} ^ {3} = 0,0104}$

${displaystyle b_ {2} (v_ {2}) = left ({frac {n-1} {n}} ight) {v_ {2}} ^ {n} = left ({frac {2} {3}}) ight) {0,50} ^ {3} = 0,0833}$

${displaystyle b_ {3} (v_ {3}) = left ({frac {n-1} {n}} ight) {v_ {3}} ^ {n} = left ({frac {2} {3}}) ight) {0,75} ^ {3} = 0,2813}$

Чтобы получить реальную оптимальную сумму, которую должен дать каждый из трех доноров, просто умножьте значения IPV на 1000:

${displaystyle b_ {1} real (v_ {1} = 0,25) = 10,4 долл. США}$

${displaystyle b_ {2} real (v_ {2} = 0,50) = 83,3 доллара США}$

${displaystyle b_ {3} real (v_ {3} = 0,75) = 281,3 долл. США}$

Этот пример подразумевает, что чиновник, наконец, получит 375 долларов, но только третий донор, который пожертвовал 281,3 доллара, получит его расположение. Обратите внимание, что два других донора знают, что их оценки недостаточно высоки (низкий шанс на выигрыш), поэтому они не жертвуют много, таким образом уравновешивая возможную огромную выигрышную прибыль и низкие шансы на выигрыш.

Рекомендации