Жан-Франсуа Мертенс - Википедия - Jean-François Mertens

Жан-Франсуа Мертенс
Жан-Франсуа Мертенс.jpg
Родившийся(1946-03-11)11 марта 1946 г.
Антверпен, Бельгия
Умер17 июля 2012 г.(2012-07-17) (66 лет)[1]
НациональностьБельгия
Альма-матерКатолический университет Лувена
Docteur ès Sciences 1970
НаградыЭконометрическое общество Парень
фон Неймана, лектор Общества теории игр
Научная карьера
ПоляТеория игры
Математическая экономика
ДокторантХосе Пэрис
Жак Невё
ВлиянияРоберт Ауманн
Райнхард Зельтен
Джон Харсаньи
Джон фон Нейман
Под влияниемКлод д'Аспремон
Бернар де Мейер
Амрита Диллон
Франсуаза Форж
Жан Габшевич
Шрихари Говиндан
Авраам Нейман
Анна Рубинчик
Сильвен Сорин

Жан-Франсуа Мертенс (11 марта 1946 - 17 июля 2012) был бельгийским теоретиком игр и экономистом-математиком.[1]

Мертенс внес свой вклад в экономическую теорию в отношении книги заказов рыночных игр, кооперативных игр, некооперативных игр, повторяющихся игр, эпистемических моделей стратегического поведения и уточнений равновесие по Нэшу (видеть концепция решения ). В теории кооперативных игр он внес свой вклад в концепцию решения, названную основной и Значение Шепли.

Касательно повторяющиеся игры и стохастические игры, Мертенс 1982[2] и 1986[3] обзорные статьи и его 1994 г.[4] Обзор, подготовленный в соавторстве с Сильвеном Сорином и Шмуэлем Замиром, представляет собой сборник результатов по этой теме, включая его собственные статьи. Мертенс также внес вклад в теорию вероятностей.[5] и опубликовал статьи по элементарной топологии.[6][7]

Эпистемические модели

Мертенс и Замир[8][9] реализовано Джон Харсаньи Предложение моделировать игры с неполной информацией, предполагая, что каждый игрок характеризуется частным образом известным типом, который описывает его возможные стратегии и выплаты, а также распределение вероятностей по типам других игроков. Они построили универсальное пространство типов, в котором при определенных условиях согласованности каждый тип соответствует бесконечной иерархии его вероятностных представлений о вероятностных убеждениях других. Они также показали, что любое подпространство можно сколь угодно точно аппроксимировать конечным подпространством, что является обычной тактикой в ​​приложениях.[10]

Повторные игры с неполной информацией

Повторные игры с неполной информацией, были впервые предложены Ауманом и Машлером.[11][12] Два вклада Жана-Франсуа Мертенса в эту область - это продолжение повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек с неполной информацией с обеих сторон как для (1) типа информации, доступной игрокам, так и (2) для структуры сигналов.[13]

  • (1) Информация: Мертенс расширил теорию от независимого случая, когда личная информация игроков генерируется независимыми случайными величинами, до зависимого случая, когда разрешена корреляция.
  • (2) Сигнальные структуры: стандартная теория сигналов, в которой после каждого этапа оба игрока информируются о предыдущих сделанных ходах, была расширена, чтобы иметь дело с общей структурой сигналов, где после каждого этапа каждый игрок получает частный сигнал, который может зависеть от ходов и от штат.

В этих установках Жан-Франсуа Мертенс расширил характеристику мин Макс и максмин значение для бесконечной игры в зависимом случае с независимыми от состояния сигналами.[14] Дополнительно с Шмуэлем Замиром,[15] Жан-Франсуа Мертенс показал наличие предельной ценности. Такое значение можно рассматривать как предел значений из сценические игры, как уходит в бесконечность, или предел значений из -игры со скидкой, поскольку агенты становятся более терпеливыми и .

Строительным блоком подхода Мертенса и Замира является построение оператора, который теперь в их честь называют просто оператором MZ. В непрерывном времени (дифференциальные игры с неполной информацией) оператор МЦ становится бесконечно малым оператором, лежащим в основе теории таких игр.[16][17][18] Уникальное решение пары функциональных уравнений, Мертенс и Замир показали, что предельное значение может быть трансцендентной функцией, в отличие от maxmin или minmax (значение в случае полной информации). Мертенс также нашел точную скорость сходимости в случае игры. с неполной информацией с одной стороны и общей сигнальной структурой.[19]Подробный анализ скорости сходимости п-этапная игра (конечно повторяющаяся) ценность до предела имеет глубокие связи с Центральная предельная теорема и нормальный закон, а также максимальная вариация ограниченного мартингалы.[20][21] Нападая на изучение сложного случая игр с сигналами, зависящими от состояния и без рекурсивной структуры, Мертенс и Замир представили новые инструменты во введении, основанные на вспомогательной игре, сокращая набор стратегий до ядра, которое является «статистически достаточным».[22][23]

В совокупности вклад Жана-Франсуа Мертенса с Замиром (а также с Сорином) обеспечивает основу для общей теории повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек, которая охватывает стохастические и неполные информационные аспекты и где широко используются концепции, такие как, например, репутация, границы рациональные уровни выплат, а также такие инструменты, как лемма о расщеплении, сигнализация и доступность. Хотя во многом работа Мертенса здесь восходит к изначальным корням теории игр фон Неймана с установкой двух человек с нулевой суммой, жизнеспособность и инновации с более широким применением были повсеместными.

Стохастические игры

Стохастические игры были представлены Ллойд Шепли в 1953 г.[24] В первой статье изучалась стохастическая игра с дисконтом двух лиц с нулевой суммой и конечным числом состояний и действий, а также продемонстрировано существование значения и стационарных оптимальных стратегий. Исследование недисконтированного случая развивалось в течение следующих трех десятилетий, с решениями особых случаев Блэквеллом и Фергюсоном в 1968 году.[25] и Колберг в 1974 году. Существование недисконтированной стоимости в очень строгом смысле, как единой стоимости, так и предельной средней стоимости, было доказано в 1981 году Жан-Франсуа Мертенсом и Абрахамом Нейманом.[26] Изучение ненулевой суммы с общими пространствами состояний и действий привлекло большое внимание, и Мертенс и Партасарати[27] доказал общий результат существования при условии, что переходы, как функция состояния и действий, являются непрерывными по норме в действиях.

Рыночные игры: механизм ограничения цен

Мертенс придумал использовать линейную конкурентную экономику в качестве книга заказов (торговля) моделировать лимитные ордера и обобщать двойные аукционы к многомерной настройке.[28] Приемлемые относительные цены игроков выражаются их линейными предпочтениями, деньги могут быть одним из товаров, и в этом случае для агентов нормально иметь положительную предельную полезность для денег (в конце концов, на самом деле агенты - это просто приказы!). Фактически, это так для большинства порядков на практике. Более одного заказа (и соответствующего агента заказа) может исходить от одного и того же агента. В состоянии равновесия проданный товар должен быть продан по относительной цене по сравнению с купленным товаром не ниже той, которая подразумевается функцией полезности. Товары, поступающие на рынок (количество в заказе), передаются за счет начальных запасов. Лимитные ордера представлены следующим образом: ордер-агент выводит на рынок один товар и имеет ненулевые предельные полезности для этого товара и другого (денежного или числового). An на рынке ордер на продажу будет иметь нулевую полезность для проданного товара на рынке и позитив за деньги или счетчик. Мертенс оформляет заказы, создавая поисковая машина за счет использования конкурентного равновесия - несмотря на то, что наиболее обычные внутренние условия нарушаются для вспомогательной линейной экономики. Механизм Мертенса представляет собой обобщение торговых постов Шепли-Шубика и имеет потенциал реальной реализации с лимитными ордерами на разных рынках, а не с одним специалистом на одном рынке.

Значение Шепли

Диагональная формула теории неатомных кооперативных игр изящно приписывает Значение Шепли каждого бесконечно малого игрока как его предельный вклад в ценность идеальной выборки игроков при усреднении по всем возможным размерам выборки. Такой маржинальный вклад легче всего выразить в форме производной, что привело к диагональной формуле, сформулированной Ауманом и Шепли. Это историческая причина, по которой изначально требовались некоторые условия дифференцируемости для определения ценности Шепли неатомарных кооперативных игр. Но сначала поменяв порядок взятия «среднего по всем возможным размерам выборки» и взяв такую ​​производную, Жан-Франсуа Мертенс использует эффект сглаживания такого процесса усреднения, чтобы расширить применимость диагональной формулы.[29] Сам по себе этот прием хорошо работает для большинства игр (представлен ступенчатой ​​функцией, применяемой к проценту населения в коалиции). Еще больше используя эту коммутационную идею взятия средних значений перед производной, Жан-Франсуа Мертенс расширяет свои возможности, рассматривая инвариантные преобразования и вычисляя средние по ним, прежде чем брать производную. Поступая таким образом, Мертенс расширяет диагональную формулу на гораздо большее пространство игр, одновременно определяя значение Шепли.[30][31]

Уточнения и устойчивые по Мертенсу равновесия

Концепции решений, которые являются уточнениями[32] теории равновесия по Нэшу были мотивированы в первую очередь аргументами в пользу обратной индукции и прямой индукции. Обратная индукция постулирует, что оптимальные действия игрока предполагают оптимальность его и других действий в будущем. Уточнение называется подигра идеальное равновесие реализует слабую версию обратной индукции, и все более сильные версии последовательное равновесие, идеальное равновесие, квази-совершенное равновесие, и правильное равновесие, где последние три получены как пределы возмущенных стратегий. Прямая индукция утверждает, что оптимальное действие игрока теперь предполагает оптимальность прошлых действий других, если это согласуется с его наблюдениями. Прямая индукция[33] удовлетворяется последовательным равновесием, для которого вера игрока в набор информации приписывает вероятность только оптимальным стратегиям других, которые позволяют получить эту информацию. В частности, поскольку полностью смешанные равновесия по Нэшу являются последовательными - такие равновесия, когда они существуют, удовлетворяют как прямой, так и обратной индукции. В своей работе Мертенсу впервые удается выбрать равновесия Нэша, удовлетворяющие как прямой, так и обратной индукции. Метод состоит в том, чтобы позволить такой особенности унаследовать от нарушенных игр, которые вынуждены использовать полностью смешанные стратегии - и цель достигается только с Устойчивые по Мертенсу равновесия, а не более простым равновесием Кольберга-Мертенса.

Илон Кольберг и Мертенс[34] подчеркнули, что концепция решения должна соответствовать допустимое правило принятия решения. Более того, он должен удовлетворять инвариантность принцип, что это не должно зависеть от того, какое из множества эквивалентных представлений стратегической ситуации как расширенная игра используется. В частности, он должен зависеть только от приведенной нормальной формы игры, полученной после исключения чистых стратегий, которые являются избыточными, потому что их выигрыши для всех игроков могут быть воспроизведены смесью других чистых стратегий. Мертенс[35][36] подчеркнул также важность маленькие миры Принцип, согласно которому концепция решения должна зависеть только от порядковых свойств предпочтений игроков и не должна зависеть от того, есть ли в игре посторонние игроки, действия которых не влияют на возможные стратегии и выплаты исходных игроков.

Кольберг и Мертенс предварительно определили концепцию многозначного решения, называемую стабильностью для игр с конечным числом чистых стратегий, которое удовлетворяет допустимости, инвариантности и прямой индукции, но контрпример показал, что он не должен удовлетворять обратной индукции; а именно набор может не включать последовательное равновесие. Впоследствии Мертенс[37][38] определил уточнение, также называемое стабильностью и теперь часто называемое набором Устойчивые по Мертенсу равновесия, который имеет несколько желаемых свойств:

  • Допустимость и совершенство: все равновесия в стабильном множестве идеальны, следовательно, допустимы.
  • Обратная индукция и прямая индукция: стабильный набор включает в себя собственное равновесие нормальной формы игры, которое индуцирует квази-совершенное и последовательное равновесие в каждой игре расширенной формы с точным воспроизведением, имеющей такую ​​же нормальную форму. Подмножество стабильного набора выживает итеративное исключение слабо доминируемых стратегий и стратегий, которые являются неполноценными ответами при каждом равновесии в наборе.
  • Инвариантность и малые миры: стабильные множества игры - это проекции стабильных множеств любой более крупной игры, в которую она встроена, при сохранении возможных стратегий и выигрышей исходных игроков.
  • Разложение и разделение игроков. Стабильные множества продукта двух независимых игр являются продуктами их стабильных множеств. На стабильные наборы не влияет разделение игрока на агентов, так что ни один путь через дерево игры не включает действия двух агентов.

Для игр для двух игроков с идеальным воспроизведением и общими выигрышами стабильность эквивалентна только трем из этих свойств: стабильное множество использует только недоминируемые стратегии, включает квази-совершенное равновесие и невосприимчиво к вложению в более крупную игру.[39]

Стабильное множество математически определяется (вкратце) существенностью отображения проекции из замкнутой связной окрестности в графе состояний равновесия Нэша над пространством возмущенных игр, полученных путем возмущения стратегий игроков в сторону полностью смешанных стратегий. Это определение влечет за собой нечто большее, чем то свойство, что каждая ближайшая игра имеет близкое равновесие. Существенность требует, кроме того, что никакая деформация проекции не отображается на границу, что гарантирует, что возмущения задачи о неподвижной точке, определяющей равновесия Нэша, имеют близкие решения. Очевидно, это необходимо для получения всех перечисленных выше желаемых свойств.

Теория социального выбора и относительный утилитаризм

А функция социального обеспечения (SWF) сопоставляет профили индивидуальных предпочтений с социальными предпочтениями по фиксированному набору альтернатив. В основополагающей статье Стрелка (1950)[40] показал знаменитый «Теорема невозможности», т.е. не существует SWF, удовлетворяющего очень минимальной системе аксиом: Неограниченный домен, Независимость от нерелевантных альтернатив, то Критерий Парето и Недиктатура. В обширной литературе описаны различные способы ослабления аксиом Эрроу для получения возможных результатов. Относительный утилитаризм (RU) (Dhillon and Mertens, 1999)[41] представляет собой SWF, который состоит из нормализации индивидуальных полезностей от 0 до 1 и их добавления, и является результатом «возможности», который выводится из системы аксиом, очень близких к исходным аксиомам Эрроу, но модифицированных для пространства предпочтений по лотереям. В отличие от классического утилитаризма, RU не предполагает кардинальной полезности или межличностной сопоставимости. Начиная с индивидуальных предпочтений по лотереям, которые, как предполагается, удовлетворяют аксиомы фон Неймана – Моргенштерна (или эквивалент) система аксиом однозначно фиксирует межличностные сравнения. Эту теорему можно интерпретировать как аксиоматическую основу для «правильных» межличностных сравнений - проблемы, которая преследовала теория социального выбора длительное время. Аксиомы следующие:

  • Индивидуализм: Если все люди безразличны ко всем альтернативам, то и общество тоже,
  • Нетривиальность: SWF не всегда безразличен ко всем альтернативам,
  • Нет злой воли: Неверно, что когда все люди, кроме одного, совершенно безразличны, тогда предпочтения общества противоположны его,
  • Анонимность: Перестановка всех индивидов оставляет неизменными социальные предпочтения.
  • Независимость от резервных альтернатив: Эта аксиома ограничивает независимость нерелевантных альтернатив Эрроу случаем, когда и до, и после изменения «нерелевантными» альтернативами являются лотереи по другим альтернативам.
  • Монотонность намного слабее следующей «аксиомы доброй воли»: Рассмотрим две лотереи и и два профиля предпочтений, которые совпадают для всех людей, кроме , безразлично между и на первом профиле, но строго предпочитает к во втором профиле общество строго предпочитает к и во втором профиле.
  • Наконец Непрерывность Аксиома - это, по сути, свойство замкнутого графа, обеспечивающее максимально возможную сходимость профилей предпочтений.

Основная теорема показывает, что RU удовлетворяет всем аксиомам, и если количество индивидов больше трех, количество кандидатов больше 5, то любой SWF, удовлетворяющий вышеуказанным аксиомам, эквивалентен RU, если существует по крайней мере 2 индивида, которые не имеют точно такие же или прямо противоположные предпочтения.

Межпоколенческое равенство при оценке политики

Относительный утилитаризм[41] может служить оправданием использования 2% в качестве справедливой для разных поколений социальной ставки дисконтирования для анализ выгоды и затрат Мертенс и Рубинчик[42] показывают, что инвариантная к сдвигу функция благосостояния, определенная на обширном пространстве (временных) политик, если ее можно дифференцировать, имеет в качестве производной дисконтированную сумму политики (изменения) с фиксированной учетной ставкой, т. е. индуцированную социальную ставку дисконтирования. (Инвариантность к сдвигу требует, чтобы функция, оцениваемая по сдвинутой политике, возвращала аффинное преобразование значения исходной политики, в то время как коэффициенты зависят только от сдвига во времени.) В модели перекрывающихся поколений с экзогенным ростом (при этом время является целым реальная линия), относительная утилитарная функция инвариантна к сдвигу при оценке на (небольшой временной) политике вокруг сбалансированное равновесие роста (с экспоненциальным ростом основного капитала). Когда политика представлена ​​в виде изменений в обеспеченности людей (трансферты или налоги), а полезности всех поколений взвешиваются одинаково, социальная ставка дисконтирования, вызванная относительным утилитаризмом, представляет собой темпы роста ВВП на душу населения (2%). в США[43]Это также соответствует текущей практике, описанной в Циркуляр A-4 Управления управления и бюджета США, заявив:

Если ваше правило будет иметь важные выгоды или издержки для разных поколений, вы можете рассмотреть возможность дальнейшего анализа чувствительности с использованием более низкой, но положительной ставки дисконтирования в дополнение к расчету чистой прибыли с использованием ставок дисконтирования 3 и 7 процентов.[44]

Рекомендации

  1. ^ а б "Жан-Франсуа Мертенс, 1946–2012« Отдых теоретического класса ». Theoryclass.wordpress.com. 2012-08-07. Получено 2012-10-01.
  2. ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1982. «Повторяющиеся игры: обзор случая с нулевой суммой», «Успехи в экономической теории», под редакцией У. Хильденбранда, Cambridge University Press, Лондон и Нью-Йорк.
  3. ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1986. «Повторные игры», Международный конгресс математиков. [1] В архиве 2014-02-02 в Wayback Machine
  4. ^ Мертенс, Жан-Франсуа, Сильвен Сорин и Шмуэль Замир, 1994. «Повторные игры», части A, B, C; Документы для обсуждения 1994020, 1994021, 1994022; Католический университет Лувена, Центр исследований операций и эконометрики (CORE). «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2011-09-08. Получено 2012-02-19.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь) «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2007-12-01. Получено 2012-02-19.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
  5. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1973). «Сильно супермедианные функции и оптимальная остановка». Теория вероятностей и смежные области. 26 (2): 119–139. Дои:10.1007 / BF00533481. S2CID  123472255.
  6. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1992). «Основные карты и многообразия». Труды Американского математического общества. 115 (2): 513. Дои:10.1090 / с0002-9939-1992-1116269-х.
  7. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (2003). «Локализация степени на множествах меньшей размерности». Международный журнал теории игр. 32 (3): 379–386. Дои:10.1007 / s001820400164. HDL:10.1007 / s001820400164. S2CID  32224169.
  8. ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Замир, Шмуэль (1985). «Формулировка байесовского анализа для игр с неполной информацией» (PDF). Международный журнал теории игр. 14 (1): 1–29. Дои:10.1007 / bf01770224. S2CID  1760385.
  9. ^ Экспозиция для широкого читателя - Шмуэль Замир, 2008: «Байесовские игры: игры с неполной информацией», дискуссионный документ 486, Центр рациональности, Еврейский университет.[2][постоянная мертвая ссылка ]
  10. ^ Популярная версия в виде последовательности снов о сновидениях появляется в фильме «Начало». [3] Логические аспекты убеждений игроков относительно убеждений других связаны со знанием игроками знаний других; видеть Пазл заключенные и шляпы для развлекательного примера, и Общие знания (логика) для другого примера и точного определения.
  11. ^ Ауманн, Р. Дж., И Машлер, М., 1995. Повторные игры с неполной информацией.Кембридж Лондон: MIT Press. [4]
  12. ^ Сорин С (2002a) Первый курс по повторяющимся играм с нулевой суммой. Шпрингер, Берлин
  13. ^ Мертенс Дж.Ф. (1987) Повторные игры. В: Труды международного конгресса математиков, Беркли, 1986. Американское математическое общество, Провиденс, стр. 1528–1577.
  14. ^ Мертенс Дж. Ф. (1972) Ценность повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек: обширный случай. Int J GameTheory 1: 217–227
  15. ^ Мертенс Дж. Ф., Замир С. (1971) Ценность повторяющихся игр с нулевой суммой для двух человек при отсутствии информации с обеих сторон. Int J Game Theory 1: 39–64
  16. ^ Cardaliaguet P (2007) Дифференциальные игры с асимметричной информацией. SIAM J Control Optim 46: 816–838
  17. ^ Де Мейер Б. (1996a) Повторяющиеся игры и уравнения в частных производных. Math Oper Res 21: 209–236
  18. ^ Де Мейер Б. (1999), От повторяющихся игр к броуновским играм, «Анналы института Анри Пуанкаре, Probabilites etStatistiques», 35, 1–48.
  19. ^ Мертенс Ж.-Ф. (1998), Скорость сходимости в повторяющихся играх с неполной информацией с одной стороны, «Международный журнал теории игр», 27, 343–359.
  20. ^ Мертенс Ж.-Ф. и С. Замир (1976b), Нормальное распределение и повторяющиеся игры, «Международный журнал теории игр», 5, 187–197.
  21. ^ Де Мейер Б. (1996b) Повторяющиеся игры, двойственность и центральная предельная теорема. Math Oper Res 21: 237–251
  22. ^ Мертенс Дж. Ф., Замир С. (1976a) О повторяющейся игре без рекурсивной структуры. Int J Game Theory 5: 173–182
  23. ^ Сорин С (1989) О повторяющихся играх без рекурсивной структуры: существование . Int J Game Theory 18: 45–55
  24. ^ Шепли, Л. С. (1953). «Стохастические игры». PNAS. 39 (10): 1095–1100. Bibcode:1953ПНАС ... 39.1095С. Дои:10.1073 / пнас.39.10.1095. ЧВК  1063912. PMID  16589380.
  25. ^ Блэквелл и Фергюсон, 1968 год. "Большой матч", Энн. Математика. Статист. Том 39, номер 1 (1968), 159–163.[5]
  26. ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Нейман, Абрахам (1981). «Стохастические игры». Международный журнал теории игр. 10 (2): 53–66. Дои:10.1007 / bf01769259. S2CID  189830419.
  27. ^ Мертенс, Дж.Ф., Партасарати, Т.П. 2003. Равновесия для стохастических игр со скидкой. В Нейман А., Сорин С., редакторы, Стохастические игры и приложения, Kluwer Academic Publishers, 131–172.
  28. ^ Мертенс, Дж. Ф. (2003). «Механизм предельной цены». Журнал математической экономики. 39 (5–6): 433–528. Дои:10.1016 / S0304-4068 (03) 00015-6.
  29. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1980). «Ценности и производные». Математика исследования операций. 5 (4): 523–552. Дои:10.1287 / moor.5.4.523. JSTOR  3689325.
  30. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1988). «Стоимость Шепли в недифференцируемом случае». Международный журнал теории игр. 17: 1–65. Дои:10.1007 / BF01240834. S2CID  118017018.
  31. ^ Нейман, А., 2002. Значение игр с бесконечным числом игроков, "Справочник теории игр с экономическими приложениями", Справочник по теории игр с экономическими приложениями, Elsevier, издание 1, том 3, номер 3, 00. R.J. Ауман и С. Харт (ред.).[6]
  32. ^ Говиндан, Шрихари и Роберт Уилсон, 2008 г. «Уточнения равновесия по Нэшу», Новый словарь экономики Палгрейва, 2-е издание.«Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2010-06-20. Получено 2012-02-12.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь) [7]
  33. ^ Говиндан, Шрихари и Роберт Уилсон, 2009. «О прямой индукции», Econometrica, 77 (1): 1–28. [8] [9]
  34. ^ Кольберг, Илон; Мертенс, Жан-Франсуа (1986). «О стратегической устойчивости равновесий» (PDF). Econometrica. 54 (5): 1003–1037. Дои:10.2307/1912320. JSTOR  1912320.
  35. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (2003). «Ординальность в некооперативных играх». Международный журнал теории игр. 32 (3): 387–430. Дои:10.1007 / s001820400166. S2CID  8746589.
  36. ^ Мертенс, Жан-Франсуа, 1992. «Аксиома малых миров для стабильного равновесия», Игры и экономическое поведение, 4: 553–564. [10]
  37. ^ Мертенс, Жан-Франсуа (1989). «Стабильное равновесие - переформулировка». Математика исследования операций. 14 (4): 575–625. Дои:10.1287 / moor.14.4.575.; Мертенс, Жан-Франсуа (1991). «Стабильное равновесие - переформулировка». Математика исследования операций. 16 (4): 694–753. Дои:10.1287 / moor.16.4.694.
  38. ^ Говиндан, Шрихари; Мертенс, Жан-Франсуа (2004). «Эквивалентное определение стабильного равновесия». Международный журнал теории игр. 32 (3): 339–357. Дои:10.1007 / s001820400165. S2CID  28810158.
  39. ^ Говиндан, Шрихари и Роберт Уилсон, 2012. «Аксиоматическая теория равновесного выбора для типичных игр для двух игроков», Econometrica, 70. [11]
  40. ^ Эрроу, К.Дж., «Трудность в концепции социального обеспечения», Журнал политической экономии 58 (4) (август 1950 г.), стр. 328–346.
  41. ^ а б Диллон, А. и Дж. Ф. Мертенс, «Относительный утилитаризм», Econometrica 67,3 (май 1999 г.) 471–498
  42. ^ Мертенс, Жан-Франсуа; Анна Рубинчик (февраль 2012 г.). «Межпоколенческая справедливость и ставка дисконтирования для анализа политики». Макроэкономическая динамика. 16 (1): 61–93. Дои:10.1017 / S1365100510000386. HDL:2078/115068. Получено 5 октября 2012.
  43. ^ Джонстон, Л. Д. и С. Х. Уильямсон. «Каков тогда был ВВП США? Экономическая история Службы оценки». Получено 5 октября 2012.
  44. ^ Управление бюджета и управления США. «Циркуляр А-4». Получено 5 октября 2012.