Устойчивое равновесие по Мертенсу - Mertens-stable equilibrium

Стабильность Мертенса это концепция решения используется для предсказания исхода некооперативной игры. Предварительное определение устойчивости было предложено Илоном Колбергом и Жан-Франсуа Мертенс^[1] для игр с конечным числом игроков и стратегий. Позже Мертенс^[2] предложил более сильное определение, которое было развито Шрихари Говинданом и Мертенсом.^[3] Эта концепция решения теперь называется стабильностью Мертенса или просто стабильностью.

Как и другие доработки равновесие по Нэшу^[4]используется в теория игры Стабильность выбирает подмножества множества равновесий Нэша, которые имеют желаемые свойства. Стабильность требует более строгих критериев, чем другие уточнения, и тем самым обеспечивает выполнение более желаемых свойств.

Желательные свойства уточнения

Уточнения часто мотивировались аргументами в пользу допустимости, обратной индукции и прямой индукции. В игре для двух игроков допустимое правило принятия решения для игрока - это игрок, который не использует какую-либо стратегию, в которой другой слабо доминирует (см. Стратегическое господство ). Обратная индукция постулирует, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает, что его и другие действия будут оптимальными. Уточнение называется подигра идеальное равновесие реализует слабую версию обратной индукции, и все более сильные версии последовательное равновесие, идеальное равновесие, квази-совершенное равновесие, и правильное равновесие. Прямая индукция утверждает, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает оптимальность прошлых действий других, если это согласуется с его наблюдениями. Прямая индукция^[5] удовлетворяется последовательным равновесием, для которого вера игрока в набор информации приписывает вероятность только оптимальным стратегиям других, которые позволяют получить эту информацию.

Кольберг и Мертенс далее подчеркнули, что концепция решения должна удовлетворять инвариантность принцип, что это не зависит от того, какое из многих эквивалентных представлений стратегической ситуации как расширенная игра используется. Таким образом, это должно зависеть только от уменьшенного игра в нормальной форме полученные после исключения чистых стратегий, которые являются избыточными, поскольку их выигрыши для всех игроков могут быть воспроизведены смесью других чистых стратегий. Мертенс^[6][7] подчеркнул также важность маленькие миры принцип, согласно которому концепция решения должна зависеть только от порядковых свойств предпочтений игроков и не должна зависеть от того, есть ли в игре посторонние игроки, чьи действия не влияют на возможные стратегии и выплаты исходных игроков.

Колберг и Мертенс продемонстрировали на примерах, что не все эти свойства могут быть получены из концепции решения, которая выбирает единственное равновесие по Нэшу. Поэтому они предложили, чтобы концепция решения выбирала замкнутые связные подмножества множества равновесий по Нэшу.^[8]

Свойства стабильных множеств

• Допустимость и совершенство: каждое равновесие в стабильном множестве является совершенным и, следовательно, допустимым.
• Обратная индукция и прямая индукция: стабильный набор включает в себя надлежащее равновесие нормальной формы игры, которое индуцирует квази-совершенное и, следовательно, последовательное равновесие в каждой игре расширенной формы с идеальным воспроизведением, имеющей такую ​​же нормальную форму. Подмножество стабильного набора выживает итеративное исключение слабо доминируемых стратегий и стратегий, которые являются неполноценными ответами при каждом равновесии в наборе.
• Инвариантность и малые миры: стабильные множества игры - это проекции стабильных множеств любой более крупной игры, в которую она встроена, при сохранении возможных стратегий и выигрышей исходных игроков.^[9]
• Разложение и разделение игроков. Стабильные множества продукта двух независимых игр являются продуктами их стабильных множеств. На стабильные наборы не влияет разделение игрока на агентов, так что ни один путь через дерево игры не включает действия двух агентов.

Для игр для двух игроков с идеальным воспроизведением и общими выигрышами стабильность эквивалентна только трем из этих свойств: стабильное множество использует только недоминируемые стратегии, включает квази-совершенное равновесие и невосприимчиво к вложению в более крупную игру.^[10]

Определение стабильного множества

Стабильное множество математически определяется существенностью отображения проекции из замкнутой связной окрестности в графе состояний равновесия Нэша над пространством возмущенных игр, полученных путем возмущения стратегий игроков в сторону полностью смешанных стратегий. Это определение требует большего, чем любая соседняя игра, имеющая близкое равновесие. Существенность требует, кроме того, что никакая деформация проекции не отображается на границу, что гарантирует, что возмущения задачи о неподвижной точке, определяющей равновесия Нэша, имеют близкие решения. Очевидно, это необходимо для получения всех перечисленных выше желаемых свойств.

Мертенс дал несколько формальных определений в зависимости от модуля коэффициентов, используемых для гомологии или когомология.

Формальное определение требует некоторых обозначений. Для данной игры ${ displaystyle G}$ позволять ${ displaystyle Sigma}$ быть произведением симплексов смешанных стратегий игроков. Для каждого ${ Displaystyle 0 < дельта leq 1}$, позволять ${ Displaystyle P _ { delta} = {, epsilon tau mid 0 leq epsilon leq delta, tau in Sigma , }}$ и разреши ${ displaystyle partial P _ { delta}}$ быть его топологическая граница. За ${ displaystyle eta in P_ {1}}$ позволять ${ displaystyle { bar { eta}}}$ - минимальная вероятность любой чистой стратегии. Для любого ${ displaystyle eta in P_ {1}}$ определить возмущенную игру ${ Displaystyle G ( eta)}$ как игра, в которой стратегия каждого игрока ${ displaystyle n}$ такое же, как в ${ displaystyle G}$, но где выигрыш от профиля стратегии ${ Displaystyle тау}$ это расплата в ${ displaystyle G}$ из профиля ${ displaystyle sigma = (1 - { bar { eta}}) tau + eta}$. Скажи это ${ displaystyle sigma}$ возмущенное равновесие ${ Displaystyle G ( eta)}$ если ${ Displaystyle тау}$ это равновесие ${ Displaystyle G ( eta)}$. Позволять ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ - график соответствия возмущенного равновесия над ${ displaystyle P_ {1}}$, а именно, график ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ набор этих пар ${ Displaystyle ( eta, sigma) в P_ {1} times Sigma}$ такой, что ${ displaystyle sigma}$ возмущенное равновесие ${ Displaystyle G ( eta)}$. За ${ displaystyle ( eta, sigma) in { mathcal {E}}}$, ${ Displaystyle тау ( эта, сигма) экв ( сигма - эта) / (1 - { бар { эта}})}$ соответствующее равновесие ${ Displaystyle G ( eta)}$. Обозначим через ${ displaystyle p}$ естественная проекционная карта из ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ к ${ displaystyle P_ {1}}$. За ${ Displaystyle E substeq { mathcal {E}}}$, позволять ${ Displaystyle E_ {0} = {, (0, sigma) in E , }}$, и для ${ Displaystyle 0 < дельта leq 1}$ позволять ${ displaystyle (E _ { delta}, partial E _ { delta}) = p ^ {- 1} (P _ { delta}, partial P _ { delta}) cap E}$. Ну наконец то, ${ displaystyle { check {H}}}$ относится к Когомологии Чеха с целыми коэффициентами.

Ниже приводится версия наиболее исчерпывающего определения Мертенса, называемого * -стабильностью.

Определение * -стабильного множества: ${ Displaystyle S substeq Sigma}$ является * -стабильным множеством, если для некоторого замкнутого подмножества ${ displaystyle E}$ из ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ с ${ Displaystyle E_ {0} = {, 0 , } times S}$ он имеет два следующих свойства:

• Связность: Для каждого района ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle E_ {0}}$ в ${ displaystyle E}$, набор ${ displaystyle V setminus partial E_ {1}}$ имеет компонент связности, у которого закрытие это район ${ displaystyle E_ {0}}$ в ${ displaystyle E}$.
• Когомологическая сущность: ${ displaystyle p ^ {*}: { check {H}} ^ {*} (P _ { delta}, partial P _ { delta}) to { check {H}} ^ {*} (E_ { delta}, partial E _ { delta})}$ отличен от нуля для некоторых ${ displaystyle delta> 0}$.

Если существенность в когомологиях или гомологиях ослаблена до гомотопия, то получается более слабое определение, которое отличается главным образом более слабой формой свойства декомпозиции.^[11]

Рекомендации