Глоссарий теории игр - Glossary of game theory

Теория игры это филиал математика в котором игры изучаются: то есть модели, описывающие поведение человека. Это глоссарий некоторых терминов по данной теме.

Определения игры

Условные обозначения

Действительные числа: ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .
Набор игроки: ${ Displaystyle mathrm {N}}$ .
Пространство стратегии: ${ Displaystyle Sigma = prod _ {я in mathrm {N}} Sigma ^ {i}}$ , куда
Пространство стратегии игрока i: ${ Displaystyle Sigma ^ {я}}$ пространство всех возможных способов, которыми игрок я можно играть в игру.
Стратегия для игрока я

${ Displaystyle sigma _ {я}}$ является элементом ${ Displaystyle Sigma ^ {я}}$ .

Дополнения

${ Displaystyle sigma _ {- я}}$ элемент ${ displaystyle Sigma ^ {- i} = prod _ {j in mathrm {N}, j neq i} Sigma ^ {j}}$ , представляет собой набор стратегий для всех игроков, кроме я.

Исходное пространство: ${ displaystyle Gamma}$ в большинстве учебников идентичен -
Выплаты: ${ Displaystyle mathbb {R} ^ { mathrm {N}}}$ , описывая, сколько прирост (деньги, удовольствие и т. д.) игрокам распределяются по окончании игры.

Игра в нормальной форме

Игра в нормальном виде - это функция:

{ displaystyle pi : prod _ {я in mathrm {N}} Sigma ^ {i} to mathbb {R} ^ { mathrm {N}}}

Учитывая кортеж из стратегии выбранный игроками, каждому дается распределение выплаты (даны как действительные числа).

Дальнейшее обобщение может быть достигнуто путем разделения игра в составе двух функций:

{ displaystyle pi : prod _ {я in mathrm {N}} Sigma ^ {i} to Gamma}

в функция результата игры (некоторые авторы называют эту функцию «игровой формой»), и:

{ Displaystyle Nu : Гамма к mathbb {R} ^ { mathrm {N}}}

выделение выплаты (или же предпочтения) игрокам за каждый исход игры.

Обширная игра формы

Это дается дерево, где на каждом вершина из дерево другой игрок может выбрать край. В исход набором обширной формы игры обычно является набор листьев дерева.

Кооперативная игра

Игра, в которой игрокам разрешено формировать коалиции (и обеспечивать соблюдение коалиционной дисциплины). Кооперативная игра дается указанием ценить для каждой коалиции:

{ Displaystyle Nu : 2 ^ { mathbb {P} (N)} to mathbb {R}}

Всегда предполагается, что пустая коалиция получает ноль. Концепции решения для кооперативных игр обычно предполагают, что игроки формируют большая коалиция ${ displaystyle N}$ , значение которого ${ Displaystyle ню (N)}$ затем делится между игроками для распределения.

Простая игра

Простая игра - это упрощенная форма кооперативной игры, в которой возможный выигрыш принимается равным «0» или «1». Простая игра - пара (N, W), куда W это список "победителей" коалиции, способный получить добычу ('1'), и N это набор игроков.

Глоссарий

Приемлемая игра: это игровая форма такое, что для всех возможных профили предпочтений, в игре есть чистое равновесие по Нэшу, все из которых Парето эффективный.

Размещение товаров: это функция ${ Displaystyle Nu : Гамма к mathbb {R} ^ { mathrm {N}}}$ . Распределение - это кардинал подход для определения блага (например, денег), которое предоставляется игрокам при различных исходах игры.

Лучший ответ: лучший ответ на данное дополнение ${ Displaystyle sigma _ {- я}}$ это стратегия ${ Displaystyle тау _ {я}}$ что максимизирует игрока я'оплата. Формально мы хотим:
${ Displaystyle forall sigma _ {i} in Sigma ^ {i} quad quad pi ( sigma _ {i}, sigma _ {- i}) leq пи ( тау _ {я}, sigma _ {- я})}$ .

Коалиция: - любое подмножество множества игроков: ${ Displaystyle mathrm {S} substeq mathrm {N}}$ .

Кондорсе победитель: Учитывая предпочтение ν на исходное пространство, результат а является победителем кондорсе, если все игроки, не являющиеся манекенами, предпочитают а ко всем остальным результатам.

Разрешимость: В отношении теории игр относится к вопросу о существовании алгоритма, который может и будет давать ответ о том, может ли игра быть решена или нет.^[1]

Решительность: Подполе теории множеств, которая исследует условия, при которых тот или иной игрок в игре имеет выигрышную стратегию, и последствия существования таких стратегий. Игры, изучаемые в теории множеств, - это игры Гейла – Стюарта - игры с идеальной информацией для двух игроков, в которых игроки совершают бесконечную последовательность ходов и не делают ничьих.

Решительная игра (или же Строго определенная игра): В теории игр строго определенная игра - это игра двух игроков. с нулевой суммой игра, в которой есть хотя бы один равновесие по Нэшу с обоими игроками, использующими чистые стратегии.^[2]^[3]

Диктатор

Игрок - это сильный диктатор если он может гарантировать любой результат независимо от других игроков.

{ displaystyle m in mathbb {N}}

это слабый диктатор если он может гарантировать какой-либо результат, но его стратегии для этого могут зависеть от вектора стратегии дополнения. Естественно, каждый сильный диктатор - слабый диктатор. Формально:
м это Сильный диктатор если:

{ Displaystyle forall a in mathrm {A}, ; exists sigma _ {n} in Sigma ^ {n} ; st ; forall sigma _ {- n} в Sigma ^ {- n}: ; Gamma ( sigma _ {- n}, sigma _ {n}) = a}

м это Слабый диктатор если:

{ Displaystyle forall a in mathrm {A}, ; forall sigma _ {- n} in Sigma ^ {- n} ; exists sigma _ {n} in Сигма ^ {n} ; st ; Gamma ( sigma _ {- n}, sigma _ {n}) = a}

Другими словами:

а слабый диктатор является

{ displaystyle alpha}

-эффективен для всех возможных исходов.

А сильный диктатор является

{ displaystyle beta}

-эффективен для всех возможных исходов.

В игре может быть не более одного сильный диктатор. В некоторых играх есть несколько слабые диктаторы (в камень ножницы Бумага оба игрока слабые диктаторы но никто не сильный диктатор).

Также см Эффективность. Антоним: дурачок.

Преобладающий результат: Учитывая предпочтение ν на исходное пространство, мы говорим, что исход а во многом зависит от результата б (следовательно, б это доминирующий стратегия), если ее предпочитают все игроки. Если, кроме того, какой-то игрок категорически предпочитает б над а, то мы говорим, что а является строго доминируют. Формально:
${ displaystyle forall j in mathrm {N} ; quad nu _ {j} (a) leq nu _ {j} (b)}$ для господства и
${ Displaystyle существует я в mathrm {N} ; s.t. ; nu _ {i} (a) < nu _ {i} (b)}$ для строгого господства.
Исход а (строго) преобладают если это (строго) преобладают некоторыми другими исход.
Исход а доминирует в течение коалиция S если все игроки в S предпочитаю какой-то другой исход а. Смотрите также Кондорсе победитель.

Доминирующая стратегия: мы говорим, что в стратегии (сильно) доминирует стратегия ${ Displaystyle тау _ {я}}$ если для любой стратегии дополнения кортеж ${ Displaystyle sigma _ {- я}}$ , игрок я выгода от игры ${ Displaystyle тау _ {я}}$ . Формально говоря:
${ Displaystyle forall sigma _ {- i} in Sigma ^ {- i} quad quad pi ( sigma _ {i}, sigma _ {- i}) leq pi ( tau _ {i}, sigma _ {- i})}$ и
${ Displaystyle существует sigma _ {- i} in Sigma ^ {- i} quad st quad pi ( sigma _ {i}, sigma _ {- i}) < pi ( tau _ {i}, sigma _ {- i})}$ .
Стратегия σ (строго) преобладают если это (строго) преобладают некоторыми другими стратегия.

Дурачок: Игрок я является манекеном, если он не влияет на исход игры. Т.е. если исход игры нечувствителен к игроку я'стратегия.; Антонимы: сказать, вето, диктатор.

Эффективность: Коалиция (или один игрок) S является эффективен для а если это может заставить а быть результатом игры. S α-эффективен, если члены S есть стратегии s.t. независимо от того, что дополняет S делает, результат будет а.; S является β-эффективным, если для любых стратегий дополнения S, члены S может ответить стратегиями, обеспечивающими результат а.

Конечная игра: - игра с конечным числом игроков, каждый из которых имеет конечное множество стратегии.

Большая коалиция: относится к коалиции, содержащей всех игроков. В кооперативных играх часто предполагается, что большая коалиция формируется, и цель игры - найти стабильные вменения.

Смешанная стратегия: для игрока я это распределение вероятностей п на ${ Displaystyle Sigma ^ {я}}$ . Понятно, что игрок я выбирает стратегию случайным образом в соответствии с п.

Смешанное равновесие по Нэшу: Такой же как Чистое равновесие по Нэшу, определенная на пространстве смешанные стратегии. Каждая конечная игра имеет Смешанные равновесия Нэша.

Парето эффективность: An исход а из игровая форма π (сильно) Парето эффективный если это недоминируемый под всеми профили предпочтений.

Профиль предпочтений: это функция ${ Displaystyle Nu : Гамма к mathbb {R} ^ { mathrm {N}}}$ . Это порядковый подход к описанию исхода игры. Предпочтение описывает, насколько игроки «довольны» возможными результатами игры. Видеть размещение товаров.

Чистое равновесие по Нэшу: Элемент ${ displaystyle sigma = ( sigma _ {я}) _ {я in mathrm {N}}}$ стратегического пространства игры является точка равновесия чистого Нэша если нет игрока я может извлечь выгоду, отклонившись от своей стратегии ${ Displaystyle sigma _ {я}}$ , учитывая, что другие игроки играют в ${ displaystyle sigma}$ . Формально:
${ displaystyle forall i in mathrm {N} quad forall tau _ {i} in Sigma ^ {i} quad pi ( tau , sigma _ {- i}) leq pi ( sigma )}$ .
Никакая точка равновесия не доминирует.

Сказать: Игрок я имеет Сказать если он не Дурачок, т.е. если существует некоторый набор стратегий дополнения s.t. π (σ_i) не является постоянной функцией.; Антоним: Дурачок.

Число Шеннона: Консервативная нижняя граница сложность дерева игр из шахматы (10¹²⁰).

Решенная игра: Игра, результат которой (победа, поражение или ничья) может быть правильно предсказан при условии идеальной игры всех игроков.

Ценить: А ценить игры - это рационально ожидаемый исход. Есть более чем несколько определений ценить, описывающие различные методы получения решения игры.

Вето: Вето означает способность (или право) какого-либо игрока не допустить, чтобы конкретная альтернатива стала результатом игры. Игрок, обладающий этой способностью, называется игрок вето.; Антоним: Дурачок.

Слабо приемлемая игра: это игра, в которой чистое равновесие по Нэшу некоторые из которых Парето эффективный.

Нулевая сумма игра: это игра, в которой распределение постоянно по разным результаты. Формально:
${ Displaystyle forall gamma in Gamma sum _ {я in mathrm {N}} nu _ {i} ( gamma ) = const.}$
w.l.g. мы можем считать эту константу равной нулю. В игре с нулевой суммой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока. Большинство классических настольных игр (например, шахматы, шашки ) находятся нулевая сумма.

Темы в теория игры
Определения	Кооперативная игра Решительность Эскалация обязательств Игра в расширенной форме Победа первого и второго игрока Сложность игры Графическая игра Иерархия убеждений Информационный набор Игра в нормальной форме Предпочтение Последовательная игра Одновременная игра Выбор одновременного действия Решенная игра Лаконичная игра
Равновесие концепции	равновесие по Нэшу Совершенство подигры Устойчивое равновесие по Мертенсу Байесовское равновесие по Нэшу Идеальное байесовское равновесие Дрожащая рука Правильное равновесие Эпсилон-равновесие Коррелированное равновесие Последовательное равновесие Квази-совершенное равновесие Эволюционно устойчивая стратегия Доминирование риска Основной Значение Шепли Парето эффективность Равновесие Гиббса Квантовое равновесие отклика Самоподтверждающееся равновесие Сильное равновесие по Нэшу Марковское идеальное равновесие
Стратегии	Доминирующие стратегии Чистая стратегия Смешанная стратегия Аргумент кражи стратегии Око за око Мрачный спусковой крючок Сговор Обратная индукция Прямая индукция Марковская стратегия Затенение ставки
Классы игр	Симметричная игра Идеальная информация Повторная игра Сигнальная игра Показ игры Дешевый разговор Игра с нулевой суммой Конструкция механизма Проблема торга Стохастическая игра Среднее поле игры п-игровая игра Большая игра Пуассона Нетранзитивная игра Глобальная игра Строго определенная игра Возможная игра
Игры	Идти Шахматы Бесконечные шахматы Шашки Крестики-нолики Дилемма заключенного Игра по обмену подарками Необязательная дилемма заключенного Дилемма путешественника Координационная игра Курица Сороконожка игра Дилемма волонтера Долларовый аукцион Битва полов Охота на оленя Соответствующие пенни Ультиматум игра Камень ножницы Бумага Пиратская игра Диктаторская игра Игра в общественные блага Блотто игра Война на истощение Проблема с баром Эль Фарол Справедливое деление Ярмарка нарезки торта Игра Курно Тупик Дилемма закусочной Угадайте 2/3 среднего Покер куна Игра Нэша в торг Индукционные пазлы Доверительная игра Игра принцесс и монстров Проблема рандеву
Теоремы	Теорема о невозможности Эрроу Теорема согласия Ауманна Народная теорема Теорема о минимаксе Теорема Нэша Теорема очищения Принцип откровения Теорема Цермело
Ключ цифры	Альберт В. Такер Амос Тверски Антуан Огюстен Курно Ариэль Рубинштейн Клод Шеннон Даниэль Канеман Дэвид К. Левин Дэвид М. Крепс Дональд Б. Гиллис Дрю Фуденберг Эрик Маскин Гарольд В. Кун Герберт Саймон Эрве Мулен Жан Тироль Жан-Франсуа Мертенс Дженнифер Тур Чейес Джон Харсаньи Джон Мейнард Смит Джон Нэш Джон фон Нейман Кеннет Эрроу Кеннет Бинмор Леонид Гурвич Ллойд Шепли Мелвин Дрешер Меррилл М. Флуд Ольга Бондарева Оскар Моргенштерн Пол Милгром Пейтон Янг Райнхард Зельтен Роберт Аксельрод Роберт Ауманн Роберт Б. Уилсон Роджер Майерсон Сэмюэл Боулз Сюзанна Скотчмер Томас Шеллинг Уильям Викри
Смотрите также	All-pay аукцион Альфа – бета обрезка Парадокс Бертрана Ограниченная рациональность Комбинаторная теория игр Анализ конфронтации Сотрудничество Эволюционная теория игр Преимущество первого хода в шахматах Игровая механика Глоссарий теории игр Список теоретиков игр Список игр по теории игр Безвыигрышная ситуация Решение шахмат Топологическая игра Трагедия общественного достояния Тирания маленьких решений