Вычислительная анатомия - Computational anatomy

Эта статья может быть слишком долго читать и удобно ориентироваться. В читаемый размер прозы составляет 113 килобайт. Пожалуйста примите к сведению расщепление содержание в подстатьях, уплотнение это или добавление подзаголовки. (Ноябрь 2016)

Вычислительная анатомия это междисциплинарная область биология сосредоточены на количественном исследовании и моделировании изменчивости анатомических форм.^[1][2] Она предполагает разработку и применение математических, статистических и аналитических методов моделирования и моделирования биологических структур.

Область широко определена и включает в себя основы в анатомия, Прикладная математика и чистая математика, машинное обучение, вычислительная механика, вычислительная наука, биологическая визуализация, нейробиология, физика, вероятность, и статистика; он также имеет прочные связи с механика жидкости и геометрическая механика. Кроме того, он дополняет новые междисциплинарные области, такие как биоинформатика и нейроинформатика в том смысле, что его интерпретация использует метаданные, полученные из исходных модальностей сенсорной визуализации (из которых Магнитно-резонансная томография это один из примеров). Он фокусируется на анатомических структурах, отображаемых, а не на медицинских устройствах визуализации. По духу она похожа на историю Компьютерная лингвистика, дисциплина, которая фокусируется на лингвистических структурах, а не на датчик действуя как коробка передач и средства массовой информации.

В вычислительной анатомии диффеоморфизм группа используется для изучения различных систем координат с помощью преобразования координат как сгенерировано через Лагранжева и эйлерова скорости потока в ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$. В потоки между координатами в вычислительной анатомии вынуждены быть геодезические потоки удовлетворение принцип наименьшего действия для кинетической энергии потока. Кинетическая энергия определяется через Соболевская гладкость норма со строго более чем двумя обобщенными, интегрируемый с квадратом производные для каждого компонента скорости потока, что гарантирует, что потоки в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ являются диффеоморфизмами.^[3] Это также означает, что импульс диффеоморфной формы взятые поточечно, удовлетворяющие Уравнение Эйлера-Лагранжа для геодезических определяется своими соседями через пространственные производные по полю скорости. Это отделяет дисциплину от случая несжимаемые жидкости^[4] для которой импульс поточечно зависит от скорости. Вычислительная анатомия пересекает изучение Римановы многообразия и нелинейный глобальный анализ, где группы диффеоморфизмов являются центральным фокусом. Возникающие многомерные теории формы^[5] занимают центральное место во многих исследованиях вычислительной анатомии, как и вопросы, возникающие в молодой области статистика формы.Метрические структуры в вычислительной анатомии по духу связаны с морфометрия, с той разницей, что вычислительная анатомия фокусируется на бесконечномерном пространстве системы координат преобразованный диффеоморфизм, следовательно, центральное использование терминологии диффеоморфометрия, исследование систем координат в метрическом пространстве через диффеоморфизмы.

Бытие

В основе вычислительной анатомии лежит сравнение формы путем распознавания одной формы другой. Это связывает его с Д'Арси Вентворт Томпсон разработки О росте и форме что привело к научному объяснению морфогенез, процесс, с помощью которого узоры сформированы в Биология. Альбрехт Дюрер «Четыре книги о пропорциях человека», возможно, были самыми ранними работами по вычислительной анатомии.^[6][7][8] Усилия Ноам Хомский в его новаторстве Компьютерная лингвистика вдохновил на оригинальную формулировку вычислительной анатомии как генеративной модели формы и формы на примерах, на которые воздействовали посредством преобразований.^[9]

Благодаря доступности плотных 3D-измерений с помощью таких технологий, как магнитно-резонансная томография (МРТ) вычислительная анатомия возникла как подполе медицинская визуализация и биоинженерия для извлечения анатомических систем координат в масштабе морфома в 3D. Дух этой дисциплины сильно пересекается с такими областями, как компьютерное зрение и кинематика из твердые тела, где объекты исследуются путем анализа группы ответственный за рассматриваемое движение. Вычислительная анатомия отличается от компьютерного зрения с ее фокусом на жестких движениях, поскольку группа бесконечномерных диффеоморфизмов занимает центральное место в анализе биологических форм. Это филиал школы анализа изображений и теории паттернов в Университете Брауна.^[10] пионером Ульф Гренандер. В общей метрике Гренандера Теория паттернов, делая пространства узоры в метрическое пространство является одной из фундаментальных операций, поскольку способность группировать и распознавать анатомические конфигурации часто требует метрики близких и отдаленных форм. В метрика диффеоморфометрии^[11] Вычислительной анатомии измеряет, насколько далеки друг от друга два диффеоморфных изменения координат, что, в свою очередь, вызывает метрика на формах и изображениях индексируется к ним. Модели теории метрических паттернов,^[12][13] в частности, групповые действия на орбите форм и форм являются центральным инструментом формальных определений в вычислительной анатомии.

История

Вычислительная анатомия - это изучение формы и формы на морфома или же общая анатомия миллиметр, или морфология шкалы, ориентируясь на изучение суб-коллекторы из ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3},}$ точки, кривые поверхности и подобъемы анатомии человека. Ранним современным компьютерным нейроанатомом был Дэвид Ван Эссен.^[14] выполнение некоторых из ранних физических развертываний человеческого мозга, основанных на печати коры головного мозга человека и разрезании. Жан Талаирах публикация Координаты Талаираха является важной вехой в масштабе морфома, демонстрирующей фундаментальную основу локальных систем координат в изучении нейроанатомии и, следовательно, четкую связь с карты дифференциальной геометрии. Одновременно виртуальное отображение в вычислительной анатомии по координатам плотного изображения с высоким разрешением уже происходило в Рузены Байцы^[15] и Фреда Букштейна^[16] самые ранние разработки на основе Компьютерная аксиальная томография и Магнитно-резонансные изображения.Самое раннее использование потоков диффеоморфизмов для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинской визуализации было сделано Кристенсеном, Джоши, Миллером и Рэббиттом.^[17][18][19]

Первая формализация вычислительной анатомии в виде орбиты образцовых шаблонов под диффеоморфизм групповое действие был в оригинальной лекции с таким названием, прочитанной Гренандером и Миллером в мае 1997 года на 50-летии отделения прикладной математики в Университете Брауна,^[20] и последующая публикация.^[9] Это послужило основанием для резкого отхода от большей части предыдущей работы над передовыми методами пространственная нормализация и регистрация изображения которые исторически строились на понятиях дополнения и расширения базиса. Структура, сохраняющая преобразования, центральная в современной области вычислительной анатомии, гомеоморфизмы и диффеоморфизмы гладко переносят гладкие подмногообразия. Они генерируются через Лагранжевы и эйлеровы потоки которые удовлетворяют закону композиции функций, образующих групповое свойство, но не являются аддитивными.

Первоначальная модель вычислительной анатомии была тройной: ${ Displaystyle ({ mathcal {G}}, { mathcal {M}}, { mathcal {P}}) ,}$ группа ${ displaystyle g in { mathcal {G}}}$, орбита форм и форм ${ displaystyle m in { mathcal {M}}}$, а вероятностные законы ${ displaystyle P}$ которые кодируют вариации объектов на орбите. Шаблон или набор шаблонов - это элементы на орбите ${ displaystyle m _ { mathrm {temp}} in { mathcal {M}}}$ форм.

Лагранжева и гамильтонова формулировки уравнений движения вычислительной анатомии стали известны после 1997 г., когда было проведено несколько ключевых встреч, включая встречу Люмини в 1997 г.^[21] организованный Azencott^[22] школа в Ecole-Normale Cachan по "Математике распознавания форм" и Триместре 1998 г. Институт Анри Пуанкара é организовано Дэвид Мамфорд "Вопросы математики и традиций сигнала и изображения", которые послужили катализатором для групп Хопкинса-Брауна-ЭНС Кашана, а также последующие разработки и связи вычислительной анатомии с достижениями в глобальном анализе.

Развитие вычислительной анатомии включало установление условий гладкости Собелева на метрике диффеоморфометрии, чтобы гарантировать существование решений вариационный проблемы в пространстве диффеоморфизмов,^[23][24] вывод уравнений Эйлера-Лагранжа, характеризующих геодезические, через группу и связанные с ней законы сохранения,^[25][26][27] демонстрация метрических свойств правой инвариантной метрики,^[28] демонстрация того, что уравнения Эйлера-Лагранжа имеют корректную начальную задачу с единственными решениями на все времена,^[29] и с первыми результатами по секционным кривизнам для метрики диффеоморфометрии в пространствах с ориентирами.^[30] После встречи в Лос-Аламосе в 2002 г.^[31] Джоши^[32] оригинальная большая деформация сингулярная Ориентир решения в области вычислительной анатомии были связаны с пиковыми Солитоны или же Пиконы^[33] как решения для Камасса-Хольм уравнение. Впоследствии были установлены связи между уравнениями Эйлера-Лагранжа Вычислительной анатомии для плотностей импульса для правоинвариантной метрики, удовлетворяющей гладкости Соболева относительно Владимира Арнольда^[4] характеристика Уравнение Эйлера для несжимаемых потоков как описывающие геодезические в группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем.^[34][35] Первые алгоритмы, обычно называемые LDDMM для диффеоморфного отображения больших деформаций, для вычисления связей между ориентирами в объемах^[32][36][37] и сферические коллекторы,^[38] кривые,^[39] токи и поверхности,^[40][41][42] объемы,^[43] тензоры,^[44] варифолды^[45] и временные ряды^[46][47][48] последовали.

Этот вклад вычислительной анатомии в глобальный анализ, связанный с бесконечномерными многообразиями подгрупп группы диффеоморфизмов, далеко не тривиален. Первоначальная идея выполнения дифференциальной геометрии, кривизны и геодезических на бесконечномерных многообразиях восходит к Бернхард Риманн с Абилитация (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen^[49][50]); Ключевая современная книга, в которой заложены основы таких идей в области глобального анализа, принадлежит Михору.^[51]

Приложения в области медицинской визуализации вычислительной анатомии продолжали процветать после двух организованных встреч в Институт чистой и прикладной математики конференции^[52][53] в Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе. Вычислительная анатомия была полезна для создания точных моделей атрофии человеческого мозга в масштабе морфома, а также сердечных шаблонов,^[54] а также при моделировании биологических систем.^[55] С конца 1990-х годов вычислительная анатомия стала важной частью разработки новых технологий в области медицинской визуализации. Цифровые атласы являются фундаментальной частью современного медицинского образования.^[56][57] и в исследованиях нейровизуализации в масштабе морфома.^[58][59] Атласные методы и виртуальные учебники^[60] которые учитывают вариации, поскольку деформируемые шаблоны находятся в центре многих платформ анализа нейро-изображений, включая Freesurfer,^[61] FSL,^[62] MRIStudio,^[63] SPM.^[64] Диффеоморфная регистрация,^[18] представленный в 1990-х годах, в настоящее время является важным игроком с существующими базами кодов, организованными вокруг ANTS,^[65] ДАРТЕЛ,^[66] ДЕМОНЫ,^[67] ЛДДММ,^[68] Стационарный ЛДДММ,^[69] FastLDDMM,^[70] являются примерами активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе разреженных объектов и плотных изображений. Морфометрия на основе вокселей - важная технология, построенная на многих из этих принципов.

Деформируемая шаблонная орбитальная модель вычислительной анатомии

Модель анатомии человека - это деформируемый шаблон, орбита экземпляров под действием группы. Деформируемые шаблонные модели занимают центральное место в теории метрических шаблонов Гренандера, учитывая типичность с помощью шаблонов и учет изменчивости с помощью преобразования шаблона. Орбита под действием группы как представление деформируемого шаблона - это классическая формулировка из дифференциальной геометрии. Пространство фигур обозначается ${ displaystyle m in { mathcal {M}}}$, с группа ${ Displaystyle ({ mathcal {G}}, circ)}$ с законом состава ${ displaystyle circ}$; действие группы на фигуры обозначено ${ displaystyle g cdot m}$, где действие группы ${ displaystyle g cdot m in { mathcal {M}}, m in { mathcal {M}}}$ определено, чтобы удовлетворить

${ displaystyle (g circ g ^ { prime}) cdot m = g cdot (g ^ { prime} cdot m) in { mathcal {M}}.}$

Орбита ${ Displaystyle { mathcal {M}}}$ шаблона становится пространством всех форм, ${ displaystyle { mathcal {M}} doteq {m = g cdot m _ { mathrm {temp}}, g in { mathcal {G}} }}$, будучи однородным под действием элементов ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$.

Рисунок, изображающий три медиальные структуры височной доли: амгидалу, энторинальную кору и гиппокамп с изображенными реперными ориентирами, также встроенными в фон МРТ.

Орбитальная модель вычислительной анатомии - это абстрактная алгебра, которую можно сравнить с линейная алгебра - поскольку группы действуют на фигуры нелинейно. Это обобщение классических моделей линейной алгебры, в которых множество конечномерных ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {п}}$ векторы заменяются конечномерными анатомическими подмногообразиями (точками, кривыми, поверхностями и объемами) и их изображениями, а ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы линейной алгебры заменяются преобразованиями координат, основанными на линейных и аффинных группах и более общих многомерных группах диффеоморфизмов.

Формы и формы

Центральные объекты - это формы или формы в вычислительной анатомии, один набор примеров - 0,1,2,3-мерные подмногообразия ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$, второй набор примеров - изображения, созданные с помощью медицинская визуализация например, через магнитно-резонансная томография (МРТ) и функциональная магнитно-резонансная томография.

Треугольные сетчатые поверхности, изображающие подкорковые структуры миндалины, гиппокампа, таламуса, хвостатого ядра, скорлупы, желудочков. ${ Displaystyle м (и), и в U подмножество { mathbb {R}} ^ {1} rightarrow { mathbb {R}} ^ {2}}$ представлены в виде триангулированных сеток.

0-мерные многообразия - это ориентиры или реперные точки; Одномерные многообразия - это кривые, такие как борозды и извилины в мозгу; 2-мерные многообразия соответствуют границам субструктур в анатомии, таких как подкорковые структуры средний мозг или круговая поверхность неокортекс; субобъемы соответствуют подобластям человеческого тела, сердце, то таламус, почка.

вехи ${ displaystyle X doteq {x_ {1}, dots, x_ {n} } subset { mathbb {R}} ^ {3} in { mathcal {M}}}$ представляют собой совокупность точек, не имеющих другой структуры, очерчивающих важные реперные точки в человеческих очертаниях и формах (см. соответствующее изображение с ориентирами).многообразие формы, такие как поверхности ${ Displaystyle X подмножество { mathbb {R}} ^ {3} in { mathcal {M}}}$ представляют собой наборы точек, смоделированных как параметризованные с помощью локальной диаграммы или погружение ${ displaystyle m: U subset { mathbb {R}} ^ {1,2} rightarrow { mathbb {R}} ^ {3}}$, ${ Displaystyle м (и), и в U}$ (см. рисунок, показывающий формы в виде поверхностей сетки). Изображения, такие как изображения MR или изображения DTI ${ displaystyle I in { mathcal {M}}}$, и - плотные функции${ displaystyle I (x), x in X subset { mathbb {R}} ^ {1,2,3}}$ являются скалярами, векторами и матрицами (см. рисунок, показывающий скалярное изображение).

Группы и групповые действия

Отображение раздела МРТ через трехмерный мозг, представляющий скалярное изображение ${ Displaystyle I (х), х in { mathbb {R}} ^ {2}}$ на основе T1-взвешивания.

Группы и групповые действия знакомы инженерному сообществу с повсеместной популяризацией и стандартизацией линейная алгебра в качестве базовой модели для анализа сигналы и системы в машиностроение, электротехника и Прикладная математика. В линейной алгебре группы матриц (матрицы с обратными) являются центральной структурой, причем групповое действие определяется обычным определением ${ displaystyle A}$ как ${ Displaystyle п раз п}$ матрица, действующая на ${ Displaystyle х в { mathbb {R}} ^ {п}}$ в качестве ${ Displaystyle п раз 1}$ векторы; орбита в линейной алгебре - это набор ${ displaystyle n}$-векторы, заданные ${ displaystyle y = A cdot x in { mathbb {R}} ^ {n}}$, которое является групповым действием матриц через орбиту ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {п}}$.

Центральная группа вычислительной анатомии, определенная на объемах в ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ являются диффеоморфизмы ${ Displaystyle { mathcal {G}} doteq Diff}$ которые являются отображениями с 3-компонентными ${ Displaystyle phi ( cdot) = ( phi _ {1} ( cdot), phi _ {2} ( cdot), phi _ {3} ( cdot))}$, закон сложения функций ${ displaystyle phi circ phi ^ { prime} ( cdot) doteq phi ( phi ^ { prime} ( cdot))}$, с обратным ${ displaystyle phi circ phi ^ {- 1} ( cdot) = phi ( phi ^ {- 1} ( cdot)) = id}$.

Наиболее популярны скалярные изображения, ${ Displaystyle I (х), х in { mathbb {R}} ^ {3}}$, с действием справа через инверсию.

${ displaystyle phi cdot I (x) = I circ phi ^ {- 1} (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}}$.

Для суб-коллекторы ${ Displaystyle X подмножество { mathbb {R}} ^ {3} in { mathcal {M}}}$, параметризованный диаграммой или погружение ${ Displaystyle м (и), и в U}$, диффеоморфное действие потока позиции

${ Displaystyle phi cdot м (и) doteq фи circ м (и), и в U}$.

Несколько групповые действия в вычислительной анатомии были определены.^{[нужна цитата ]}

Лагранжевы и эйлеровы потоки для порождения диффеоморфизмов

Для изучения жесткое тело кинематика, матрица малой размерности Группы Ли были в центре внимания. Матричные группы - это низкоразмерные отображения, которые представляют собой диффеоморфизмы, обеспечивающие взаимно однозначные соответствия между системами координат с гладким обратным. В матричная группа вращений и масштабов могут быть сгенерированы с помощью конечномерных матриц замкнутой формы, которые являются решением простых обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями, заданными матричной экспонентой.

Для изучения деформируемой формы в вычислительной анатомии предпочтительной была группа более общих диффеоморфизмов, которая является бесконечномерным аналогом. Группы многомерных диффеоморфизмов, используемые в Computational Anatomy, генерируются с помощью гладких потоков. ${ displaystyle phi _ {t}, т дюйм [0,1]}$ которые удовлетворяют Лагранжева и эйлерова спецификация полей течения как впервые было введено в.,^[17][19][71] удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению:

Отображение лагранжевого потока координат ${ displaystyle x in X}$ со связанными векторными полями ${ displaystyle v_ {t}, t in [0,1]}$ удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению ${ Displaystyle { точка { phi}} _ {t} = v_ {t} ( phi _ {t}), phi _ {0} = id}$.

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id ;}$

(Лагранжев поток)

с ${ Displaystyle v doteq (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ векторные поля на ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ назвал Эйлеров скорость частиц в положении ${ displaystyle phi}$ потока. Векторные поля - это функции в функциональном пространстве, моделируемые как гладкие Гильберта пространство большой размерности с якобианом потока ${ displaystyle D phi doteq ({ frac { partial phi _ {i}} { partial x_ {j}}})}$ поле большой размерности в функциональном пространстве, а не матрица низкой размерности, как в группах матриц. Впервые были представлены потоки^[72][73] при больших деформациях при сопоставлении изображений; ${ Displaystyle { точка { phi}} _ {т} (х)}$ это мгновенная скорость частицы ${ displaystyle x}$ вовремя ${ displaystyle t}$ .

Обратное ${ displaystyle phi _ {t} ^ {- 1}, t in [0,1]}$ требуемая группа определена на векторном поле Эйлера с адвективный обратный поток

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} ^ {- 1} = - (D phi _ {t} ^ {- 1}) v_ {t}, phi _ { 0} ^ {- 1} = id .}$

(Обратный транспортный поток)

Группа диффеоморфизмов вычислительной анатомии

Группа диффеоморфизмов очень большая. Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов, избегающие шоковые решения для обратного векторные поля должны быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемыми в пространстве.^[74][75] Для диффеоморфизмов на ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$, векторные поля моделируются как элементы гильбертова пространства ${ Displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ с использованием Соболев теоремы вложения так, что каждый элемент имеет строго больше двух обобщенных интегрируемых с квадратом пространственных производных (таким образом ${ displaystyle v_ {i} in H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ достаточно), что дает однократные непрерывно дифференцируемые функции.^[74][75]

Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева:

${ displaystyle Diff_ {V} doteq { varphi = phi _ {1}: { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id, int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} dt < infty } ,}$

(Группа диффеоморфизмов)

куда${ Displaystyle | v | _ {V} ^ {2} doteq int _ {X} Av cdot vdx, v in V ,}$ с линейным оператором ${ displaystyle A}$ отображение в двойное пространство ${ Displaystyle A: V mapsto V ^ {*}}$, интеграл вычисляется интегрированием по частям при ${ displaystyle Av in V ^ {*}}$ является обобщенной функцией в сопряженном пространстве.

Диффеоморфометрия: метрическое пространство форм и форм.

Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями было областью значительных исследований.^{[28][76][77][78][79][80]} Метрика диффеоморфометрии измеряет, насколько близко и далеко друг от друга находятся две фигуры или изображения; метрическая длина - это кратчайшая длина потока, который переносит одну систему координат в другую.

Часто знакомая евклидова метрика напрямую не применима, потому что образцы фигур и изображений не образуют векторное пространство. в Риманова орбитальная модель вычислительной анатомии, диффеоморфизмы, действующие на формы ${ displaystyle phi cdot m in { mathcal {M}}, phi in Diff_ {V}, m in { mathcal {M}}}$ не действуйте линейно. Есть много способов определить показатели, и для наборов, связанных с формированием Метрика Хаусдорфа Другой. Метод, который мы используем, чтобы вызвать Риманова метрика используется для создания метрики на орбите форм путем определения ее в терминах длины метрики между преобразованиями диффеоморфной системы координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите фигур называется диффеоморфометрия.

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Определим расстояние на группе диффеоморфизмов

${ displaystyle d_ {Diff_ {V}} ( psi, varphi) = inf _ {v_ {t}} left ( int _ {0} ^ {1} int _ {X} Av_ {t} cdot v_ {t} dx dt: phi _ {0} = psi, phi _ {1} = varphi, { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ фи _ {т} право) ^ {1/2} ;}$

(метрика-диффеоморфизмы)

это правоинвариантная метрика диффеоморфометрии,^[11][28] инвариантен к изменению параметров пространства, поскольку для всех ${ displaystyle phi in Diff_ {V}}$,

${ Displaystyle d_ {Diff_ {V}} ( psi, varphi) = d_ {Diff_ {V}} ( psi circ phi, varphi circ phi)}$.

Метрика форм и форм

Расстояние по формам и формам,^[81]${ displaystyle d _ { mathcal {M}}: { mathcal {M}} times { mathcal {M}} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$,

${ displaystyle d _ { mathcal {M}} (m, n) = inf _ { phi in operatorname {Diff} _ {V}: phi cdot m = n} d _ { operatorname {Diff} _ {V}} (идентификатор, phi) ;}$

(метрические формы-формы)

изображения^[28] обозначаются орбитой как ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ и метрическая ${ displaystyle, d _ { mathcal {I}}}$.

Интеграл действия для принципа Гамильтона на диффеоморфных потоках

В классической механике эволюция физических систем описывается решениями уравнений Эйлера – Лагранжа, связанных с Принцип наименьшего действия из Гамильтон. Это стандартный способ, например получение Законы движения Ньютона свободных частиц. В более общем плане уравнения Эйлера-Лагранжа могут быть выведены для систем обобщенные координаты. Уравнение Эйлера-Лагранжа в вычислительной анатомии описывает геодезические потоки кратчайших путей между системами координат метрики диффеоморфизма. В вычислительной анатомии обобщенные координаты - это поток диффеоморфизма и его лагранжева скорость ${ displaystyle phi, { точка { phi}}}$, эти два связаны через эйлерову скорость ${ displaystyle v doteq { dot { phi}} circ phi ^ {- 1}}$. Принцип Гамильтона для генерации уравнения Эйлера-Лагранжа требуется интеграл действия на лагранжиане, задаваемый формулой

${ Displaystyle J ( phi) doteq int _ {0} ^ {1} L ( phi _ {t}, { dot { phi}} _ {t}) dt ;}$

(Гамильтониан-интегрированный-лагранжиан)

лагранжиан задается кинетической энергией:

${ displaystyle L ( phi _ {t}, { dot { phi}} _ {t}) doteq { frac {1} {2}} int _ {X} A ({ dot { phi}} _ {t} circ phi _ {t} ^ {- 1}) cdot ({ dot { phi}} _ {t} circ phi _ {t} ^ {- 1}) dx = { frac {1} {2}} int _ {X} Av_ {t} cdot v_ {t} dx .}$

(Лагранжиан-кинетическая энергия)

Диффеоморфный или эйлеровый импульс формы

В вычислительной анатомии ${ displaystyle Av}$ сначала был назван Эйлерова или диффеоморфная форма импульса^[82] поскольку при интегрировании против эйлеровой скорости ${ displaystyle v}$ дает плотность энергии, и поскольку существует сохранение диффеоморфного импульса формы который имеет место. Оператор ${ displaystyle A}$ является обобщенным момент инерции или инерциальный оператор.

Уравнение Эйлера – Лагранжа об импульсе формы для геодезических на группе диффеоморфизмов

Классический расчет уравнения Эйлера-Лагранжа из Принцип Гамильтона требует возмущения лагранжиана на векторном поле кинетической энергии по отношению к возмущению потока первого порядка. Это требует регулировки Скобка Ли векторного поля, заданный оператором ${ displaystyle ad_ {v}: w in V mapsto V}$ который включает якобиан, заданный формулой

${ displaystyle ad_ {v} [w] doteq [v, w] doteq (Dv) w- (Dw) v in V}$.

Определение сопряженного ${ displaystyle ad_ {v} ^ {*}: V ^ {*} rightarrow V ^ {*},}$ то вариация первого порядка дает импульс эйлеровой формы ${ displaystyle Av in V ^ {*}}$ удовлетворяющее обобщенному уравнению:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} Av_ {t} + ad_ {v_ {t}} ^ {*} (Av_ {t}) = 0 , t in [0,1] ; }$

(EL-General)

значение для всех гладких ${ displaystyle w in V,}$

${ displaystyle int _ {X} left ({ frac {d} {dt}} Av_ {t} + ad_ {v_ {t}} ^ {*} (Av_ {t}) right) cdot wdx = int _ {X} { frac {d} {dt}} Av_ {t} cdot wdx + int _ {X} Av_ {t} cdot ((Dv_ {t}) w- (Dw) v_ { t}) dx = 0.}$

Вычислительная анатомия - это изучение движений подмногообразий, точек, кривых, поверхностей и объемов. Импульс, связанный с точками, кривыми и поверхностями, является сингулярным, что подразумевает, что импульс сосредоточен на подмножествах ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ какие измерения ${ displaystyle leq 2}$ в Мера Лебега. В таких случаях энергия все еще хорошо определена. ${ displaystyle (Av_ {t} mid v_ {t})}$ хотя ${ displaystyle Av_ {t}}$ является обобщенной функцией, векторные поля гладкие, а эйлеров импульс понимается через его действие на гладкие функции. Прекрасной иллюстрацией этого является то, что даже когда это суперпозиция дельта-дираков, скорость координат во всем объеме изменяется плавно. Уравнение Эйлера-Лагранжа (EL-General) на диффеоморфизмах обобщенных функций ${ displaystyle Av in V ^ {*}}$ был получен в.^[83] В Риманова метрика и скобка Ли для уравнения Эйлера-Лагранжа в геодезических дифференцирования даны в терминах присоединенного оператора и скобки Ли для группы диффеоморфизмов. Его стали называть уравнением EPDiff для диффеоморфизмов, связанных с методом Эйлера-Пуанкаре, после изучения в контексте инерциального оператора ${ displaystyle A = идентичность}$ для несжимаемых жидкостей без отклонений.^[35][84]

Диффеоморфный импульс формы: классическая вектор-функция

Для случая плотности импульса ${ displaystyle (Av_ {t} mid w) = int _ {X} mu _ {t} cdot w , dx}$, то уравнение Эйлера – Лагранжа имеет классическое решение:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} mu _ {t} + (Dv_ {t}) ^ {T} mu _ {t} + (D mu _ {t}) v_ {t} + ( nabla cdot v) mu _ {t} = 0 , t in [0,1].}$

(EL-Classic)

Уравнение Эйлера-Лагранжа на диффеоморфизмах, классически определенное для плотностей импульса, впервые появилось в^[85] для анализа медицинских изображений.

Риманова экспонента (геодезическое позиционирование) и риманов логарифм (геодезические координаты)

В медицинской визуализации и вычислительной анатомии позиционирование и координация форм являются фундаментальными операциями; система позиционирования анатомических координат и форм, построенная на метрике и уравнении Эйлера-Лагранжа; геодезическая система позиционирования, впервые изложенная в работах Миллера Трува и Юнеса.^[11]Решение геодезической из начального условия ${ displaystyle v_ {0}}$ называется Риманово-экспоненциальная, отображение ${ displaystyle Exp _ { rm {id}} ( cdot): от V до Diff_ {V}}$ при идентичности к группе.

Риманова экспонента удовлетворяет ${ displaystyle Exp_ {id} (v_ {0}) = phi _ {1}}$ для начального состояния ${ displaystyle { dot { phi}} _ {0} = v_ {0}}$, динамика векторного поля ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, t in [0,1]}$,

• для классического уравнения диффеоморфной формы импульса ${ displaystyle int _ {X} Av_ {t} cdot w , dx}$, ${ displaystyle Av in V}$, тогда

${ displaystyle { frac {d} {dt}} Av_ {t} + (Dv_ {t}) ^ {T} Av_ {t} + (DAv_ {t}) v_ {t} + ( nabla cdot v) Av_ {t} = 0 ;}$

• для обобщенного уравнения, то ${ displaystyle Av in V ^ {*}}$,${ displaystyle w in V}$,

${ displaystyle int _ {X} { frac {d} {dt}} Av_ {t} cdot wdx + int _ {X} Av_ {t} cdot ((Dv_ {t}) w- (Dw) v_ {t}) dx = 0.}$

Расчет потока ${ displaystyle v_ {0}}$ на координаты Риманов логарифм,^[11][81] отображение ${ displaystyle Log _ { rm {id}} ( cdot): Diff_ {V} to V}$ при идентичности от ${ displaystyle varphi}$ в векторное поле ${ displaystyle v_ {0} in V}$;

${ displaystyle Log_ {id} ( varphi) = v_ {0} { text {начальное состояние геодезической EL}} { dot { phi}} _ {0} = v_ {0}, phi _ { 0} = id, phi _ {1} = varphi .}$

Распространены на всю группу, они становятся

${ displaystyle phi = Exp _ { varphi} (v_ {0} circ varphi) doteq Exp_ {id} (v_ {0}) circ varphi}$ ; ${ displaystyle Log _ { varphi} ( phi) doteq Log_ {id} ( phi circ varphi ^ {- 1}) circ varphi}$ .

Это инверсии друг друга для уникальных решений логарифма; первый называется геодезическое позиционирование, последний геодезические координаты (видеть Экспоненциальное отображение, риманова геометрия для конечномерной версии).Геодезическая метрика является локальным уплощением римановой системы координат (см. рисунок).

Показано метрическое локальное уплощение координатных многообразий форм и форм. Локальная метрика задается нормой векторного поля ${ displaystyle | v_ {0} | _ {V}}$ геодезического отображения ${ displaystyle Exp_ {id} (v_ {0}) cdot m}$

Гамильтонова формулировка вычислительной анатомии

В вычислительной анатомии диффеоморфизмы используются для сдвига систем координат, а векторные поля используются в качестве элемента управления внутри анатомической орбиты или морфологического пространства. Модель представляет собой динамическую систему, поток координат ${ displaystyle t mapsto phi _ {t} in operatorname {Diff} _ {V}}$ и управление векторным полем ${ displaystyle t mapsto v_ {t} in V}$ связанный через ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} cdot phi _ {t}, phi _ {0} = id.}$ Гамильтонов взгляд^{[81][86][87][88][89]} изменяет параметры распределения импульса ${ displaystyle Av in V ^ {*}}$ с точки зрения сопряженный импульс или же канонический импульс, явведен как множитель Лагранжа ${ displaystyle p: { dot { phi}} mapsto (p mid { dot { phi}})}$ ограничение лагранжевой скорости ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}}$.соответственно:

${displaystyle H(phi _{t},p_{t},v_{t})=int _{X}p_{t}cdot (v_{t}circ phi _{t})dx-{frac {1}{2}}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dx.}$

This function is the extended Hamiltonian. В Pontryagin maximum principle^[81] gives the optimizing vector field which determines the geodesic flow satisfying ${displaystyle {dot {phi }}_{t}=v_{t}circ phi _{t},phi _{0}=id,}$ as well as the reduced Hamiltonian

${displaystyle H(phi _{t},p_{t})doteq max _{v}H(phi _{t},p_{t},v) .}$

The Lagrange multiplier in its action as a linear form has its own inner product of the canonical momentum acting on the velocity of the flow which is dependent on the shape, e.g. for landmarks a sum, for surfaces a surface integral, and. for volumes it is a volume integral with respect to ${displaystyle dx}$ на ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$. In all cases the Greens kernels carry weights which are the canonical momentum evolving according to an ordinary differential equation which corresponds to EL but is the geodesic reparameterization in canonical momentum. The optimizing vector field is given by

${displaystyle v_{t}doteq arg max_{v}H(phi _{t},p_{t},v)}$

with dynamics of canonical momentum reparameterizing the vector field along the geodesic

${displaystyle {egin{cases}{dot {phi }}_{t}={frac {partial H(phi _{t},p_{t})}{partial p}}{dot {p}}_{t}=-{frac {partial H(phi _{t},p_{t})}{partial phi }}end{cases}}}$

(Hamiltonian-Dynamics)

Stationarity of the Hamiltonian and kinetic energy along Euler–Lagrange

Whereas the vector fields are extended across the entire background space of ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$, the geodesic flows associated to the submanifolds has Eulerian shape momentum which evolves as a generalized function ${displaystyle Av_{t}in V^{*}}$ concentrated to the submanifolds. For landmarks^[90][91][92] то geodesics have Eulerian shape momentum which are a superposition of delta distributions travelling with the finite numbers of particles; the diffeomorphic flow of coordinates have velocities in the range of weighted Green's Kernels. For surfaces, the momentum is a surface integral of delta distributions travelling with the surface.^[11]

The geodesics connecting coordinate systems satisfying EL-General have stationarity of the Lagrangian. The Hamiltonian is given by the extremum along the path ${displaystyle tin [0,1]}$, ${displaystyle H(phi ,p)=max _{v}H(phi ,p,v)}$, равный Lagrangian-Kinetic-Energy and is stationary along EL-General. Defining the geodesic velocity at the identity ${displaystyle v_{0}=arg max _{v}H(phi _{0},p_{0},v)}$, then along the geodesic

${displaystyle H(phi _{t},p_{t})=H(phi _{0},p_{0})={frac {1}{2}}int _{X}p_{0}cdot v_{0}dx={frac {1}{2}}int _{X}Av_{0}cdot v_{0}dx={frac {1}{2}}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dx}$

(Hamiltonian-Geodesics)

The stationarity of the Hamiltonian demonstrates the interpretation of the Lagrange multiplier as momentum; integrated against velocity ${displaystyle {dot {phi }}}$ gives energy density. The canonical momentum has many names. В оптимальный контроль, the flows ${ displaystyle phi}$ is interpreted as the state, and ${ displaystyle p}$ is interpreted as conjugate state, or conjugate momentum.^[93] The geodesi of EL implies specification of the vector fields ${ displaystyle v_ {0}}$ or Eulerian momentum ${displaystyle Av_{0}}$ в ${ displaystyle t = 0}$, or specification of canonical momentum ${ displaystyle p_ {0}}$ determines the flow.

The metric on geodesic flows of landmarks, surfaces, and volumes within the orbit

In computational anatomy the submanifolds are pointsets, curves, surfaces and subvolumes which are the basic primitives. The geodesic flows between the submanifolds determine the distance, and form the basic measuring and transporting tools of диффеоморфометрия. В ${ displaystyle t = 0}$ the geodesic has vector field ${displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ determined by the conjugate momentum and the Green's kernel of the inertial operator defining the Eulerian momentum ${displaystyle K=A^{-1}}$. The metric distance between coordinate systems connected via the geodesic determined by the induced distance between identity and group element:

${displaystyle d_{Diff_{V}}(id,varphi )=|Log_{id}(varphi )|_{V}=|v_{0}|_{V}={sqrt {2H(id,p_{0})}}}$

Законы сохранения on diffeomorphic shape momentum for computational anatomy

Given the least-action there is a natural definition of momentum associated to generalized coordinates; the quantity acting against velocity gives energy. The field has studied two forms, the momentum associated to the Eulerian vector field termed Eulerian diffeomorphic shape momentum, and the momentum associated to the initial coordinates or canonical coordinates termed canonical diffeomorphic shape momentum. Each has a conservation law. The conservation of momentum goes hand in hand with the EL-General. In computational anatomy, ${ displaystyle Av}$ is the Eulerian Импульс since when integrated against Eulerian velocity ${ displaystyle v}$ gives energy density; оператор ${ displaystyle A}$ the generalized момент инерции or inertial operator which acting on the Eulerian velocity gives momentum which is conserved along the geodesic:

${displaystyle {egin{matrix}{ ext{Eulerian}}& {frac {d}{dt}}int _{X}Av_{t}cdot ((Dphi _{t})w)circ phi _{t}^{-1})dx=0 , tin [0,1].&{ ext{Canonical}}& {frac {d}{dt}}int _{X}p_{t}cdot ((Dphi _{t})w)dx=0 , tin [0,1] { ext{ for all}} win V .end{matrix}}}$

(Euler-Conservation-Constant-Energy)

Conservation of Eulerian shape momentum was shown in^[94] and follows from EL-General; conservation of canonical momentum was shown in^[81]

Geodesic interpolation of information between coordinate systems via variational problems

Construction of diffeomorphic correspondences between shapes calculates the initial vector field coordinates ${displaystyle v_{0}in V}$ and associated weights on the Greens kernels ${ displaystyle p_ {0}}$. These initial coordinates are determined by matching of shapes, called Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping (LDDMM). LDDMM has been solved for landmarks with and without correspondence^{[32][95][96][97][98]} and for dense image matchings.^[99][100] кривые,^[101] поверхности,^[41][102] плотный вектор^[103] и тензор^[104] изображения и варифолды, меняющие ориентацию.^[105] LDDMM calculates geodesic flows of the EL-General onto target coordinates, adding to the action integral ${displaystyle {frac {1}{2}}int _{0}^{1}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dxdt}$ an endpoint matching condition ${displaystyle E:phi _{1} ightarrow R^{+}}$ measuring the correspondence of elements in the orbit under coordinate system transformation. Existence of solutions were examined for image matching.^[24] The solution of the variational problem satisfies the EL-General за ${displaystyle tin [0,1)}$ with boundary condition.

Matching based on minimizing kinetic energy action with endpoint condition

${displaystyle { ext{min}}_{phi :v={dot {phi }}circ phi ^{-1},phi _{0}=id}C(phi )doteq {frac {1}{2}}int _{0}^{1}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dxdt+E(phi _{1})}$

${displaystyle {egin{cases}{ ext{Euler Conservation}} & {frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0, tin [0,1) ,{ ext{Boundary Condition}}& phi _{0}=id,Av_{1}=-{frac {partial E(phi )}{partial phi }}|_{phi =phi _{1}} .end{cases}}}$

Conservation from EL-General extends the B.C. в ${displaystyle t=1}$ to the rest of the path ${displaystyle tin [0,1)}$. The inexact matching problem with the endpoint matching term ${displaystyle E(phi _{1})}$ has several alternative forms. One of the key ideas of the stationarity of the Hamiltonian along the geodesic solution is the integrated running cost reduces to initial cost at t=0, geodesics of the EL-General are determined by their initial condition ${ displaystyle v_ {0}}$.

The running cost is reduced to the initial cost determined by ${displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ из Kernel-Surf.-Land.-Geodesics.

Matching based on geodesic shooting

${displaystyle min _{v_{0}}C(v_{0})doteq {frac {1}{2}}int _{X}Av_{0}cdot v_{0}dx+E(mathrm {Exp} _{mathrm {id} }(v_{0})cdot I_{0}) ;}$

${displaystyle min _{p_{0}}C(p_{0})={frac {1}{2}}int _{X}p_{0}cdot Kp_{0}dx+E(mathrm {Exp} _{ ext{id}}(Kp_{0})cdot I_{0})}$

The matching problem explicitly indexed to initial condition ${ displaystyle v_ {0}}$ is called shooting, which can also be reparamerized via the conjugate momentum ${ displaystyle p_ {0}}$.

Dense image matching in computational anatomy

Dense image matching has a long history now with the earliest efforts^[106][107] exploiting a small deformation framework. Large deformations began in the early 1990s,^[18][19] with the first existence to solutions to the variational problem for flows of diffeomorphisms for dense image matching established in.^[24] Beg solved via one of the earliest LDDMM algorithms based on solving the variational matching with endpoint defined by the dense imagery with respect to the vector fields, taking variations with respect to the vector fields.^[99] Another solution for dense image matching reparameterizes the optimization problem in terms of the state ${ displaystyle q_ {t} doteq I circ phi _ {t} ^ {- 1}, q_ {0} = I}$ giving the solution in terms of the infinitesimal action defined by the адвекция уравнение.^{[11][27][100]}

LDDMM dense image matching

For Beg's LDDMM, denote the Image ${displaystyle I(x),xin X}$ with group action ${displaystyle phi cdot Idoteq Icirc phi ^{-1}}$. Viewing this as an optimal control problem, the state of the system is the diffeomorphic flow of coordinates ${ displaystyle phi _ {t}, т дюйм [0,1]}$, with the dynamics relating the control ${ displaystyle v_ {t}, t in [0,1]}$ to the state given by ${displaystyle {dot {phi }}=vcirc phi }$. The endpoint matching condition ${displaystyle E(phi _{1})doteq |Icirc phi _{1}^{-1}-I^{prime }|^{2}}$ дает вариационную задачу

${displaystyle {egin{matrix}& min _{v:{dot {phi }}=vcirc phi }C(v)doteq {frac {1}{2}}int _{0}^{1}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dxdt+{frac {1}{2}}int _{{mathbb {R} }^{3}}|Icirc phi _{1}^{-1}(x)-I^{prime }(x)|^{2}dxend{matrix}}}$

(Dense-Image-Matching)

${displaystyle {egin{cases}&{ ext{Endpoint Condition:}} Av_{1}=mu _{1}dx,mu _{1}=(Icirc phi _{1}^{-1}-I^{prime }) abla (Icirc phi _{1}^{-1}) ,&{ ext{Conservation:}} Av_{t}=mu _{t},dx, mu _{t}=(Dphi _{t}^{-1})^{T}mu _{0}circ phi _{t}^{-1}|Dphi _{t}^{-1}| .& mu _{0}=(I-I^{prime }circ phi _{1}) abla I|Dphi _{1}| .end{cases}}}$

Beg's iterative LDDMM algorithm has fixed points which satisfy the necessary optimizer conditions. The iterative algorithm is given in Beg's LDDMM algorithm for dense image matching.

Hamiltonian LDDMM in the reduced advected state

Denote the Image ${displaystyle I(x),xin X}$, with state ${displaystyle q_{t}doteq Icirc phi _{t}^{-1}}$ and the dynamics related state and control given by the advective term ${ displaystyle { dot {q}} _ {t} = - nabla q_ {t} cdot v_ {t}}$. The endpoint ${displaystyle E(q_{1})doteq |q_{1}-I^{prime }|^{2}}$ дает вариационную задачу

${displaystyle {egin{matrix}& min _{q:{dot {q}}=vcirc q}C(v)doteq {frac {1}{2}}int _{0}^{1}int _{X}Av_{t}cdot v_{t}dxdt+{frac {1}{2}}int _{{mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-I^{prime }(x)|^{2}dxend{matrix}}}$

(Dense-Image-Matching)

Viallard's iterative Hamiltonian LDDMM has fixed points which satisfy the necessary optimizer conditions.

Diffusion tensor image matching in computational anatomy

Image showing a diffusion tensor image with three color levels depicting the orientations of the three eigenvectors of the matrix image ${displaystyle I(x),xin {mathbb {R} }^{2}}$, matrix valued image; each of three colors represents a direction.

Dense LDDMM tensor matching^[104][108] takes the images as 3x1 vectors and 3x3 tensors solving the variational problem matching between coordinate system based on the principle eigenvectors of the diffusion tensor MRI image (DTI) denoted ${displaystyle M(x),xin {mathbb {R} }^{3}}$ состоящий из ${ displaystyle 3 times 3}$-tensor at every voxel. Several of the group actions defined based on the Frobenius матричная норма between square matrices ${displaystyle |A|_{F}^{2}doteq traceA^{T}A}$ . Shown in the accompanying figure is a DTI image illustrated via its color map depicting the eigenvector orientations of the DTI matrix at each voxel with color determined by the orientation of the directions.Denote the ${ displaystyle 3 times 3}$ tensor image ${displaystyle M(x),xin {mathbb {R} }^{3}}$ with eigen-elements ${displaystyle {lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3}}$, ${displaystyle lambda _{1}geq lambda _{2}geq lambda _{3}}$.

Coordinate system transformation based on DTI imaging has exploited two actions one based on the principle eigen-vector or entire matrix.

Согласование LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии создает изображение ${ Displaystyle I (х), х in { mathbb {R}} ^ {3}}$ как единичное векторное поле, определяемое первым собственным вектором. Групповое действие становится

${displaystyle varphi cdot I={egin{cases}{frac {D_{varphi ^{-1}}varphi Icirc varphi ^{-1}|Icirc varphi ^{-1}|}{|D_{varphi ^{-1}}varphi Icirc varphi ^{-1}|}}Î varphi eq 0;�&{ ext{otherwise.}}end{cases}}}$

LDDMM matching based on the entire tensor matrixhas group action becomes ${ displaystyle varphi cdot M = ( lambda _ {1} { hat {e}} _ {1} { hat {e}} _ {1} ^ {T} + lambda _ {2} { hat {e}} _ {2} { hat {e}} _ {2} ^ {T} + lambda _ {3} { hat {e}} _ {3} { hat {e}} _ {3} ^ {T}) circ varphi ^ {- 1},}$ преобразованные собственные векторы

${ displaystyle { begin {align} { hat {e}} _ {1} & = { frac {D varphi e_ {1}} { | D varphi e_ {1} |}} , { hat {e}} _ {2} = { frac {D varphi e_ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, D varphi e_ {2} rangle { hat {e}} _ {1}} { sqrt { | D varphi e_ {2} | ^ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, D varphi e_ {2} rangle ^ {2}}}} , { hat {e}} _ {3} = { hat {e}} _ {1} times { hat {e}} _ {2} end {align}}}$.

The variational problem matching onto the principal eigenvector or the matrix is describedLDDMM Tensor Image Matching.

High Angular Resolution Diffusion Image (HARDI) matching in computational anatomy

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокна в каждом месте. HARDI измеряет распространение по ${ displaystyle n}$ uniformly distributed directions on the sphere and can characterize more complex fiber geometries. HARDI can be used to reconstruct an orientation distribution function (ODF) that characterizes the angular profile of the diffusion probability density function of water molecules. ODF - это функция, определенная на единичной сфере, ${ Displaystyle { mathbb {S}} ^ {2}}$.

Dense LDDMM ODF matching ^[109] takes the HARDI data as ODF at each voxel and solves the LDDMM variational problem in the space of ODF. В области информационная геометрия,^[110] the space of ODF forms a Riemannian manifold with the Fisher-Rao metric. For the purpose of LDDMM ODF mapping, the square-root representation is chosen because it is one of the most efficient representations found to date as the various Riemannian operations, such as geodesics, exponential maps, and logarithm maps, are available in closed form. In the following, denote square-root ODF (${ displaystyle { sqrt { text {ODF}}}}$) в качестве ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$, куда ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$ неотрицателен для обеспечения уникальности и ${ displaystyle int _ { bf {s}} in { mathbb {S}} ^ {2}} psi ^ {2} ({ bf {s}}) d { bf {s} } = 1}$. The variational problem for matching assumes that two ODF volumes can be generated from one to another via flows of diffeomorphisms ${ displaystyle phi _ {t}}$, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений ${displaystyle {dot {phi }}_{t}=v_{t}(phi _{t}),tin [0,1],}$ starting from the identity map ${displaystyle phi _{0}={id}}$. Denote the action of the diffeomorphism on template as ${displaystyle phi _{1}cdot psi _{mathrm {temp} }({f {s}},x)}$, ${ displaystyle { bf {s}} in {{ mathbb {S}} ^ {2}}}$, ${ displaystyle x in X}$ are respectively the coordinates of the unit sphere, ${displaystyle {{mathbb {S} }^{2}}}$ and the image domain, with the target indexed similarly, ${ displaystyle psi _ { mathrm {targ}} ({ bf {s}}, x)}$,${ displaystyle { bf {s}} in {{ mathbb {S}} ^ {2}}}$,${ displaystyle x in X}$.

Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается согласно

${ displaystyle phi _ {1} cdot psi (x) doteq (D phi _ {1}) psi circ phi _ {1} ^ {- 1} (x), x in X }$,

куда ${ displaystyle (D phi _ {1})}$ является якобианом аффинно преобразованного ODF и определяется как${ Displaystyle { begin {align} (D phi _ {1}) psi circ phi _ {1} ^ {- 1} (x) = { sqrt { frac { det {{ bigl) (} D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1}}} { left | {{ bigl (} D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1}} { bf {s}} right | ^ {3}}}} quad psi left ({ frac {(D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1} { bf {s}}} { | (D_ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1} { bf {s}} |}}, phi _ {1} ^ {- 1 } (x) right). end {align}}}$