Диффеоморфное метрическое отображение больших деформаций - Википедия - Large deformation diffeomorphic metric mapping

Похоже, что один из основных авторов этой статьи тесная связь со своим предметом. Может потребоваться очистка для соответствия политике содержания Википедии, в частности нейтральная точка зрения. Пожалуйста, обсудите подробнее страница обсуждения. (Декабрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации (LDDMM) представляет собой специальный набор алгоритмов, используемых для диффеоморфного отображения и управления плотными изображениями на основе диффеоморфное метрическое отображение в рамках учебной дисциплины вычислительная анатомия, чтобы отличаться от его предшественника на основе диффеоморфное отображение. Различие между ними состоит в том, что диффеоморфные метрические отображения удовлетворяют тому свойству, что длина, связанная с их потоком от единицы, индуцирует метрику на группа диффеоморфизмов, что, в свою очередь, индуцирует метрику на орбите формы и формы в области Вычислительная анатомия. Изучение фигур и форм с метрикой диффеоморфного метрического отображения называется диффеоморфометрия.

А диффеоморфное отображение Система - это система, предназначенная для отображения, обработки и передачи информации, которая хранится во многих типах пространственно распределенных медицинских изображений.

Диффеоморфное картирование - это базовая технология для отображения и анализа информации, измеренной в анатомических системах координат человека, которые были измерены с помощью медицинской визуализации.^{[нужна цитата ]}. Диффеоморфное отображение - это широкий термин, который на самом деле относится к ряду различных алгоритмов, процессов и методов. Он привязан ко многим операциям и имеет множество приложений для анализа и визуализации. Диффеоморфное отображение можно использовать для связи различных источников информации, которые индексируются как функция пространственного положения в качестве ключевой переменной индекса. Диффеоморфизмы по своей латинской корневой структуре сохраняют преобразования, которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми и, следовательно, гладкими, что позволяет вычислять такие метрические величины, как длина дуги и площадь поверхности. Пространственное положение и размеры в анатомических системах координат человека могут быть записаны с помощью различных методов медицинской визуализации, обычно называемых мультимодальными медицинскими изображениями, обеспечивающими либо скалярные, либо векторные величины в каждом пространственном местоположении. Примеры скалярные Т1 или Т2 магнитно-резонансная томография, или в виде матриц тензора диффузии 3x3 диффузная МРТ и диффузионно-взвешенная визуализация, до скалярных плотностей, связанных с компьютерная томография (CT) или функциональные изображения, такие как временные данные функциональная магнитно-резонансная томография и скалярные плотности, такие как Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ).

Вычислительная анатомия - это дисциплина в более широкой области нейроинформатика в биоинформатика и медицинская визуализация. Первым алгоритмом отображения плотных изображений с помощью диффеоморфного отображения метрик был LDDMM Бега.^[1][2] для объемов и сопоставления ориентиров Джоши для наборов точек с соответствием,^[3][4] с алгоритмами LDDMM, которые теперь доступны для вычисления диффеоморфных метрических карт между несоответствующими ориентирами^[5] и знаковое соответствие, присущее сферическим многообразиям,^[6] кривые,^[7] токи и поверхности,^[8][9][10] тензоры,^[11] варифолды^[12] и временные ряды.^[13][14][15] Термин LDDMM впервые был введен как часть Национальные институты здоровья поддержанный Сеть исследований в области биомедицинской информатики.^[16]

В более общем смысле диффеоморфное отображение - это любое решение, которое регистрирует или строит соответствия между плотными системами координат в медицинской визуализации, гарантируя, что решения диффеоморфны. В настоящее время существует множество кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации.^[17] включая муравьев,^[18] ДАРТЕЛ,^[19] ДЕМОНЫ,^[20] Стационарный ЛДДММ,^[21] FastLDDMM,^[22][23] как примеры активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Различие между диффеоморфным метрическим отображением, лежащим в основе LDDMM, и самыми ранними методами диффеоморфного отображения заключается во введении принципа наименьшего действия Гамильтона, в котором выбираются большие деформации наименьшей длины, соответствующие геодезическим потокам. Это важное различие вытекает из первоначальной формулировки Риманова метрика соответствующая правоинвариантности. Длины этих геодезических дают метрику в структуре метрического пространства анатомии человека. Негеодезические формулировки диффеоморфных отображений, вообще говоря, не соответствуют никаким метрическим формулировкам.

История развития

Диффеоморфное отображение трехмерной информации в системах координат является центральным элементом высокого разрешения. Медицинская визуализация и площадь Нейроинформатика в новой области биоинформатики. Диффеоморфная маИспользование трехмерных систем координат, измеренных с помощью плотных изображений с высоким разрешением, имеет долгую историю в трехмерном пространстве, начиная с Компьютерная аксиальная томография (Компьютерная томография) в начале 80-х группой Университета Пенсильвании под руководством Рузена Байчи,^[24] и впоследствии Ульф Гренандер школа в Брауновский университет с РУЧНЫМИ экспериментами.^[25][26] В 90-х годах было несколько решений для регистрации изображений, которые были связаны с линеаризацией небольшая деформация и нелинейная эластичность.^{[27][28][29][30][31]}

В центре внимания подполя Вычислительная анатомия (CA) в медицинская визуализация отображает информацию в анатомических системах координат с точностью до 1 миллиметра морфома шкала. В CA отображение плотной информации, измеряемой в пределах Магнитно-резонансное изображение Системы координат на основе (МРТ), такие как в мозге, были решены путем неточного сопоставления трехмерных МРТ-изображений друг с другом. Самое раннее введение использования диффеоморфное отображение через большая деформация потоки диффеоморфизмы для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинской визуализации был Кристенсен, Рэббитт и Миллер ^[17][32] и Труве.^[33] Введение потоков, которые сродни уравнениям движения, используемым в гидродинамике, используют представление о том, что плотные координаты в анализе изображений следуют Лагранжево и эйлерово уравнения движения. Эта модель становится более подходящей для поперечных исследований, в которых мозг и / или сердце не обязательно являются деформациями одного по отношению к другому. Методы, основанные на линейной или нелинейной энергии упругости, которая растет по мере удаления от карты идентичности шаблона, не подходят для поперечного исследования. Скорее, в моделях, основанных на лагранжевых и эйлеровых потоках диффеоморфизмов, ограничение связано с топологическими свойствами, такими как сохранение открытых множеств, непересекающиеся координаты, подразумевающие единственность и существование обратного отображения, и связанные множества, оставшиеся связными. Использование диффеоморфных методов быстро стало доминировать в области картографических методов после оригинальной статьи Кристенсена, и стали доступны быстрые и симметричные методы.^[19][34]

Такие методы мощны тем, что вводят понятия регулярности решений, так что их можно дифференцировать и вычислять локальные обратные. Недостатки этих методов заключаются в том, что не было связанного глобального свойства наименьшего действия, которое могло бы оценивать потоки с минимальной энергией. Это контрастирует с геодезическими движениями, которые занимают центральное место в изучении Кинематика жесткого тела и многие проблемы решены в Физика через Принцип наименьшего действия Гамильтона. В 1998 году Дюпюи, Гренандер и Миллер^[35] установлены условия, гарантирующие существование решений плотного согласования изображений в пространстве потоков диффеоморфизмов. Эти условия требуют действия, штрафующего кинетическую энергию, измеренную через норму Соболева на пространственных производных потока векторных полей.

Код диффеоморфного метрического отображения с большой деформацией (LDDMM), который Фейсал Бег разработал и реализовал для своей докторской диссертации в Университете Джона Хопкинса.^[36] разработал самый ранний алгоритмический код, который решал потоки с фиксированными точками, удовлетворяющие необходимым условиям для задачи сопоставления плотных изображений с минимальным действием. В вычислительной анатомии теперь есть много кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации.^[17] включая муравьев,^[18] ДАРТЕЛ,^[19] ДЕМОНЫ,^[37] ЛДДММ,^[2] СтационарныйLDDMM^[21] как примеры активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Эти методы большой деформации были распространены на ориентиры без регистрации путем сопоставления размеров,^[38] кривые,^[39] поверхности,^[40] плотный вектор^[41] и тензор ^[42] изображения и варифолды, меняющие ориентацию.^[43]

Модель орбиты диффеоморфизма в вычислительной анатомии

Деформируемая форма в Вычислительная анатомия (CA)^{[44][45][46][47]}изучается с помощью диффеоморфного картирования для установления соответствий между анатомическими координатами в медицинской визуализации. В этой настройке трехмерные медицинские изображения моделируются как случайная деформация некоторого образца, называемого шаблоном. ${ displaystyle I_ {temp}}$, с элементом набора наблюдаемых изображений в случайном орбитальная модель КА для изображений ${ Displaystyle I in { mathcal {I}} doteq {I = I_ {temp} circ varphi, varphi in Diff_ {V} }}$. Шаблон отображается на цель путем определения вариационной задачи, в которой шаблон преобразуется с помощью диффеоморфизма, используемого в качестве изменения координаты, чтобы минимизировать условие сопоставления квадратичной ошибки между преобразованным шаблоном и целью.

Диффеоморфизмы порождаются гладкими потоками ${ displaystyle phi _ {t}, т дюйм [0,1]}$ , с ${ Displaystyle varphi doteq phi _ {1}}$, удовлетворяя Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения связанное с обыкновенным дифференциальным уравнением,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id}$,

с ${ displaystyle v_ {t}, t in [0,1]}$ то Эйлеров векторных полей, определяющих поток. векторные поля гарантированно однократно непрерывно дифференцируемы ${ displaystyle v_ {t} in C ^ {1}}$ моделируя их, чтобы они были в гладкое гильбертово пространство ${ displaystyle v in V}$ поддерживающая 1-непрерывную производную.^[48] Обратное ${ displaystyle phi _ {t} ^ {- 1}, t in [0,1]}$ определяется векторным полем Эйлера с потоком, задаваемым

${ displaystyle { frac {d} {dt}} phi _ {t} ^ {- 1} = - (D phi _ {t} ^ {- 1}) v_ {t}, phi _ { 0} ^ {- 1} = id .}$

(Обратный транспортный поток)

Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов с обратными, векторные поля с компонентами в ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ должен быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемым в пространстве^[49][50] которые моделируются как элементы гильбертова пространства ${ Displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ с использованием Соболев теоремы вложения так, чтобы каждый элемент ${ displaystyle v_ {i} in H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ имеет 3-кратно интегрируемые с квадратом слабые производные. Таким образом ${ Displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ плавно вкладывается в одноразовые непрерывно дифференцируемые функции.^[37][50] Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемые в норме Соболева

${ displaystyle Diff_ {V} doteq { varphi = phi _ {1}: { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = id, int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} dt < infty } .}$

(Группа диффеоморфизмов)

Вариационная задача сопоставления плотных изображений и сопоставления разреженных ориентиров

Алгоритм LDDMM для плотного сопоставления изображений

В CA пространство векторных полей ${ Displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ моделируются как воспроизводящее гильбертово пространство ядра (RKHS) определяется 1-1, дифференциальным оператором${ displaystyle A: V rightarrow V ^ {*}}$ определение нормы ${ Displaystyle | v | _ {V} ^ {2} doteq int _ {R ^ {3}} Av cdot vdx, v in V ,}$ где интеграл вычисляется интегрированием по частям при ${ displaystyle Av}$ является обобщенной функцией в двойственном пространстве ${ Displaystyle V ^ {*}}$. Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро ​​Грина, обратное оператору, было непрерывно дифференцируемым по каждой переменной, что означает, что векторные поля поддерживают 1-непрерывную производную; видеть^[48] необходимых условий на норму существования решений.

Оригинальные алгоритмы диффеоморфного метрического отображения больших деформаций (LDDMM) Бега, Миллера, Трува, Юнеса^[51] был получен с вариациями относительно параметризации векторного поля группы, поскольку ${ Displaystyle v = { точка { phi}} circ phi ^ {- 1}}$ находятся в векторных пространствах. Бег решил плотное сопоставление изображений, минимизируя интеграл действия кинетической энергии диффеоморфного потока, в то же время минимизируя срок сопоставления конечных точек в соответствии с

• Итерационный алгоритм Бега для плотного сопоставления изображений

Обновить до схождения, ${ displaystyle phi _ {t} ^ {old} leftarrow phi _ {t} ^ {new}}$ каждая итерация, с ${ Displaystyle phi _ {t1} doteq phi _ {1} circ phi _ {t} ^ {- 1}}$:

${ displaystyle { begin {case} & v_ {t} ^ {new} ( cdot) = v_ {t} ^ {old} ( cdot) - epsilon (v_ {t} ^ {old} - int _ {R ^ {3}} K ( cdot, y) (I circ phi _ {t} ^ {- 1old} (y) -J circ phi _ {t1} ^ {old} (y)) nabla (I circ phi _ {t} ^ {- 1old} (y)) | D phi _ {t1} ^ {old} (y) | dy), t in [0,1] & { dot { phi}} _ {t} ^ {new} = v_ {t} ^ {new} circ phi _ {t} ^ {new}, t in [0,1] end { случаи}}}$

(Beg-LDDMM-итерация)

Отсюда следует, что неподвижная точка в точке ${ displaystyle t = 0}$ удовлетворяет

${ displaystyle mu _ {0} ^ {*} = Av_ {0} ^ {*} = (IJ circ phi _ {1} ^ {*}) nabla I | D phi _ {1} ^ {*} |}$,

что, в свою очередь, означает, что он удовлетворяет уравнению Сохранения, заданному Условие соответствия конечной точки в соответствии с

${ displaystyle Av_ {t} ^ {*} = (D phi _ {t} ^ {* - 1}) ^ {T} Av_ {0} ^ {*} circ phi _ {t} ^ {* -1} | D phi _ {t} ^ {* - 1} |}$

^[52][53]

LDDMM зарегистрировал соответствие ориентира

Задача сопоставления ориентиров имеет точечное соответствие, определяющее условие конечной точки с геодезическими, заданными следующим минимумом:

${ displaystyle min _ {v: { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}} C (v) doteq { frac {1} {2} } int _ {0} ^ {1} int _ {R ^ {3}} Av_ {t} cdot v_ {t} dxdt + { frac {1} {2}} sum _ {i} ( phi _ {1} (x_ {i}) - y_ {i}) cdot ( phi _ {1} (x_ {i}) - y_ {i})}$;

На рисунке показано сопоставление плотных изображений LDMM. Верхний ряд показывает перемещение изображения под потоком. ${ displaystyle I circ phi _ {t} ^ {- 1}}$; средняя строка показывает последовательность векторных полей ${ displaystyle v_ {t},}$t = 0,1 / 5,2 / 5,3 / 5,4 / 5,1; нижняя строка показывает последовательность сеток под ${ displaystyle phi _ {t}.}$

• Итерационный алгоритм сопоставления ориентиров

Джоши первоначально определил зарегистрированную проблему сопоставления ориентиров.^[3] Обновить до схождения, ${ displaystyle phi _ {t} ^ {old} leftarrow phi _ {t} ^ {new}}$ каждая итерация, с ${ Displaystyle phi _ {t1} doteq phi _ {1} circ phi _ {t} ^ {- 1}}$:

${ displaystyle { begin {case} & v_ {t} ^ {new} ( cdot) = v_ {t} ^ {old} ( cdot) - epsilon (v_ {t} ^ {old} + sum _ {i} K ( cdot, phi _ {t} ^ {old} (x_ {i})) (D phi _ {t1}) ^ {oldT} | _ { phi _ {t} ^ {old } (x_ {i})} (y_ {i} - phi _ {1} ^ {old} (x_ {i})), t in [0,1] & { dot { phi} } _ {t} ^ {new} = v_ {t} ^ {new} circ phi _ {t} ^ {new}, t in [0,1] end {case}}}$

(Ориентир-LDDMM-итерация)

Отсюда следует, что неподвижная точка удовлетворяет

${ displaystyle Av_ {0} = - sum _ {i} (D phi _ {1}) (x_ {i}) ^ {T} (y_ {i} - phi _ {1} (x_ {i })) delta _ {x_ {i}}}$

с

${ displaystyle Av_ {t} = - sum _ {i} (D phi _ {t1}) ^ {T} | _ { phi _ {t} (x_ {i})} (y_ {i} - phi _ {1} (x_ {i})) delta _ { phi _ {t} (x_ {i})}}$.

Варианты для плотного изображения LDDMM и сопоставления ориентиров

В Вариационное исчисление использовался в Beg^[49][53] вывести итерационный алгоритм как решение, которое, когда оно сходится, удовлетворяет необходимым условиям максимизатора, заданным необходимыми условиями для вариации первого порядка, требующей изменения конечной точки относительно вариации первого порядка векторного поля. Производная по направлению вычисляет Производная Гато как рассчитано в оригинальной статье Бега^[49] и.^[54][55]

LDDMM Diffusion Tensor Image Matching

Согласование LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии создает изображение ${ Displaystyle I (х), х in { mathbb {R}} ^ {3}}$ как единичное векторное поле, определяемое первым собственным вектором.^[41]Групповое действие становится

${ displaystyle varphi cdot I = { begin {cases} { frac {D _ { varphi ^ {- 1}} varphi I circ varphi ^ {- 1} | I circ varphi ^ { -1} |} { | D _ { varphi ^ {- 1}} varphi I circ varphi ^ {- 1} |}} & I circ varphi neq 0, 0 & { text {в противном случае.}} end {case}}}$

куда ${ displaystyle | cdot |}$ что обозначает норму квадратичной ошибки изображения.

Сопоставление LDDMM на основе всей тензорной матрицы^[56] имеет групповое действие ${ displaystyle varphi cdot M = ( lambda _ {1} { hat {e}} _ {1} { hat {e}} _ {1} ^ {T} + lambda _ {2} { hat {e}} _ {2} { hat {e}} _ {2} ^ {T} + lambda _ {3} { hat {e}} _ {3} { hat {e}} _ {3} ^ {T}) circ varphi ^ {- 1},}$ преобразованные собственные векторы

${ displaystyle { begin {align} { hat {e}} _ {1} & = { frac {D varphi e_ {1}} { | D varphi e_ {1} |}} , { hat {e}} _ {2} = { frac {D varphi e_ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, D varphi e_ {2} rangle { hat {e}} _ {1}} { sqrt { | D varphi e_ {2} | ^ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, D varphi e_ {2} rangle ^ {2}}}} , { hat {e}} _ {3} = { hat {e}} _ {1} times { hat {e}} _ {2} end {align}}}$.

Задача плотного согласования на главный собственный вектор DTI

Вариационная задача сопоставления на векторное изображение ${ Displaystyle I ^ { prime} (х), х in { mathbb {R}} ^ {3}}$с конечной точкой

${ Displaystyle E ( phi _ {1}) doteq alpha int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} | phi _ {1} cdot II ^ { prime} | ^ {2} , dx + beta int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} ( | phi _ {1} cdot I | - | I ^ { prime} | ) ^ {2} , dx).}$

становится

${ displaystyle min _ {v: { dot { phi}} circ phi ^ {- 1}} { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {R ^ {3}} Av_ {t} cdot v_ {t} dxdt + alpha int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} | phi _ {1} cdot II ^ { prime} | ^ {2} , dx + beta int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} ( | phi _ {1} cdot I | - | I ^ { простое число} |) ^ {2} , dx .}$

Задача плотного сопоставления на DTI MATRIX

Сопоставление вариационной задачи на:${ displaystyle M ^ { prime} (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}}$ с конечной точкой

${ Displaystyle E ( phi _ {1}) doteq int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} | phi _ {1} cdot M (x) -M ^ { prime } (х) | _ {F} ^ {2} dx}$

с ${ Displaystyle | cdot | _ {F}}$ Норма Фробениуса, дающая вариационную задачу

${ displaystyle min _ {v: v = { dot { phi}} circ phi ^ {- 1}} { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {R ^ {3}} Av_ {t} cdot v_ {t} dxdt + alpha int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} | phi _ {1} cdot M ( x) -M ^ { prime} (x) | _ {F} ^ {2} dx}$

(Плотный тензорDTI-Matching)

LDDMM ODF

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокна в каждом месте. HARDI измеряет распространение по ${ displaystyle n}$ равномерно распределенные направления на сфере и могут характеризовать более сложные геометрические формы волокон путем восстановления функции распределения ориентаций (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF - это функция, определенная на единичной сфере, ${ Displaystyle { mathbb {S}} ^ {2}}$.^[57] Обозначим квадратный корень ODF (${ displaystyle { sqrt { text {ODF}}}}$) в качестве ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$, куда ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$ неотрицателен для обеспечения уникальности и ${ displaystyle int _ { bf {s}} in { mathbb {S}} ^ {2}} psi ^ {2} ({ bf {s}}) d { bf {s} } = 1}$. Метрика определяет расстояние между двумя ${ displaystyle { sqrt { text {ODF}}}}$ функции ${ Displaystyle psi _ {1}, psi _ {2} in Psi}$ в качестве

${ displaystyle { begin {align} rho ( psi _ {1}, psi _ {2}) = | log _ { psi _ {1}} ( psi _ {2}) | _ { psi _ {1}} = cos ^ {- 1} langle psi _ {1}, psi _ {2} rangle = cos ^ {- 1} left ( int _ {{ bf {s}} in { mathbb {S}} ^ {2}} psi _ {1} ({ bf {s}}) psi _ {2} ({ bf {s}}) d { bf {s}} right), end {align}}}$

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ - нормальное скалярное произведение между точками на сфере под ${ Displaystyle mathrm {L} ^ {2}}$ метрика. шаблон и цель обозначены${ displaystyle psi _ { mathrm {temp}} ({ bf {s}}, x)}$, ${ displaystyle psi _ { mathrm {targ}} ({ bf {s}}, x)}$,${ displaystyle { bf {s}} in {{ mathbb {S}} ^ {2}}}$${ displaystyle x in X}$ индексируется по единичной сфере и домену изображения, при этом цель индексируется аналогично.

Определите вариационную задачу, предполагая, что два объема ODF могут быть порождены один в другой потоками диффеоморфизмов ${ displaystyle phi _ {t}}$, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} ( phi _ {t}), t in [0,1], phi _ {0} = {id}}$. Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается согласно ${ displaystyle phi _ {1} cdot psi (x) doteq (D phi _ {1}) psi circ phi _ {1} ^ {- 1} (x), x in X }$,куда ${ displaystyle (D phi _ {1})}$ является якобианом аффинно преобразованного ODF и определяется как

${ Displaystyle { begin {align} (D phi _ {1}) psi circ phi _ {1} ^ {- 1} (x) = { sqrt { frac { det {{ bigl) (} D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1}}} { left | {{ bigl (} D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1}} { bf {s}} right | ^ {3}}}} quad psi left ({ frac {(D _ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1} { bf {s}}} { | (D_ { phi _ {1} ^ {- 1}} phi _ {1} { bigr)} ^ {- 1} { bf {s}} |}}, phi _ {1} ^ {- 1 } (x) right). end {align}}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${ displaystyle { begin {align} min _ {v: { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}, phi _ {0} = {id }} int _ {0} ^ {1} int _ {R ^ {3}} Av_ {t} cdot v_ {t} dx dt + lambda int _ {R ^ {3}} | log _ {(D phi _ {1}) psi _ { mathrm {temp}} circ phi _ {1} ^ {- 1} (x)} ( psi _ { mathrm {targ}} (x)) | _ {(D phi _ {1}) psi _ { mathrm {temp}} circ phi _ {1} ^ {- 1} (x)} ^ {2} dx конец {выровнен}}}$.

Гамильтониан LDDMM для плотного сопоставления изображений

Бег решил ранние алгоритмы LDDMM, решая вариационное сопоставление с вариациями по отношению к векторным полям.^[58] Еще одно решение от Vialard,^[59] изменяет параметры задачи оптимизации с точки зрения состояния ${ displaystyle q_ {t} doteq I circ phi _ {t} ^ {- 1}, q_ {0} = I}$, для изображения ${ displaystyle I (x), x in X = R ^ {3}}$, причем уравнение динамики управляет состоянием с помощью управления, заданного в терминах адвекция уравнение согласно ${ displaystyle { dot {q}} _ {t} = - nabla q_ {t} cdot v_ {t}}$. Срок сопоставления конечной точки${ Displaystyle E (q_ {1}) doteq { frac {1} {2}} | q_ {1} -J | ^ {2}}$ дает вариационную задачу:

${ displaystyle { begin {matrix} & min _ {v: { dot {q}} = v circ q} C (v) doteq { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {R ^ {3}} Av_ {t} cdot v_ {t} dxdt + { frac {1} {2}} int _ {{ mathbb {R }} ^ {3}} | q_ {1} (x) -J (x) | ^ {2} dx end {matrix}}}$

(Адвективное состояние-сопоставление изображений)

${ Displaystyle { begin {cases} { text {Гамильтонова динамика}} & { dot {q}} _ {t} = - nabla q_ {t} cdot v_ {t} & { dot {p}} _ {t} = - { text {div}} (p_ {t} v_ {t}), t in [0,1] & Av_ {t} = mu _ {t} = - p_ {t} nabla q_ {t} { text {Endpoint Condition}} & p_ {1} = - { frac { partial E} { partial q_ {1}}} (q_ {1}) = - (q_ {1 } -J) = - (I circ phi _ {1} ^ {- 1} -J) & Av_ {1} = mu _ {1} = ( I circ phi _ {1} ^ {- 1} -J) nabla (I circ phi _ {1} ^ {- 1}) t = 1 . { text {Сохраненная динамика }} & p_ {t} = - (I circ phi _ {t} ^ {- 1} -J circ phi _ {t1}) | D phi _ {t1} | , t in [0,1] . end {case}}}$

(Гамильтоново условие согласования)

Программное обеспечение для диффеоморфного отображения

Программные комплексы содержащие множество алгоритмов диффеоморфного отображения, включают следующее:

• Деформетрика^[60]
• Муравьи^[18]
• ДАРТЕЛ^[61] Морфометрия на основе вокселей (VBM)
• ДЕМОНОВ^[62]
• LDDMM^[2]
• СтационарныйLDDMM^[21]

Облачное программное обеспечение

• MRICloud^[63]

Смотрите также

• Computational anatomy # Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии
• Риманова метрика и скобка Ли в вычислительной анатомии
• Байесовская модель вычислительной анатомии

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Ceritoglu, Can; Ван, Лэй; Селемон, Линн Д .; Чернанский, Джон Дж .; Миллер, Майкл I .; Ратнанатер, Дж. Тилак (28 мая 2010 г.). «Регистрация больших деформаций, диффеоморфных метрических карт, реконструированных трехмерных изображений гистологических срезов и изображений МРТ in vivo». Границы нейробиологии человека. 4: 43. Дои:10.3389 / fnhum.2010.00043. ISSN  1662-5161. ЧВК  2889720. PMID  20577633.