Стоимость денег во времени - Time value of money

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Декабрь 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Приведенная стоимость 1000 долларов на 100 лет вперед. Кривые представляют постоянные ставки дисконтирования 2%, 3%, 5% и 7%.

В временная стоимость денег - широко распространенное предположение, что получение суммы Деньги сейчас, а не на ту же сумму позже. Это можно рассматривать как следствие развитой позже концепции предпочтение времени.

В время стоимость денег - причина, почему интерес выплачивается или зарабатывается: проценты, независимо от того, банковский депозит или долг, компенсирует вкладчику или кредитору временную стоимость денег. Следовательно, это также лежит в основе вложение. Инвесторам готовы отказаться от траты денег сейчас, только если они ожидают благоприятного вернуть об их инвестициях в будущее, чтобы ценность возможность быть доступным позже достаточно высока, чтобы компенсировать предпочтение тратить деньги сейчас; увидеть требуемая норма прибыли.

История

В Талмуд (~ 500 г. н.э.) признает временную стоимость денег. В трактате Маккос На странице 3а Талмуда обсуждается случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок ссуды составлял 30 дней, тогда как на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетели должны выплатить разницу в сумме ссуды «в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги (в течение) тридцати дней ..., и ту же сумму в ситуации, когда от него потребуют предоставить возврат денег (в течение) 10 лет ... Разница в сумме, которую показания (лжесвидетелей) пытались заставить заемщика потерять; следовательно, это сумма, которую они должны заплатить ". ^[1]

Это понятие было позже описано Мартин де Аспилкуэта (1491–1586) Школа Саламанки.

Расчеты

Проблемы временной стоимости денег связаны с чистой стоимостью денежных потоков в разные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: баланс (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежных единицах), периодическая процентная ставка, количество периодов и серия денежных потоков. (В случае долга денежные потоки представляют собой платежи в счет основной суммы долга и процентов; в случае финансового актива это взносы на баланс или снятие с него средств.) В более общем плане денежные потоки могут быть не периодическими, но могут быть указаны индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: процентная ставка 0,5% за период (скажем, в месяц); количество периодов - 60 (месяцев); начальный баланс (в данном случае - долга) - 25 000 единиц; а итоговый баланс - 0 единиц. Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен платить заемщик.

Например, 100 фунтов стерлингов, инвестированных на один год с доходом 5%, будут стоить 105 фунтов стерлингов через год; следовательно, сейчас уплачено 100 фунтов стерлингов и 105 фунтов стерлингов выплачено ровно через год и то и другое имеют такую ​​же ценность для получателя, который ожидает 5% годовых при условии, что инфляция будет равна нулю. То есть 100 фунтов стерлингов, инвестированные на один год под 5% годовых, имеют будущая стоимость 105 фунтов стерлингов при предположении, что инфляция будет равна нулю процентов.^[2]

Этот принцип позволяет оценить вероятный поток доходов в будущем таким образом, чтобы годовой доход был со скидкой а затем складываются вместе, таким образом получая единовременную «текущую стоимость» всего потока доходов; все стандартные вычисления временной стоимости денег выводятся из самого основного алгебраического выражения для Текущее значение будущей суммы, «дисконтированной» к настоящему времени на сумму, равную временной стоимости денег. Например, сумма будущей стоимости ${ displaystyle FV}$ к получению в течение одного года дисконтируется по процентной ставке ${ displaystyle r}$ дать сумму текущей стоимости ${ displaystyle PV}$:

${ displaystyle PV = { frac {FV} {(1 + r)}}}$

Вот некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег:

• Текущее значение: Текущая стоимость будущей суммы денег или потока денежный поток с учетом указанного норма прибыли. Будущие денежные потоки «дисконтируются» на учетная ставка; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже приведенная стоимость будущих денежных потоков. Определение подходящей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то прибыль или обязательства.^[3]
• Приведенная стоимость рента: Аннуитет - это серия равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Примерами являются аренда и арендная плата. Выплаты или поступления происходят в конце каждого периода для обычного аннуитета, в то время как они происходят в начале каждого периода для причитающегося аннуитета.^[4]

Приведенная стоимость вечность представляет собой бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков.^[5]

• Будущее значение: Стоимость актива или денежных средств на указанную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем.^[6]
• Будущая стоимость аннуитета (FVA): Будущая стоимость потока платежей (аннуитет) при условии, что платежи инвестируются с заданной процентной ставкой.

Есть несколько основных уравнений, которые представляют собой перечисленные выше равенства. Решения можно найти, используя (в большинстве случаев) формулы, финансовый калькулятор или электронная таблица. Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и в несколько функций электронных таблиц (например, PV, FV, RATE, NPER и PMT).^[7]

Для любого из приведенных ниже уравнений формулу также можно изменить, чтобы определить одно из других неизвестных. В случае стандартной формулы аннуитета не существует алгебраического решения закрытой формы для процентной ставки (хотя финансовые калькуляторы и программы для работы с электронными таблицами могут легко найти решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто комбинируются для конкретных целей. Например, облигации можно легко оценить, используя эти уравнения. Типичная купонная облигация состоит из двух типов платежей: потока купонных выплат, подобных аннуитету, и единовременной выплаты. возврат капитала в конце облигации зрелость - то есть будущий платеж. Эти две формулы можно объединить для определения приведенной стоимости облигации.

Важное примечание: процентная ставка я - процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, который составляет один платеж в год, я будет годовая процентная ставка. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть преобразована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка по ипотеке с ежемесячными выплатами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. Пример ниже). Увидеть сложные проценты для получения подробной информации о конвертации между различными периодическими процентными ставками.

Норма прибыли в расчетах может быть либо решаемой переменной, либо предварительно определенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму прибыли, стоимость капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных концепций. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для упражнения, а использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, связанных с аннуитетом, необходимо решить, будут ли выплаты производиться в конце каждого периода (известный как обычный аннуитет) или в начале каждого периода (известный как аннуитетный платеж). При использовании финансового калькулятора или электронная таблица, обычно его можно установить для любого расчета. Следующие формулы предназначены для обычной ренты. Для получения ответа на текущую стоимость подлежащей выплате аннуитета, PV обычной аннуитета можно умножить на (1 + я).

Формула

В следующей формуле используются эти общие переменные:

• PV значение в момент времени = 0 (текущее значение)
• FV это значение в момент времени =п (будущая стоимость)
• А - стоимость отдельных платежей в каждом периоде начисления сложных процентов
• п количество периодов (не обязательно целое число)
• я это процентная ставка при котором сумма составляет каждый период
• г скорость роста платежей за каждый период времени

Будущая стоимость настоящей суммы

В будущая стоимость (FV) формула аналогична и использует те же переменные.

${ Displaystyle FV = PV cdot (1 + я) ^ {п}}$

Текущая стоимость будущей суммы

Формула приведенной стоимости - это основная формула временной стоимости денег; каждая из остальных формул выводится из этой формулы. Например, формула аннуитета представляет собой сумму ряда расчетов текущей стоимости.

В Текущее значение (PV) формула имеет четыре переменных, каждая из которых может быть решена с помощью численные методы:

${ Displaystyle PV = { frac {FV} {(1 + i) ^ {n}}}}$

Совокупный Текущее значение будущих денежных потоков можно рассчитать, суммируя вклады FV_т, величина денежного потока во время т:

${ displaystyle PV = sum _ {t = 1} ^ {n} { frac {FV_ {t}} {(1 + i) ^ {t}}}}$

Обратите внимание, что этот ряд можно суммировать для данного значения п, или когда п равно ∞.^[8] Это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным частным случаям, приведенным ниже.

Приведенная стоимость аннуитета за n платежных периодов

В этом случае значения денежных потоков остаются неизменными на протяжении всего периода п периоды. Приведенная стоимость рента Формула (PVA) имеет четыре переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

${ Displaystyle PV (A) , = , { frac {A} {i}} cdot left [{1 - { frac {1} { left (1 + i right) ^ {n} }}}верно]}$

Чтобы получить PV ежегодный взнос, умножьте указанное выше уравнение на (1 + я).

Текущая стоимость растущей ренты

В этом случае каждый денежный поток увеличивается в (1+г). Подобно формуле для аннуитета, приведенная стоимость растущего аннуитета (PVGA) использует те же переменные с добавлением г как скорость роста аннуитета (А - аннуитетный платеж в первый период). Это расчет, который редко используется в финансовых калькуляторах.

Где i ≠ g:

${ displaystyle PV (A) , = , {A over (i-g)} left [1- left ({1 + g over 1 + i} right) ^ {n} right]}$

Где i = g:

${ Displaystyle PV (А) , = , {А раз п более 1 + я}}$

Чтобы получить PV растущего ежегодный взнос, умножьте указанное выше уравнение на (1 + я).

Приведенная стоимость бессрочного права

А вечность это платежи на определенную сумму денег, которые происходят на регулярной основе и продолжаются вечно. Когда п → ∞, PV формулы бессрочного (бессрочного аннуитета) становится простым делением.

${ Displaystyle PV (P) = {A over i}}$

Текущая стоимость растущей бессрочной жизни

Когда бессрочная аннуитетная выплата растет с фиксированной ставкой (г, с участием г < я) значение определяется по следующей формуле, полученной путем установки п до бесконечности в более ранней формуле растущей вечности:

${ Displaystyle PV (A) , = , {A над i-g}}$

На практике существует немного ценных бумаг с точными характеристиками, и применение этого подхода к оценке может подвергаться различным оговоркам и модификациям. Самое главное, что редко можно найти растущий бессрочный аннуитет с фиксированными темпами роста и истинным постоянным генерированием денежных потоков. Несмотря на эти квалификации, общий подход может использоваться при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это хорошо известный Модель роста Гордона используется для оценка запасов.

Будущая стоимость аннуитета

Будущая стоимость (после п периодов) формулы аннуитета (FVA) имеет четыре переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

${ Displaystyle FV (A) , = , A cdot { frac { left (1 + i right) ^ {n} -1} {i}}}$

Чтобы получить FV аннуитета, умножьте указанное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущей ренты

Будущая стоимость (после п периодов) формулы растущей ренты (FVA) имеет пять переменных, каждая из которых может быть решена численными методами:

Где i ≠ g:

${ Displaystyle FV (A) , = , A cdot { frac { left (1 + i right) ^ {n} - left (1 + g right) ^ {n}} {ig} }}$

Где i = g:

${ Displaystyle FV (A) , = , A cdot п (1 + я) ^ {п-1}}$

Таблица формул

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые для расчета временной стоимости денег.^[9] Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

найти	Данный	Формула
Будущая стоимость (F)	Текущая стоимость (P)	${ Displaystyle F = P cdot (1 + я) ^ {п}}$
Текущая стоимость (P)	Будущая стоимость (F)	${ Displaystyle P = F cdot (1 + я) ^ {- n}}$
Повторяющийся платеж (А)	Будущая стоимость (F)	${ displaystyle A = F cdot { frac {i} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$
Повторяющийся платеж (А)	Текущая стоимость (P)	${ displaystyle A = P cdot { frac {я (1 + я) ^ {n}} {(1 + i) ^ {n} -1}}}$
Будущая стоимость (F)	Повторяющийся платеж (А)	${ displaystyle F = A cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}}$
Текущая стоимость (P)	Повторяющийся платеж (А)	${ displaystyle P = A cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i (1 + i) ^ {n}}}}$
Будущая стоимость (F)	Выплата начального градиента (G)	${ displaystyle F = G cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -in-1} {i ^ {2}}}}$
Текущая стоимость (P)	Выплата начального градиента (G)	${ displaystyle P = G cdot { frac {(1 + i) ^ {n} -in-1} {i ^ {2} (1 + i) ^ {n}}}}$
Фиксированный платеж (А)	Выплата начального градиента (G)	${ displaystyle A = G cdot left [{ frac {1} {i}} - { frac {n} {(1 + i) ^ {n} -1}} right]}$
Будущая стоимость (F)	Первоначальный экспоненциально возрастающий платеж (D) Увеличение процента (г)	${ displaystyle F = D cdot { frac {(1 + g) ^ {n} - (1 + i) ^ {n}} {g-i}}}$ (для i ≠ g) ${ Displaystyle F = D cdot { гидроразрыва {п (1 + я) ^ {п}} {1 + g}}}$ (для i = g)
Текущая стоимость (P)	Первоначальный экспоненциально возрастающий платеж (D) Увеличение процента (г)	${ displaystyle P = D cdot { frac { left ({1 + g over 1 + i} right) ^ {n} -1} {g-i}}}$ (для i ≠ g) ${ displaystyle P = D cdot { frac {n} {1 + g}}}$ (для i = g)

Заметки:

• А фиксированная сумма платежа, каждый период
• г - начальная сумма увеличивающейся суммы платежа, которая начинается с г и увеличивается на г за каждый последующий период.
• D - начальная сумма платежа экспоненциально (геометрически) увеличивающейся суммы платежа, которая начинается с D и увеличивается в (1+г) каждый последующий период.

Производные

Получение аннуитета

Формула для текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитета) выводится из суммы формулы для будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C это сумма платежа и п Период.

Единый платеж C в будущем м имеет следующую будущую стоимость в будущем п:

${ Displaystyle FV = С (1 + я) ^ {п-м}}$

Суммируя все платежи от времени 1 до момента n, затем меняя t

${ Displaystyle FVA = сумма _ {м = 1} ^ {п} С (1 + я) ^ {нм} = сумма _ {к = 0} ^ {п-1} С (1 + я) ^ {k}}$

Обратите внимание, что это геометрическая серия, с начальным значением а = C, мультипликативный коэффициент равен 1 + я, с участием п термины. Применяя формулу для геометрического ряда, получаем

${ Displaystyle FVA = { гидроразрыва {C (1- (1 + i) ^ {n})} {1- (1 + i)}} = { frac {C (1- (1 + i) ^ {п})} {- я}}}$

Приведенная стоимость аннуитета (PVA) получается простым делением на ${ Displaystyle (1 + я) ^ {п}}$:

${ displaystyle PVA = { frac {FVA} {(1 + i) ^ {n}}} = { frac {C} {i}} left (1 - { frac {1} {(1+ i) ^ {n}}} right)}$

Еще один простой и интуитивно понятный способ определить будущую стоимость аннуитета - рассмотреть эндаумент, проценты по которому выплачиваются как аннуитет, а основная сумма остается постоянной. Основная сумма этого гипотетического эндаумента может быть рассчитана как сумма процентов, равная сумме ежегодного платежа:

${ displaystyle { text {Principal}} times i = C}$

${ displaystyle { text {Principal}} = C / i + {цель}}$

Обратите внимание, что никакие деньги не входят и не выходят из комбинированной системы основной суммы пожертвования + накопленных аннуитетных платежей, и, таким образом, будущая стоимость этой системы может быть рассчитана просто с помощью формулы будущей стоимости:

${ displaystyle FV = PV (1 + i) ^ {n}}$

Первоначально, до каких-либо выплат, приведенная стоимость системы - это просто сумма основного капитала (${ displaystyle PV = C / i}$). В конце концов, будущая стоимость - это основная сумма эндаумента (что то же самое) плюс будущая стоимость общих аннуитетных платежей (${ displaystyle FV = C / i + FVA}$). Подключаем это обратно к уравнению:

${ displaystyle { frac {C} {i}} + FVA = { frac {C} {i}} (1 + i) ^ {n}}$

${ Displaystyle FVA = { гидроразрыва {C} {i}} left [ left (1 + i right) ^ {n} -1 right]}$

Бессрочное происхождение

Не приводя здесь формального вывода, формула бессрочного дохода выводится из формулы аннуитета. В частности, термин:

${ displaystyle left ({1- {1 over {(1 + i) ^ {n}}}} right)}$

можно увидеть, чтобы приблизиться к значению 1 как п становится больше. На бесконечности он равен 1, оставляя ${ displaystyle {C over i}}$ как единственный оставшийся срок.

Непрерывное компаундирование

Тарифы иногда переводятся в непрерывный сложный процент эквивалент скорости, потому что непрерывный эквивалент более удобен (например, его легче дифференцировать). Каждую из приведенных выше формул можно переформулировать в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость в момент 0 будущего платежа в момент времени т можно переформулировать следующим образом, где е это основа натуральный логарифм и р - непрерывно начисляемая ставка:

${ displaystyle { text {PV}} = { text {FV}} cdot e ^ {- rt}}$

Это можно обобщить на ставки дисконтирования, которые меняются во времени: вместо постоянной ставки дисконтирования р, один использует функцию времени р(т). В этом случае коэффициент дисконтирования и, следовательно, приведенная стоимость денежного потока во время Т дается интеграл непрерывно начисляемой ставки р(т):

${ displaystyle { text {PV}} = { text {FV}} cdot exp left (- int _ {0} ^ {T} r (t) , dt right)}$

Действительно, основной причиной использования непрерывного начисления сложных процентов является упрощение анализа различных ставок дисконтирования и предоставление возможности использовать инструменты исчисления. Кроме того, для процентов, начисленных и капитализированных в течение ночи (следовательно, начисляемых ежедневно), непрерывное начисление сложных процентов является близким приближением к фактическому ежедневному начислению сложных процентов. Более сложный анализ включает использование дифференциальные уравнения, как подробно описано ниже.

Примеры

Использование непрерывного компаундирования дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет

${ Displaystyle PV = {A (1-e ^ {- rt}) над e ^ {r} -1}}$

Бессрочность

${ Displaystyle PV = {А над е ^ {г} -1}}$

Растущий аннуитет

${ Displaystyle PV = {Ae ^ {- g} (1-e ^ {- (r-g) t}) over ^ {(r-g)} - 1}}$

Растущая вечность

${ displaystyle PV = {Ae ^ {- g} over e ^ {(r-g)} - 1}}$

Аннуитет с непрерывными выплатами

${ Displaystyle PV = {1-e ^ {(- rt)} над г}}$

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый платежный период, а аннуитет заканчивается в момент t.^[10]

Дифференциальные уравнения

Обыкновенный и частичный дифференциальные уравнения (ODE и PDE) - уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, используются повсеместно в более продвинутых методах обработки финансовая математика. В то время как временная стоимость денег может быть понята без использования структуры дифференциальных уравнений, дополнительная изощренность проливает дополнительный свет на временную стоимость и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Это изложение следует (Карр и Флесакер 2006, стр. 6–7).

Фундаментальное изменение, которое приносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления количество (текущая стоимость сейчас же), вычисляется функция (текущая стоимость сейчас или в любой момент будущее). Затем эту функцию можно проанализировать - как ее значение меняется со временем - или сравнить с другими функциями.

Формально утверждение, что «ценность со временем уменьшается», дается путем определения линейный дифференциальный оператор ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ в качестве:

${ displaystyle { mathcal {L}}: = - partial _ {t} + r (t).}$

Это означает, что значения уменьшаются (-) со временем (∂_т) по ставке дисконтирования (р(т)). Применительно к функции он дает:

${ displaystyle { mathcal {L}} f = - partial _ {t} f (t) + r (t) f (t).}$

Для инструмента, поток платежей которого описывается ж(т), Значение V(т) удовлетворяет неоднородный ОДУ первого порядка ${ displaystyle { mathcal {L}} V = f}$ («неоднородный» - это потому, что ж а не 0, и «первый порядок» означает, что у одного есть первые производные, но нет более высоких производных) - это кодирует тот факт, что при возникновении любого денежного потока стоимость инструмента изменяется на величину денежного потока (если вы получаете купона на 10 фунтов, оставшаяся сумма уменьшается ровно на 10 фунтов).

Стандартный технический инструмент анализа ОДУ: Функции Грина, на основе которых могут быть построены другие решения. С точки зрения временной стоимости денег, функция Грина (для временной стоимости ODE) представляет собой стоимость облигации, выплачивающей 1 фунт стерлингов в определенный момент времени. ты - стоимость любого другого потока денежных средств затем может быть получена путем взятия комбинаций этого основного потока денежных средств. С математической точки зрения этот мгновенный денежный поток моделируется как Дельта-функция Дирака ${ displaystyle delta _ {u} (t): = delta (t-u).}$

Функция Грина для значения в момент времени т денежного потока в 1 фунт стерлингов за раз ты является

${ Displaystyle б (т; и): = ЧАС (и-т) cdot ехр влево (- int _ {т} ^ {и} г (v) , дв вправо)}$

где ЧАС это Ступенчатая функция Хевисайда - обозначение "${ displaystyle; u}$"заключается в том, чтобы подчеркнуть, что ты это параметр (фиксируется в любом случае - время, когда возникнет денежный поток), а т это переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) на сумму (интеграл, ${ displaystyle textstyle { int}}$) будущих ставок дисконтирования (${ displaystyle textstyle { int _ {t} ^ {u}}}$ для будущего, р(v) для ставок дисконтирования), а прошлые денежные потоки равны 0 (${ displaystyle H (u-t) = 1 { text {if}} t u}$), потому что они уже произошли. Обратите внимание, что значение в момент движения денежных средств четко не определен - в этой точке существует разрыв, и можно использовать условное обозначение (предположим, что потоки денежных средств уже произошли или еще не произошли), или просто не определять значение в этот момент.

Если ставка дисконтирования постоянна, ${ Displaystyle г (v) эквив г,}$ это упрощает

${ displaystyle b (t; u) = H (ut) cdot e ^ {- (ut) r} = { begin {cases} e ^ {- (ut) r} & t$ u, end {case}}}

где ${ Displaystyle (и-т)}$ «время, оставшееся до поступления денежных средств».

Таким образом, для потока денежных потоков ж(ты) заканчивается временем Т (который может быть установлен на ${ Displaystyle Т = + infty}$ без временного горизонта) значение во время т, ${ Displaystyle V (т; Т)}$ дается путем объединения значений этих отдельных денежных потоков:

${ Displaystyle V (t; T) = int _ {t} ^ {T} f (u) b (t; u) , du.}$

Это формализует временную стоимость денег для будущей стоимости денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул в финансовой математике, таких как Формула Блэка – Шоулза с участием различные процентные ставки.

Смотрите также