Парадокс лжецов - Википедия - Liar paradox

В философия и логика, классический парадокс лжеца или же парадокс лжеца или же антиномия лжеца является заявлением лжеца о том, что он лжет: например, заявление «Я лгу». Если лжец действительно лжет, значит, лжец говорит правду, что означает, что лжец просто солгал. В слове «это предложение - ложь» парадокс усилен, чтобы сделать его поддающимся более строгому логическому анализу. Это все еще обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстрагирование делается именно от лжеца, делающего заявление. Пытаясь отнести к этому утверждению усиленного лжеца классическую двоичную значение истины приводит к противоречие.

Если «это предложение ложно» верно, то оно ложно, но в предложении говорится, что оно ложно, а если оно ложно, то оно должно быть истинным и так далее.

История

В Парадокс Эпименида (около 600 г. до н.э.) было предложено в качестве примера парадокса лжеца, но они не являются логически эквивалентными. Полумифический провидец Эпименид, а Критский, как сообщается, заявил, что «все критяне лжецы».^[1] Однако заявление Эпименида о том, что все критяне лжецы, можно признать ложным, учитывая, что он знает по крайней мере еще одного критянина, который не лжет. Именно для того, чтобы избежать неопределенностей, проистекающих из человеческого фактора и нечетких концепций, современные логики предложили «усиленного» лжеца, такого как предложение «это предложение ложно».^{[нужна цитата ]}

Название парадокса переводится как псевдоменос логос (ψευδόμενος λόγος) в Древнегреческий. Одна из версий парадокса лжецов приписывается Греческий философ Евбулид Милетский, жившие в 4 веке до нашей эры. Сообщается, что Евбулид спросил: «Человек говорит, что он лжет. Верно или ложно то, что он говорит?»^[2]

Парадокс однажды обсуждался Святой Иероним в проповеди:

"Я с тревогой сказал: «Каждый мужчина - лжец! " Является Дэйвид говорит правду или он лжет? Если верно, что каждый человек лжец, и утверждение Давида: «Каждый человек лжец» верно, то Давид также лжет; он тоже мужчина. Но если он тоже лжет, то его утверждение, что «каждый лжец», следовательно, неверно. Как бы вы ни перевернули предложение, вывод - противоречие. Поскольку сам Давид - мужчина, значит, он тоже лжет; но если он лжет, потому что каждый лжец, то его ложь иного рода.^[3]

Индийский грамматист-философ Bhartrhari (конец пятого века нашей эры) хорошо знал парадокс лжеца, который он сформулировал так: «Все, что я говорю, ложно» (сарвам митхья бравими). Он анализирует это утверждение вместе с парадоксом «несущественности» и исследует границу между утверждениями, которые не вызывают проблем в повседневной жизни, и парадоксами.^[4][5]

Состоялось обсуждение парадокс лжеца в ранней исламской традиции в течение как минимум пяти веков, начиная с конца 9 века, и, очевидно, не находясь под влиянием какой-либо другой традиции. Накир ад-Дин аль-Хуси мог бы быть первым логиком, который определил парадокс лжеца как самореферентный.^[6]

Объяснение и варианты

Проблема парадокса лжеца состоит в том, что он, кажется, показывает, что общие представления о правда и фальшь фактически привести к противоречие. Могут быть построены предложения, которым нельзя последовательно присвоить значение истинности, даже если они полностью соответствуют грамматика и семантический правила.

Самый простой вариант парадокса - это предложение:

Если (A) верно, то «Это утверждение неверно» верно. Следовательно, (A) должно быть ложным. Гипотеза о том, что (A) истинно, приводит к заключению, что (A) ложно; противоречие.

Если (A) ложно, то «Это утверждение неверно» неверно. Следовательно, (A) должно быть истинным. Гипотеза о том, что (A) неверно, приводит к заключению, что (A) истинно, это еще одно противоречие. В любом случае (A) одновременно истинно и ложно, что является парадоксом.

Однако то, что предложение лжеца может быть доказано как истинное, если оно ложно, и ложное, если оно истинно, привело некоторых к выводу, что оно «ни истинно, ни ложно».^[7] Этот ответ на парадокс, по сути, представляет собой отказ от утверждения, что каждое утверждение должно быть истинным или ложным, также известное как принцип двухвалентности, концепция, связанная с закон исключенного среднего.

Предположение о том, что это утверждение ни истинно, ни ложно, привело к следующей усиленной версии парадокса:

Если (B) ни то, ни другое истинный ни ложь, тогда это не должно быть истинный. Поскольку это то, что утверждает сам (B), это означает, что (B) должен быть истинный. Поскольку изначально (B) не было истинный и теперь это правда, возникает другой парадокс.

Другая реакция на парадокс (А) состоит в том, чтобы постулировать, что Грэм Прист имеет, что утверждение является как истинным, так и ложным. Тем не менее, даже анализ Priest восприимчив к следующей версии лжеца:

Если (C) оба истинный и ложь, тогда (С) только ложно. Но тогда это не так истинный. Поскольку изначально (C) было истинный и сейчас нет истинный, это парадокс. Однако утверждалось, что принятие двузначный реляционная семантика (в отличие от функциональная семантика ), диалетеический подход может преодолеть эту версию Лжеца.^[8]

Существуют также версии парадокса лжеца, состоящие из нескольких предложений. Ниже приводится версия из двух предложений:

Предположим, что (D1) верно. Тогда (D2) верно. Это означало бы, что (D1) ложно. Следовательно, (D1) одновременно истинно и ложно.

Предположим, что (D1) неверно. Тогда (D2) ложно. Это означало бы, что (D1) верно. Таким образом, (D1) одновременно истинно и ложно. В любом случае (D1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и (A) выше.

Версия с несколькими предложениями парадокса лжеца обобщается на любую циклическую последовательность таких утверждений (в которой последнее утверждение утверждает истинность / ложность первого утверждения), при условии, что имеется нечетное количество утверждений, утверждающих ложность их преемника; Ниже приводится версия из трех предложений, где каждое утверждение утверждает ложность своего преемника:

Предположим, что (E1) верно. Тогда (E2) ложно, что означает, что (E3) истинно, и, следовательно, (E1) ложно, что приводит к противоречию.

Предположим, что (E1) неверно. Тогда (E2) истинно, что означает, что (E3) ложно, и, следовательно, (E1) истинно. В любом случае (E1) одновременно истинно и ложно - тот же парадокс, что и для (A) и (D1).

Есть много других вариантов и множество дополнений. В обычном построении предложений простейшим вариантом дополнения является предложение:

Если предполагается, что F имеет значение истинности, тогда возникает проблема определения объекта этого значения. Но возможна и более простая версия, если предположить, что единственное слово «истина» имеет значение истинности. Аналог парадокса заключается в предположении, что единственное слово «ложь» также имеет значение истинности, а именно, что оно ложно. Это показывает, что парадокс можно свести к мысленному акту предположения, что сама идея заблуждения имеет истинное значение, а именно, что сама идея заблуждения ложна: акт искажения. Итак, симметричная версия парадокса будет выглядеть так:

Возможные решения

Альфред Тарский

Альфред Тарский диагностировал парадокс как возникающий только в языках, которые «семантически закрыты», под этим он имел в виду язык, в котором одно предложение может предикатировать истинность (или ложность) другого предложения на том же языке (или даже самого себя). Чтобы избежать внутреннего противоречия, при обсуждении значений истинности необходимо представить себе уровни языков, каждый из которых может предикатировать истину (или ложь) только языков более низкого уровня. Итак, когда одно предложение ссылается на истинностное значение другого, оно семантически выше. Упомянутое предложение является частью «объектного языка», тогда как ссылающееся предложение считается частью «метаязыка» по отношению к объектному языку. Для предложений на «языках» выше по семантической иерархии правомерно относиться к предложениям ниже в «языковой» иерархии, но не наоборот. Это предотвращает превращение системы в самореферентную.

Однако эта система неполная. Хотелось бы иметь возможность делать такие утверждения, как «Для каждого утверждения на уровне α иерархии есть утверждение на уровне α+1, который утверждает, что первое утверждение ложно. "Это истинное, значимое утверждение об иерархии, которую определяет Тарский, но оно относится к утверждениям на каждом уровне иерархии, поэтому оно должно быть выше каждого уровня иерархии, и поэтому невозможно в иерархии (хотя возможны ограниченные версии предложения).^{[нужна цитата ]}

Артур Прайор

Артур Прайор утверждает, что в парадоксе лжеца нет ничего парадоксального. Его заявление (которое он приписывает Чарльз Сандерс Пирс и Джон Буридан ) состоит в том, что каждое утверждение включает в себя неявное утверждение своей собственной истинности. Так, например, утверждение «Верно, что два плюс два равно четырем» не содержит больше информации, чем утверждение «два плюс два равно четырем», потому что фраза «верно, что ...» всегда присутствует неявно. И в самореференциальном духе Парадокса лжецов фраза «это правда, что ...» эквивалентна «все это утверждение верно и ...».

Таким образом, следующие два утверждения эквивалентны:

Последнее представляет собой простое противоречие вида «А, а не А» и, следовательно, неверно. Следовательно, нет никакого парадокса, потому что утверждение, что этот двусвязный лжец ложен, не ведет к противоречию. Юджин Миллс^[9] представляет аналогичный ответ.

Саул Крипке

Саул Крипке утверждал, что вопрос о том, является ли предложение парадоксальным, может зависеть от случайных фактов.^[10][11]:6 Если единственное, что Смит говорит о Джонсе, это

а Джонс говорит о Смите только три вещи:

Если Смит действительно много тратит, но нет Если говорить о преступности, то и замечание Смита о Джонсе, и последнее замечание Джонса о Смите парадоксальны.

Крипке предлагает следующее решение. Если истинность утверждения в конечном итоге связана с каким-то поддающимся оценке фактом о мире, это утверждение «обосновано». Если нет, то это утверждение «необоснованно». Необоснованные утверждения не имеют истинной ценности. Заявления лжеца и утверждения, похожие на лжецы, необоснованны и, следовательно, не имеют ценности.

Джон Барвайз и Джон Эчменди

Джон Барвайз и Джон Этчменди предполагают, что фраза лжеца (которую они интерпретируют как синоним «Усиленного лжеца») неоднозначна. Они основывают свой вывод на различии, которое они проводят между «отрицанием» и «отрицанием». Если лжец имеет в виду: «Это утверждение не верно», значит, он отрицает себя. Если это означает: «Это утверждение не соответствует действительности», то оно отрицает само себя. Они продолжают спорить, основываясь на семантика ситуации, что «отрицание лжеца» может быть истинным без противоречия, в то время как «отрицание лжецом» может быть ложным без противоречия. В их книге 1987 года широко используются необоснованная теория множеств.^[11]

Диалетеизм

Грэм Прист и другие логики, в том числе Дж. К. Билл и Брэдли Армор-Гарб, предложили считать лжецовский приговор как истинным, так и ложным, точка зрения, известная как диалетеизм. Диалетеизм - это взгляд на истинные противоречия. Диалетеизм поднимает свои собственные проблемы. Главный из них заключается в том, что, поскольку диалетеизм признает парадокс лжеца, внутреннее противоречие, как истинность, он должен отбросить давно признанное принцип взрыва, который утверждает, что любое предложение может быть выведено из противоречия, если диалетеист не желает принять тривиализм - точку зрения, что все предложения верны. Поскольку тривиализм - это интуитивно ложная точка зрения, диалетеисты почти всегда отвергают принцип взрыва. Отвергающие его логики называются параконсистентный.

Некогнитивизм

Эндрю Ирвин выступает в пользу некогнитивистского решения парадокса, предполагая, что некоторые явно правильно сформированные предложения не окажутся ни истинными, ни ложными, и что «одних формальных критериев неизбежно окажется недостаточно» для разрешения парадокса.^[7]

Перспективизм Бхартхари

Индийский грамматист-философ Bhartrhari (конец пятого века нашей эры) имел дело с парадоксами, такими как лжец, в одной из глав своего великого произведения Vākyapadīya. Хотя в хронологическом порядке он предшествует всем современным трактовкам проблемы парадокса лжеца, только совсем недавно для тех, кто не умеет читать оригинальные санскритские источники, стало возможным сопоставить его взгляды и анализ с взглядами современных логиков и философов, потому что достаточно надежные издания и переводы. его работы стали доступны только со второй половины 20 века. Решение Бхартхари вписывается в его общий подход к языку, мысли и реальности, который некоторые охарактеризовали как «релятивистский», «ни к чему не обязывающий» или «перспективистский».^[12] Что касается парадокса лжеца (сарвам митхйа бхавами «все, что я говорю, ложно») Бхартхари определяет скрытый параметр, который может превратить беспроблемные ситуации в повседневном общении в упорный парадокс. Решение Бхартхари можно понять в терминах решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: «Парадоксы поглощают сами себя. Но мы можем отделить враждующие стороны противоречия с помощью простого средства временной контекстуализации: что« истинно »по отношению к одному момент времени не обязательно должен быть таким в другом ... Общая сила аргумента «Остиниан» не только в том, что «вещи меняются», но и в том, что рациональность по существу временна, поскольку нам нужно время, чтобы примирить и управлять тем, что в противном случае быть взаимно деструктивными состояниями ".^[13] Согласно предложению Роберта, именно фактор «время» позволяет нам согласовать отдельные «части мира», которые играют решающую роль в решении Барвайса и Эчменди.^[11]:188 Способность времени предотвратить прямую конфронтацию двух «частей света» здесь является внешней по отношению к «лжецу». Однако в свете анализа Бхартхари протяженность во времени, которая разделяет две точки зрения на мир или две «части мира» - часть до и часть после того, как функция выполняет свою задачу, - присуще любой «функции»: также функция для обозначения, которая лежит в основе каждого утверждения, включая «лжеца».^[5] Неразрешимый парадокс - ситуация, в которой мы имеем либо противоречие (виродха) или бесконечный регресс (анавастха) - возникает, в случае лжеца и других парадоксов, таких как парадокс малозаметности (Парадокс Бхартхари ), когда абстракция производится из этой функции (вьяпара) и его продление во времени, принимая одновременную противоположную функцию (апара вьяпара) отмена предыдущего.

Логическая структура

Для лучшего понимания парадокса лжеца полезно записать его более формально. Если «это утверждение ложно» обозначается буквой A и ищется его значение истинности, необходимо найти условие, которое ограничивает выбор возможных значений истинности A. Поскольку A является самореферентный условие можно задать уравнением.

Если предположить, что какое-то утверждение B ложно, пишут: «B = false». Утверждение (C) о том, что утверждение B ложно, будет записано как "C = 'B = false'". Теперь парадокс лжеца может быть выражен как утверждение A, что A ложно:

Это уравнение, из которого можно было бы получить истинное значение A = "это утверждение ложно". в логический домен «A = false» эквивалентно «not A», и поэтому уравнение не разрешимо. Это мотивация для переосмысления A. Простейшим логическим подходом к решению уравнения является диалетеистический подход, и в этом случае решение A является одновременно «истинным» и «ложным». Другие разрешения в основном включают некоторые модификации уравнения; Артур Прайор утверждает, что уравнение должно быть "A = 'A = false и A = true'"и, следовательно, A ложно. В вычислительной глагольной логике парадокс лжеца распространяется на такие утверждения, как" Я слышу, что он говорит; он говорит то, что я не слышу », где для разрешения парадокса необходимо использовать глагольную логику.^[14]

Приложения

Первая теорема Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте две фундаментальные теоремы математическая логика которые устанавливают ограничения, присущие достаточно мощным системам аксиоматики для математики. Теоремы были доказаны Курт Гёдель в 1931 г. и имеют важное значение в философии математики. Грубо говоря, при доказательстве первая теорема о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив «это предложение ложно» на «это предложение недоказуемо», названное «предложением Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T G истинна, но не доказуема в T. Анализ истинности и доказуемости G является формализованной версией анализа истинности лживого предложения.^[15]

Чтобы доказать первую теорему о неполноте, Гёдель представил заявления по номерам. Затем имеющаяся теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представлены как вопросы о свойствах чисел, которые были бы разрешены теорией, если бы она была полной. Таким образом, предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа с некоторым странным свойством. Число с этим свойством закодировало бы доказательство несостоятельности теории. Если бы было такое число, то теория была бы противоречивой, вопреки гипотезе согласованности. Итак, если предположить, что теория непротиворечива, такого числа не существует.

Невозможно заменить «недоказуемое» на «ложное» в предложении Гёделя, потому что предикат «Q является гёделевским числом ложной формулы» не может быть представлен как формула арифметики. Этот результат, известный как Теорема Тарского о неопределенности, была открыта независимо Гёделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфред Тарский.

Джордж Булос с тех пор набросал альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, использующее Парадокс Берри вместо парадокса лжеца, чтобы построить истинную, но недоказуемую формулу.

В популярной культуре

Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе, чтобы отключить искусственный интеллект, который представлен как неспособный обработать приговор. В Звездный путь: Оригинальный сериал эпизод "Я, Мадд "парадокс лжеца используется Капитан Кирк и Гарри Мадд чтобы запутать и в конечном итоге отключить андроида, удерживающего их в плену. В 1973 г. Доктор Кто серийный Зеленая смерть, Доктор временно ставит в тупик безумного компьютерного БОССА, спрашивая его: «Если бы я сказал вам, что следующее, что я скажу, будет правдой, но последнее, что я сказал, было ложью, вы бы мне поверили?» Однако БОСС в конце концов решает, что вопрос не имеет значения, и вызывает охрану.

В видеоигре 2011 года Портал 2, ГЛаДОС попытки использовать парадокс «это предложение ложно», чтобы победить наивный искусственный интеллект Уитли, но, не имея ума, чтобы понять это утверждение как парадокс, он просто отвечает: «Гм, правда. Я согласен с истиной. Вот, это было легко». и на него это не влияет, хотя франкенкубы вокруг него действительно вспыхивают и отключаются.

В седьмой серии Майнкрафт: сюжетный режим под названием «Доступ запрещен» главный герой Джесси и его друзья захвачены суперкомпьютером по имени PAMA. После того, как PAMA контролирует двух друзей Джесси, Джесси узнает, что PAMA останавливается при обработке и использует парадокс, чтобы сбить его с толку и сбежать со своим последним другом. Один из парадоксов, который игрок может заставить его сказать, - парадокс лжеца.

В Дуглас Адамс Автостопом по Галактике В главе 21 он описывает одинокого старика, населяющего небольшой астероид в пространственных координатах, где должна была быть целая планета, посвященная Биро (шариковая ручка ) формы жизни. Этот старик неоднократно утверждал, что все было неправдой, хотя позже выяснилось, что он лгал.^[16]

Роллинз Бэнд песня 1994 года "Лжец "намекает на парадокс, когда рассказчик заканчивает песню, заявляя:" Я буду лгать снова и снова, обещаю ".

Песня Роберта Эрла Кина «Дорога продолжается и продолжается» намекает на парадокс. Считается, что эта песня была написана как часть вражды Кина с Тоби Кейтом, который предположительно является «лжецом», о котором говорит Кин.^[17]

Смотрите также

• Буриданов мост
• Перформативное противоречие
• Карточный парадокс
• Парадокс Эпименида
• Парадокс Гильберта-Бернейса
• Insolubilia
• Рыцари и Кнейвы
• Список парадоксов
• Парадокс Пиноккио
• Парадокс Куайна
• Парадокс Рассела
• Самостоятельная ссылка
• Сократов парадокс
• Парадокс Ябло

Примечания

Рекомендации

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

внешняя ссылка

• Дауден, Брэдли. "Парадокс лжецов". Интернет-энциклопедия философии.
• Beall, JC; Гланцберг, Майкл. "Парадокс лжецов". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.