Теория локальной скрытой переменной - Local hidden-variable theory

А локальная теория скрытых переменных в интерпретация квантовой механики это теория скрытых переменных к которому добавлено требование соответствия местный реализм. Это относится ко всем типам теорий, которые пытаются объяснить вероятностные особенности квантовая механика механизмом лежащих в основе недоступных переменных, с дополнительным требованием от локального реализма, чтобы отдаленные события были независимыми, исключая мгновенный (т.е. быстрее света ) взаимодействия между отдельными событиями.

Математические последствия локальной теории скрытых переменных в отношении феномена квантовая запутанность были исследованы физиком Джон С. Белл, который представил теорема в своей статье 1964 года, показывающей, что локальные скрытые переменные определенных типов не могут воспроизводить корреляции квантовых измерений, предсказываемые квантовой механикой.

Теория квантовой запутанности предсказывает, что разделенные частицы могут на короткое время обладать общими свойствами и реагировать на определенные типы измерений, как если бы они были одной частицей. В частности, измерение одной частицы в одном месте может изменить распределение вероятностей результатов измерения другой частицы в другом месте. Если настройка измерения в одном месте мгновенно изменяет распределение вероятностей, которое применяется в удаленном месте, то локальные скрытые переменные исключаются.

Локальные скрытые переменные и тесты Белла

Теорема Белла начинается с импликации принципа местный реализм, что отдельные измерительные процессы независимы. Основываясь на этой предпосылке, вероятность совпадения между отдельными измерениями частиц с коррелированными (например, идентичными или противоположными) свойствами ориентации может быть записана:

{ Displaystyle P (a, b) = int d lambda cdot rho ( lambda) cdot p_ {A} (a, lambda) cdot p_ {B} (b, lambda),}

(1)

куда ${ displaystyle p_ {A} (а, lambda)}$ вероятность обнаружения частицы ${ displaystyle A}$ со скрытой переменной ${ displaystyle lambda}$ детектором ${ displaystyle A}$ , установлен в направлении ${ displaystyle a}$ , и аналогично ${ displaystyle p_ {B} (b, lambda)}$ вероятность на детекторе ${ displaystyle B}$ , установлен в направлении ${ displaystyle b}$ , для частицы ${ displaystyle B}$ , разделяя одинаковую ценность ${ displaystyle lambda}$ . Предполагается, что источник производит частицы в состоянии ${ displaystyle lambda}$ с вероятностью ${ Displaystyle rho ( лямбда)}$ .

С помощью (1), разные Неравенства Белла могут быть получены, эти неравенства ограничивают возможное поведение локальных моделей скрытых переменных.

Когда Джон Белл первоначально выведенное им неравенство, оно относилось к парам запутанных спин-1/2 частицы, каждая из которых обнаружена. Белл показал, что когда детекторы поворачиваются относительно друг друга, модели локального реализма должны давать кривую корреляции, ограниченную прямой линией между максимумами (детекторы выровнены), тогда как квантовая корреляция Кривая - это косинусное отношение.

Первый Белл тестовые эксперименты выполнялись не с частицами со спином 1/2, а с фотонами со спином 1. Классическое предсказание локальных скрытых переменных для фотонов, основанное на Уравнения Максвелла, дает косинус кривая, но с уменьшенной амплитудой, так что кривая все еще находится в пределах прямой линии, указанных в исходном неравенстве Белла.

Можно предложить большое разнообразие реалистичных моделей, и они могут быть произвольными при условии, что они дают результаты, согласующиеся с экспериментами.

Теорема Белла предполагает, что параметры измерений полностью независимы и в принципе не определяются Вселенной в целом. Если бы это предположение было неверным, как предложено в супердетерминизм выводы теоремы Белла могут быть признаны недействительными. Теорема также опирается на очень эффективные и пространственно разделенные измерения, которые еще не выполнены одновременно экспериментально. Такие недостатки принято называть лазейки.

Тесты Bell без «необнаружений»

Рассмотрим, например, Дэвид Бом Мысленный эксперимент (Bohm, 1951), в котором молекула распадается на два атома с противоположными спинами. Предположим, что это вращение может быть представлено действительным вектором, указывающим в любом направлении. В нашей модели это будет «скрытая переменная». Принимая его за единичный вектор, все возможные значения скрытой переменной представлены всеми точками на поверхности единичной сферы.

Предположим, что спин нужно измерить в направлении а. Тогда естественное предположение, учитывая, что все атомы обнаружены, состоит в том, что все атомы, проекция спина которых в направлении а положительный будет обнаружен как ускорение вращения (кодируется как +1), в то время как все, чье проекция отрицательное, будет обнаружено как замедление (кодируется как -1). Поверхность сферы будет разделена на две области, одна для +1, другая для -1, разделенных точкой. большой круг в плоскости, перпендикулярной а. Предполагая для удобства, что а горизонтален, соответствует углу а по отношению к некоторому подходящему опорному направлению, разделяемое круг будет в вертикальной плоскости. Пока мы смоделировали сторону А нашего эксперимента.

Теперь к стороне модели B. Предположим, что б тоже горизонтально, соответствует углу б. На той же сфере будет нарисован второй большой круг, с одной стороны которого у нас есть +1, а с другой - 1 для частицы B. Круг снова будет в вертикальной плоскости.

Два круга делят поверхность сферы на четыре области. Тип «совпадения» (++, −−, + - или - +), наблюдаемого для любой данной пары частиц, определяется областью, в которую попадает их скрытая переменная. Если предположить, что источник «инвариантен относительно вращения» (для создания всех возможных состояний λ с равной вероятностью), вероятность данного типа совпадения будет явно пропорциональна соответствующей площади, и эти области будут линейно изменяться с углом между а и б. (Чтобы увидеть это, представьте апельсин и его дольки. Площадь кожуры, соответствующая числу п сегментов примерно пропорционально п. Точнее, он пропорционален углу в центре.)

Формула (1) выше не использовалось явно - это вряд ли уместно, когда, как здесь, ситуация полностью детерминированная. Проблема мог можно переформулировать в терминах функций в формуле с постоянным ρ и ступенчатыми функциями функций вероятности. Принцип, лежащий в основе (1) действительно использовался, но чисто интуитивно.

Реалистичное предсказание (сплошные линии) для квантовой корреляции при отсутствии необнаружений. Квантово-механическое предсказание - пунктирная кривая.

Таким образом, предсказание локальной скрытой переменной вероятности совпадения пропорционально углу (б − а) между настройками детектора. Квантовая корреляция определяется как математическое ожидание суммы индивидуальных результатов, и это

E = п₊₊ + п₋₋ − п₊₋ − п₋₊,

(2)

куда п₊₊ вероятность результата "+" для обеих сторон, п₊₋ знак «+» на стороне A, «-» на стороне B и т. д.

Поскольку каждый отдельный член изменяется линейно с разницей (б − а), как и их сумма.

Результат показан на рисунке.

Оптический колокол

Практически во всех реальных приложениях неравенств Белла в качестве частиц использовались фотоны. Не обязательно предполагать, что фотоны подобны частицам. Это могут быть просто короткие импульсы классического света (Clauser, 1978). Не предполагается, что обнаружены все до единого. Вместо этого используется скрытая переменная, установленная в источнике, для определения только вероятность данного результата, причем фактические индивидуальные результаты частично определяются другими скрытыми переменными, локальными для анализатора и детектора. Предполагается, что эти другие скрытые переменные независимы по обе стороны эксперимента (Clauser, 1974; Bell, 1971).

В этой стохастической модели, в отличие от описанного выше детерминированного случая, нам действительно нужно уравнение (1), чтобы найти предсказание совпадений, основанное на локальном реализме. Сначала необходимо сделать некоторые предположения относительно функций ${ displaystyle p_ {A} (а, lambda)}$ и ${ displaystyle p_ {B} (a, lambda)}$ , обычно это оба квадрата косинуса в соответствии с Закон Малуса. Предполагая, что скрытая переменная представляет собой направление поляризации (параллельное с двух сторон в реальных приложениях, а не ортогональное), уравнение (1) становится

{ Displaystyle P (a, b) = int d lambda cdot rho ( lambda) cdot cos ^ {2} (a- lambda) cdot cos ^ {2} (b- lambda ) = { frac {1} {8}} + { frac { cos ^ {2} phi} {4}},}

(3)

куда ${ displaystyle phi = b-a}$ .

Прогнозируемая квантовая корреляция может быть получена из этого и показана на рисунке.

Реалистичное предсказание (сплошная кривая) для квантовой корреляции в оптическом тесте Белла. Квантово-механическое предсказание - пунктирная кривая.

Между прочим, в оптических тестах нет уверенности в том, что квантовая корреляция четко определена. Согласно классической модели света, одиночный фотон может частично пройти в канал «+», частично в канал «-», что дает возможность одновременного обнаружения в обоих. Хотя эксперименты, такие как Grangier et al. (Grangier, 1986) показали, что эта вероятность очень мала, нелогично предполагать, что на самом деле она равна нулю. Определение квантовой корреляции адаптировано к идее, что результаты всегда будут +1, -1 или 0. Не существует очевидного способа включения любой другой возможности, что является одной из причин, почему Тест Белла Клаузера и Хорна 1974 г., использующие одноканальные поляризаторы, следует использовать вместо ЧШ Белл тест. В CH74 неравенство касается только вероятностей обнаружения, а не квантовых корреляций.

Квантовые состояния с локальной моделью скрытых переменных

За разделимые состояния двух частиц существует простая модель скрытых переменных для любых измерений на двух сторонах. Удивительно, но есть еще запутанные состояния для чего все фон Неймана измерения может быть описана моделью скрытых переменных.^[1] Такие состояния запутаны, но не нарушают никакого неравенства Белла. Так называемые состояния Вернера представляют собой однопараметрическое семейство состояний, инвариантных при любом преобразовании типа ${ displaystyle U otimes U,}$ куда ${ displaystyle U}$ является унитарной матрицей. Для двух кубитов это зашумленные синглеты, представленные как

{ displaystyle varrho = p vert psi ^ {-} rangle langle psi ^ {-} vert + (1-p) { frac { mathbb {I}} {4}},}

(4)

где синглет определяется как ${ displaystyle vert psi ^ {-} rangle = { tfrac {1} { sqrt {2}}} left ( vert 01 rangle - vert 10 rangle right)}$ .

Р. Ф. Вернер показал, что такие состояния допускают модель скрытых переменных для ${ displaystyle p leq 1/2}$ , а они запутываются, если ${ displaystyle p> 1/3}$ . Граница для моделей со скрытыми переменными может быть улучшена до тех пор, пока ${ displaystyle p = 2/3}$ .^[2]Модели со скрытыми переменными были построены для состояний Вернера, даже если POVM разрешены измерения, а не только измерения фон Неймана.^[3] Модели со скрытыми переменными также были построены для зашумленных максимально запутанных состояний и даже распространены на произвольные чистые состояния, смешанные с белым шумом.^[4]Помимо двудольных систем, есть результаты и для многочастного случая. Модель скрытых переменных для любых измерений фон Неймана на сторонах была представлена для квантового состояния с тремя кубитами.^[5]

Обобщения моделей

Варьируя предполагаемые функции вероятности и плотности в уравнении (1), мы можем прийти к значительному разнообразию предсказаний местного реализма.

Временные эффекты

Ранее были выдвинуты некоторые новые гипотезы о роли времени в построении теории скрытых переменных. Один из подходов предложен К. Хессом и У. Филиппом (Hess, 2002) и обсуждает возможные последствия временных зависимостей скрытых переменных, ранее не учитываемых теоремой Белла. Эта гипотеза подверглась критике со стороны Р. Д. Гилла, Г. Вейса, А. Цайлингера и М. Жуковски (Gill, 2002).

Другая гипотеза предлагает пересмотреть понятие физического времени (Куракин, 2004). Скрытые переменные в этой концепции развиваются в так называемом «скрытом времени», не эквивалентном физическому времени. Физическое время относится к «скрытому времени» некоторой «процедурой шитья».^{[нечеткий ]} Эта модель остается физически нелокальной, хотя локальность достигается в математическом смысле.^{[требуется разъяснение ]}

Последствия для общей теории относительности и квантовой гравитации

Общая теория относительности и различные теории квантовой гравитации предсказывают, что внутренний квантовый спин должен искривлять пространство-время вокруг себя, нарушая его сферическую симметрию.^[6]. Однако из спин-пространственно-временного эксперимента по ЭПР (см. Рисунок ниже) следует, что такое отклонение от сферической симметрии, связанное со спином, нарушило бы релятивистскую причинность.^[7]. Чтобы избежать парадокса, измеримое пространство-время (которое связано с квантовым спином) должно быть сферически симметричным.^[7]. Таким образом, эта пространственно-временная версия эксперимента ЭПР проливает свет на границу раздела между квантовой механикой и общей теорией относительности.

Версия эксперимента ЭПР с расширением времени (пространство-время)

Космический ЭПР-эксперимент Геданкен-эксперимент проводится в следующие этапы: ${ Displaystyle { bf {(а)}}}$ ЭПР-пара частиц со спином 1/2, ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | uparrow downarrow right rangle - left | downarrow uparrow right rangle right)}$ готовится и распространяется Алисе и Бобу. ${ displaystyle { bf {(b)}}}$ Алиса измеряет свою частицу Установка Штерна – Герлаха. Ориентируя свои магниты, Алиса контролирует ориентацию обоих вращений. Она может настроить их так, чтобы они были параллельны любому направлению, которое она желает (например, параллельно оси X или параллельно оси Y). ${ Displaystyle { bf {(с)}}}$ Боб измеряет эффект замедления времени вокруг своей частицы со спином 1/2. Для этого он использует очень точные часы, расположенные симметрично вокруг его частицы. Если спин является анизотропным источником гравитации, то Боб может выяснить, какую ориентацию Штерна-Герлаха выбрала Алиса. Это создает парадокс, поскольку нарушает релятивистскую причинность.

В заключение утверждается, что измеримое пространство-время вокруг частиц со спином 1/2 должно быть сферически симметричным.

Оптические модели, отклоняющиеся от закона Малуса

Если мы сделаем реалистичные (основанные на волнах) предположения относительно поведения света при столкновении с поляризаторами и фотодетекторами, мы обнаружим, что не обязаны соглашаться с тем, что вероятность обнаружения будет точно отражать закон Малуса.

Мы могли бы предположить, что поляризаторы идеальные, с выходной интенсивностью поляризатора А, пропорциональной потому что²(а - λ), но отвергают квантово-механическое предположение о том, что функция, связывающая эту интенсивность с вероятностью обнаружения, представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. В конце концов, настоящие детекторы имеют «темные счетчики», которые присутствуют даже при нулевой входной интенсивности, и становятся насыщенными, когда интенсивность очень высока. Они не могут производить выходы в точной пропорции к входной интенсивности для все интенсивности.

Варьируя наши предположения, кажется возможным, что реалистическое предсказание может приблизиться к квантово-механическому в пределах экспериментальной ошибки (Marshall, 1983), хотя явно необходимо достичь компромисса. Мы должны согласовать как поведение отдельного светового луча при прохождении через поляризатор, так и наблюдаемые кривые совпадения. Ожидается, что первый будет довольно точно следовать закону Малуса, хотя экспериментальные доказательства здесь получить не так просто. Нас интересует поведение очень слабого света, и закон может немного отличаться от закона более сильного света.

Основные пометки

Гидродинамические квантовые аналоги предоставить некоторую экспериментальную поддержку для локальных моделей скрытых переменных. Ходячая капелька было обнаружено, что системы имитируют несколько квантово-механических явлений, включая дифракцию частиц, квантовое туннелирование, квантованные орбиты, Эффект Зеемана, и квантовый загон. Кейт Моффатт утверждает: «Работа Ива Кудера и связанная с ней работа Джона Буша… предоставляют возможность понимания ранее непонятных квантовых явлений, включающих« дуальность волна-частица », в чисто классических терминах».^[8]