Количественное числительное - Cardinal number

Биективная функция, ж: Икс → Y, из набора Икс устанавливать Y показывает, что множества имеют одинаковую мощность, в данном случае равную количеству 4.

Алеф ноль, наименьший бесконечный кардинал

В математика, Количественные числительные, или же кардиналы для краткости, являются обобщением натуральные числа используется для измерения мощность (размер наборы. Мощность конечный набор натуральное число: количество элементов в наборе. В трансфинитный кардинальные числа, часто обозначаемые еврейским символом ${displaystyle aleph}$ (алеф ) с нижним индексом,^[1] опишите размеры бесконечные множества.

Мощность определяется в терминах биективные функции. Два набора имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие (биекция) между элементами этих двух наборов. В случае конечных множеств это согласуется с интуитивным понятием размера. В случае бесконечных множеств поведение более сложное. Основная теорема, вытекающая из Георг Кантор показывает, что бесконечные множества могут иметь разную мощность, и в частности мощность множества действительные числа больше, чем мощность множества натуральные числа. Также возможно правильное подмножество бесконечного множества, чтобы иметь ту же мощность, что и исходное множество - то, что не может случиться с собственными подмножествами конечных множеств.

Существует трансфинитная последовательность кардинальных чисел:

${displaystyle 0,1,2,3, ldots, n, ldots; алеф _ {0}, алеф _ {1}, алеф _ {2}, ldots, алеф _ {альфа}, ldots. }$

Эта последовательность начинается с натуральные числа включая ноль (конечные кардиналы), за которыми следуют числа алеф (бесконечные кардиналы упорядоченные наборы ). Номера алефов индексируются порядковые номера. При предположении аксиома выбора, это трансфинитная последовательность включает все количественные числа. Если один отвергает эта аксиома, ситуация более сложная, с дополнительными бесконечными кардиналами, которые не являются алефами.

Мощность изучается само по себе как часть теория множеств. Это также инструмент, используемый в различных областях математики, включая теория моделей, комбинаторика, абстрактная алгебра и математический анализ. В теория категорий, кардинальные числа образуют скелет из категория наборов.

История

Понятие мощности, как теперь понимается, было сформулировано Георг Кантор, создатель теория множеств, в 1874–1884 гг. Мощность может использоваться для сравнения аспекта конечных множеств. Например, наборы {1,2,3} и {4,5,6} не являются равный, но есть такая же мощность, а именно три. Это установлено существованием биекция (т.е. взаимно однозначное соответствие) между двумя наборами, такое как соответствие {1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.

Кантор применил свою концепцию биекции к бесконечным множествам^[2] (например, набор натуральных чисел N = {0, 1, 2, 3, ...}). Таким образом, он назвал все множества, имеющие биекцию с N счетные (счетно бесконечные) множества, которые имеют одно и то же кардинальное число. Это кардинальное число называется ${displaystyle aleph _ {0}}$, алеф-нуль. Он назвал числа этих бесконечных множеств трансфинитные кардинальные числа.

Кантор доказал, что любой неограниченное подмножество из N имеет ту же мощность, что и N, даже если это может показаться противоречащим интуиции. Он также доказал, что множество всех заказанные пары натуральных чисел счетно; это означает, что набор всех рациональное число также счетно, поскольку каждое рациональное число может быть представлено парой целых чисел. Позже он доказал, что набор всех настоящих алгебраические числа также счетно. Каждое действительное алгебраическое число z может быть закодирован как конечная последовательность целых чисел, которые являются коэффициентами в полиномиальном уравнении, решением которого оно является, то есть упорядоченный набор из n (а₀, а₁, ..., а_п), а_я ∈ Z вместе с парой рациональных чисел (б₀, б₁) такие, что z - единственный корень многочлена с коэффициентами (а₀, а₁, ..., а_п), лежащий в интервале (б₀, б₁).

В его статье 1874 г. "Об одном свойстве набора всех вещественных алгебраических чисел ", Кантор доказал, что существуют кардинальные числа более высокого порядка, показав, что множество действительных чисел имеет мощность больше, чем у N. В его доказательстве использовался аргумент с вложенные интервалы, но в статье 1891 года он доказал тот же результат, используя свой гениальный, но более простой диагональный аргумент. Новое количественное число набора действительных чисел называется мощность континуума и Кантор использовал символ ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ для этого.

Кантор также разработал большую часть общей теории кардинальных чисел; он доказал, что существует наименьшее трансфинитное кардинальное число (${displaystyle aleph _ {0}}$, aleph-null), и что для каждого кардинального числа есть следующий по величине кардинал

${displaystyle (алеф _ {1}, алеф _ {2}, алеф _ {3}, ldots).}$

Его гипотеза континуума предложение, что ${displaystyle {mathfrak {c}}}$ такой же как ${displaystyle aleph _ {1}}$. Эта гипотеза оказалась независимой от стандартных аксиом математической теории множеств; его нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью стандартных предположений.

Мотивация

В неформальном использовании кардинальное число - это то, что обычно называют подсчет числа, при условии, что 0 включен: 0, 1, 2, .... Их можно отождествить с натуральные числа начиная с 0. Счетные числа - это именно то, что формально можно определить как конечный Количественные числительные. Бесконечные кардиналы встречаются только в математике более высокого уровня и логика.

Более формально ненулевое число может использоваться для двух целей: для описания размера набора или для описания положения элемента в последовательности. Для конечных наборов и последовательностей легко видеть, что эти два понятия совпадают, поскольку для каждого числа, описывающего позицию в последовательности, мы можем построить набор, который имеет точно правильный размер. Например, 3 описывает положение 'c' в последовательности <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, и мы можем построить набор {a, b, c}, который имеет 3 элемента.

Однако при работе с бесконечные множества, важно различать эти два понятия, поскольку на самом деле эти два понятия различны для бесконечных множеств. Рассмотрение позиционного аспекта приводит к порядковые номера, а размерный аспект обобщен описанными здесь количественными числами.

Интуиция, лежащая в основе формального определения кардинала, заключается в построении понятия относительного размера или «размера» множества, безотносительно к типу членов, которые оно имеет. Для конечных множеств это легко; просто подсчитывается количество элементов в наборе. Чтобы сравнить размеры более крупных наборов, необходимо обратиться к более утонченным представлениям.

Множество Y по крайней мере такой же большой, как набор Икс если есть инъективный отображение из элементов Икс к элементам Y. Инъективное отображение идентифицирует каждый элемент множества Икс с уникальным элементом набора Y. Это легче всего понять на примере; предположим, что у нас есть наборы Икс = {1,2,3} и Y = {a, b, c, d}, то, используя это понятие размера, мы заметим, что существует отображение:

1 → а

2 → б

3 → в

что является инъективным, и, следовательно, заключаем, что Y имеет мощность больше или равна Икс. Элемент d не имеет сопоставления элементов с ним, но это разрешено, поскольку нам требуется только инъективное сопоставление, а не обязательно инъективное и на отображение. Преимущество этого понятия в том, что его можно распространить на бесконечные множества.

Затем мы можем расширить это до отношения в стиле равенства. Два наборы Икс и Y говорят, что у них то же самое мощность если существует биекция между Икс и Y. Посредством Теорема Шредера – Бернштейна., это эквивалентно тому, что обе инъективное отображение из Икс к Y, и инъективное отображение из Y к Икс. Затем мы пишем |Икс| = |Y|, Кардинальное число Икс сам по себе часто определяется как наименее порядковый а с |а| = |Икс|.^[3] Это называется Кардинальное назначение фон Неймана; чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что каждое множество имеет ту же мощность, что и немного порядковый; это заявление является принцип хорошего порядка. Однако можно обсудить относительную мощность множеств без явного присвоения имен объектам.

Классический пример - парадокс бесконечного отеля, также называемый Парадокс Гильберта в Гранд Отеле. Допустим, в отеле есть трактирщик с бесконечным количеством комнат. Отель полон, а потом приезжает новый гость. Можно разместить дополнительного гостя, попросив гостя, который был в комнате 1, перейти в комнату 2, гостя из комнаты 2 - в комнату 3, и так далее, оставив комнату 1 свободной. Мы можем явно написать сегмент этого отображения:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

п → п + 1

...

С помощью этого присваивания мы можем видеть, что множество {1,2,3, ...} имеет ту же мощность, что и множество {2,3,4, ...}, поскольку взаимно однозначное соответствие между первым и вторым имеет был показан. Это мотивирует определение бесконечного множества как любого множества, которое имеет собственное подмножество той же мощности (т. Е. Дедекинд-бесконечное множество ); в этом случае {2,3,4, ...} является собственным подмножеством {1,2,3, ...}.

При рассмотрении этих больших объектов можно также захотеть увидеть, совпадает ли понятие порядка подсчета с понятием кардинала, определенным выше для этих бесконечных множеств. Бывает, что нет; рассмотрев приведенный выше пример, мы можем увидеть, что если существует некий объект, «один больше бесконечности», то он должен иметь ту же мощность, что и бесконечное множество, с которого мы начали. Для числа можно использовать другое формальное понятие, называемое порядковые, основанный на идеях подсчета и рассмотрения каждого числа по очереди, и мы обнаруживаем, что понятия мощности и ординальности расходятся, когда мы выходим из конечных чисел.

Можно доказать, что мощность действительные числа больше, чем у только что описанных натуральных чисел. Это можно визуализировать с помощью Диагональный аргумент Кантора; классические вопросы о мощности (например, гипотеза континуума ) озабочены выяснением, есть ли какой-то кардинал между некоторой парой других бесконечных кардиналов. В последнее время математики описывают свойства все больших и больших кардиналов.

Поскольку количество элементов является очень распространенным понятием в математике, используется множество имен. Равенство мощности иногда называют равноправие, равноправие, или же равноденствие. Таким образом, говорят, что два множества с одинаковой мощностью соответственно являются равномерный, равномерный, или же равномерный.

Формальное определение

Формально, если предположить аксиома выбора, мощность множества Икс наименее порядковый номер α такое, что существует биекция между Икс и α. Это определение известно как Кардинальное назначение фон Неймана. Если аксиома выбора не предполагается, то нужен другой подход. Самое старое определение мощности множества Икс (неявно у Кантора и явно у Фреге и Principia Mathematica ) как класс [Икс] всех множеств, равных числу Икс. Это не работает в ZFC или другие связанные системы аксиоматическая теория множеств потому что, если Икс не пусто, эта коллекция слишком велика для набора. Фактически, для Икс ≠ ∅ есть инъекция из вселенной в [Икс], отображая набор м к {м} × Икс, и так аксиома ограничения размера, [Икс] - собственный класс. Однако определение работает в теория типов И в Новые основы и связанные системы. Однако, если мы ограничимся от этого класса теми, кто равноправным с Икс у которых меньше всего классифицировать, то это сработает (это уловка из-за Дана Скотт:^[4] он работает, потому что набор объектов с любым заданным рангом является набором).

Формально порядок чисел определяется следующим образом: |Икс| ≤ |Y| означает, что существует инъективный функция от Икс к Y. В Теорема Кантора – Бернштейна – Шредера. утверждает, что если |Икс| ≤ |Y| и |Y| ≤ |Икс| тогда |Икс| = |Y|, В аксиома выбора эквивалентно утверждению, которое дает два набора Икс и Y, либо |Икс| ≤ |Y| или |Y| ≤ |Икс|.^[5][6]

Множество Икс является Дедекинд-бесконечный если существует правильное подмножество Y из Икс с |Икс| = |Y|, и Дедекинд-конечный если такого подмножества не существует. В конечный кардиналы просто натуральные числа, в том смысле, что множество Икс конечно тогда и только тогда, когда |Икс| = |п| = п для некоторого натурального числа п. Любой другой набор бесконечный.

Принимая аксиому выбора, можно доказать, что понятия Дедекинда соответствуют стандартным. Также можно доказать, что кардинал ${displaystyle aleph _ {0}}$ (алеф нуль или алеф-0, где алеф - первая буква в Еврейский алфавит, представленный ${displaystyle aleph}$) множества натуральных чисел является наименьшим бесконечным кардиналом (т. е. любое бесконечное множество имеет подмножество мощности ${displaystyle aleph _ {0}}$). Следующий по величине кардинал обозначается ${displaystyle aleph _ {1}}$, и так далее.^[1] Для каждого порядковый α существует кардинальное число ${displaystyle aleph _ {alpha},}$ и этот список исчерпывает все бесконечные кардинальные числа.

Кардинальная арифметика

Мы можем определить арифметика операции над кардинальными числами, обобщающие обычные операции над натуральными числами. Можно показать, что для конечных кардиналов эти операции совпадают с обычными операциями для натуральных чисел. Кроме того, эти операции имеют много общих свойств с обычной арифметикой.

Кардинал-преемник

Если выбрана аксиома, то у каждого кардинала κ есть последователь, обозначаемый κ⁺,^[1] где κ⁺ > κ и между κ и его преемником нет кардиналов. (Без аксиомы выбора, используя Теорема Хартогса, можно показать, что для любого кардинального числа κ существует минимальный кардинал κ⁺ такой, что ${displaystyle kappa ^ {+} leq kappa.}$) Для конечных кардиналов последователем будет просто κ + 1. Для бесконечных кардиналов кардинал-последователь отличается от порядковый номер преемника.

Кардинальное сложение

Если Икс и Y находятся непересекающийся, сложение дается союз из Икс и Y. Если два набора еще не являются непересекающимися, то их можно заменить непересекающимися наборами той же мощности (например, заменить Икс к Икс× {0} и Y к Y×{1}).

${displaystyle | X | + | Y | = | Xcup Y |.}$

Ноль - аддитивная идентичность κ + 0 = 0 + κ = κ.

Дополнение ассоциативный (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

Дополнение коммутативный κ + μ = μ + κ.

В обоих аргументах сложение не убывает:

${displaystyle (kappa leq mu) ightarrow ((kappa + u leq mu + u) {mbox {and}} (u + kappa leq u + mu)).}$

Если исходить из выбранной аксиомы, можно легко сложить бесконечные количественные числа. Если либо κ, либо μ бесконечно, то

${displaystyle kappa + mu = max {kappa, mu} ,.}$

Вычитание

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал σ и кардинал μ, существует такой кардинал κ, что μ + κ = σ тогда и только тогда, когда μ ≤ σ. Он будет единственным (и равным σ) тогда и только тогда, когда μ <σ.

Кардинальное умножение

Произведение кардиналов происходит от Декартово произведение.

${displaystyle | X | cdot | Y | = | X imes Y |}$

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (κ = 0 или μ = 0).

Один - мультипликативная идентичность κ·1 = 1·κ = κ.

Умножение ассоциативное (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν).

Умножение коммутативный κ·μ = μ·κ.

Умножение не убывает в обоих аргументах:κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν и ν·κ ≤ ν·μ).

Умножение распределяет сверх сложения:κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν и(μ + ν)·κ = μ·κ + ν·κ.

Если принять аксиому выбора, умножение бесконечных кардинальных чисел также легко. Если либо κ или же μ бесконечно и оба отличны от нуля, то

${displaystyle kappa cdot mu = max {kappa, mu}.}$

Разделение

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечное кардинальное π и ненулевой кардинал μ, существует такой кардинал κ, что μ · κ = π тогда и только тогда, когда μ ≤ π. Он будет уникальным (и равным π) тогда и только тогда, когда μ < π.

Кардинальное возведение в степень

Возведение в степень дается

${displaystyle | X | ^ {| Y |} = left | X ^ {Y} ight |,}$

куда Икс^Y это набор всех функции из Y к Икс.^[1]

κ⁰ = 1 (в частности 0⁰ = 1), см. пустая функция.

Если 1 ≤ μ, то 0^μ = 0.

1^μ = 1.

κ¹ = κ.

κ^{μ + ν} = κ^μ·κ^ν.

κ^{μ · ν} = (κ^μ)^ν.

(κ·μ)^ν = κ^ν·μ^ν.

Возведение в степень не убывает в обоих аргументах:

(1 ≤ ν и κ ≤ μ) → (ν^κ ≤ ν^μ) и

(κ ≤ μ) → (κ^ν ≤ μ^ν).

2^|Икс| это мощность набор мощности из набора Икс и Диагональный аргумент Кантора показывает, что 2^|Икс| > |Икс| для любого набора Икс. Это доказывает, что наибольшего кардинала не существует (потому что для любого кардинала κ, всегда можно найти больший кардинал 2^κ). Фактически, учебный класс кардиналов - это правильный класс. (Это доказательство терпит неудачу в некоторых теориях множеств, в частности Новые основы.)

Все остальные предложения в этом разделе предполагают аксиому выбора:

Если κ и μ оба конечны и больше единицы, и ν бесконечно, то κ^ν = μ^ν.

Если κ бесконечно и μ конечна и отлична от нуля, то κ^μ = κ.

Если 2 ≤ κ и 1 ≤ μ и хотя бы одно из них бесконечно, то:

Макс (κ, 2^μ) ≤ κ^μ ≤ Макс (2^κ, 2^μ).

С помощью Теорема Кенига, можно доказать κ <κ^{cf (κ)} и κ κ) для любого бесконечного кардинала κ, где cf (κ) - конфинальность из κ.

Корни

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 0, кардинал ν удовлетворяет ${displaystyle u ^ {mu} = каппа}$ будет ${displaystyle kappa}$.

Логарифмы

Принимая аксиому выбора и учитывая бесконечный кардинал κ и конечный кардинал μ больше 1, может быть или не быть кардинала λ, удовлетворяющего ${displaystyle mu ^ {lambda} = kappa}$. Однако, если такой кардинал существует, он бесконечен и меньше κ, и любая конечная мощность ν больше 1 также будет удовлетворять ${displaystyle u ^ {лямбда} = каппа}$.

Логарифм бесконечного кардинального числа κ определяется как наименьшее кардинальное число μ такое, что κ ≤ 2^μ. Логарифмы бесконечных кардиналов полезны в некоторых областях математики, например, при изучении кардинальные инварианты из топологические пространства, хотя им не хватает некоторых свойств, которыми обладают логарифмы положительных действительных чисел.^[7][8][9]

Гипотеза континуума

В гипотеза континуума (CH) утверждает, что нет кардиналов строго между ${displaystyle aleph _ {0}}$ и ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}}.}$ Последнее кардинальное число также часто обозначается как ${displaystyle {mathfrak {c}}}$; это мощность континуума (набор действительные числа ). В этом случае ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}} = aleph _ {1}.}$^[1] В гипотеза обобщенного континуума (GCH) утверждает, что для каждого бесконечного множества Икс, нет кардиналов строго между |Икс | и 2^| Икс |. Гипотеза континуума не зависит от обычных аксиом теории множеств, аксиом Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора (ZFC ).

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Примечания

Библиография

• Даубен, Джозеф Уоррен (1990), Георг Кантор: его математика и философия бесконечного, Принстон: Издательство Принстонского университета, ISBN  0691-02447-2
• Хан, Ганс, бесконечность, Часть IX, Глава 2, Том 3 Мир математики. Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1956.
• Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag).

внешняя ссылка

• "Количественное числительное", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]