Четыре вектора - Four-vector

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени

В специальная теория относительности, а четырехвекторный (также известный как 4-вектор)^[1] это объект с четырьмя компонентами, которые особым образом преобразуются при Преобразование Лоренца. В частности, четырехмерный вектор - это элемент четырехмерного векторное пространство рассматривается как пространство представления из стандартное представление из Группа Лоренца, представление (½, ½). Он отличается от Евклидов вектор в том, как определяется его величина. Преобразования, сохраняющие эту величину, - это преобразования Лоренца, которые включают пространственные вращения и повышает (переход с постоянной скорости на другую инерциальная система отсчета ).^[2]:ch1

Четыре вектора описывают, например, положение Икс^μ в пространстве-времени моделируется как Пространство Минковского, частицы четырехимпульсный п^μ, амплитуда электромагнитный четырехпотенциальный А^μ(Икс) в какой-то момент Икс в пространстве-времени, а элементы подпространства, натянутого на гамма-матрицы внутри Алгебра Дирака.

Группа Лоренца может быть представлена ​​матрицами 4 × 4 Λ. Действие преобразования Лоренца на общем контравариантный четырехвекторный Икс (как в приведенных выше примерах), рассматриваемый как вектор-столбец с Декартовы координаты в отношении инерциальная система отсчета в записях задается

${ Displaystyle X ^ { prime} = Lambda X,}$

(матричное умножение), где компоненты выделенного объекта относятся к новому кадру. В отношении приведенных выше примеров, которые даны как контравариантные векторы, есть также соответствующие ковариантные векторы Икс_μ, п_μ и А_μ(Икс). Они преобразуются по правилу

${ Displaystyle X ^ { prime} = {( Lambda ^ {- 1})} ^ { mathrm {T}} X,}$

куда ^Т обозначает матрица транспонировать. Это правило отличается от приведенного выше. Это соответствует двойное представительство стандартного представления. Однако для группы Лоренца двойственным к любому представлению является эквивалент к исходному представлению. Таким образом, объекты с ковариантными индексами также являются четырехвекторами.

Например, четырехкомпонентный объект с хорошим поведением в специальной теории относительности нет четырехвектор, см. биспинор. Он определяется аналогично, с той разницей, что правило преобразования при преобразованиях Лоренца задается представлением, отличным от стандартного представления. В этом случае правило гласит Икс′ = Π (Λ)Икс, куда Π (Λ) представляет собой матрицу 4 × 4, отличную от Λ. Подобные замечания применимы к объектам с меньшим или большим количеством компонентов, которые хорошо себя ведут при преобразованиях Лоренца. К ним относятся скаляры, спиноры, тензоры и спинор-тензоры.

В статье четырехвекторы рассматриваются в контексте специальной теории относительности. Хотя концепция четырех векторов распространяется и на общая теория относительности, некоторые результаты, изложенные в этой статье, требуют модификации общей теории относительности.

Обозначение

Обозначения в этой статье: строчные полужирные для трехмерный векторов, шапки для трехмерных единичные векторы, жирный заглавный шрифт для четырехмерный векторов (кроме четырехградиентного), и обозначение тензорного индекса.

Четырехвекторная алгебра

Четыре вектора в действительном базисе

А четырехвекторный А представляет собой вектор с «времениподобной» компонентой и тремя «пространственноподобными» компонентами, и может быть записан в различных эквивалентных обозначениях:^[3]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A ^ {0}, , A ^ {1}, , A ^ {2}, , A ^ {3}) & = A ^ {0} mathbf {E} _ {0} + A ^ {1} mathbf {E} _ {1} + A ^ {2} mathbf {E} _ {2} + A ^ {3 } mathbf {E} _ {3} & = A ^ {0} mathbf {E} _ {0} + A ^ {i} mathbf {E} _ {i} & = A ^ { alpha} mathbf {E} _ { alpha} & = A ^ { mu} end {выравнивается}}}$

где в последней форме составляющая магнитуды и базисный вектор были объединены в единый элемент.

Верхние индексы указывают контравариантный составные части. Здесь стандартное соглашение заключается в том, что латинские индексы принимают значения для пространственных компонентов, так что я = 1, 2, 3 и греческие индексы принимают значения для пробела и время компоненты, поэтому α = 0, 1, 2, 3, используется с соглашение о суммировании. Разделение между компонентом времени и пространственными компонентами полезно делать при определении сокращений одного четырехвектора с другими тензорными величинами, например, для вычисления инвариантов Лоренца во внутренних произведениях (примеры приведены ниже) или повышение и понижение показателей.

В специальной теории относительности пространственноподобный базис E₁, E₂, E₃ и компоненты А¹, А², А³ часто Декартово основа и компоненты:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {t}, , A_ {x}, , A_ {y}, , A_ {z}) & = A_ {t } mathbf {E} _ {t} + A_ {x} mathbf {E} _ {x} + A_ {y} mathbf {E} _ {y} + A_ {z} mathbf {E} _ { z} конец {выровнено}}}$

хотя, конечно, могут использоваться любые другие основы и компоненты, например сферические полярные координаты

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {t}, , A_ {r}, , A _ { theta}, , A _ { phi}) & = A_ {t} mathbf {E} _ {t} + A_ {r} mathbf {E} _ {r} + A _ { theta} mathbf {E} _ { theta} + A _ { phi} mathbf {E} _ { phi} конец {выровнено}}}$

или же цилиндрические полярные координаты,

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {t}, , A_ {r}, , A _ { theta}, , A_ {z}) & = A_ { t} mathbf {E} _ {t} + A_ {r} mathbf {E} _ {r} + A _ { theta} mathbf {E} _ { theta} + A_ {z} mathbf {E } _ {z} конец {выровнено}}}$

или любой другой ортогональные координаты, или даже вообще криволинейные координаты. Обратите внимание, что метки координат всегда имеют нижний индекс как метки и не являются индексами, принимающими числовые значения. В общей теории относительности необходимо использовать локальные криволинейные координаты в локальном базисе. Геометрически четырехмерный вектор все еще можно интерпретировать как стрелку, но в пространстве-времени, а не только в пространстве. В теории относительности стрелки нарисованы как часть Диаграмма Минковского (также называемый диаграмма пространства-времени). В этой статье мы будем называть четырехвектора просто векторами.

Базы принято также обозначать вектор-столбец:

${ Displaystyle mathbf {E} _ {0} = { begin {pmatrix} 1 0 0 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} _ {1} = { begin {pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} _ {2} = { begin {pmatrix} 0 0 1 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} _ {3} = { begin {pmatrix} 0 0 0 1 end {pmatrix}}}$

так что:

${ Displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} A ^ {0} A ^ {1} A ^ {2} A ^ {3} end {pmatrix}}}$

Связь между ковариантный а контравариантные координаты - через Минковский метрический тензор (называемый метрикой), η который повышает и понижает показатели следующее:

${ Displaystyle A _ { mu} = eta _ { mu nu} A ^ { nu} ,,}$

и в различных эквивалентных обозначениях ковариантными компонентами являются:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A_ {0}, , A_ {1}, , A_ {2}, , A_ {3}) & = A_ {0 } mathbf {E} ^ {0} + A_ {1} mathbf {E} ^ {1} + A_ {2} mathbf {E} ^ {2} + A_ {3} mathbf {E} ^ { 3} & = A_ {0} mathbf {E} ^ {0} + A_ {i} mathbf {E} ^ {i} & = A _ { alpha} mathbf {E} ^ { альфа} конец {выровнено}}}$

где пониженный индекс указывает, что это ковариантный. Часто метрика диагональная, как в случае ортогональные координаты (видеть линейный элемент ), но не в целом криволинейные координаты.

Базы могут быть представлены векторы-строки:

${ displaystyle mathbf {E} ^ {0} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} ^ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} ^ {2} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 end {pmatrix}} ,, quad mathbf {E} ^ {3} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

так что:

${ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} end {pmatrix}}}$

Мотивация для приведенных выше соглашений заключается в том, что внутренний продукт является скаляром, подробности см. Ниже.

Преобразование Лоренца

Учитывая два инерционных или повернутых системы отсчета, четырехмерный вектор определяется как величина, которая преобразуется в соответствии с Преобразование Лоренца матрицаΛ:

${ displaystyle mathbf {A} '= { boldsymbol { Lambda}} mathbf {A}}$

В индексной записи контравариантная и ковариантная компоненты преобразуются соответственно:

${ Displaystyle {A '} ^ { mu} = Lambda ^ { mu} {} _ { nu} A ^ { nu} ,, quad {A'} _ { mu} = Lambda _ { mu} {} ^ { nu} A _ { nu}}$

в которой матрица Λ имеет компоненты Λ^μ_ν в рядμ и столбецν, а обратная матрица Λ⁻¹ имеет компоненты Λ_μ^ν в рядμ и столбецν.

Для получения информации о природе этого определения преобразования см. тензор. Все четыре вектора преобразуются одинаково, и это может быть обобщено на четырехмерные релятивистские тензоры; видеть специальная теория относительности.

Чистые вращения вокруг произвольной оси

Для двух рамок, повернутых на фиксированный угол θ вокруг оси, определяемой единичный вектор:

${ displaystyle { hat { mathbf {n}}} = ({ hat {n}} _ {1}, { hat {n}} _ {2}, { hat {n}} _ {3 }) ,,}$

без каких-либо повышений матрица Λ имеет компоненты, предоставленные:^[4]

${ displaystyle Lambda _ {00} = 1}$

${ Displaystyle Lambda _ {0i} = Lambda _ {i0} = 0}$

${ displaystyle Lambda _ {ij} = ( delta _ {ij} - { hat {n}} _ {i} { hat {n}} _ {j}) cos theta - varepsilon _ { ijk} { hat {n}} _ {k} sin theta + { hat {n}} _ {i} { hat {n}} _ {j}}$

куда δ_ij это Дельта Кронекера, и ε_ijk это трехмерный Символ Леви-Чивита. Пространственноподобные компоненты четырехвекторов поворачиваются, а времениподобные компоненты остаются неизменными.

В случае поворотов вокруг z-оси пространственноподобная часть матрицы Лоренца сводится к матрица вращения о z-ось:

${ displaystyle { begin {pmatrix} {A '} ^ {0} {A'} ^ {1} {A '} ^ {2} {A'} ^ {3} end { pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & cos theta & - sin theta & 0 0 & sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A ^ {0} A ^ {1} A ^ {2} A ^ {3} end {pmatrix}} .}$

Чистые бусты в произвольном направлении

Стандартная конфигурация систем координат; для повышения Лоренца в Икс-направление.

Для двух кадров, движущихся с постоянной относительной трехскоростной v (не четырехскоростной, Смотри ниже ), относительную скорость удобно обозначать и определять в единицах c к:

${ displaystyle { boldsymbol { beta}} = ( beta _ {1}, , beta _ {2}, , beta _ {3}) = { frac {1} {c}} ( v_ {1}, , v_ {2}, , v_ {3}) = { frac {1} {c}} mathbf {v} ,.}$

Тогда без поворотов матрица Λ имеет компоненты, предоставленные:^[5]

${ displaystyle { begin {align} Lambda _ {00} & = gamma, Lambda _ {0i} & = Lambda _ {i0} = - gamma beta _ {i}, Лямбда _ {ij} & = Lambda _ {ji} = ( gamma -1) { dfrac { beta _ {i} beta _ {j}} { beta ^ {2}}} + delta _ {ij} = ( gamma -1) { dfrac {v_ {i} v_ {j}} {v ^ {2}}} + delta _ {ij}, конец {выровнено}} , !}$

где Фактор Лоренца определяется:

${ displaystyle gamma = { frac {1} { sqrt {1 - { boldsymbol { beta}} cdot { boldsymbol { beta}}}}} ,,}$

и δ_ij это Дельта Кронекера. В отличие от чистых вращений, пространственноподобные и времениподобные компоненты смешиваются вместе при повышениях.

В случае повышения Икс- только направление, матрица сводится к;^[6][7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} A '^ {0} A' ^ {1} A '^ {2} A' ^ {3} end {pmatrix}} = { begin { pmatrix} cosh phi & - sinh phi & 0 & 0 - sinh phi & cosh phi & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A ^ {0 } A ^ {1} A ^ {2} A ^ {3} end {pmatrix}}}$

Где быстрота ϕ было использовано выражение, написанное в терминах гиперболические функции:

${ Displaystyle гамма = сш фи}$

Эта матрица Лоренца иллюстрирует повышение как гиперболическое вращение в четырехмерном пространстве-времени, аналогично круговому вращению выше в трехмерном пространстве.

Характеристики

Линейность

Четыре вектора имеют одинаковые свойства линейности в качестве Евклидовы векторы в три измерения. Их можно добавить обычным пошаговым способом:

${ displaystyle mathbf {A} + mathbf {B} = (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3}) + (B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3}) = (A ^ {0} + B ^ {0}, A ^ {1} + B ^ {1}, A ^ {2} + B ^ {2}, A ^ {3} + B ^ {3})}$

и аналогично скалярное умножение по скаляр λ определяется поэтапно:

${ displaystyle lambda mathbf {A} = lambda (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3}) = ( lambda A ^ {0}, lambda A ^ {1}, lambda A ^ {2}, lambda A ^ {3})}$

Тогда вычитание - это операция, обратная сложению, определяемая на входе:

${ displaystyle mathbf {A} + (- 1) mathbf {B} = (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3}) + (- 1) ( B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3}) = (A ^ {0} -B ^ {0}, A ^ {1} -B ^ {1}, A ^ {2} -B ^ {2}, A ^ {3} -B ^ {3})}$

Тензор Минковского

Применяя Тензор Минковского η_μν к двум четырехвекторам А и B, записывая результат в скалярное произведение обозначение, мы имеем, используя Обозначения Эйнштейна:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu}}$

Удобно переписать определение в матрица форма:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = { begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} eta _ {00} & eta _ {01} & eta _ {02} & eta _ {03} eta _ {10} & eta _ {11} & eta _ {12} & eta _ {13} eta _ {20} & eta _ {21} & eta _ {22} & eta _ {23} eta _ {30} & eta _ {31} & eta _ {32} & eta _ {33} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B ^ {0} B ^ {1} B ^ {2} B ^ { 3} end {pmatrix}}}$

в таком случае η_μν выше запись в строке μ и столбец ν метрики Минковского в виде квадратной матрицы. Метрика Минковского не является Евклидова метрика, потому что она неопределенная (см. метрическая подпись ). Можно использовать ряд других выражений, поскольку метрический тензор может повышать и понижать компоненты А или же B. Для противоположных / ковариантных компонентов А и сопутствующие / противовариантные компоненты B, у нас есть:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ { mu} eta _ { mu nu} B ^ { nu} = A _ { nu} B ^ { nu} = A ^ { mu} B _ { mu}}$

поэтому в матричной записи:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = { begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B ^ {0 } B ^ {1} B ^ {2} B ^ {3} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} B_ {0} & B_ {1} & B_ {2} & B_ {3 } end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A ^ {0} A ^ {1} A ^ {2} A ^ {3} end {pmatrix}}}$

в то время как для А и B каждый в ковариантных компонентах:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A _ { mu} eta ^ { mu nu} B _ { nu}}$

с матричным выражением, аналогичным приведенному выше.

Применение тензора Минковского к четырехвекторному А с собой получаем:

${ Displaystyle mathbf {A cdot A} = A ^ { mu} eta _ { mu nu} A ^ { nu}}$

который, в зависимости от случая, можно рассматривать как квадрат или его отрицательную величину длины вектора.

Ниже приведены два общих варианта выбора метрического тензора в стандартная основа (по существу декартовы координаты). Если используются ортогональные координаты, вдоль диагональной части пространственноподобной части метрики будут масштабные коэффициенты, тогда как для общих криволинейных координат вся пространственноподобная часть метрики будет иметь компоненты, зависящие от используемого криволинейного базиса.

Стандартный базис, (+ −−−) подпись

В (+ −−−) метрическая подпись, оценивая суммирование по индексам дает:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3}}$

в матричной форме:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = { begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} B ^ {0} B ^ {1} B ^ {2} B ^ {3} end {pmatrix}}}$

В специальной теории относительности часто встречается выражение

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = C}$

в одной система отсчета, куда C - значение внутреннего продукта в этом фрейме, и:

${ displaystyle mathbf {A} ' cdot mathbf {B}' = {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1 } - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = C '}$

в другом кадре, в котором C′ - значение внутреннего продукта в этом кадре. Тогда, поскольку внутренний продукт является инвариантом, они должны быть равны:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = mathbf {A} ' cdot mathbf {B}'}$

то есть:

${ displaystyle C = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = { A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

Учитывая, что физические величины в теории относительности являются четырехвекторными, это уравнение имеет вид "закон сохранения ", но здесь нет никакого" сохранения ". Основное значение внутреннего произведения Минковского состоит в том, что для любых двух четырехмерных векторов его значение равно инвариантный для всех наблюдателей; изменение координат не приводит к изменению стоимости внутреннего продукта. Компоненты четырех векторов изменяются от одного кадра к другому; А и А′ Связаны Преобразование Лоренца, и аналогично для B и B′, Хотя внутренние продукты одинаковы во всех кадрах. Тем не менее, этот тип выражения используется в релятивистских вычислениях наравне с законами сохранения, поскольку величины компонентов могут быть определены без явного выполнения каких-либо преобразований Лоренца. Конкретный пример - энергия и импульс в соотношение энергии-импульса полученный из четырехимпульсный вектор (см. также ниже).

В этой подписи мы имеем:

${ displaystyle mathbf {A cdot A} = (A ^ {0}) ^ {2} - (A ^ {1}) ^ {2} - (A ^ {2}) ^ {2} - (A ^ {3}) ^ {2}}$

С сигнатурой (+ −−−) четыре вектора могут быть классифицированы как космический если ${ Displaystyle mathbf {А cdot A} <0}$, подобный времени если ${ displaystyle mathbf {A cdot A}> 0}$, и нулевые векторы если ${ Displaystyle mathbf {А cdot A} = 0}$.

Стандартная основа, (- +++) подпись

Некоторые авторы определяют η с противоположным знаком, и в этом случае у нас есть метрическая подпись (- +++). Оценивая суммирование с помощью этой подписи:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3 } B ^ {3}}$

а матричная форма:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = left ({ begin {matrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} B ^ {0} B ^ {1} B ^ {2} B ^ {3} end {matrix}} right)}$

Обратите внимание, что в этом случае в одном кадре:

${ displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - C}$

а в другом:

${ displaystyle mathbf {A} ' cdot mathbf {B}' = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ { 1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = - C '}$

так что:

${ displaystyle -C = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ { 2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

что эквивалентно приведенному выше выражению для C с точки зрения А и B. Любая конвенция будет работать. С метрикой Минковского, определенной двумя способами, описанными выше, единственная разница между ковариантными и контравариантными четырехвекторными компонентами - это знаки, поэтому знаки зависят от того, какое соглашение о знаках используется.

У нас есть:

${ displaystyle mathbf {A cdot A} = - (A ^ {0}) ^ {2} + (A ^ {1}) ^ {2} + (A ^ {2}) ^ {2} + ( A ^ {3}) ^ {2}}$

С сигнатурой (- +++) четыре вектора могут быть классифицированы как космический если ${ displaystyle mathbf {A cdot A}> 0}$, подобный времени если ${ Displaystyle mathbf {А cdot A} <0}$, и ноль если ${ Displaystyle mathbf {А cdot A} = 0}$.

Двойные векторы

Применение тензора Минковского часто выражается как эффект двойной вектор одного вектора на другой:

${ displaystyle mathbf {A cdot B} = A ^ {*} ( mathbf {B}) = A {_ { nu}} B ^ { nu}.}$

Здесь А_νs - компоненты двойственного вектора А* из А в двойная основа и назвал ковариантный координаты А, а оригинал А^ν компоненты называются контравариантный координаты.

Четырехвекторное исчисление

Производные и дифференциалы

В специальной теории относительности (но не в общей теории относительности) производная четырехвектора относительно скаляра λ (инвариант) сам является четырехвектором. Также полезно взять дифференциал четырехвектора, dА и разделим его на дифференциал скаляра, dλ:

${ displaystyle { underset { text {дифференциал}} {d mathbf {A}}} = { underset { text {производная}} { frac {d mathbf {A}} {d lambda}} } { underset { text {дифференциал}} {d lambda}}}$

где контравариантные компоненты:

${ displaystyle d mathbf {A} = (dA ^ {0}, dA ^ {1}, dA ^ {2}, dA ^ {3})}$

а ковариантные компоненты:

${ displaystyle d mathbf {A} = (dA_ {0}, dA_ {1}, dA_ {2}, dA_ {3})}$

В релятивистской механике часто берется дифференциал четырехвектора и делится на дифференциал в подходящее время (Смотри ниже).

Фундаментальные четырехвекторы

Четырехпозиционный

Точка в Пространство Минковского - это временная и пространственная позиция, называемая «событием», или иногда позиция четырехвекторная, четырехпозиционная или четырехпозиционная, описываемая в некоторой системе отсчета набором четырех координат:

${ Displaystyle mathbf {R} = left (ct, mathbf {r} right)}$

куда р это трехмерное пространство вектор положения. Если р является функцией координатного времени т в том же кадре, т.е. р = р(т), это соответствует последовательности событий как т меняется. Определение р⁰ = ct гарантирует, что все координаты имеют одинаковые единицы (расстояния).^[8][9][10] Эти координаты являются составляющими позиция четырехвекторная для мероприятия. смещение четырехвекторное определяется как «стрелка», связывающая два события:

${ Displaystyle Delta mathbf {R} = left (c Delta t, Delta mathbf {r} right)}$

Для дифференциал четыре позиции на мировой линии, используя обозначение нормы:

${ displaystyle | d mathbf {R} | ^ {2} = mathbf {dR cdot dR} = dR ^ { mu} dR _ { mu} = c ^ {2} d tau ^ {2 } = ds ^ {2} ,,}$

определение дифференциала линейный элемент ds и дифференциальное приращение собственного времени dτ, но эта «норма» также:

${ Displaystyle | д mathbf {R} | ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d mathbf {r} cdot d mathbf {r} ,,}$

так что:

${ Displaystyle (cd tau) ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d mathbf {r} cdot d mathbf {r} ,.}$

При рассмотрении физических явлений естественно возникают дифференциальные уравнения; однако, учитывая пространство и производные по времени функций, неясно, по какой системе отсчета взяты эти производные. Принято считать, что производные по времени берутся по подходящее время ${ Displaystyle тау}$. Поскольку собственное время является инвариантом, это гарантирует, что производная по собственному времени любого четырехвектора сама является четырехвектором. Затем важно найти связь между этой производной по собственному времени и другой производной по времени (используя координировать время т инерциальной системы отсчета). Это соотношение обеспечивается путем деления указанного выше дифференциального инвариантного пространственно-временного интервала на (cdt)² чтобы получить:

${ displaystyle left ({ frac {cd tau} {cdt}} right) ^ {2} = 1- left ({ frac {d mathbf {r}} {cdt}} cdot { frac {d mathbf {r}} {cdt}} right) = 1 - { frac { mathbf {u} cdot mathbf {u}} {c ^ {2}}} = { frac {1 } { gamma ( mathbf {u}) ^ {2}}} ,,}$

куда ты = dр/dt координата 3-скорость объекта, измеренного в том же кадре, что и координаты Икс, у, z, и координировать время т, и

${ displaystyle gamma ( mathbf {u}) = { frac {1} { sqrt {1 - { frac { mathbf {u} cdot mathbf {u}} {c ^ {2}}} }}}}$

это Фактор Лоренца. Это обеспечивает полезную связь между разностями в координатном времени и собственном времени:

${ Displaystyle dt = gamma ( mathbf {u}) d tau ,.}$

Это соотношение также можно найти из преобразования времени в Преобразования Лоренца.

Важные четыре вектора в теории относительности можно определить, применяя этот дифференциал ${ displaystyle { frac {d} {d tau}}}$.

Четыре градиента

Учитывая, что частные производные находятся линейные операторы можно сформировать четырехступенчатый из частичного производная по времени ∂/∂т и пространственный градиент ∇. Используя стандартный базис, в индексных и сокращенных обозначениях, контравариантными компонентами являются:

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { partial}} & = left ({ frac { partial} { partial x_ {0}}}, , - { frac { partial} { partial x_ {1}}}, , - { frac { partial} { partial x_ {2}}}, , - { frac { partial} { partial x_ {3}}} right ) & = ( partial ^ {0}, , - partial ^ {1}, , - partial ^ {2}, , - partial ^ {3}) & = mathbf { E} _ {0} partial ^ {0} - mathbf {E} _ {1} partial ^ {1} - mathbf {E} _ {2} partial ^ {2} - mathbf {E} _ {3} partial ^ {3} & = mathbf {E} _ {0} partial ^ {0} - mathbf {E} _ {i} partial ^ {i} & = mathbf {E} _ { alpha} partial ^ { alpha} & = left ({ frac {1} {c}} { frac { partial} { partial t}}, , - nabla right) & = left ({ frac { partial _ {t}} {c}}, - nabla right) & = mathbf {E} _ {0} { frac {1} {c}} { frac { partial} { partial t}} - nabla конец {выровнено}}}$

Обратите внимание, что базисные векторы помещаются перед компонентами, чтобы предотвратить путаницу между взятием производной базисного вектора или просто указанием, что частная производная является компонентом этого четырехвектора. Ковариантные компоненты:

${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { partial}} & = left ({ frac { partial} { partial x ^ {0}}}, , { frac { partial} { partial x ^ {1}}}, , { frac { partial} { partial x ^ {2}}}, , { frac { partial} { partial x ^ {3}}} справа) & = ( partial _ {0}, , partial _ {1}, , partial _ {2}, , partial _ {3}) & = mathbf {E} ^ {0} partial _ {0} + mathbf {E} ^ {1} partial _ {1} + mathbf {E} ^ {2} partial _ {2} + mathbf {E} ^ { 3} partial _ {3} & = mathbf {E} ^ {0} partial _ {0} + mathbf {E} ^ {i} partial _ {i} & = mathbf { E} ^ { alpha} partial _ { alpha} & = left ({ frac {1} {c}} { frac { partial} { partial t}}, , nabla справа) & = left ({ frac { partial _ {t}} {c}}, nabla right) & = mathbf {E} ^ {0} { frac {1} { c}} { frac { partial} { partial t}} + nabla конец {выровнено}}}$

Поскольку это оператор, у него нет «длины», но оценка внутреннего произведения оператора на самого себя дает другой оператор:

${ Displaystyle partial ^ { mu} partial _ { mu} = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2 }}} - nabla ^ {2} = { frac {{ partial _ {t}} ^ {2}} {c ^ {2}}} - nabla ^ {2}}$

называется Оператор Даламбера.

Кинематика

Четыре скорости

В четырехскоростной частицы определяется:

${ displaystyle mathbf {U} = { frac {d mathbf {X}} {d tau}} = { frac {d mathbf {X}} {dt}} { frac {dt} {d tau}} = gamma ( mathbf {u}) left (c, mathbf {u} right),}$

Геометрически, U нормализованный вектор, касательный к мировая линия частицы. Используя дифференциал четырехпозиционного, можно получить величину четырехступенчатой ​​скорости:

${ Displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = U ^ { mu} U _ { mu} = { frac {dX ^ { mu}} {d tau}} { frac { dX _ { mu}} {d tau}} = { frac {dX ^ { mu} dX _ { mu}} {d tau ^ {2}}} = c ^ {2} ,,}$

Короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:

${ Displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = с ^ {2} ,}$

Нормой также является:

${ Displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = { gamma ( mathbf {u})} ^ {2} left (c ^ {2} - mathbf {u} cdot mathbf {ты прав),,}$

так что:

${ displaystyle c ^ {2} = { gamma ( mathbf {u})} ^ {2} left (c ^ {2} - mathbf {u} cdot mathbf {u} right) , ,}$

что сводится к определению Фактор Лоренца.

Единицы измерения четырехскоростной скорости м / с в SI и 1 в геометризованная система единиц. Четыре скорости - это контравариантный вектор.

Четыре ускорения

В четырехскоростной дан кем-то:

${ displaystyle mathbf {A} = { frac {d mathbf {U}} {d tau}} = gamma ( mathbf {u}) left ({ frac {d { gamma} ( mathbf {u})} {dt}} c, { frac {d { gamma} ( mathbf {u})} {dt}} mathbf {u} + gamma ( mathbf {u}) mathbf {a} right).}$

куда а = dты/dt - координатное 3-ускорение. Поскольку величина U является константой, четыре ускорения ортогональны четырехскоростям, то есть внутреннее произведение Минковского четырех ускорений и четырехскоростей равно нулю:

${ Displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {U} = A ^ { mu} U _ { mu} = { frac {dU ^ { mu}} {d tau}} U _ { mu} = { frac {1} {2}} , { frac {d} {d tau}} (U ^ { mu} U _ { mu}) = 0 ,}$

что верно для всех мировых линий. Геометрический смысл четырехскоростного ускорения - это вектор кривизны мировой линии в пространстве Минковского.

Динамика

Четыре импульса

Для массивной частицы масса покоя (или же инвариантная масса ) м₀, то четырехимпульсный дан кем-то:

${ Displaystyle mathbf {P} = m_ {0} mathbf {U} = m_ {0} gamma ( mathbf {u}) (c, mathbf {u}) = (E / c, mathbf { п} )}$

где полная энергия движущейся частицы равна:

${ Displaystyle Е = гамма ( mathbf {u}) м_ {0} с ^ {2}}$

и общая релятивистский импульс является:

${ Displaystyle mathbf {p} = gamma ( mathbf {u}) m_ {0} mathbf {u}}$

Взяв с собой внутренний продукт четырехмерного импульса:

${ Displaystyle | mathbf {P} | ^ {2} = P ^ { mu} P _ { mu} = m_ {0} ^ {2} U ^ { mu} U _ { mu} = m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}$

а также:

${ displaystyle | mathbf {P} | ^ {2} = { frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} - mathbf {p} cdot mathbf {p}}$

что приводит к соотношение энергия-импульс:

${ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} mathbf {p} cdot mathbf {p} + (m_ {0} c ^ {2}) ^ {2} ,.}$

Последнее соотношение полезно релятивистская механика важно в релятивистская квантовая механика и релятивистская квантовая теория поля, все с приложениями для физика элементарных частиц.

Четыре силы

В четыре силы действующее на частицу, определяется аналогично 3-силе как производная по времени от 3-импульса в Второй закон Ньютона:

${ displaystyle mathbf {F} = { frac {d mathbf {P}} {d tau}} = gamma ( mathbf {u}) left ({ frac {1} {c}} { frac {dE} {dt}}, { frac {d mathbf {p}} {dt}} right) = gamma ( mathbf {u}) (P / c, mathbf {f})}$

куда п это мощность переносится для перемещения частицы, и ж - 3-сила, действующая на частицу. Для частицы постоянной инвариантной массы м₀, это эквивалентно

${ Displaystyle mathbf {F} = m_ {0} mathbf {A} = m_ {0} gamma ( mathbf {u}) left ({ frac {d { gamma} ( mathbf {u}) )} {dt}} c, left ({ frac {d { gamma} ( mathbf {u})} {dt}} mathbf {u} + gamma ( mathbf {u}) mathbf { a} right) right)}$

Инвариант, полученный из четырех сил:

${ Displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {U} = F ^ { mu} U _ { mu} = m_ {0} A ^ { mu} U _ { mu} = 0}$

из приведенного выше результата.

Термодинамика

Четыре тепловых потока

Векторное поле четырехмерного теплового потока по существу аналогично трехмерному поток горячего воздуха векторное поле q, в локальной системе отсчета жидкости:^[11]

${ displaystyle mathbf {Q} = -k { boldsymbol { partial}} T = -k left ({ frac {1} {c}} { frac { partial T} { partial t}} , nabla T right)}$

куда Т является абсолютная температура и k является теплопроводность.

Поток четырехбарионного числа

Поток барионов равен:^[12]

${ Displaystyle mathbf {S} = п mathbf {U}}$

куда п это числовая плотность из барионы в местном рама отдыха барионной жидкости (положительные значения для барионов, отрицательные для антибарионы ), и U в четырехскоростной поле (жидкости), как указано выше.

Четыре-энтропия

Четверка-энтропия вектор определяется:^[13]

${ displaystyle mathbf {s} = s mathbf {S} + { frac { mathbf {Q}} {T}}}$

куда s энтропия на барион, а Т в абсолютная температура, в локальной системе покоя жидкости.^[14]

Электромагнетизм

Примеры четырехвекторов в электромагнетизм включая следующее.

Четырехтоковый

Электромагнитный четырехканальный (а точнее четырехтоковая плотность)^[15] определяется

${ Displaystyle mathbf {J} = left ( rho c, mathbf {j} right)}$

сформированный из плотность тока j и плотность заряда ρ.

Четырехпотенциальный

В электромагнитный четырехпотенциальный (или, точнее, векторный потенциал с четырьмя ЭМ), определяемый

${ displaystyle mathbf {A} = left ({ frac { phi} {c}}, mathbf {a} right)}$

сформированный из векторный потенциал а и скалярный потенциал ϕ.

Четырехпотенциал не определяется однозначно, потому что он зависит от выбора измерять.

в волновое уравнение для электромагнитного поля:

${ Displaystyle ( mathbf { partial} cdot mathbf { partial}) mathbf {A} = 0}$ {в вакууме}

${ Displaystyle ( mathbf { partial} cdot mathbf { partial}) mathbf {A} = mu _ {0} mathbf {J}}$ {с четырехканальный источник и использование Условие калибровки Лоренца ${ Displaystyle ( mathbf { partial} cdot mathbf {A}) = 0}$}

Волны

Четырехчастотный

Фотонный плоская волна можно описать четырехчастотный определяется как

${ displaystyle mathbf {N} = nu left (1, { hat { mathbf {n}}} right)}$

куда ν - частота волны и ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {п}}}}$ это единичный вектор в направлении движения волны. Сейчас же:

${ displaystyle | mathbf {N} | = N ^ { mu} N _ { mu} = nu ^ {2} left (1 - { hat { mathbf {n}}} cdot { hat { mathbf {n}}} right) = 0}$

поэтому четырехчастотная частота фотона всегда является нулевым вектором.

Четырехволновой вектор

Величины, обратные времени т и космос р являются угловая частота ω и волновой вектор k, соответственно. Они образуют компоненты четырехволнового вектора или волнового четырехвектора:

${ displaystyle mathbf {K} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} right) = left ({ frac { omega} { c}}, { frac { omega} {v_ {p}}} mathbf { hat {n}} right) ,.}$

Волновой пакет почти монохромный свет можно описать как:

${ displaystyle mathbf {K} = { frac {2 pi} {c}} mathbf {N} = { frac {2 pi} {c}} nu (1, { hat { mathbf {n}}}) = { frac { omega} {c}} left (1, { hat { mathbf {n}}} right) ,.}$

Соотношения де Бройля показали, что четырехволновой вектор применяется к волны материи а также к световым волнам. :

${ displaystyle mathbf {P} = hbar mathbf {K} = left ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right) = hbar left ({ frac { omega} {c}}, { vec {k}} right) ,.}$

уступающий ${ displaystyle E = hbar omega}$ и ${ displaystyle { vec {p}} = hbar { vec {k}}}$, куда час это Постоянная Планка делится на 2π.

Квадрат нормы равен:

${ Displaystyle | mathbf {K} | ^ {2} = K ^ { mu} K _ { mu} = left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} - mathbf {k} cdot mathbf {k} ,,}$

и соотношением де Бройля:

${ displaystyle | mathbf {K} | ^ {2} = { frac {1} { hbar ^ {2}}} | mathbf {P} | ^ {2} = left ({ frac {m_ {0} c} { hbar}} right) ^ {2} ,,}$

у нас есть материально-волновой аналог отношения энергии-импульса:

${ displaystyle left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} - mathbf {k} cdot mathbf {k} = left ({ frac {m_ {0} c } { hbar}} right) ^ {2} ,.}$

Обратите внимание, что для безмассовых частиц, в этом случае м₀ = 0, у нас есть:

${ displaystyle left ({ frac { omega} {c}} right) ^ {2} = mathbf {k} cdot mathbf {k} ,,}$

или ||k|| = ω/c. Обратите внимание, что это согласуется с приведенным выше случаем; для фотонов с 3-волновым вектором модуля ω/c, в направлении распространения волны, определяемом единичным вектором ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {п}}}}$.

Квантовая теория

Ток с четырьмя вероятностями

В квантовая механика, четверка-ток вероятности или вероятность четыре-ток аналогичен электромагнитный четырехтоковый:^[16]

${ Displaystyle mathbf {J} = ( rho c, mathbf {j})}$

куда ρ это функция плотности вероятности соответствующий временной составляющей, и j это ток вероятности вектор. В нерелятивистской квантовой механике этот ток всегда хорошо определен, потому что выражения для плотности и тока положительно определены и могут допускать вероятностную интерпретацию. В релятивистская квантовая механика и квантовая теория поля, не всегда можно найти ток, особенно при взаимодействии.

Замена энергии на оператор энергии и импульс оператор импульса в четырехимпульсе получаем четырехимпульсный оператор, используется в релятивистские волновые уравнения.

Четыре вращения

В четыре вращения частицы определяется в системе покоя частицы как

${ Displaystyle mathbf {S} = (0, mathbf {s})}$

куда s это вращение псевдовектор. В квантовой механике не все три составляющие этого вектора можно измерить одновременно, только одна составляющая. Времяподобный компонент равен нулю в системе отсчета частицы, но не в любой другой системе отсчета. Этот компонент можно найти с помощью соответствующего преобразования Лоренца.

Квадрат нормы - это (отрицательный) квадрат величины спина, и согласно квантовой механике мы имеем

${ Displaystyle | mathbf {S} | ^ {2} = - | mathbf {s} | ^ {2} = - hbar ^ {2} s (s + 1)}$

Это значение является наблюдаемым и квантованным, с s в квантовое число спина (а не величина вектора спина).

Другие составы

Четыре-векторы в алгебре физического пространства

Четырехвекторный А также можно определить с помощью Матрицы Паули как основа, опять же в различных эквивалентных обозначениях:^[17]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = (A ^ {0}, , A ^ {1}, , A ^ {2}, , A ^ {3}) & = A ^ {0} { boldsymbol { sigma}} _ {0} + A ^ {1} { boldsymbol { sigma}} _ {1} + A ^ {2} { boldsymbol { sigma}} _ {2} + A ^ {3} { boldsymbol { sigma}} _ {3} & = A ^ {0} { boldsymbol { sigma}} _ {0} + A ^ {i} { boldsymbol { sigma}} _ {i} & = A ^ { alpha} { boldsymbol { sigma}} _ { alpha} конец {выровнено}}}$

или явно:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = A ^ {0} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} + A ^ {1} { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} + A ^ {2} { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} + A ^ {3} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & - 1 end {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} A ^ {1} + iA ^ { 2} & A ^ {0} -A ^ {3} end {pmatrix}} end {align}}}$

и в этой формулировке четырехвектор представлен как Эрмитова матрица (в матрица транспонировать и комплексно сопряженный матрицы оставляет его без изменений), а не вещественный столбец или вектор-строку. В детерминант матрицы - это модуль четырехвектора, поэтому определитель является инвариантом:

${ displaystyle { begin {align} | mathbf {A} | & = { begin {vmatrix} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} A ^ {1} + iA ^ {2} & A ^ {0} -A ^ {3} end {vmatrix}} & = (A ^ {0} + A ^ {3}) (A ^ {0} - A ^ {3}) - (A ^ {1} -iA ^ {2}) (A ^ {1} + iA ^ {2}) & = (A ^ {0}) ^ {2} - ( A ^ {1}) ^ {2} - (A ^ {2}) ^ {2} - (A ^ {3}) ^ {2} end {align}}}$

Идея использования матриц Паули в качестве базисные векторы работает в алгебра физического пространства, пример Алгебра Клиффорда.

Четыре вектора в алгебре пространства-времени

В алгебра пространства-времени, другой пример алгебры Клиффорда, гамма-матрицы может также сформировать основа. (Их также называют матрицами Дирака из-за их появления в Уравнение Дирака ). Существует несколько способов выражения гамма-матриц, подробно описанных в этой основной статье.

В Обозначение фейнмана слэш это сокращение от четырехвекторного А в сочетании с гамма-матрицами:

${ Displaystyle mathbf {A} ! ! ! ! / = A _ { alpha} gamma ^ { alpha} = A_ {0} gamma ^ {0} + A_ {1} gamma ^ { 1} + A_ {2} gamma ^ {2} + A_ {3} gamma ^ {3}}$

Четыре-импульс, сжатый с гамма-матрицами, является важным случаем в релятивистская квантовая механика и релятивистская квантовая теория поля. В уравнении Дирака и др. релятивистские волновые уравнения, условия формы:

${ Displaystyle mathbf {P} ! ! ! ! / = P _ { alpha} gamma ^ { alpha} = P_ {0} gamma ^ {0} + P_ {1} gamma ^ { 1} + P_ {2} gamma ^ {2} + P_ {3} gamma ^ {3} = { dfrac {E} {c}} gamma ^ {0} -p_ {x} gamma ^ { 1} -p_ {y} gamma ^ {2} -p_ {z} gamma ^ {3}}$

появляются, в которых энергия E и компоненты импульса (п_Икс, п_у, п_z) заменяются их соответствующими операторы.

Смотрите также

• Релятивистская механика
• паравектор
• волновой вектор
• Пыль (относительность) для четырехвектора числового потока
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Пространство Минковского

Рекомендации

• Риндлер, В. Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.) (1991) Кларендон Пресс Оксфорд ISBN  0-19-853952-5