Идеальное число - Perfect number

Иллюстрация идеального числа, статус числа 6

В теория чисел, а идеальное число это положительное число что равно сумме положительных делители, за исключением самого числа. Например, 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 - идеальное число.

Сумма делителей числа, исключая само число, называется его аликвотная сумма, поэтому совершенное число - это число, равное его аликвотной сумме. Точно так же совершенное число - это число, равное половине суммы всех его положительных делителей, включая само себя; в символах, σ₁(п) = 2п куда σ₁ это функция суммы делителей. Например, 28 идеально подходит как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Это древнее определение появилось еще Евклида Элементы (VII.22) где это называется τέλειος ἀριθμός (идеально, идеальный, или же полный номер). Евклид также доказал правило формирования (IX.36), согласно которому ${displaystyle q (q + 1) / 2}$ четное идеальное число, когда ${displaystyle q}$ простое число вида ${displaystyle 2 ^ {p} -1}$ для премьер ${displaystyle p}$- то, что сейчас называется Мерсенн прайм. Два тысячелетия спустя Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют этот вид.^[1] Это известно как Теорема Евклида – Эйлера.

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел 6, 28, 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS ).

История

Примерно за 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2^п - 1 простое, тогда 2^п−1(2^п - 1) идеально. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными раннему Греческая математика, а математик Никомах отметил 8128 год примерно в 100 году нашей эры.^[2] Выражаясь современным языком, Никомах без доказательств заявляет, что каждый идеальное число имеет форму ${displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ куда ${displaystyle 2 ^ {n} -1}$ простое.^[3][4] Кажется, он не знает, что п сам должен быть простым. Он также говорит (ошибочно), что идеальные числа поочередно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; шестое также оканчивается цифрами 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении» упоминает совершенные числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна вращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 являются совершенными. За Филоном следует Ориген,^[5] и по Дидим Слепой, который добавляет наблюдение о том, что всего четыре совершенных числа меньше 10 000. (Комментарий к Бытию 1. 14-19).^[6] Святой Августин определяет идеальные числа в Город Бога (Книга XI, Глава 30) в начале 5-го века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336, 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны.^[7] Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком.^[8] В 1588 г. итальянский математик Пьетро Катальди определила шестое (8,589,869,056) и седьмое (137,438,691,328) совершенных чисел, а также доказала, что каждое совершенное число, полученное из правила Евклида, заканчивается на 6 или 8.^[9][10][11]

Даже идеальные числа

Нерешенная проблема в математике: Бесконечно много совершенных чисел? (больше нерешенных задач по математике)

Евклид доказал, что 2^п−1(2^п - 1) является четным совершенным числом всякий раз, когда 2^п - 1 простое число (Элементы, Предложение IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле 2^п−1(2^п - 1), с п а простое число, следующее:

за п = 2:   2¹(2² − 1) = 2 × 3 = 6

за п = 3:   2²(2³ − 1) = 4 × 7 = 28

за п = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 16 × 31 = 496

за п = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 64 × 127 = 8128.

Простые числа вида 2^п - 1 известен как Простые числа Мерсенна, после монаха семнадцатого века Марин Мерсенн, который учился теория чисел и идеальные числа. Для 2^п - 1, чтобы быть простым, необходимо, чтобы п Сам быть первоклассным. Однако не все числа вида 2^п - 1 со штрихом п простые; например, 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом.^[12] На самом деле простые числа Мерсенна очень редки - из 2 610 944 простых чисел п вплоть до 43,112,609,^[13] 2^п - 1 является простым только для 47 из них.

Несмотря на то что Никомах заявил (без доказательств), что все идеальные числа имели форму ${displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} -1)}$ куда ${displaystyle 2 ^ {n} -1}$ простое (хотя он высказал это несколько иначе), Ибн аль-Хайсам (Альхазен) около 1000 г. н.э. предположил только, что каждый четное идеальное число имеет такую ​​форму.^[14] Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула 2^п−1(2^п - 1) даст все четные совершенные числа. Таким образом, существует индивидуальная переписка между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют Теорема Евклида – Эйлера.

Исчерпывающий поиск GIMPS Проект распределенных вычислений показал, что первые 47 четных чисел равны 2^п−1(2^п - 1) для

п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 , 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667 (последовательность, 431603809) A000043 в OEIS ).^[15]

Также были обнаружены четыре высших совершенных числа, а именно те, для которых п = 57885161, 74207281, 77232917 и 82589933, хотя в этом диапазоне могут быть и другие. По состоянию на декабрь 2018 г.^{[Обновить]}, Известно 51 простое число Мерсенна,^[16] и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых 2^82589932 × (2^82589933 - 1) с 49 724 095 цифрами). это Неизвестный есть ли бесконечно много совершенные числа, а также то, существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.

А также имеющий форму 2^п−1(2^п - 1) каждое четное совершенное число является (2^п - 1) й треугольное число (и, следовательно, равняется сумме целых чисел от 1 до 2^п − 1) и 2^п−1th шестиугольное число. Кроме того, каждое четное совершенное число, кроме 6, является ((2^п + 1) / 3) ое центрированное неагональное число и равен сумме первых 2^(п−1)/2 нечетные кубики:

${displaystyle {egin {align} 6 & = 2 ^ {1} (2 ^ {2} -1) && = 1 + 2 + 3, [8pt] 28 & = 2 ^ {2} (2 ^ {3} -1 ) && = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 ^ {3} + 3 ^ {3}, [8pt] 496 & = 2 ^ {4} (2 ^ {5} -1) && = 1 + 2 + 3 + cdots + 29 + 30 + 31 &&& = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ {3}, [8pt] 8128 & = 2 ^ { 6} (2 ^ {7} -1) && = 1 + 2 + 3 + cdots + 125 + 126 + 127 &&& = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + 7 ^ { 3} + 9 ^ {3} + 11 ^ {3} + 13 ^ {3} + 15 ^ {3}, [8pt] 33550336 & = 2 ^ {12} (2 ^ {13} -1) && = 1 + 2 + 3 + cdots + 8189 + 8190 + 8191 &&& = 1 ^ {3} + 3 ^ {3} + 5 ^ {3} + cdots + 123 ^ {3} + 125 ^ {3} + 127 ^ { 3} .end {выровнено}}}$

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид

${displaystyle T_ {2 ^ {p} -1} = 1 + {frac {(2 ^ {p} -2) imes (2 ^ {p} +1)} {2}} = 1 + 9 imes T _ {( 2 ^ {p} -2) / 3}}$

с каждым полученным треугольным числом T₇ = 28, т₃₁ = 496, т₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающегося на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с T₂ = 3, Т₁₀ = 55, Т₄₂ = 903, Т₂₇₃₀ = 3727815, ...^[17] Это можно переформулировать следующим образом: добавление цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса до единственной цифры (называемой цифровой корень ) всегда дает число 1. Например, цифровой корень 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1. Это работает со всеми идеальными числа 2^п−1(2^п - 1) с нечетным простым числом п и, по сути, с все числа формы 2^м−1(2^м - 1) для нечетного целого числа (не обязательно простого) м.

Благодаря своей форме 2^п−1(2^п - 1), каждое четное совершенное число представлено в двоичной форме как п те, за которыми следуютп - 1 нули; Например,

6₁₀ = 2² + 2¹ = 110₂

28₁₀ = 2⁴ + 2³ + 2² = 11100₂

496₁₀ = 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ = 111110000₂

и

8128₁₀ = 2¹² + 2¹¹ + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸ + 2⁷ + 2⁶ = 1111111000000₂.

Таким образом, каждое четное совершенное число является вредоносное число.

Каждое четное идеальное число также является практический номер (ср. Связанные понятия ).

Нечетные идеальные числа

Нерешенная проблема в математике: Есть ли идеальные нечетные числа? (больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, существует ли какое-нибудь нечетное совершенное число, хотя были получены разные результаты. В 1496 г. Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа,^[18] таким образом подразумевая, что не существует нечетного совершенного числа. Эйлер заявил: «Существуют ли какие-нибудь нечетные совершенные числа - это самый трудный вопрос».^[19] В последнее время, Карл Померанс представил эвристический аргумент предполагая, что на самом деле не должно существовать нечетного совершенного числа.^[20] Все совершенные числа тоже Гармонические числа руды, и также было высказано предположение, что не существует нечетных гармонических чисел Оре, кроме 1.

Любое нечетное совершенное число N должны удовлетворять следующим условиям:

• N > 10¹⁵⁰⁰.^[21]
• N не делится на 105.^[22]
• N имеет форму N ≡ 1 (мод. 12) или N ≡ 117 (мод. 468) или N ≡ 81 (обр. 324).^[23]
• N имеет форму

${displaystyle N = q ^ {alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} cdots p_ {k} ^ {2e_ {k}},}$

куда:

• q, п₁, ..., п_k различные простые числа (Эйлер).
• q ≡ α ≡ 1 (мод 4) (Эйлер).
• Наименьший простой фактор N меньше чем (2k + 8) / 3.^[24]
• Либо q^α > 10⁶², или же п_j^2е_j  > 10⁶² для некоторых j.^[21]
• ${displaystyle N <2 ^ {(4 ^ {k + 1} -2 ^ {k + 1})}}$^[25][26]
• ${displaystyle alpha + 2e_ {1} + 2e_ {2} + 2e_ {3} + cdots + 2e_ {k} geq (21k-18) / 8}$.^[27][28]
• ${displaystyle qp_ {1} p_ {2} p_ {3} cdots p_ {k} <2N ^ {frac {17} {26}}}$.^[29]

• Наибольший простой фактор N больше 10^8[30] и меньше чем ${displaystyle (3N) ^ {1/3}.}$ ^[31]
• Второй по величине простой фактор больше 10⁴, и меньше чем ${displaystyle (2N) ^ {1/5}}$.^[32][33]
• Третий по величине простой фактор больше 100.^[34]
• N имеет не менее 101 простого делителя и не менее 10 различных простых множителей.^[21][35] Если 3 не является одним из факторов N, тогда N имеет не менее 12 различных простых делителей.^[36]

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов, касающихся показателей степение₁, ..., е_k в

${displaystyle N = q ^ {alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} cdots p_ {k} ^ {2e_ {k}}.}$

• Не все е_я ≡ 1 (мод 3).^[37]
• Не все е_я ≡ 2 (мод 5).^[38]
• Я упал е_я ≡ 1 (мод 3) или 2 (мод 5), то наименьший простой делитель N должно быть между 10⁸ и 10¹⁰⁰⁰.^[38]
• В общем, если все 2е_я+1 имеют простой делитель в данном конечном множестве S, то наименьший простой делитель N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только от S.^[38]
• Если (е₁, ..., е_k) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с т те и ты двое, тогда ${displaystyle (t-1) / 4leq uleq 2t + {sqrt {alpha}}}$.^[39]
• (е₁, ..., е_k) ≠ (1, ..., 1, 3),^[40] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).^[41]
• Если е₁= ...= е_k= е, тогда

• е не может быть 3,^[42] 5, 24,^[43] 6, 8, 11, 14 или 18.^[41]
• ${displaystyle kleq 2e ^ {2} + 8e + 2}$ и N < 2^{42e2 + 8e + 3}.^[44]

В 1888 г. Сильвестр заявил:^[45]

... длительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной сети условий, сужающих его со всех сторон, - было бы немного недолгим. чуда.

Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к подделка нечетных совершенных чисел, а Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству отсутствия нечетных совершенных чисел. ^[46]

Незначительные результаты

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Есть ряд результатов об идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, внешне они впечатляют; некоторые из них также подпадают под Ричард Гай с сильный закон малых чисел:

• Единственное четное идеальное число формы Икс³ +1 это 28 (Маковски 1962 ).^[47]
• 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел (Галлардо 2010 ).^[48]
• В взаимные делителей совершенного числа N должно складываться до 2 (чтобы получить это, возьмите определение идеального числа, ${displaystyle sigma _ {1} (n) = 2n}$, и разделите обе стороны на п):
  • Для 6 имеем ${displaystyle 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2}$;
  • Для 28 у нас есть ${displaystyle 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2}$, так далее.
• Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, потому что N не может быть идеальным квадратом.^[49]
  • Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является Гармонический номер руды.
• Даже идеальные числа не трапециевидные числа; то есть, они не могут быть представлены как разность двух положительных непоследовательных треугольные числа. Существует всего три типа нетрапецеидальных чисел: четные числа, степени двойки и числа вида ${displaystyle 2 ^ {n-1} (2 ^ {n} +1)}$ сформированный как продукт Ферма Прайм ${displaystyle 2 ^ {n} +1}$ со степенью двойки аналогично построению четных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна.^[50]
• Количество совершенных чисел меньше п меньше чем ${displaystyle c {sqrt {n}}}$, куда c > 0 - постоянная величина.^[51] На самом деле это ${displaystyle o ({sqrt {n}})}$, с помощью маленькая нотация.^[52]
• Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 с основанием десять; и, за исключением 6, оканчивается на 1, основание 9.^[53][54] Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, кроме 6, равно 1.
• Единственный без квадратов идеальное число - 6.^[55]

Связанные понятия

Диаграмма Эйлера из обильный, примитивный изобилие, очень много, избыточный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный высоко композитный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполноценный и составные числа

Сумма собственных делителей дает различные другие типы чисел. Числа, сумма которых меньше самого числа, называются неполноценный, а где оно больше числа, обильный. Эти условия вместе с идеально сам, происходит от греческого нумерология. Пара чисел, являющихся суммой собственных делителей друг друга, называется дружелюбный, а большие циклы чисел называются общительный. Положительное целое число такое, что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, является практический номер.

По определению совершенное число - это фиксированная точка из ограниченная функция делителей s(п) = σ(п) − п, а аликвотная последовательность с совершенным числом связана постоянная последовательность. Все совершенные числа тоже ${displaystyle {mathcal {S}}}$-совершенные числа, или Числа Гранвилля.

А полусовершенное число натуральное число, равное сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странные числа.

Смотрите также

• Сверхсовершенное число
• Leinster group
• Список идеальных чисел
• Умножить идеальное число
• Суперсовершенные числа

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Нанкар, М.Л .: "История совершенных чисел", Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
• Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для набора нечетных совершенных простых чисел». Математика вычислений. 27 (124): 951–953. Дои:10.2307/2005530. JSTOR  2005530.
• Риле, Х.Дж. «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в H.W. Ленстра и Р. Тийдеман (ред.): Вычислительные методы в теории чисел, Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
• Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации, Бирхаузер, 1985.
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. стр.15 –98. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

внешняя ссылка

• «Идеальное число», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Дэвид Моус: Идеальные, дружные и общительные номера
• Совершенные числа - история и теория
• Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число». MathWorld.
• OEIS последовательность A000396 (Совершенные числа)
• OddPerfect.org Предполагаемый проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
• Отличный Интернет-поиск Mersenne Prime (GIMPS)
• Совершенные числа, математический форум в Drexel.
• Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2013-05-31. Получено 2013-04-02.