Геометрическая теория групп - Geometric group theory

В Граф Кэли из свободная группа с двумя генераторами. Это гиперболическая группа чей Громовский рубеж это Кантор набор. Гиперболические группы и их границы являются важными темами в геометрической теории групп, как и графы Кэли.

Геометрическая теория групп это область в математика посвященный изучению конечно порожденные группы через изучение связей между алгебраический свойства таких группы и топологический и геометрический свойства пространств, на которых эти группы действовать (то есть, когда рассматриваемые группы реализуются как геометрические симметрии или непрерывные преобразования некоторых пространств).

Другая важная идея геометрической теории групп - рассматривать конечно порожденные группы как геометрические объекты. Обычно это делается путем изучения Графики Кэли групп, которые, помимо график структуры, наделены структурой метрическое пространство, заданный так называемым слово метрика.

Геометрическая теория групп, как отдельная область, является относительно новой и стала четко определяемой отраслью математики в конце 1980-х - начале 1990-х годов. Геометрическая теория групп тесно взаимодействует с низкоразмерная топология, гиперболическая геометрия, алгебраическая топология, вычислительная теория групп и дифференциальная геометрия. Есть также существенные связи с теория сложности, математическая логика, изучение Группы Ли и их дискретные подгруппы, динамические системы, теория вероятности, K-теория, и другие области математики.

Во введении к своей книге Темы геометрической теории групп, Пьер де ла Арп написал: «Одно из моих личных убеждений заключается в том, что увлечение симметриями и группами - это один из способов справиться с разочарованием, связанным с ограничениями жизни: нам нравится распознавать симметрии, которые позволяют нам распознавать больше, чем то, что мы можем видеть. В этом смысле изучение геометрических теория групп является частью культуры и напоминает мне о нескольких вещах, которые Жорж де Рам практикуется во многих случаях, например, при обучении математике, чтении Малларме, или приветствуя друга ".^[1]:3

История

Геометрическая теория групп выросла из комбинаторная теория групп которые в значительной степени изучили свойства дискретные группы через анализ групповые презентации, которые описывают группы как частные из бесплатные группы; это поле было впервые систематически изучено Вальтер фон Дейк, студент Феликс Кляйн, в начале 1880-х гг.^[2] в то время как ранняя форма найдена в 1856 г. икозианское исчисление из Уильям Роуэн Гамильтон, где он изучал икосаэдрическая симметрия группы через реберный граф додекаэдр. В настоящее время комбинаторная теория групп как область в значительной степени относится к геометрической теории групп. Более того, термин «геометрическая теория групп» стал часто включать изучение дискретных групп с использованием вероятностных теоретико-мерный, арифметический, аналитический и другие подходы, выходящие за рамки традиционного арсенала комбинаторной теории групп.

В первой половине 20 века новаторские работы Макс Ден, Якоб Нильсен, Курт Райдемайстер и Отто Шрайер, Дж. Х. К. Уайтхед, Эгберт ван Кампен, среди прочего, внес некоторые топологические и геометрические идеи в изучение дискретных групп.^[3] Другие предшественники геометрической теории групп включают теория небольшой отмены и Теория Басса – Серра. Теория малого сокращения была введена Мартин Гриндлингер в 1960-х^[4][5] и далее развито Роджер Линдон и Пол Шупп.^[6] Он изучает диаграммы Ван Кампена, соответствующее представлениям конечных групп, через условия комбинаторной кривизны и выводит алгебраические и алгоритмические свойства групп из такого анализа. Теория Басса – Серра, представленная в книге Серра 1977 г.,^[7] получает структурно-алгебраическую информацию о группах, изучая действия группы на симплициальные деревья.Внешние предшественники геометрической теории групп включают изучение решеток в группах Ли, особенно Теорема жесткости Мостова, изучение Клейнианские группы, и прогресс, достигнутый в низкоразмерная топология и гиперболическая геометрия 1970-х - начала 1980-х годов, в частности, благодаря Уильям Терстон с Программа геометризации.

Появление геометрической теории групп как отдельной области математики обычно восходит к концу 1980-х - началу 1990-х годов. Его подтолкнула монография 1987 г. Михаил Громов «Гиперболические группы»^[8] что ввело понятие гиперболическая группа (также известный как словесно-гиперболический или же Громов-гиперболический или же отрицательно изогнутый group), который отражает идею конечно порожденной группы, имеющей крупномасштабную отрицательную кривизну, а его последующая монография Асимптотические инварианты бесконечных групп.,^[9] в котором изложена программа Громова понимания дискретных групп вплоть до квазиизометрия. Работа Громова оказала преобразующее влияние на изучение дискретных групп.^[10][11][12] и вскоре после этого стали появляться слова «геометрическая теория групп». (см., например,^[13]).

Современные темы и разработки

Эта секция в список формат, но может читаться лучше как проза. Вы можете помочь преобразование этого раздела, при необходимости. Помощь при редактировании доступен. (Январь 2012 г.)

Известные темы и разработки в геометрической теории групп в 1990-х и 2000-х годах включают:

• Программа Громова по изучению квазиизометрических свойств групп.

Особенно влиятельной широкой темой в этой области является Громов программа^[14] классификации конечно порожденные группы согласно их крупномасштабной геометрии. Формально это означает классификацию конечно порожденных групп с их слово метрика вплоть до квазиизометрия. Эта программа включает:

1. Изучение свойств, инвариантных относительно квазиизометрия. Примеры таких свойств конечно порожденных групп включают: скорость роста конечно порожденной группы; то изопериметрическая функция или же Функция Дена из конечно представленная группа; количество концы группы; гиперболичность группы; то гомеоморфизм тип Громовский рубеж гиперболической группы;^[15] асимптотические конусы конечно порожденных групп (см., например,^[16][17]); снисходительность конечно порожденной группы; будучи фактически абелевский (т.е. имея абелеву подгруппу конечного индекс ); будучи фактически нильпотентный; будучи фактически свободный; существование конечно презентабельный; будучи конечно представимой группой с разрешимой Проблема со словом; и другие.
2. Теоремы, использующие инварианты квазиизометрии для доказательства алгебраических результатов о группах, например: Теорема Громова о полиномиальном росте; Теорема о концах Столлингса; Теорема жесткости Мостова.
3. Квазиизометрические теоремы о жесткости, в которых алгебраически классифицируются все группы, квазиизометрические по отношению к некоторой данной группе или метрическому пространству. Это направление было инициировано работой Шварц о квазиизометрической жесткости решеток первого ранга^[18] и работа Бенсон Фарб и Ли Мошер о квазиизометрической жесткости Группы Баумслаг-Солитэр.^[19]

• Теория словесно-гиперболический и относительно гиперболический группы. Особенно важным событием здесь является работа Злиль Села в 1990-х годах, в результате чего проблема изоморфизма для словесно-гиперболических групп.^[20] Понятие относительно гиперболической группы было впервые введено Громовым в 1987 г.^[8] и доработано Фарбом^[21] и Брайан Боудитч,^[22] в 1990-е гг. Изучение относительно гиперболических групп приобрело известность в 2000-х годах.
• Взаимодействие с математической логикой и изучение теории свободных групп первого порядка. Особенно важный прогресс произошел на знаменитом Гипотезы Тарского, благодаря работе Селы^[23] а также Ольга Харлампович и Алексей Мясников.^[24] Изучение ограничить группы и введение языка и механизмов некоммутативная алгебраическая геометрия получил известность.
• Взаимодействие с информатикой, теорией сложности и теорией формальных языков. Примером этой темы является развитие теории автоматические группы,^[25] понятие, которое накладывает определенные геометрические и теоретико-языковые условия на операцию умножения в конечно порожденной группе.
• Изучение изопериметрических неравенств, функций Дена и их обобщений для конечно определенной группы. Сюда входят, в частности, работы Жан-Камиля Бирже, Александра Ольшанского, Элияху Рипс и Марк Сапир^[26][27] по существу характеризующие возможные функции Дена конечно определенных групп, а также результаты, обеспечивающие явные конструкции групп с дробными функциями Дена.^[28]
• Теория торала или JSJ-разложения за 3-х коллектор первоначально был введен в теоретико-групповой контекст Питером Крофоллером.^[29] Это понятие было развито многими авторами как для конечно определенных, так и для конечно порожденных групп.^{[30][31][32][33][34]}
• Связи с геометрический анализ, изучение C * -алгебры связанных с дискретными группами и теорией свободных вероятностей. Эта тема представлена, в частности, значительным прогрессом в Гипотеза новикова и Гипотеза Баума – Конна а также разработка и исследование связанных теоретико-групповых понятий, таких как топологическая аменабельность, асимптотическая размерность, равномерная встраиваемость в Гильбертовы пространства, свойство быстрого распада и т. д. (см., например,^[35][36][37]).
• Взаимодействие с теорией квазиконформного анализа на метрических пространствах, особенно в отношении Гипотеза Кэннона о характеризации гиперболических групп с Громовский рубеж гомеоморфен 2-сфере.^[38][39][40]
• Правила конечного деления, также в отношении Гипотеза Кэннона.^[41]
• Взаимодействие с топологическая динамика в контексте изучения действий дискретных групп на различных компактных пространствах и групповых компактификациях, в частности группа конвергенции методы^[42][43]
• Развитие теории групповых действий на ${ Displaystyle mathbb {R}}$-деревья (особенно Разрывает машину ) и его приложения.^[44]
• Изучение групповых действий на CAT (0) пробелы и кубические комплексы CAT (0),^[45] мотивированы идеями из геометрии Александрова.
• Взаимодействия с низкоразмерной топологией и гиперболической геометрией, в частности, изучение групп трехмерных многообразий (см., Например,^[46]), отображение групп классов поверхностей, группы кос и Клейнианские группы.
• Внедрение вероятностных методов исследования алгебраических свойств "случайных" теоретико-групповых объектов (групп, элементов групп, подгрупп и т. Д.). Особенно важным достижением здесь является работа Громова, который использовал вероятностные методы для доказательства^[47] существование конечно порожденной группы, не вкладываемой равномерно в гильбертово пространство. Среди других заметных достижений - введение и изучение понятия общая сложность^[48] для теоретико-групповых и других математических алгоритмов и результатов алгебраической жесткости для общих групп.^[49]
• Изучение группы автоматов и повторяющиеся группы монодромии в качестве группы автоморфизмов бесконечных деревьев с корнями. Особенно, Группы Григорчука промежуточного роста и их обобщения появляются в этом контексте.^[50][51]
• Изучение теоретико-мерных свойств групповых действий на измерять пространства, в частности внедрение и развитие понятий эквивалентность меры и эквивалентность орбиты, а также теоретико-мерные обобщения жесткости Мостова.^[52][53]
• Изучение унитарных представлений дискретных групп и Имущество Каждан (Т)^[54]
• Изучение Из(F_п) ( группа внешних автоморфизмов из свободная группа ранга п) и индивидуальных автоморфизмов свободных групп. Введение и исследование Каллера-Фогтманна космическое пространство^[55] и теории железнодорожные пути^[56] поскольку автоморфизмы свободных групп играли здесь особенно заметную роль.
• Развитие Теория Басса – Серра, особенно различные результаты доступности^[57][58][59] и теория решеток деревьев.^[60] Обобщения теории Басса – Серра, такие как теория комплексов групп.^[45]
• Изучение случайные прогулки по группам и связанной с ними теории границ, особенно по понятию Граница Пуассона (см., например,^[61]). Изучение снисходительность а также групп, чей статус ответственности до сих пор неизвестен.
• Взаимодействие с теорией конечных групп, особенно прогресс в изучении рост подгруппы.^[62]
• Изучение подгрупп и решеток в линейные группы, Такие как ${ Displaystyle SL (п, mathbb {R})}$, и других групп Ли, геометрическими методами (например, здания ), алгебро-геометрический инструменты (например, алгебраические группы и многообразия представлений), аналитические методы (например, унитарные представления в гильбертовых пространствах) и арифметические методы.
• Групповые когомологии, используя алгебраические и топологические методы, в том числе взаимодействие с алгебраическая топология и использование теоретико-морзский идеи в комбинаторном контексте; крупномасштабные или грубые (см., например,^[63]) гомологический и когомологический методы.
• Прогресс по традиционным темам комбинаторной теории групп, таким как Проблема Бернсайда,^[64][65] изучение Группы Кокстера и Группы Артина и т. д. (методы, используемые в настоящее время для изучения этих вопросов, часто бывают геометрическими и топологическими).

Примеры

Следующие примеры часто изучаются в геометрической теории групп:

Смотрите также

• В лемма о пинг-понге, полезный способ представить группу как бесплатный продукт
• Аменабле группа
• Преобразование Нильсена
• Преобразование Титце

Рекомендации

Книги и монографии

Эти тексты охватывают геометрическую теорию групп и смежные темы.

• Боудич, Брайан Х. (2006). Курс геометрической теории групп. Мемуары MSJ. 16. Токио: Математическое общество Японии. ISBN  4-931469-35-3.
• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 319. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-64324-9.
• Coornaert, Мишель; Делзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov. Конспект лекций по математике. 1441. Springer-Verlag. ISBN  3-540-52977-2. МИСТЕР  1075994.
• Coornaert, Мишель; Пападопулос, Атанас (1993). Символическая динамика и гиперболические группы. Конспект лекций по математике. 1539. Springer-Verlag. ISBN  3-540-56499-3.
• де ла Харп, П. (2000). Темы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-31719-6.
• Другу, Корнелия; Капович Михаил (2018). Геометрическая теория групп (PDF). Публикации коллоквиума Американского математического общества. 63. Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-1104-6. МИСТЕР  3753580.
• Epstein, D.B.A .; Кэннон, J.W .; Holt, D .; Levy, S .; Патерсон, М .; Терстон, В. (1992). Обработка текста в группах. Джонс и Бартлетт. ISBN  0-86720-244-0.
• Громов, М. (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Г. (ред.). Очерки теории групп. 8. ИИГС. С. 75–263. ISBN  0-387-96618-8.
• Громов, Михаил (1993). Niblo, G.A .; Роллер, М.А. (ред.). Асимптотические инварианты бесконечных групп. 2. Издательство Кембриджского университета. С. 1–295. ISBN  978-0-521-44680-8.
• Капович, М. (2001). Гиперболические многообразия и дискретные группы.. Успехи в математике. 183. Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-3904-4.
• Линдон, Роджер С.; Шупп, Пол Э. (2015) [1977]. Комбинаторная теория групп. Классика по математике. Springer. ISBN  978-3-642-61896-3.
• Ольшанский, А.Ю. (2012) [1991]. Геометрия определяющих отношений в группах. Springer. ISBN  978-94-011-3618-1.
• Роу, Джон (2003). Лекции по грубой геометрии. Серия университетских лекций. 31. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3332-2.

внешняя ссылка

• Страница теории геометрических групп Джона Маккаммонда
• Что такое геометрическая теория групп? Дэниел Уайз
• Открытые проблемы комбинаторной и геометрической теории групп
• Тема геометрической теории групп на arxiv.org