Теорема о пересекающихся аккордах - Intersecting chords theorem

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

${displaystyle {egin {выровнено} & | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = & (r + d) cdot (rd) = r ^ {2} -d ^ {2} end {выровнено }}}$

${displaystyle riangle ASDsim riangle BSC}$

В теорема о пересечении хорд или просто Теорема о хорде - это утверждение в элементарной геометрии, которое описывает отношение четырех отрезков прямой, созданных двумя пересекающимися аккорды внутри круга. В нем говорится, что произведения длин отрезков на каждом хорде равны. Это предложение 35 книги 3 Евклида. Элементы.

Точнее для двух аккордов AC и BD пересекающиеся в точке S имеет место следующее уравнение:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Верно и обратное, если для двух отрезков AC и BD пересекаясь в S, справедливо указанное выше уравнение, то их четыре конечные точки А, B, C и D лежать на общем круге. Или, другими словами, если диагонали четырехугольника ABCD пересекаться в S и выполнить уравнение выше, тогда это циклический четырехугольник.

Стоимость двух произведений в теореме о хорде зависит только от расстояния до точки пересечения. S от центра круга и называется абсолютным значением сила S, точнее можно сказать, что:

${displaystyle | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD | = r ^ {2} -d ^ {2}}$

куда р - радиус круга, а d это расстояние между центром круга и точкой пересечения S. Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хорде к третьей хорде, проходящей через S и центр круга M (см. рисунок).

Теорема может быть доказана с помощью подобных треугольников (через теорема о вписанном угле ). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC:

${displaystyle {egin {выровненный} угол ADS & = угол BCS, ({ext {вписанные углы над AB}}) angle DAS & = угол CBS, ({ext {вписанные углы над CD}}) angle ASD & = угол BSC, ( {ext {противоположные углы}}) конец {выровнены}}}$

Это значит, что треугольники ASD и BSC похожи и поэтому

${displaystyle {frac {AS} {SD}} = {frac {BS} {SC}} Leftrightarrow | AS | cdot | SC | = | BS | cdot | SD |}$

Сразу после касательная-секущая теорема и теорема о пересекающихся секущих Теорема о пересекающихся хордах представляет собой один из трех основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности - теорема о силе точки.

Рекомендации

• Пол Глейстер: Теорема о пересекающихся аккордах: 30 лет спустя. Математика в школе, Vol. 36, No. 1 (январь 2007 г.), с. 22 (JSTOR )
• Брюс Шоуер: Исследования в геометрии. Мировая научная, 2010, ISBN  9789813100947, п. 14
• Ханс Шупп: Элементаргеометрия. Шенинг, Падерборн 1977, ISBN  3-506-99189-2, п. 149 (немецкий).
• Sch lerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN  978-3-411-04208-1, стр. 415-417 (немецкий)

внешняя ссылка

• Теорема о пересекающихся аккордах на cut-the-knot.org
• Теорема о пересекающихся аккордах на proofwiki.org
• Вайсштейн, Эрик В. "Аккорд". MathWorld.
• Две интерактивные иллюстрации: [1] и [2]