Равный темперамент - Equal temperament

Сравнение некоторых одинаковых темпераментов.[1] График охватывает один октава по горизонтали (откройте изображение, чтобы просмотреть всю ширину), и каждый заштрихованный прямоугольник соответствует ширине одного шага шкалы. В просто интервал соотношения разделены в ряды своими основные ограничения.
12-тоновая хроматическая гамма с одинаковой темперацией до до, одна полная октава восходящая, отмеченная только диезом. Об этом звукеИграйте по возрастанию и убыванию (помощь ·Информация )

An равный темперамент это музыкальный темперамент или же система настройки, что приближает просто интервалы разделив октава (или другой интервал) на равные шаги. Это означает соотношение частоты любой смежной пары нот одинаково, что дает одинаковый воспринимаемый размер шага, как подача воспринимается примерно как логарифм частоты.[2]

В классическая музыка и западная музыка в целом, самая распространенная система настройки с 18 века была двенадцатитонный ровный темперамент (также известен как 12 равных темпераментов, 12-ТЕТ или же 12-ET; неофициально сокращенно двенадцать равных), который делит октаву на 12 частей, каждая из которых равна логарифмическая шкала, с отношением, равным корню 12-й степени из 2 (12√2 ≈ 1.05946). Получив наименьший интервал,1⁄12 шириной октавы, называется полутон или полшага. западные страны период, термин равный темперамент, без квалификации, обычно означает 12-TET.

В наше время 12-TET обычно настраивают относительно стандартный шаг 440 Гц, называется A440, что означает одну ноту, А, настроен на 440 герц а все остальные ноты определяются как несколько полутонов, кроме него, либо выше, либо ниже частота. Стандартный тон не всегда составлял 440 Гц. Он изменился и в целом увеличился за последние несколько сотен лет.[3]

Другие одинаковые темпераменты по-разному делят октаву. Например, некоторая музыка была написана на 19-ТЕТ и 31-ТЕТ, в то время как Арабская тональная система использует 24-TET.

Вместо деления октавы равная темперация может также делить другой интервал, как версия с равным темпом Шкала Болена – Пирса, который делит ровный интервал октавы и пятой части (соотношение 3: 1), называемый «тритаве» или «а».псевдооктава "в этой системе на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями только интервалов, термин равное деление октавы, или же EDO может быть использован.

Беззаботный струнные ансамбли, который может регулировать настройку всех нот, кроме открытые струны, а вокальные группы, у которых нет ограничений механической настройки, иногда используют настройку, намного более близкую к просто интонация по акустическим причинам. Другие инструменты, например, некоторые ветер, клавиатура, и раздраженный инструменты, часто только приблизительно равные по темперации, где технические ограничения препятствуют точной настройке.[4] Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, в первую очередь тромбоны используйте настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение одинаковых темпераментов между 10-TET и 60-TET на каждом основном интервале малых основных пределов (красный: 3/2, зеленый: 5/4, синий: 7/4, желтый: 11/8, голубой: 13 / 8). Каждый цветной график показывает, сколько ошибок происходит (в центах) в ближайшем приближении соответствующего точного интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, представляют максимально возможную ошибку, а серые внутри них - ее половину.

Общие свойства

При одинаковом темпераменте расстояние между двумя соседними ступенями шкалы одинаковое. интервал. Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его соотношение, эта шкала четных шагов представляет собой геометрическая последовательность умножений. (An арифметическая последовательность интервалов не будут звучать равномерно и не позволят транспонировать на разные клавиши.) В частности, наименьший интервал в равномерной шкале соотношение:

где соотношение р делит соотношение п (обычно октава, что составляет 2: 1) на п равные части. (Видеть Двенадцатитонный ровный темперамент ниже.)

Весы часто измеряются в центы, которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый называется центом). Этот логарифмический шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в Этномузыкология. Базовый шаг в центах для любого одинакового темперамента можно найти, взяв ширину п вверху в центах (обычно октава шириной 1200 центов), называемая ниже ш, и разделив его на п части:

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к одинаковому темпераменту, часто дается целочисленная запись, что означает, что для представления каждого шага используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение материала высоты звука в темперации так же, как и логарифм умножения сводит его к сложению. Кроме того, применяя модульная арифметика где модуль - это количество делений октавы (обычно 12), эти целые числа могут быть уменьшены до классы поля, который устраняет различие (или признает сходство) между питчами с одним и тем же именем, например c 0 независимо от октавного регистра. В MIDI стандарт кодирования использует целочисленные обозначения нот.

Общие формулы для равномерного интервала

Двенадцатитонный ровный темперамент

Основная статья: 12 равных темпераментов

12-тональная равномерная темперация, которая делит октаву на двенадцать равных интервалов, является наиболее распространенной музыкальной системой, используемой сегодня, особенно в западной музыке.

История

Две фигуры, которым часто приписывают достижение точного расчета одинакового темперамента: Чжу Зайюй (также романизируется как Chu-Tsaiyu. Китайский: 朱 載 堉) в 1584 г. и Саймон Стевин в 1585 г. По словам критика теории Фрица А. Каттнера,[5] известно, что «Chu-Tsaiyu представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического вычисления моно-аккордов равной темперации в 1584 году» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равной темперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовые значения в 1585 году или позже ". Развитие происходило независимо.[6]

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Зайю[7] и предоставляет текстовые цитаты в качестве доказательства.[8] Цитируется Чжу Зайюй, который сказал, что в тексте, датируемом 1584 годом: «Я основал новую систему. Я определяю одну ступню как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. найти точные цифры для пайперов за двенадцать операций ".[8] Каттнер не соглашается и отмечает, что его утверждение «не может считаться правильным без серьезных оговорок».[5] Каттнер предполагает, что ни Чжу Зайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен рассматриваться как изобретатель.[9]

Китай

Трубки равного темперамента Чжу Зайюй

В то время как Китай ранее предлагал приблизительные значения для 12-TET, Чжу Зайюй был первым человеком, который математически решил двенадцать тонов равного темперамента,[10] которую он описал в своем Слияние музыки и календаря 律 暦 融通 в 1580 г. и Полный сборник музыки и подачи (Юэлю цюань шу 樂 律 全書) в 1584 г.[11]Расширенный отчет также дан Джозефом Нидхэмом.[12]Чжу получил свой результат математически, разделив длину струны и трубки последовательно на 12√2 ≈ 1.059463, а для длины трубы на 24√2,[13] так, что после двенадцати делений (октавы) длина делится на коэффициент 2.

Чжу Зайюй создал несколько инструментов, настроенных на его систему, в том числе бамбуковые трубки.[14]

Европа

Некоторые из первых европейцев, выступавших за равный темперамент, были лютнистами. Винченцо Галилей, Джакомо Горзанис, и Франческо Спиначино, все из которых писали на нем музыку.[15][16][17][18]

Саймон Стевин первым разработал 12-ТЕТ на базе корень двенадцатой степени из двух, который он описал в Van De Spiegheling der Singconst (около 1605 г.), опубликовано посмертно почти три века спустя в 1884 г.[19]

В течение нескольких столетий в Европе использовались различные системы настройки, в том числе 12 одинаковых темпераментов, а также имел в виду один темперамент и хороший темперамент, каждое из которых можно рассматривать как приближение к предыдущему. Щипковые музыканты (лютнисты и гитаристы) обычно предпочитали одинаковый темперамент.[20] в то время как другие были более разделены.[21] В конце концов, одержал победу двенадцатитоновый равномерный темперамент. Это позволило создать новые стили симметричной тональности и политональность, атональная музыка например, написанное с двенадцатитонная техника или же сериализм, и джаз (по крайней мере, его фортепианная составляющая) развивалась и процветала.

Математика

Одна октава 12-тет на монохорде

В двенадцатитонной одинаковой темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутон, т.е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, это корень двенадцатой степени из двух:

Это эквивалентно:

Этот интервал делится на 100 центы.

Расчет абсолютных частот

Смотрите также: Частоты клавиш фортепиано

Чтобы найти частоту, ппв примечании к 12-TET может использоваться следующее определение:

В этой формуле пп относится к высоте тона или частоте (обычно в герц ), вы пытаетесь найти. па относится к частоте опорного поля. п и а см номеров, присвоенных желаемая высоту и опорное поле, соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, присвоенных последовательным полутонам. Например, A4 (эталонная высота) - это 49-я клавиша от левого края фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C4 (средний C ) и F #4 - это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать, чтобы найти частоту C4 и F #4 :

Сравнение с интонацией

Интервалы 12-TET близко аппроксимируют некоторые интервалы в просто интонация.[22] Пятые и четвертые почти неотличимо близки к просто интервалам, а третьи и шестые находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных интервалов справедливости сравниваются с их аналогами равномерного темперирования, указанными в виде отношения, а также центы.

ИмяТочное значение в 12-TETДесятичное значение в 12-TETЦентовПросто интонационный интервалЦенты в интонацииРазница
Унисон (C )2​0⁄12 = 110​1⁄1 = 100
Незначительная секунда (C♯ /D♭ )2​1⁄12 = 12√21.059463100​16⁄15 = 1.06666…111.73−11.73
Основная секунда (D )2​2⁄12 = 6√21.122462200​9⁄8 = 1.125203.91−3.91
Незначительная треть (D♯ /E♭ )2​3⁄12 = 4√21.189207300​6⁄5 = 1.2315.64−15.64
Мажорная треть (E )2​4⁄12 = 3√21.259921400​5⁄4 = 1.25386.31+13.69
Идеальная четвертая (F )2​5⁄12 = 12√321.334840500​4⁄3 = 1.33333…498.04+1.96
Тритон (F♯ /грамм♭ )2​6⁄12 = √21.414214600​7⁄5 = 1.4
​10⁄7 = 1.42857...		582.51
617.49		+17.49
−17.49
Идеальная пятая (грамм )2​7⁄12 = 12√1281.498307700​3⁄2 = 1.5701.96−1.96
Незначительный шестой (грамм♯ /А♭ )2​8⁄12 = 3√41.587401800​8⁄5 = 1.6813.69−13.69
Шестой мажор (А )2​9⁄12 = 4√81.681793900​5⁄3 = 1.66666…884.36+15.64
Незначительный седьмой (А♯ /B♭ )2​10⁄12 = 6√321.7817971000​16⁄9 = 1.77777…996.09+3.91
Большой седьмой (B )2​11⁄12 = 12√20481.8877491100​15⁄8 = 1.8751088.27+11.73
Октава (C )2​12⁄12 = 221200​2⁄1 = 21200.000

Семитонное равное деление пятой

Скрипки, альты и виолончели настроены в идеальных квинтах (G - D - A - E для скрипок и C - G - D - A для альтов и виолончелей), что говорит о том, что их полутоновое соотношение немного выше, чем в обычный двенадцатитоновый равный темперамент. Поскольку идеальная квинта находится в соотношении 3: 2 со своим базовым тоном, и этот интервал покрывается 7 ступенями, каждый тон находится в соотношении 7√​3⁄2 к следующей (100,28 цента), что обеспечивает идеальную квинту с соотношением 3: 2, но немного расширенную октаву с соотношением ≈ 517: 258 или ≈ 2,00388: 1, а не обычное соотношение 2: 1, потому что двенадцать совершенных квинты не равны семи октавам.[23] Однако во время реальной игры скрипач выбирает высоту звука на слух, и только четыре непрерывных высоты звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3: 2.

Другие равные темпераменты

Смотрите также: Sonido 13

5 и 7 тоновые темпераменты в этномузыкологии

Приближение 7-тет

Пяти- и семитонный ровный темперамент (5-ТЕТ Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация ) и 7-ТЕТОб этом звукеИграть в (помощь ·Информация ) ), с 240 Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация ) и 171 Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация ) центовые шаги, соответственно, довольно распространены.

5-TET и 7-TET обозначают конечные точки синтонический темперамент допустимый диапазон настройки, как показано на Рисунок 1.

  • В 5-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку на континууме настройки, в которой ширина второстепенной секунды сокращается до ширины 0 центов.
  • В 7-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (в нижней части континуума настройки) и отмечает конечную точку в континууме настройки, в которой второстепенная секунда расширяется до такой же ширины, как и большая секунда (по 171 цент каждая. ).

5-тоновый ровный темперамент

индонезийский гамеланы настроены на 5-ТЕТ согласно Кунст (1949), но согласно капот (1966) и Макфи (1966) их настройка широко варьируется, и в зависимости от Tenzer (2000) они содержат растянутые октавы. В настоящее время общепризнано, что из двух основных систем настройки в музыке гамелана, Slendro и пелог, только слэндро чем-то напоминает пятитональный равный темперамент, тогда как пелог сильно неравноценен; однако Surjodiningrat et al. (1972) проанализировал пелог как семизначную подмножество девятитональной равной темперации (шаг 133 цента). Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )).

7-тональная ровная темперация

А Тайский ксилофон, измеренный Мортоном (1974), «отличался только плюс-минус 5 центов» от 7-TET. По словам Мортона, «тайские инструменты с фиксированной высотой звука настроены на эквидистантную систему из семи высот на октаву ... Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты звуковой системы не используются в одном режиме (часто называемом« scale '); в тайской системе пять из семи используются в основных высотах в любом режиме, таким образом устанавливая образец неэквидистантных интервалов для режима ".[24] Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )

Шкала южноамериканских индейцев из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом (1969), характеризовалась семитональной равной темперацией на 175 центов, которая слегка растягивает октаву, как в инструментальной музыке гамелана.

Китайская музыка традиционно используется 7-TET.[25][26]

Различные западные равные темпераменты

Исли Блэквуд система обозначений для 16 одинаковых темпераментов: интервалы обозначаются так же, как и те, к которым они приближаются, и их меньше энгармонический эквиваленты.[27] Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )
Сравнение одинаковых темпераментов от 9 до 25 (по Sethares (2005), с. 58).[1]

24 ОКБ, то четверть тональной шкалы (или 24-TET), была популярной микротональной настройкой в ​​20-м веке, вероятно, потому что она представляла собой удобную точку доступа для композиторов, использующих стандартную высоту звука и нотацию западных 12 EDO, которые также интересовались микротональностью. Поскольку 24 EDO содержат все высоты звука 12 EDO, а также новые высоты на полпути между каждой смежной парой из 12 полей EDO, они могут использовать дополнительные цвета без потери какой-либо тактики, доступной в 12-тональной гармонии. Тот факт, что 24 кратно 12, также позволил легко достичь 24 EDO инструментально, используя два традиционных инструмента 12 EDO, специально настроенных на четверть тона, например, два фортепиано, что также позволяло каждому исполнителю (или одному исполнителю играть на другом фортепиано) каждой рукой), чтобы прочитать знакомые 12-тональные обозначения. Различные композиторы, в том числе Чарльз Айвз, экспериментировали с музыкой для четвертьтонных фортепиано. 24 EDO очень хорошо аппроксимирует 11-ю гармонику, в отличие от 12 EDO.

19 ОКБ известен, и некоторые инструменты настроены в 19 ОКБ. Он имеет немного более плоскую идеальную пятую часть (694 цента), но ее основная шестая часть находится менее чем в одном центе от основной шестой части только интонации (884 цента). Его второстепенная треть также меньше цента от интонации. Его идеальный четвертый (503 цента), всего на 5 центов выше интонации и на 3 цента выше, чем у 12-тетов.

23 ОКБ является крупнейшим EDO, который не может приблизить 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3: 2, 5: 4, 7: 4, 11: 8) в пределах 20 центов, что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычную территорию микротональных гармоник .

27 EDO - это наименьший EDO, который однозначно представляет все интервалы, содержащие первые восемь гармоник. Это смягчает семеричная запятая но не синтоническая запятая.

29 ОКБ это наименьшее количество равных делений октавы, при котором получается идеальная квинта лучше, чем 12 EDO. Его основная треть примерно такая же неточная, как 12-TET; однако он настроен ровно на 14 центов, а не на 14 центов. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники примерно на одинаковую величину. Это означает, что такие интервалы, как 7: 5, 11: 7, 13:11 и т. Д., Очень хорошо сочетаются в 29-TET.

31 ОКБ был защищен Кристиан Гюйгенс и Адриан Фоккер. 31 EDO имеет немного менее точную пятую часть, чем 12 EDO, но обеспечивает почти только мажорные трети и обеспечивает приличное совпадение для гармоник, по крайней мере, до 13, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 ОКБ дает несколько меньшие суммарные комбинированные ошибки приближения к 5-предельным отношениям 3: 2, 5: 4, 6: 5 и их инверсии, чем 31 EDO, хотя приближение 5: 4 хуже. 34 EDO не приближает коэффициенты, включающие простое число 7. Он содержит тритон с концентрацией 600 центов, так как это EDO с четным номером.

41 ОКБ является вторым наименьшим числом равных делений, которое дает лучшую идеальную пятую часть, чем 12 EDO. Его основная треть точнее, чем 12 EDO и 29 EDO, примерно на 6 центов. Это не означает один, поэтому он различает 10: 9 и 9: 8, в отличие от 31edo. Он более точен в 13-м лимите, чем 31edo.

46 EDO обеспечивает слегка резкие мажорные трети и идеальные квинты, придавая трезвучиям характерный яркий звук. Гармоники до 11 аппроксимируются с точностью до 5 центов, а 10: 9 и 9: 5 составляют одну пятую цента от чистого. Поскольку это не система с одинарным значением, она различает 10: 9 и 9: 8.

53 ОКБ лучше приближается к традиционному только согласные звуки, чем 12, 19 или 31 EDO, но использовались лишь изредка. Это очень хорошо идеальные квинты сделать его взаимозаменяемым с расширенным Пифагорейский тюнинг, но он также вмещает раскольнический темперамент, и иногда используется в Турецкая музыка теория. Однако это не соответствует требованиям темпераментов среднего человека, которые делают хорошие трети легко доступными через цикл квинт. В 53 EDO очень согласные трети были бы достигнуты вместо этого с помощью пифагорейской уменьшенной четверти (C-F♭), так как это пример раскольнический темперамент, прямо как 41 ОКБ.

72 ОКБ приближается ко многим просто интонация интервалы хорошо, даже в пределах 7 и 11, таких как 7: 4, 9: 7, 11: 5, 11: 6 и 11: 7. 72 EDO было обучено, написано и выполнено на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают упоминания просто интонация как бы то ни было). Его можно рассматривать как расширение 12 EDO, потому что 72 кратно 12. 72 EDO имеет наименьший интервал, который в шесть раз меньше, чем наименьший интервал 12 EDO, и, следовательно, содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся с разных шагов. Он также содержит три экземпляра 24 ОКБ и две копии 36 ОКБ, которые сами по себе кратны 12 ОКБ. 72 EDO также подвергался критике за его избыточность за счет сохранения плохих приближений, содержащихся в 12 EDO, несмотря на то, что они не требовались для каких-либо нижних пределов только интонации (например, 5-предел).

96 ОКБ аппроксимирует все интервалы в пределах 6,25 цента, что едва различимо. Будучи восьмикратным числом, кратным 12, его можно использовать полностью как обычный 12 EDO. Его пропагандировали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо с 1924 по 1940-е гг.[28]

Другие равные части октавы, которые иногда используются, включают 15 ОКБ, 17 ОКБ, 19 ОКБ и 22 ОКБ.

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменатели первого сходящиеся журнала2(3), поэтому 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатая (и пятая), будучи в соответствующих равных темпераментах, равных целому числу октав, лучше приближаются к 2, 5, 12, 41. , 53, 306, 665 и 15601 только двенадцатые / пятые, чем для любых одинаковых темпераментов с меньшим количеством тонов.[29][30]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200 ... (последовательность A060528 в OEIS ) - это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшее и лучшее приближение идеальной квинты. Связанные последовательности содержат деления, аппроксимирующие другие интервалы.[31]

Это приложение: [1] вычисляет частоты, приблизительные центы и MIDI наклон значения для любых систем равного деления октавы. Обратите внимание, что «скругленный» и «напольный» производят одинаковое значение изменения высоты тона MIDI.

Равные темпераменты неоктавных интервалов

Уравновешенная версия Шкала Болена – Пирса состоит из соотношения 3: 1, 1902 цента, условно идеальный пятый плюс октава (то есть совершенная двенадцатая), называемая в этой теории тритаве (Об этом звукеиграть в (помощь ·Информация )) и разделить на тринадцать равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие с справедливо настроенный отношения, состоящие только из нечетных чисел. Каждый шаг - 146,3 цента (Об этом звукеиграть в (помощь ·Информация )), или же 13√3.

Венди Карлос создал три необычных одинаковых темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с шагом от 30 до 120 центов. Они назывались альфа, бета, и гамма. Их можно рассматривать как равные части идеальной пятой части. Каждый из них дает очень хорошее приближение нескольких интервалов.[32] Их размеры шага:

Альфа и Бета можно услышать в заглавной песне ее альбома 1986 года. Красавица в чудовище.

Пропорции между полутоном и целым тоном

В этой секции, полутон и весь тон могут не иметь их обычных значений 12-EDO, поскольку в нем обсуждается, как их можно закалить разными способами, отличными от их справедливых версий, для создания желаемых отношений. Пусть количество шагов в полутоне равно s, а количество шагов в тоне будет т.

Существует ровно одна семья одинаковых темпераментов, которая фиксирует полутон в любом правильная дробь всего тона, сохраняя при этом ноты в правильном порядке (это означает, что, например, C, D, E, F и F♯ находятся в порядке возрастания, если они сохраняют свои обычные отношения с C). То есть исправление q до нужной доли в отношениях qt = s также определяет уникальную семью одного одинакового темперамента и его кратных, которые соответствуют этим отношениям.

Например, где k целое число, 12k-EDO наборы q = ​1⁄2, и 19k-EDO наборы q = ​1⁄3. Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12 и 19 выше) обладают дополнительным свойством не иметь примечаний за пределами круг пятых. (В целом это неверно; в 24-EDO полу-диезы и полуфлэты не находятся в круге квинт, начиная с C.) Крайние случаи - 5k-EDO, где q = 0 и полутон становится унисон, а 7k-EDO, где q = 1, а полутон и тон - это один и тот же интервал.

Как только кто-то знает, сколько шагов полутона и тона в этой одинаковой темперации, он может найти количество шагов в октаве. Равная темперация, отвечающая вышеуказанным свойствам (в том числе отсутствие нот вне круга квинт), делит октаву на 7т − 2s шагов, а идеальная квинта на 4т − s шаги.Если есть ноты вне круга квинт, тогда нужно умножить эти результаты на п, который представляет собой количество неперекрывающихся кругов квинт, необходимых для создания всех нот (например, два в 24-EDO, шесть в 72-EDO). (Для этого нужно взять малый полутон: 19-EDO имеет два полутона, один из которых1⁄3 тон и другое существо2⁄3.)

Самой маленькой из этих семей 12 лет.k-EDO, и, в частности, 12-EDO - это наименьший равный темперамент, обладающий указанными выше свойствами. Кроме того, он также делает полутон ровно половиной целого тона, что является наиболее простым соотношением. Это некоторые из причин, по которым 12-EDO стал наиболее часто используемым равным темпераментом. (Другая причина в том, что 12-EDO - это наименьший равный темперамент, близкий к 5-предельной гармонии, следующим по наименьшему значению является 19-EDO.)

Каждый выбор дроби q так как отношения приводят к ровно одной семье равных темпераментов, но обратное неверно: 47-EDO имеет два разных полутона, один из которых1⁄7 тон, а другой8⁄9, которые не дополняют друг друга, как в 19-ОКБ (1⁄3 и2⁄3). Выбор каждого полутона дает различный выбор идеальной квинты.

Связанные системы настройки

Регулярные диатонические строи

Рисунок 1: регулярные диатонические строи континуум, который включает в себя многие известные настройки «равного темперамента» (Milne 2007).[33]

Диатоническая настройка в двенадцать равных может быть обобщена на любую обычную диатоническую настройку, делящую октаву как последовательность шагов TTSTTTS (или ее вращение), при этом все Т и все S одинакового размера, а S меньше, чем T. В двенадцати равных S является полутоном и составляет ровно половину размера тона T. Когда S уменьшаются до нуля, результатом становится TTTTT или пятитональная равная темперация.По мере увеличения полутонов в конечном итоге все шаги становятся одинаковыми. размер, и в результате получается семь тонов равного темперамента. Эти две конечные точки не входят в обычные диатонические настройки.

Ноты в обычном диатоническом строе соединены вместе циклом из семи темперированных квинт. Двенадцатитоновая система аналогичным образом обобщает последовательность CDCDDCDCDCDD (или ее вращение) хроматических и диатонических полутонов, соединенных вместе в цикле из двенадцати пятых. В этом случае семь равных получается в пределе, поскольку размер C стремится к нулю, и пять равных - это предел, поскольку D стремится к нулю, в то время как двенадцать равных, конечно же, в случае C = D.

Некоторые из промежуточных размеров тонов и полутонов также могут быть созданы в системах одинаковой темперации. Например, если диатонический полутон в два раза больше хроматического полутона, то есть D = 2 * C, результат будет равен девятнадцати, с одним шагом для хроматического полутона, двумя шагами для диатонического полутона и тремя шагами для тона и общим числом. шагов 5 * T + 2 * S = 15 + 4 = 19 шагов. Полученная двенадцатитоновая система очень близка к исторически важной 1/3 запятой, означающей один.

Если хроматический полутон составляет две трети диатонического полутона, то есть C = (2/3) * D, результат равен тридцатью одному, с двумя шагами для хроматического полутона, тремя шагами для диатонического полутона и пять шагов для тона, где 5 * T + 2 * S = 25 + 6 = 31 шаг. Получившаяся двенадцатитоновая система очень близка к исторически важной 1/4 запятой, означающей один.

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

  1. ^ а б Sethares сравнивает несколько одинаковых темпераментов на графике с осями, перевернутыми относительно осей в первом сравнении равных темпераментов, и идентичными осями во втором. (рис. 4.6, стр. 58)
  2. ^ О'Доннелл, Майкл. «Основы восприятия звука». Получено 2017-03-11.
  3. ^ История музыкальной сцены в Европе с493-511 Герман Гельмгольц, Александр Дж. Эллис Об ощущениях тона, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк
  4. ^ Вариски, Г., и Гауэр, К. (2010). Интонация и компенсация струнных инструментов. Американский журнал физики, 78(47), 47-55. https://doi.org/10.1119/1.3226563
  5. ^ а б Фриц А. Каттнер. п. 163.
  6. ^ Фриц А. Каттнер. "Жизнь и творчество принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента", стр. 200, Этномузыкология, Vol. 19, № 2 (май 1975 г.), стр. 163–206.
  7. ^ Кеннет Робинсон: Критическое исследование вклада Чу Цай-юй в теорию равного темперамента в китайской музыке. (Sinologica Coloniensia, Bd. 9.) x, 136 стр. Висбаден: Franz Steiner Verlag GmbH, 1980. DM 36. p.vii «Чу-Цайю - первый разработчик математики« равного темперамента »в любой точке мира.
  8. ^ а б Робинсон, Кеннет Г. и Джозеф Нидхэм. 1962. «Физика и физическая техника». В «Наука и цивилизация в Китае», т. 4: «Физика и физические технологии», часть 1: «Физика», под редакцией Джозефа Нидхэма. Кембридж: Издательство университета. п. 221.
  9. ^ Фриц А. Каттнер. п. 200.
  10. ^ Джин Дж. Чо "Значение открытия музыкального равного темперамента в истории культуры", http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm В архиве 2012-03-15 в Wayback Machine
  11. ^ «Количественный ритуал: политическая космология, изысканная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века Роджер Харт, кафедра истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин». Uts.cc.utexas.edu. Архивировано из оригинал на 2012-03-05. Получено 2012-03-20.
  12. ^ Наука и цивилизация в Китае, Том IV: 1 (Физика), Джозеф Нидхэм, Cambridge University Press, 1962–2004, стр 220 и далее.
  13. ^ The Shorter Science & Civilization in China, Сокращение Колина Ронана оригинального текста Джозефа Нидхэма, стр. 385
  14. ^ Лау Хансон, Абакус и практическая математика, с. 389 (на китайском языке). 劳 汉 生 《珠算 与 实用 数学》 389 页)
  15. ^ Галилей, В. (1584). Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare. Г. Скотто: Венеция, фф. 80–89.
  16. ^ «Звук - коррупция музыки». Philresound.co.uk. Архивировано из оригинал на 2012-03-24. Получено 2012-03-20.
  17. ^ Джакомо Горзанис, гр. 1525 - ок. 1575 Intabolatura di liuto. Женева, 1982 г.
  18. ^ "Spinacino 1507a: Тематический указатель". Аппалачский государственный университет. Архивировано из оригинал на 2011-07-25. Получено 2012-06-14.
  19. ^ "Van de Spiegheling der singconst, редактор Рудольф Раш, The Diapason Press". Diapason.xentonic.org. 2009-06-30. Архивировано из оригинал на 2011-07-17. Получено 2012-03-20.
  20. ^ «Лютни, альты, темпераменты» Марк Линдли ISBN  978-0-521-28883-5
  21. ^ Андреас Веркмайстер: Музыкальный парадоксальный дискурс, 1707
  22. ^ Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Da Capo Press. п.134. ISBN  0-306-80106-X.
  23. ^ Кордье, Серж. "Le tempérament égal à quintes justes" (На французском). Association pour la Recherche et le Développement de la Musique. Получено 2010-06-02.
  24. ^ Мортон, Дэвид (1980). "Музыка Таиланда", Музыка многих культур, стр.70. Мэй, Элизабет, изд. ISBN  0-520-04778-8.
  25. ^ 有关 "七 平均 律" 新 文献 著作 的 发现 [Находки новой литературы о гепта - равном темпераменте] (на китайском языке). Архивировано из оригинал на 2007-10-27. «Гепта-ровный темперамент» в нашей народной музыке всегда был спорным вопросом.
  26. ^ 七 平均 律 "琐谈 - 兼 及 旧式 均 孔 曲笛 制作 与 [аннотация О "Семиравномерной системе настройки"] (на китайском языке). Архивировано из оригинал на 2007-09-30. Получено 2007-06-25. От флейты в течение двух тысяч лет производственного процесса и японской сякухати, оставшейся в производстве династий Суй и Тан, и фактического темперамента, идентификации людей, использующих так называемые «семь законов», по крайней мере, две тысячи лет истории; и решил, что эта система закона связана с законом флейты.
  27. ^ Майлз Ли Скиннер (2007). К четвертоновому синтаксису: анализ избранных произведений Блэквуда, Хабы, Айвса и Вышнеградского, п. 55. ISBN  9780542998478.
  28. ^ Монцо, Джо (2005). "Равный темперамент". Энциклопедия теории микротональной музыки Tonalsoft. Джо Монцо. Получено 26 февраля 2019.
  29. ^ «665едо». xenoharmonic (микротональная вики). Получено 2014-06-18.
  30. ^ "сходящиеся (log2 (3), 10)". Вольфрам Альфа. Получено 2014-06-18.
  31. ^
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3 (последовательность A054540 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5 (последовательность A060525 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7 (последовательность A060526 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8 (последовательность A060527 в OEIS )
    • 4: 3 и 3: 2, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8, 16:13 и 13: 8 (последовательность A060233 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45 (последовательность A061920 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45, 27:20 и 40:27, 32:27 и 27:16, 81:64 и 128: 81, 256: 243 и 243: 128 (последовательность A061921 в OEIS )
    • 5: 4 и 8: 5 (последовательность A061918 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3 (последовательность A061919 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3, 7: 5 и 10: 7, 7: 6 и 12: 7 (последовательность A060529 в OEIS )
    • 11: 8 и 16:11 (последовательность A061416 в OEIS )
  32. ^ Карлос, Венди. «Три асимметричных деления октавы». wendycarlos.com. ООО Серендип. Получено 2016-09-01.
  33. ^ Милн, А., Сетхарес, В.А., Пламондон, Дж.,"Изоморфные контроллеры и динамическая настройка: инвариантные манипуляции через настраиваемый континуум" В архиве 2016-01-09 в Wayback Machine, Компьютерный музыкальный журнал, Зима 2007, т. 31, № 4, стр. 15-32.

Источники

  • Чо, Джин Джинсионг. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке. Льюистон, штат Нью-Йорк: Эдвин Меллен Пресс.
  • Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вам должно быть до этого дело). W.W. Norton & Company, 2007.
  • Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг. Издательство Мичиганского государственного университета, 1991. ISBN  0-87013-290-3
  • Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN  1-85233-797-4.
  • Сурджодининграт В., Сударджана П.Дж. и Сусанто А. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте, Gadjah Mada University Press, Джокьякарта, 1972 г. Цитируется по https://web.archive.org/web/20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm. Проверено 19 мая 2006 года.
  • Стюарт, П. Дж. (2006) «От галактики к галактике: музыка сфер» [2]
  • Храмов, Михаил. «Аппроксимация 5-предельного только интонации. Компьютерное моделирование MIDI в отрицательных системах равных делений октавы», Материалы Международной конференции SIGMAP-2008.[постоянная мертвая ссылка ], 26–29 июля 2008 г., Порту, стр. 181–184, ISBN  978-989-8111-60-9

дальнейшее чтение

  • Ощущения тона фундаментальная работа Германа фон Гельмгольца по акустике и восприятию звука. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430-556, (pdf страницы 451-577)]

внешняя ссылка