Теория перколяции континуума - Википедия - Continuum percolation theory

В математика и теория вероятности, теория перколяции континуума это раздел математики, расширяющий дискретные теория перколяции к непрерывное пространство (довольно часто Евклидово пространство ℝп). Более конкретно, основные точки дискретной перколяции образуют типы решеток, тогда как основные точки непрерывной перколяции часто случайным образом расположены в некотором непрерывном пространстве и образуют тип решетки. точечный процесс. Для каждой точки часто помещается случайная форма, и эти формы накладываются друг на друга, образуя сгустки или компоненты. Как и в случае дискретной перколяции, обычным направлением исследований перколяции континуума является изучение условий возникновения бесконечных или гигантских компонентов.[1][2] Другие общие концепции и методы анализа существуют в этих двух типах теории перколяции, а также в изучении случайные графы и случайные геометрические графы.

Перколяция континуума возникла из ранней математической модели для беспроводные сети,[2][3] который, с появлением нескольких беспроводных сетевых технологий в последние годы, был обобщен и изучен с целью определения теоретических границ информационная емкость и производительность в беспроводных сетях.[4][5] В дополнение к этому параметру перколяция континуума нашла применение в других дисциплинах, включая биологию, геологию и физику, например, при изучении пористый материал и полупроводники, становясь предметом математического интереса сам по себе.[6]

Ранняя история

В начале 1960-х Эдгар Гилберт[3] предложил математическую модель в беспроводных сетях, которая положила начало теории перколяции континуума, тем самым обобщив дискретную перколяцию.[2] Основные точки этой модели, иногда известной как модель диска Гилберта, были равномерно разбросаны в бесконечной плоскости. ℝ2 согласно однородному Пуассоновский процесс. Гилберт, заметивший сходство между дискретной и непрерывной перколяцией,[7] затем использовали концепции и методы вероятностного предмета ветвящиеся процессы чтобы показать, что пороговое значение существует для бесконечного или «гигантского» компонента.

Определения и терминология

Точные названия, терминология и определения этих моделей могут незначительно отличаться в зависимости от источника, что также отражается в использовании обозначение точечного процесса.

Общие модели

Существует ряд хорошо изученных моделей перколяции континуума, которые часто основаны на однородных Точечные процессы Пуассона.

Модель диска

Рассмотрим набор точек {Икся} в плоскости ℝ2 образующие однородный пуассоновский процесс Φ с постоянной (точечной) плотностью λ. Для каждой точки пуассоновского процесса (т.е. Икся ∈ Φ, поместите диск Dя с центром в точке Икся. Если каждый диск Dя имеет случайный радиус ря (из общего распределение ) то есть независимый всех остальных радиусов и всех нижележащих точек {Икся}, то полученная математическая структура называется случайной моделью диска.

Логическая модель

Учитывая случайную модель диска, если заданное объединение всех дисков {Dя} берется, то полученная структура ⋃я Dя известна как модель Булева – Пуассона (также известная как просто Логическая модель ),[8] которая является обычно изучаемой моделью в перколяции континуума[1] а также стохастическая геометрия.[8] Если все радиусы установлены на некоторую общую константу, скажем, р > 0, то получившуюся модель иногда называют моделью диска Гилберта (булевой).[9]

Перколяция в модели Булева – Пуассона (постоянный диск).
Моделирование 4 моделей Пуассона – Булева (постоянного радиуса или диска Гильберта) по мере увеличения плотности с наибольшими кластерами, выделенными красным.

Модель зародышевого зерна

Модель диска может быть обобщена на более произвольные формы, где вместо диска случайный компактный (следовательно, ограничен и замкнут в ℝ2) форма Sя ставится на каждую точку Икся. Опять же, каждая форма Sя имеет общий распределение и независимый ко всем другим формам и лежащему в основе точечному процессу (Пуассону). Эта модель известна как модель зародыш-зерно, где лежащие в основе точки {Икся} являются микробы и случайные компактные формы Sя являются зерна. В установить союз всех форм образует булеву модель зародышевого зерна. Типичный выбор для зерен включает диски, случайные многоугольник и отрезки произвольной длины.[8]

Булевы модели также являются примерами случайные процессы известные как процессы покрытия.[10] Вышеперечисленные модели могут быть расширены с самолета. ℝ2 в общее евклидово пространство ℝп.

Компоненты и критичность

В модели Булева – Пуассона диски могут быть изолированными группами или группами дисков, которые не контактируют с другими группами дисков. Эти сгустки известны как компоненты. Если площадь (или объем в более высоких измерениях) компонента бесконечна, говорят, что это бесконечный или «гигантский» компонент. Основное внимание в теории перколяции уделяется установлению условий существования гигантских компонентов в моделях, что имеет параллели с изучением случайных сетей. Если большой компонент не существует, модель считается подкритической. Условия критичности гигантских компонентов, естественно, зависят от параметров модели, таких как плотность основного точечного процесса.

Теория исключенных территорий

Исключенная область размещенного объекта определяется как минимальная область вокруг объекта, в которую нельзя поместить дополнительный объект без перекрытия с первым объектом. Например, в системе случайно ориентированных однородных прямоугольников длины л, ширина ш и соотношение сторон р = л/ш, средняя исключенная площадь определяется как:[11]

В системе одинаковых эллипсов с полуосями а и б и соотношение р = а/б, и периметр C, среднее значение исключенных областей определяется как:[12]

Теория исключенных областей утверждает, что критическая плотность числа (порог перколяции) Nc системы обратно пропорционально средней исключенной площади Ар:

С помощью моделирования методом Монте-Карло было показано, что порог перколяции как в однородных, так и в неоднородных системах прямоугольников или эллипсов определяется средними исключенными областями и может быть довольно хорошо аппроксимирован линейным соотношением

с константой пропорциональности в диапазоне 3,1–3,5.[11][12]

Приложения

Возможная модель покрытия.
Логическая модель как модель покрытия в беспроводной сети.

Приложения теории перколяции разнообразны и варьируются от материаловедения до беспроводная связь системы. Часто работа включает демонстрацию того, что тип фаза перехода происходит в системе.

Беспроводные сети

Беспроводные сети иногда лучше всего представлены стохастическими моделями из-за их сложности и непредсказуемости, поэтому перколяция континуума использовалась для разработки стохастические геометрические модели беспроводных сетей. Например, инструменты теории непрерывной перколяции и процессов покрытия были использованы для изучения покрытия и связности сенсорные сети.[13][14] Одним из основных ограничений этих сетей является потребление энергии, когда обычно каждый узел имеет батарею и встроенную форму сбора энергии. Чтобы снизить потребление энергии в сенсорных сетях, были предложены различные схемы ожидания, которые влекут за собой переход подгруппы узлов в спящий режим с низким потреблением энергии. Эти схемы сна, очевидно, влияют на покрытие и возможность подключения сенсорных сетей. Были предложены простые модели энергосбережения, такие как простая нескоординированная модель «мигания», где (в каждый временной интервал) каждый узел независимо выключается (или увеличивается) с некоторой фиксированной вероятностью. Используя инструменты теории перколяции, была проанализирована мигающая булева модель Пуассона для изучения задержка и эффекты подключения такой простой схемы питания.[13]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Мистер, Р. (1996). Континуум перколяции. 119. Издательство Кембриджского университета.[ISBN отсутствует ]
  2. ^ а б c Franceschetti, M .; Мистер, Р. (2007). Случайные сети для коммуникации: от статистической физики к информационным системам. 24. Издательство Кембриджского университета.[ISBN отсутствует ]
  3. ^ а б Гилберт, Э. Н. (1961). «Случайные плоские сети». Журнал Общества промышленной и прикладной математики. 9 (4): 533–543. Дои:10.1137/0109045.
  4. ^ Dousse, O .; Baccelli, F .; Тиран, П. (2005). «Влияние помех на возможность подключения в специальных сетях». Транзакции IEEE / ACM в сети. 13 (2): 425–436. CiteSeerX  10.1.1.5.3971. Дои:10.1109 / tnet.2005.845546. S2CID  1514941.
  5. ^ Dousse, O .; Franceschetti, M .; Macris, N .; Meester, R .; Тиран, П. (2006). «Просачивание в график отношения сигнал / помеха». Журнал прикладной теории вероятностей. 2006 (2): 552–562. Дои:10.1239 / jap / 1152413741.
  6. ^ Бальберг, И. (1987). «Последние достижения в перколяции континуума». Философский журнал B. 56 (6): 991–1003. Bibcode:1987ПМагБ..56..991Б. Дои:10.1080/13642818708215336.
  7. ^ Холл, П. (1985). «О перколяции континуума». Анналы вероятности. 13 (4): 1250–1266. Дои:10.1214 / aop / 1176992809.
  8. ^ а б c Стоян, Д .; Kendall, W. S .; Mecke, J .; Рушендорф, Л. (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения. 2. Уайли Чичестер.[ISBN отсутствует ]
  9. ^ Балистер, Пол; Саркар, Амиты; Боллобаш, Бела (2008). «Перколяция, связность, покрытие и раскраска случайных геометрических графов». Справочник по крупномасштабным случайным сетям. С. 117–142.[ISBN отсутствует ]
  10. ^ Холл, П. (1988). Введение в теорию процессов покрытия. 1. Нью-Йорк: Вили.[ISBN отсутствует ]
  11. ^ а б Ли, Цзяньтун; Остлинг, Микаэль (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников». Физический обзор E. 88 (1): 012101. Bibcode:2013PhRvE..88a2101L. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.012101. ISSN  1539-3755. PMID  23944408. S2CID  21438506.
  12. ^ а б Ли, Цзяньтун; Остлинг, Микаэль (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, содержащих перекрывающиеся эллипсы». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 462: 940–950. Bibcode:2016PhyA..462..940L. Дои:10.1016 / j.physa.2016.06.020. ISSN  0378-4371.
  13. ^ а б Dousse, O .; Mannersalo, P .; Тиран, П. (2004). «Задержки беспроводных сенсорных сетей с несогласованными механизмами энергосбережения». Материалы 5-го Международного симпозиума ACM по мобильным специальным сетям и вычислениям. ACM. С. 109–120.
  14. ^ Gui, C .; Мохапатра, П. (2004). «Энергосбережение и качество наблюдения в сенсорных сетях сопровождения целей». Материалы 10-й ежегодной международной конференции по мобильным вычислениям и сетям. ACM. С. 129–143.