Дискретное косинусное преобразование - Википедия - Discrete cosine transform

А дискретное косинусное преобразование (DCT) выражает конечную последовательность точки данных в виде суммы косинус функции, колеблющиеся в разных частоты. DCT, впервые предложенный Насир Ахмед в 1972 г. - широко используемый метод преобразования в обработка сигналов и Сжатие данных. Он используется в большинстве цифровые СМИ, включая цифровые изображения (Такие как JPEG и HEIF, где можно отбросить небольшие высокочастотные компоненты), цифровое видео (Такие как MPEG и H.26x ), цифровой звук (Такие как Dolby Digital, MP3 и AAC ), цифровое телевидение (Такие как SDTV, HDTV и VOD ), цифровое радио (Такие как AAC + и DAB + ), и кодирование речи (Такие как AAC-LD, Сирена и Opus ). DCT также важны для многих других приложений в наука и техника, Такие как цифровая обработка сигналов, телекоммуникации устройства, уменьшающие пропускная способность сети использование, и спектральные методы для численного решения уравнения в частных производных.

Использование косинуса, а не синус функции критичны для сжатия, поскольку оказывается (как описано ниже), что требуется меньше функций косинуса для приближения типичного сигнал, тогда как для дифференциальных уравнений косинусы выражают конкретный выбор граничные условия. В частности, DCT - это Преобразование, связанное с Фурье аналогично дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), но с использованием только действительные числа. DCT обычно связаны с коэффициентами ряда Фурье периодически и симметрично расширенной последовательности, тогда как DFT связаны с коэффициентами ряда Фурье периодически расширенной последовательности. DCT эквивалентны DFT примерно в два раза большей длины, оперируя реальными данными с четное симметрия (поскольку преобразование Фурье действительной и четной функции является действительным и четным), тогда как в некоторых вариантах входные и / или выходные данные сдвигаются на половину отсчета. Существует восемь стандартных вариантов DCT, четыре из которых являются общими.

Наиболее распространенным вариантом дискретного косинусного преобразования является DCT типа II, который часто называют просто «DCT». Это был оригинальный DCT, впервые предложенный Ахмедом. Его обратный DCT типа III, соответственно, часто называют просто «обратным DCT» или «IDCT». Два связанных преобразования: дискретное синусоидальное преобразование (DST), что эквивалентно ДПФ вещественных и странный функции, а модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT), который основан на DCT перекрытие данные. Многомерные DCT (MD DCT) разработаны для расширения концепции DCT для сигналов MD. Существует несколько алгоритмов вычисления MD DCT. Было разработано множество быстрых алгоритмов, чтобы уменьшить вычислительную сложность реализации DCT. Один из них - целочисленный DCT^[1] (IntDCT), целое число приближение к стандартному DCT,^[2] используется в нескольких ISO / IEC и ITU-T международные стандарты.^[2][1]

Сжатие DCT, также известное как сжатие блоков, сжимает данные в наборы дискретных блоков DCT.^[3] Блоки DCT могут иметь несколько размеров, в том числе 8x8 пиксели для стандартного DCT и различных целочисленных размеров DCT от 4x4 до 32x32 пикселей.^[1][4] DCT обладает сильным свойством «уплотнения энергии»,^[5][6] способен достичь высокого качества при высоком коэффициенты сжатия данных.^[7][8] Однако блочный артефакты сжатия может появиться при применении сильного сжатия DCT.

История

Насир Ахмед, изобретатель дискретного косинусного преобразования (DCT), который он впервые предложил в 1972 году.

Дискретное косинусное преобразование (DCT) было впервые задумано Насир Ахмед, работая на Канзасский государственный университет, и он предложил концепцию Национальный фонд науки в 1972 году. Первоначально он предназначал DCT для сжатие изображений.^[9][1] Ахмед разработал практический алгоритм DCT со своим аспирантом Т. Натараджаном и другом. К. Р. Рао на Техасский университет в Арлингтоне в 1973 году, и они обнаружили, что это самый эффективный алгоритм сжатия изображений.^[9] Они представили свои результаты в статье под названием «Дискретное косинусное преобразование», опубликованной в январе 1974 года.^[5][6][10] В нем описывается то, что сейчас называется DCT типа II (DCT-II),^[11] а также обратный DCT типа III (IDCT).^[5] Это была эталонная публикация,^[12][13] и был назван фундаментальным достижением в тысячах работ с момента его публикации.^[14] Основная исследовательская работа и события, которые привели к развитию DCT, были обобщены в более поздней публикации Ахмеда «Как я пришел к дискретному косинусному преобразованию».^[9]

С момента его появления в 1974 году DCT проводились обширные исследования.^[10] В 1977 году Вен-Сюн Чен опубликовал работу с К. Харрисоном Смитом и Стэнли К. Фраликом, в которой был представлен быстрый алгоритм DCT,^[15][10] и он основал Лаборатории сжатия коммерциализировать технологию DCT.^[1] Дальнейшие разработки включают статью 1978 года М.Дж. Нарасимхи и А.М. Петерсон и статья Б.Г. Ли.^[10] Эти исследовательские работы, наряду с оригинальной статьей Ахмеда 1974 г. и статьей Чена 1977 г., цитировались Объединенная группа экспертов в области фотографии в качестве основы для JPEG алгоритм сжатия изображений с потерями в 1992 году.^[10][16]

В 1975 году Джон А. Роуз и Ганер С. Робинсон адаптировали DCT для межкадровый с компенсацией движения кодирование видео. Они экспериментировали с DCT и быстрое преобразование Фурье (БПФ), разрабатывая межкадровые гибридные кодеры для обоих, и обнаружил, что DCT является наиболее эффективным из-за его меньшей сложности, способного сжимать данные изображения до 0,25-кусочек на пиксель для видеотелефон сцена с качеством изображения, сопоставимым с внутрикадровым кодером, требующим 2 бита на пиксель.^[17][18] DCT был применен к кодированию видео Wen-Hsiung Chen,^[1] который разработал быстрый алгоритм DCT с C.H. Смит и С.К. Фралик в 1977 г.,^[15][10] и основал Лаборатории сжатия коммерциализировать технологию DCT.^[1] В 1979 г. Анил К. Джайн и Джасвант Р. Джайн разработали дальнейшее сжатие видео DCT с компенсацией движения,^[19][20] также называется компенсацией движения блока.^[20] Это привело к тому, что в 1981 году Чен разработал практический алгоритм сжатия видео, названный DCT с компенсацией движения или адаптивным кодированием сцены.^[20] DCT с компенсацией движения позже стал стандартным методом кодирования для сжатия видео с конца 1980-х годов.^[21][22]

Целочисленный DCT используется в Расширенное кодирование видео (AVC),^[23][1] введен в 2003 году, и Высокоэффективное кодирование видео (HEVC),^[4][1] введен в 2013 году. Целочисленное DCT также используется в Формат изображения высокой эффективности (HEIF), который использует подмножество HEVC формат кодирования видео для кодирования неподвижных изображений.^[4]

Вариант DCT, модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT), был разработан Джоном П. Принсеном, А.В. Джонсон и Алан Б. Брэдли в Университет Суррея в 1987 г.^[24] после более ранней работы Принсена и Брэдли в 1986 году.^[25] MDCT используется в большинстве современных сжатие звука форматы, такие как Dolby Digital (АС-3),^[26][27] MP3 (который использует гибридный DCT-БПФ алгоритм),^[28] Расширенное кодирование звука (AAC),^[29] и Vorbis (Ogg ).^[30]

В дискретное синусоидальное преобразование (DST) был получен из DCT путем замены Условие Неймана в х = 0 с Условие Дирихле.^[31] DST был описан в документе DCT 1974 года Ахмедом, Натараджаном и Рао.^[5] DST типа I (DST-I) позже был описан Анил К. Джайн в 1976 году, и ТЛЧ типа II (ТЛЧ-II) было описано H.B. Кекра и Дж. К. Соланка в 1978 году.^[32]

Насир Ахмед также разработал алгоритм DCT без потерь с Гиридхаром Мандьямом и Нираджем Маготрой в Университет Нью-Мексико в 1995 г. Это позволяет использовать технику DCT для сжатие без потерь изображений. Это модификация исходного алгоритма DCT и включает элементы обратного DCT и дельта-модуляция. Это более эффективный алгоритм сжатия без потерь, чем энтропийное кодирование.^[33] DCT без потерь также известен как LDCT.^[34]

Вейвлет кодирование, использование вейвлет-преобразования в сжатии изображений, началось после развития кодирования DCT.^[35] Внедрение DCT привело к развитию вейвлет-кодирования, варианта DCT-кодирования, в котором вместо блочного алгоритма DCT используются вейвлеты.^[35] Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) кодировка используется в JPEG 2000 стандарт^[36] разрабатывалась с 1997 по 2000 год,^[37] и в BBC С Дирак формат сжатия видео, выпущенный в 2008 году. Вейвлет-кодирование требует более интенсивной работы процессора, и оно еще не получило широкого распространения в обращении к потребителю.^[38]

Приложения

DCT - наиболее широко используемый метод преобразования в обработка сигналов,^[39] и, безусловно, наиболее широко используемое линейное преобразование в Сжатие данных.^[40] Сжатие данных DCT было фундаментальным для Цифровая революция.^[8][41][42] Несжатый цифровые СМИ а также сжатие без потерь был непрактично высоким объем памяти и пропускная способность требования, которые были значительно снижены за счет высокоэффективного DCT сжатие с потерями техника,^[7][8] способен достичь коэффициенты сжатия данных от 8: 1 до 14: 1 для качества, близкого к студийному,^[7] до 100: 1 для контента приемлемого качества.^[8] Широкое распространение стандартов сжатия DCT привело к появлению и распространению цифровых медиа-технологий, таких как цифровые изображения, цифровые фотографии,^[43][44] цифровое видео,^[21][42] потоковое мультимедиа,^[45] цифровое телевидение, потоковое телевидение, видео по запросу (VOD),^[8] цифровое кино,^[26] видео высокой четкости (HD-видео) и телевидение высокой четкости (HDTV).^[7][46]

DCT, и в частности DCT-II, часто используется при обработке сигналов и изображений, особенно для сжатия с потерями, потому что он обладает сильным свойством «сжатия энергии»:^[5][6] в типичных приложениях большая часть информации о сигнале имеет тенденцию концентрироваться в нескольких низкочастотных компонентах DCT. Для сильно коррелированных Марковские процессы, DCT может приблизиться к эффективности уплотнения Преобразование Карунена-Лоева (что оптимально с точки зрения декорреляции). Как объясняется ниже, это происходит из граничных условий, неявных в функциях косинуса.

DCT также широко используются при решении уравнения в частных производных к спектральные методы, где разные варианты DCT соответствуют немного разным четным / нечетным граничным условиям на двух концах массива.

DCT также тесно связаны с Полиномы Чебышева, а быстрые алгоритмы DCT (см. ниже) используются в Чебышевское приближение произвольных функций рядами полиномов Чебышева, например от Квадратура Кленшоу – Кертиса.

DCT - это стандарт кодирования для мультимедиа телекоммуникации устройств. Он широко используется для битрейт сокращение и сокращение пропускная способность сети использование.^[1] Сжатие DCT значительно сокращает объем памяти и пропускную способность, необходимые для цифровые сигналы.^[8]

Общие приложения

DCT широко используется во многих приложениях, в том числе в следующих.

Стандарты визуальных медиа DCT

DCT-II, также известный как DCT, является наиболее важным сжатие изображений техника.^{[нужна цитата ]} Он используется в стандартах сжатия изображений, таких как JPEG, и сжатие видео стандарты, такие как H.26x, MJPEG, MPEG, DV, Теора и Даала. Там двумерный DCT-II ${ Displaystyle N раз N}$ блоки вычисляются, и результаты квантованный и закодированный энтропией. В этом случае, ${ displaystyle N}$ обычно равно 8, и формула DCT-II применяется к каждой строке и столбцу блока. Результатом является массив коэффициентов преобразования 8 × 8, в котором ${ displaystyle (0,0)}$ элемент (вверху слева) - это компонент DC (нулевая частота), а записи с увеличивающимися значениями вертикального и горизонтального индекса представляют более высокие вертикальные и горизонтальные пространственные частоты.

Расширенное кодирование видео (AVC) использует целочисленный DCT^[23][1] (IntDCT), целочисленное приближение DCT.^[2][1] Он использует целочисленные блоки DCT 4x4 и 8x8. Высокоэффективное кодирование видео (HEVC) и Формат изображения высокой эффективности (HEIF) использовать различные целочисленные размеры блока DCT от 4x4 до 32x32 пиксели.^[4][1] По состоянию на 2019 год^{[Обновить]}, AVC на сегодняшний день является наиболее часто используемым форматом для записи, сжатия и распространения видеоконтента, который используется 91% разработчиков видео, за ним следует HEVC, который используется 43% разработчиков.^[54]

Форматы изображений

Видео форматы

Аудиостандарты MDCT

Общий звук

Кодирование речи

MD DCT

Многомерные DCT (MD DCT) имеют несколько применений, в основном 3-D DCT, такие как 3-D DCT-II, у которого есть несколько новых приложений, таких как системы кодирования гиперспектральных изображений,^[92] кодирование 3-D DCT с переменной временной длиной,^[93] кодирование видео алгоритмы,^[94] адаптивное кодирование видео ^[95] и трехмерное сжатие.^[96] Благодаря усовершенствованию аппаратного и программного обеспечения и внедрению нескольких быстрых алгоритмов необходимость использования M-D DCT быстро возрастает. DCT-IV завоевал популярность благодаря своим приложениям для быстрой реализации многофазных фильтров с действительным значением,^[97] ортогональное преобразование с перекрытием^[98][99] и косинус-модулированные базисы вейвлетов.^[100]

Цифровая обработка сигналов

DCT играет очень важную роль в цифровая обработка сигналов. Используя DCT, можно сжимать сигналы. DCT может использоваться в электрокардиография для сжатия сигналов ЭКГ. DCT2 обеспечивает лучшую степень сжатия, чем DCT.

DCT широко применяется в цифровые сигнальные процессоры (DSP), а также программное обеспечение для обработки цифровых сигналов. Многие компании разработали DSP на основе технологии DCT. DCT широко используются для таких приложений, как кодирование, декодирование, видео, аудио, мультиплексирование, управляющие сигналы, сигнализация, и аналого-цифровое преобразование. DCT также обычно используются для телевидение высокой четкости (HDTV) кодировщик / декодер чипсы.^[1]

Артефакты сжатия

Распространенная проблема со сжатием DCT в цифровые СМИ блочные артефакты сжатия,^[101] вызвано блоками DCT.^[3] Алгоритм DCT может вызывать блочные артефакты при применении сильного сжатия. Поскольку DCT используется в большинстве цифровое изображение и стандарты кодирования видео (такой как JPEG, H.26x и MPEG форматы), блочные артефакты сжатия на основе DCT широко распространены в цифровые СМИ. В алгоритме DCT изображение (или кадр в последовательности изображений) делится на квадратные блоки, которые обрабатываются независимо друг от друга, затем берется DCT этих блоков, и результирующие коэффициенты DCT квантованный. Этот процесс может вызвать артефакты блокировки, в первую очередь при высоком коэффициенты сжатия данных.^[101] Это также может вызвать "москитный шум "эффект, обычно встречающийся в цифровое видео (например, форматы MPEG).^[102]

Блоки DCT часто используются в глюк искусство.^[3] Исполнитель Роза Менкман использует артефакты сжатия на основе DCT в своем глитч-арте,^[103] особенно блоки DCT, встречающиеся в большинстве цифровые СМИ форматы, такие как JPEG цифровые изображения и MP3 цифровой звук.^[3] Другой пример JPEG немецким фотографом Томас Рафф, который использует преднамеренное JPEG артефакты как основа стиля картины.^[104][105]

Неформальный обзор

Как и любое связанное с Фурье преобразование, дискретное косинусное преобразование (DCT) выражает функцию или сигнал в виде суммы синусоиды с разными частоты и амплитуды. Словно дискретное преобразование Фурье (DFT), DCT работает с функцией в конечном числе дискретных точек данных. Очевидное различие между DCT и DFT состоит в том, что в первом используются только косинусные функции, а во втором - как косинусы, так и синусы (в форме комплексные экспоненты ). Однако это видимое различие является лишь следствием более глубокого различия: DCT подразумевает разные граничные условия из ДПФ или других связанных преобразований.

Преобразования Фурье, действующие на функцию над конечным домен, например, DFT или DCT или Ряд Фурье, можно рассматривать как неявное определение расширение этой функции вне домена. То есть, как только вы напишете функцию ${ displaystyle f (x)}$ как сумму синусоид, вы можете оценить эту сумму в любом ${ displaystyle x}$, даже для ${ displaystyle x}$ где оригинал ${ displaystyle f (x)}$ не было указано. ДПФ, как и ряд Фурье, подразумевает периодический расширение исходной функции. DCT, как косинусное преобразование, подразумевает четное расширение исходной функции.

Иллюстрация неявных четных / нечетных расширений входных данных DCT для N= 11 точек данных (красные точки) для четырех наиболее распространенных типов DCT (типы I-IV).

Однако, поскольку DCT работают на конечный, дискретный последовательностей возникают две проблемы, которые не применимы к непрерывному косинусному преобразованию. Во-первых, нужно указать, является ли функция четной или нечетной в обе левая и правая границы области (т.е. минимальнаяп и макс-п границ в определениях ниже соответственно). Во-вторых, нужно указать около какой момент функция четная или нечетная. В частности, рассмотрим последовательность abcd четырех равноотстоящих точек данных, и говорят, что мы указываем четное оставили граница. Есть две разумные возможности: либо данные даже об образце а, в этом случае четное расширение dcbabcd, или данные даже о сути наполовину между а и предыдущий пункт, и в этом случае четное расширение dcbaabcd (а повторяется).

Эти варианты приводят ко всем стандартным вариациям DCT, а также дискретные синусоидальные преобразования (Летнее время). Каждая граница может быть четной или нечетной (2 варианта на границу) и может быть симметричной относительно точки данных или точки на полпути между двумя точками данных (2 варианта на границу), всего 2 × 2 × 2 × 2 = 16 возможности. Половина этих возможностей, те, где оставили граница четная, соответствует 8 типам ДКП; другая половина - это 8 типов DST.

Эти различные граничные условия сильно влияют на приложения преобразования и приводят к уникальным полезным свойствам для различных типов DCT. Наиболее прямо, когда используются преобразования Фурье для решения уравнения в частных производных к спектральные методы, граничные условия задаются непосредственно в рамках решаемой задачи. Или для MDCT (основанный на DCT типа IV), граничные условия тесно связаны с критическим свойством MDCT подавления наложения спектров во временной области. Более тонко, граничные условия отвечают за свойства «энергетической компактификации», которые делают DCT полезными для сжатия изображения и звука, потому что границы влияют на скорость сходимости любого ряда, подобного Фурье.

В частности, хорошо известно, что любой разрывы в функции уменьшить скорость конвергенции ряда Фурье, так что для представления функции с заданной точностью требуется больше синусоид. Тот же принцип определяет применимость DFT и других преобразований для сжатия сигнала; чем плавнее функция, тем меньше членов в ее ДПФ или ДКП требуется для ее точного представления и тем больше ее можно сжать. (Здесь мы думаем о ДПФ или DCT как о приближении Ряд Фурье или же косинусный ряд функции, соответственно, чтобы говорить о ее "гладкости".) Однако неявная периодичность ДПФ означает, что разрывы обычно возникают на границах: любой случайный сегмент сигнала вряд ли будет иметь одинаковое значение на обоих концах. левая и правая границы. (Аналогичная проблема возникает для DST, в котором нечетное левое граничное условие подразумевает разрыв для любой функции, которая не оказывается равной нулю на этой границе.) Напротив, DCT, где обе границы четные всегда дает непрерывное продолжение на границах (хотя склон обычно прерывистый). Вот почему DCT и, в частности, DCT типов I, II, V и VI (типы, которые имеют две четные границы) обычно лучше работают для сжатия сигнала, чем DFT и DST. На практике для таких приложений обычно предпочтительнее использовать DCT типа II, отчасти из соображений вычислительного удобства.

Формальное определение

Формально дискретное косинусное преобразование есть линейный, обратимый функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {N} to mathbb {R} ^ {N}}$ (куда ${ Displaystyle mathbb {R}}$ обозначает набор действительные числа ), или, что то же самое, обратимый N × N квадратная матрица. Есть несколько вариантов DCT с немного измененными определениями. В N действительные числа Икс₀, ..., Икс_N-1 превращаются в N действительные числа Икс₀, ..., Икс_N-1 по одной из формул:

DCT-I

${ displaystyle X_ {k} = { frac {1} {2}} (x_ {0} + (- 1) ^ {k} x_ {N-1}) + sum _ {n = 1} ^ { N-2} x_ {n} cos left [{ frac { pi} {N-1}} nk right] quad quad k = 0, dots, N-1.}$

Некоторые авторы еще больше умножают Икс₀ и Икс_N-1 условия по √2, и соответственно умножаем Икс₀ и Икс_N-1 сроки на 1 /√2. Это делает матрицу DCT-I ортогональный, если еще умножить на общий масштабный коэффициент ${ displaystyle { sqrt { tfrac {2} {N-1}}}}$, но нарушает прямое соответствие с ДПФ с реальной четностью.

DCT-I точно эквивалентен (с общим масштабным коэффициентом 2) ДПФ ${ displaystyle 2N-2}$ действительные числа с четной симметрией. Например, DCT-I N= 5 действительных чисел abcde в точности эквивалентен ДПФ восьми действительных чисел abcdedcb (даже симметрия), разделенная на два. (Напротив, DCT типов II-IV включают сдвиг на половину выборки в эквивалентном ДПФ.)

Обратите внимание, однако, что DCT-I не определен для N менее 2. (Все остальные типы DCT определены для любого положительного N.)

Таким образом, DCT-I соответствует граничным условиям: Икс_п даже вокруг п = 0 и даже около п = N−1; аналогично для Икс_k.

DCT-II

${ displaystyle X_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} cos left [{ frac { pi} {N}} left (n + { frac { 1} {2}} right) k right] quad quad k = 0, dots, N-1.}$

DCT-II, вероятно, является наиболее часто используемой формой, и ее часто называют просто «DCT».^[5][6]

Это преобразование точно эквивалентно (с общим масштабным коэффициентом 2) ДПФ ${ displaystyle 4N}$ реальные входы четной симметрии, где элементы с четным индексом равны нулю. То есть это половина ДПФ ${ displaystyle 4N}$ входы ${ displaystyle y_ {n}}$, куда ${ displaystyle y_ {2n} = 0}$, ${ displaystyle y_ {2n + 1} = x_ {n}}$ за ${ Displaystyle 0 Leq п$, ${ displaystyle y_ {2N} = 0}$, и ${ displaystyle y_ {4N-n} = y_ {n}}$ за ${ Displaystyle 0 <п <2N}$. Преобразование DCT II также возможно с использованием сигнала 2N с последующим умножением на полусмещения. Это демонстрируется Махоул.

Некоторые авторы еще больше умножают Икс₀ срок на 1 /√2 и умножьте полученную матрицу на общий масштабный коэффициент ${ displaystyle { sqrt { tfrac {2} {N}}}}$ (см. ниже соответствующие изменения в DCT-III). Это делает матрицу DCT-II ортогональный, но нарушает прямое соответствие с реальным четным ДПФ полусмещенного ввода. Это нормализация, используемая Matlab, Например.^[106] Во многих приложениях, таких как JPEG масштабирование является произвольным, поскольку масштабные коэффициенты можно комбинировать с последующим этапом вычислений (например, квантование шаг в JPEG^[107]), и можно выбрать масштаб, который позволяет вычислять DCT с меньшим количеством умножений.^[108][109]

DCT-II подразумевает граничные условия: Икс_п даже вокруг п = −1/2 и даже около п = N−1/2; Икс_k даже вокруг k = 0 и нечетное около k = N.

DCT-III

${ displaystyle X_ {k} = { frac {1} {2}} x_ {0} + sum _ {n = 1} ^ {N-1} x_ {n} cos left [{ frac { pi} {N}} n left (k + { frac {1} {2}} right) right] quad quad k = 0, dots, N-1.}$

Поскольку это обратный DCT-II (с точностью до масштабного коэффициента, см. Ниже), эту форму иногда называют просто «обратным DCT» («IDCT»).^[6]

Некоторые авторы разделяют Икс₀ срок до √2 вместо 2 (в результате Икс₀/√2 член) и умножьте полученную матрицу на общий масштабный коэффициент ${ displaystyle { sqrt { tfrac {2} {N}}}}$ (см. выше соответствующее изменение в DCT-II), так что DCT-II и DCT-III являются транспозициями друг друга. Это делает матрицу DCT-III ортогональный, но нарушает прямое соответствие с реальным четным ДПФ с полусмещенным выходом.

DCT-III подразумевает граничные условия: Икс_п даже вокруг п = 0 и нечетное около п = N; Икс_k даже вокруг k = −1/2 и даже около k = N−1/2.

DCT-IV

${ displaystyle X_ {k} = sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} cos left [{ frac { pi} {N}} left (n + { frac { 1} {2}} right) left (k + { frac {1} {2}} right) right] quad quad k = 0, dots, N-1.}$

Матрица DCT-IV становится ортогональный (и, таким образом, будучи явно симметричным, его собственная обратная сторона), если еще умножить на общий масштабный коэффициент ${ displaystyle { sqrt {2 / N}}}$.

Вариант DCT-IV, где данные из разных преобразований перекрытый, называется модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT).^[110]

DCT-IV подразумевает граничные условия: Икс_п даже вокруг п = −1/2 и нечетное около п = N−1/2; аналогично для Икс_k.

DCT V-VIII

DCT типов I-IV обрабатывают обе границы согласованно с точки зрения точки симметрии: они четные / нечетные либо вокруг точки данных для обеих границ, либо на полпути между двумя точками данных для обеих границ. Напротив, DCT типов V-VIII подразумевают четные / нечетные границы вокруг точки данных для одной границы и на полпути между двумя точками данных для другой границы.

Другими словами, DCT типов I-IV эквивалентны вещественно-четным ДПФ четного порядка (независимо от того, N четное или нечетное), поскольку соответствующее ДПФ имеет длину 2 (N−1) (для DCT-I) или 4N (для DCT-II / III) или 8N (для DCT-IV). Четыре дополнительных типа дискретного косинусного преобразования^[111] по существу соответствуют вещественно-четным ДПФ логически нечетного порядка, которые имеют множители N ± ½ в знаменателях аргументов косинуса.

Однако на практике эти варианты используются редко. Одна из причин, возможно, заключается в том, что алгоритмы БПФ для ДПФ нечетной длины обычно сложнее, чем алгоритмы БПФ для ДПФ четной длины (например, простейшие алгоритмы с основанием 2 предназначены только для четных длин), и эта повышенная сложность распространяется и на DCT. как описано ниже.

(Тривиальный вещественно-четный массив, ДПФ длиной один (нечетная длина) одного числа а, соответствует DCT-V длины N = 1.)

Обратные преобразования

Используя приведенные выше соглашения о нормализации, обратное DCT-I - это DCT-I, умноженное на 2 / (N-1). Обратное к DCT-IV - это DCT-IV, умноженное на 2 /N. Обратное к DCT-II - DCT-III, умноженное на 2 /N наоборот.^[6]

Как для DFT, коэффициент нормализации перед этими определениями преобразования является просто условием и различается для разных обработок. Например, некоторые авторы умножают преобразования на ${ displaystyle { sqrt {2 / N}}}$ так что обратное не требует какого-либо дополнительного мультипликативного множителя. В сочетании с соответствующими факторами √2 (см. выше), это можно использовать для преобразования матрицы ортогональный.

Многомерные DCT

Многомерные варианты различных типов DCT прямо следуют из одномерных определений: они просто отделимый продукт (то есть композиция) DCT по каждому измерению.

M-D DCT-II

Например, двухмерный DCT-II изображения или матрицы - это просто одномерный DCT-II сверху, выполняемый вдоль строк, а затем вдоль столбцов (или наоборот). То есть 2D DCT-II задается формулой (без нормализации и других масштабных коэффициентов, как указано выше):

${ displaystyle { begin {align} X_ {k_ {1}, k_ {2}} & = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} left ( sum _ { n_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} x_ {n_ {1}, n_ {2}} cos left [{ frac { pi} {N_ {2}}} left ( n_ {2} + { frac {1} {2}} right) k_ {2} right] right) cos left [{ frac { pi} {N_ {1}}} left ( n_ {1} + { frac {1} {2}} right) k_ {1} right] & = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} сумма _ {n_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} x_ {n_ {1}, n_ {2}} cos left [{ frac { pi} {N_ {1}}} left (n_ {1} + { frac {1} {2}} right) k_ {1} right] cos left [{ frac { pi} {N_ {2}}} left ( n_ {2} + { frac {1} {2}} right) k_ {2} right]. end {align}}}$

Обратное к многомерному DCT - это просто разделимое произведение обратных преобразований соответствующих одномерных DCT (см. Выше), например одномерные инверсии, применяемые по одному измерению за раз в алгоритме строка-столбец.

В 3-D DCT-II это только продолжение 2-D DCT-II в трехмерном пространстве и математически может быть вычислено по формуле

${ displaystyle { begin {align} X_ {k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}} & = sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} sum _ {n_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} sum _ {n_ {3} = 0} ^ {N_ {3} -1} x_ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}} cos left [{ frac { pi} {N_ {1}}} left (n_ {1} + { frac {1} {2}} right) k_ {1} right] cos left [{ frac { pi} {N_ {2}}} left (n_ {2} + { frac {1} {2}} right) k_ {2} right] cos left [{ frac { pi} {N_ {3}}} left (n_ {3} + { frac {1} {2}} right) k_ {3} right], quad forall k_ {i} = 0,1,2, dots, N_ {i} -1. end {align}}}$

Обратное 3-D DCT-II является 3-D DCT-III и может быть вычислено по формуле

${ displaystyle { begin {align} x_ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}} & = sum _ {k_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} sum _ {k_ {2} = 0} ^ {N_ {2} -1} sum _ {k_ {3} = 0} ^ {N_ {3} -1} X_ {k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}} cos left [{ frac { pi} {N_ {1}}} left (n_ {1} + { frac {1} {2}} right) k_ {1} right] cos left [{ frac { pi} {N_ {2}}} left (n_ {2} + { frac {1} {2}} right) k_ {2} right] cos left [{ frac { pi} {N_ {3}}} left (n_ {3} + { frac {1} {2}} right) k_ {3} right], quad forall n_ {i} = 0,1,2, dots, N_ {i} -1. end {выравнивается}}}$

Технически вычисление двух-, трехмерного (или многомерного) DCT с помощью последовательностей одномерных DCT по каждому измерению известно как строка столбец алгоритм. Как и с многомерные алгоритмы БПФ однако существуют другие методы для вычисления того же самого при выполнении вычислений в другом порядке (т. е. чередование / комбинирование алгоритмов для разных измерений). В связи с быстрым ростом приложений, основанных на 3-D DCT, разработано несколько быстрых алгоритмов для вычисления 3-D DCT-II. Алгоритмы Vector-Radix применяются для вычисления M-D DCT, чтобы уменьшить вычислительную сложность и увеличить скорость вычислений. Для эффективного вычисления 3-D DCT-II был разработан быстрый алгоритм - векторно-радикальное прореживание по частоте (VR DIF).

3-D DCT-II VR DIF

Чтобы применить алгоритм VR DIF, входные данные должны быть сформулированы и преобразованы следующим образом.^[112][113] Размер трансформации N x N x N предполагается 2.

Четыре основных этапа вычисления 3-D DCT-II с использованием алгоритма VR DIF.

${ displaystyle { begin {array} {lcl} { tilde {x}} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) = x (2n_ {1}, 2n_ {2}, 2n_ { 3}) { tilde {x}} (n_ {1}, n_ {2}, N-n_ {3} -1) = x (2n_ {1}, 2n_ {2}, 2n_ {3} + 1) { тильда {x}} (n_ {1}, N-n_ {2} -1, n_ {3}) = x (2n_ {1}, 2n_ {2} + 1,2n_ {3} ) { тильда {x}} (n_ {1}, N-n_ {2} -1, N-n_ {3} -1) = x (2n_ {1}, 2n_ {2} + 1,2n_ {3} +1) { tilde {x}} (N-n_ {1} -1, n_ {2}, n_ {3}) = x (2n_ {1} + 1,2n_ {2}, 2n_ {3}) { tilde {x}} (N-n_ {1} -1, n_ {2}, N-n_ {3} -1) = x (2n_ {1} + 1,2n_ { 2}, 2n_ {3} +1) { tilde {x}} (N-n_ {1} -1, N-n_ {2} -1, n_ {3}) = x (2n_ {1} + 1,2n_ {2} + 1,2n_ {3}) { tilde {x}} (N-n_ {1} -1, N-n_ {2} -1, N-n_ {3} - 1) = x (2n_ {1} + 1,2n_ {2} + 1,2n_ {3} +1) end {array}}}$куда ${ displaystyle 0 leq n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} leq { frac {N} {2}} - 1}$

На рисунке рядом показаны четыре этапа, которые участвуют в вычислении 3-D DCT-II с использованием алгоритма VR DIF. Первый этап - это 3-D переупорядочивание с использованием отображения индекса, проиллюстрированного приведенными выше уравнениями. Второй этап - расчет бабочки. Каждая бабочка вместе вычисляет восемь точек, как показано на рисунке чуть ниже, где ${ Displaystyle с ( фи _ {я}) = соз ( фи _ {я})}$.

Исходный 3-D DCT-II теперь может быть записан как

${ displaystyle X (k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}) = sum _ {n_ {1} = 1} ^ {N-1} sum _ {n_ {2} = 1} ^ {N-1} sum _ {n_ {3} = 1} ^ {N-1} { tilde {x}} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) cos ( phi k_ {1}) cos ( phi k_ {2}) cos ( phi k_ {3})}$

куда ${ displaystyle phi _ {i} = { frac { pi} {2N}} (4N_ {i} +1), { text {and}} i = 1,2,3}$ .

Если четная и нечетная части ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}}$ и ${ displaystyle k_ {3}}$ и рассматриваются, общая формула для расчета 3-D DCT-II может быть выражена как

Этап одиночной бабочки алгоритма VR DIF.

${ displaystyle X (k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}) = sum _ {n_ {1} = 1} ^ {{ tfrac {N} {2}} - 1} sum _ {n_ {2} = 1} ^ {{ tfrac {N} {2}} - 1} sum _ {n_ {1} = 1} ^ {{ tfrac {N} {2}} - 1} { tilde {x}} _ {ijl} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) cos ( phi (2k_ {1} + i) cos ( phi (2k_ {2} + j) cos ( phi (2k_ {3} + l))}$

куда

${ displaystyle { tilde {x}} _ {ijl} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) = { tilde {x}} (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) + (- 1) ^ {l} { tilde {x}} left (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} + { frac {n} {2}} right )}$

${ displaystyle + (- 1) ^ {j} { tilde {x}} left (n_ {1}, n_ {2} + { frac {n} {2}}, n_ {3} right) + (- 1) ^ {j + l} { tilde {x}} left (n_ {1}, n_ {2} + { frac {n} {2}}, n_ {3} + { frac {n} {2}} right)}$

${ displaystyle + (- 1) ^ {i} { tilde {x}} left (n_ {1} + { frac {n} {2}}, n_ {2}, n_ {3} right) + (- 1) ^ {i + j} { tilde {x}} left (n_ {1} + { frac {n} {2}} + { frac {n} {2}}, n_ { 2}, n_ {3} right)}$

${ displaystyle + (- 1) ^ {i + l} { tilde {x}} left (n_ {1} + { frac {n} {2}}, n_ {2}, n_ {3} + { frac {n} {3}} right)}$

${ displaystyle + (- 1) ^ {i + j + l} { tilde {x}} left (n_ {1} + { frac {n} {2}}, n_ {2} + { frac {n} {2}}, n_ {3} + { frac {n} {2}} right) { text {where}} i, j, l = 0 { text {или}} 1.}$

Арифметическая сложность

Для расчета 3-D DCT требуется ${ Displaystyle [ журнал _ {2} N]}$ этапов, и каждый этап включает ${ displaystyle N ^ {3} / 8}$ бабочки. Весь 3-D DCT требует ${ displaystyle left [(N ^ {3} / 8) log _ {2} N right]}$ бабочки для вычисления. Каждая бабочка требует семи действительных умножений (включая тривиальные умножения) и 24 реальных сложений (включая тривиальные сложения). Следовательно, общее количество действительных умножений, необходимых для этого этапа, равно ${ displaystyle left [(7/8) N ^ {3} log _ {2} N right]}$, а общее количество реальных добавлений, то есть включая пост-добавления (рекурсивные добавления), которые могут быть вычислены непосредственно после этапа бабочки или после этапа обратного побитового преобразования, задаются как^[113] ${ displaystyle underbrace { left [{ frac {3} {2}} N ^ {3} log _ {2} N right]} _ { text {Real}} + underbrace { left [ { frac {3} {2}} N ^ {3} log _ {2} N-3N ^ {3} + 3N ^ {2} right]} _ { text {Recursive}} = left [ { frac {9} {2}} N ^ {3} log _ {2} N-3N ^ {3} + 3N ^ {2} right]}$.

The conventional method to calculate MD-DCT-II is using a Row-Column-Frame (RCF) approach which is computationally complex and less productive on most advanced recent hardware platforms. The number of multiplications required to compute VR DIF Algorithm when compared to RCF algorithm are quite a few in number. The number of Multiplications and additions involved in RCF approach are given by ${displaystyle left[{frac {3}{2}}N^{3}log _{2}N ight]}$ и ${displaystyle left[{frac {9}{2}}N^{3}log _{2}N-3N^{3}+3N^{2} ight]}$ соответственно. From Table 1, it can be seen that the total number

of multiplications associated with the 3-D DCT VR algorithm is less than that associated with the RCF approach by more than 40%. In addition, the RCF approach involves matrix transpose and more indexing and data swapping than the new VR algorithm. This makes the 3-D DCT VR algorithm more efficient and better suited for 3-D applications that involve the 3-D DCT-II such as video compression and other 3-D image processing applications. The main consideration in choosing a fast algorithm is to avoid computational and structural complexities. As the technology of computers and DSPs advances, the execution time of arithmetic operations (multiplications and additions) is becoming very fast, and regular computational structure becomes the most important factor.^[114] Therefore, although the above proposed 3-D VR algorithm does not achieve the theoretical lower bound on the number of multiplications,^[115] it has a simpler computational structure as compared to other 3-D DCT algorithms. It can be implemented in place using a single butterfly and possesses the properties of the Cooley–Tukey FFT algorithm in 3-D. Hence, the 3-D VR presents a good choice for reducing arithmetic operations in the calculation of the 3-D DCT-II while keeping the simple structure that characterize butterfly style Cooley–Tukey FFT algorithms.

Two-dimensional DCT frequencies from the JPEG DCT

The image to the right shows a combination of horizontal and vertical frequencies for an 8 x 8 (${displaystyle N_{1}=N_{2}=8}$) two-dimensional DCT. Each step from left to right and top to bottom is an increase in frequency by 1/2 cycle.For example, moving right one from the top-left square yields a half-cycle increase in the horizontal frequency. Another move to the right yields two half-cycles. A move down yields two half-cycles horizontally and a half-cycle vertically. The source data (8x8) is transformed to a линейная комбинация of these 64 frequency squares.

MD-DCT-IV

The M-D DCT-IV is just an extension of 1-D DCT-IV on to M dimensional domain. The 2-D DCT-IV of a matrix or an image is given by

${displaystyle X_{k,l}=sum _{n=0}^{N-1}sum _{m=0}^{M-1}x_{n,m}cos left({frac {(2m+1)(2k+1)pi }{4N}} ight)cos left({frac {(2n+1)(2l+1)pi }{4M}} ight){ ext{. where }}k=0,1,2...,N-1{ ext{ and }}l=0,1,2...,M-1}$.

We can compute the MD DCT-IV using the regular row-column method or we can use the polynomial transform method^[116] for the fast and efficient computation. The main idea of this algorithm is to use the Polynomial Transform to convert the multidimensional DCT into a series of 1-D DCTs directly. MD DCT-IV also has several applications in various fields.

Вычисление

Although the direct application of these formulas would require O(N²) operations, it is possible to compute the same thing with only O(N бревно N) complexity by factorizing the computation similarly to the fast Fourier transform (БПФ). One can also compute DCTs via FFTs combined with O(N) pre- and post-processing steps. In general, O(N бревно N) methods to compute DCTs are known as fast cosine transform (FCT) algorithms.

The most efficient algorithms, in principle, are usually those that are specialized directly for the DCT, as opposed to using an ordinary FFT plus O(N) extra operations (see below for an exception). However, even "specialized" DCT algorithms (including all of those that achieve the lowest known arithmetic counts, at least for power-of-two sizes) are typically closely related to FFT algorithms—since DCTs are essentially DFTs of real-even data, one can design a fast DCT algorithm by taking an FFT and eliminating the redundant operations due to this symmetry. This can even be done automatically (Frigo & Johnson, 2005). Algorithms based on the Cooley–Tukey FFT algorithm are most common, but any other FFT algorithm is also applicable. Например, Winograd FFT algorithm leads to minimal-multiplication algorithms for the DFT, albeit generally at the cost of more additions, and a similar algorithm was proposed by Feig & Winograd (1992) for the DCT. Because the algorithms for DFTs, DCTs, and similar transforms are all so closely related, any improvement in algorithms for one transform will theoretically lead to immediate gains for the other transforms as well (Duhamel & Vetterli 1990 ).

While DCT algorithms that employ an unmodified FFT often have some theoretical overhead compared to the best specialized DCT algorithms, the former also have a distinct advantage: highly optimized FFT programs are widely available. Thus, in practice, it is often easier to obtain high performance for general lengths N with FFT-based algorithms. (Performance on modern hardware is typically not dominated simply by arithmetic counts, and optimization requires substantial engineering effort.) Specialized DCT algorithms, on the other hand, see widespread use for transforms of small, fixed sizes such as the ${displaystyle 8 imes 8}$ DCT-II used in JPEG compression, or the small DCTs (or MDCTs) typically used in audio compression. (Reduced code size may also be a reason to use a specialized DCT for embedded-device applications.)

In fact, even the DCT algorithms using an ordinary FFT are sometimes equivalent to pruning the redundant operations from a larger FFT of real-symmetric data, and they can even be optimal from the perspective of arithmetic counts. For example, a type-II DCT is equivalent to a DFT of size ${displaystyle 4N}$ with real-even symmetry whose even-indexed elements are zero. One of the most common methods for computing this via an FFT (e.g. the method used in FFTPACK и FFTW ) был описан Narasimha & Peterson (1978) и Makhoul (1980), and this method in hindsight can be seen as one step of a radix-4 decimation-in-time Cooley–Tukey algorithm applied to the "logical" real-even DFT corresponding to the DCT II. (The radix-4 step reduces the size ${displaystyle 4N}$ DFT to four size-${ displaystyle N}$ DFTs of real data, two of which are zero and two of which are equal to one another by the even symmetry, hence giving a single size-${ displaystyle N}$ FFT of real data plus ${ Displaystyle О (Н)}$ бабочки.) Because the even-indexed elements are zero, this radix-4 step is exactly the same as a split-radix step; if the subsequent size-${ displaystyle N}$ real-data FFT is also performed by a real-data split-radix algorithm (как в Sorensen et al. 1987 г. ), then the resulting algorithm actually matches what was long the lowest published arithmetic count for the power-of-two DCT-II (${displaystyle 2Nlog _{2}N-N+2}$ real-arithmetic operations^[а]). A recent reduction in the operation count to ${displaystyle {frac {17}{9}}Nlog _{2}N+O(N)}$ also uses a real-data FFT.^[117] So, there is nothing intrinsically bad about computing the DCT via an FFT from an arithmetic perspective—it is sometimes merely a question of whether the corresponding FFT algorithm is optimal. (As a practical matter, the function-call overhead in invoking a separate FFT routine might be significant for small ${ displaystyle N}$, but this is an implementation rather than an algorithmic question since it can be solved by unrolling/inlining.)

Example of IDCT

An example showing eight different filters applied to a test image (top left) by multiplying its DCT spectrum (top right) with each filter.

Consider this 8x8 grayscale image of capital letter A.

Original size, scaled 10x (nearest neighbor), scaled 10x (bilinear).

Basis functions of the discrete cosine transformation with corresponding coefficients (specific for our image).
DCT of the image = ${displaystyle {egin{bmatrix}6.1917&-0.3411&1.2418&0.1492&0.1583&0.2742&-0.0724&0.0561�.2205&0.0214&0.4503&0.3947&-0.7846&-0.4391&0.1001&-0.25541.0423&0.2214&-1.0017&-0.2720&0.0789&-0.1952&0.2801&0.4713-0.2340&-0.0392&-0.2617&-0.2866&0.6351&0.3501&-0.1433&0.3550�.2750&0.0226&0.1229&0.2183&-0.2583&-0.0742&-0.2042&-0.5906�.0653&0.0428&-0.4721&-0.2905&0.4745&0.2875&-0.0284&-0.1311�.3169&0.0541&-0.1033&-0.0225&-0.0056&0.1017&-0.1650&-0.1500-0.2970&-0.0627&0.1960&0.0644&-0.1136&-0.1031&0.1887&0.1444end{bmatrix}}}$.

Each basis function is multiplied by its coefficient and then this product is added to the final image.

On the left is the final image. In the middle is the weighted function (multiplied by a coefficient) which is added to the final image. On the right is the current function and corresponding coefficient. Images are scaled (using bilinear interpolation) by factor 10×.

Смотрите также

• Дискретное вейвлет-преобразование
• JPEG#Discrete cosine transform — Contains a potentially easier to understand example of DCT transformation
• Список преобразований, связанных с Фурье
• Модифицированное дискретное косинусное преобразование

Пояснительные примечания

Цитаты

дальнейшее чтение

• Нарасимха, М .; Петерсон, А. (июнь 1978 г.). «О вычислении дискретного косинусного преобразования». Транзакции IEEE по коммуникациям. 26 (6): 934–936. Дои:10.1109 / TCOM.1978.1094144.
• Махоул, Дж. (Февраль 1980 г.). «Быстрое косинусное преобразование в одном и двух измерениях». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 28 (1): 27–34. Дои:10.1109 / ТАССП.1980.1163351.
• Sorensen, H .; Jones, D .; Heideman, M .; Буррус, К. (июнь 1987 г.). «Действительные алгоритмы быстрого преобразования Фурье». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 35 (6): 849–863. CiteSeerX  10.1.1.205.4523. Дои:10.1109 / ТАССП.1987.1165220.
• Arai, Y .; Агуи, Т .; Накадзима, М. (ноябрь 1988 г.). «Быстрая схема DCT-SQ для изображений». IEICE транзакции. 71 (11): 1095–1097.
• Плонка, Г.; Таше, М. (январь 2005 г.). «Быстрые и численно устойчивые алгоритмы дискретных косинусных преобразований». Линейная алгебра и ее приложения. 394 (1): 309–345. Дои:10.1016 / j.laa.2004.07.015.
• Duhamel, P .; Веттерли, М. (апрель 1990 г.). «Быстрые преобразования Фурье: обзор учебного пособия и современное состояние». Обработка сигналов (Представлена ​​рукопись). 19 (4): 259–299. Дои:10.1016 / 0165-1684 (90) 90158-У.
• Ахмед, Н. (Январь 1991 г.). "Как я придумал дискретное косинусное преобразование". Цифровая обработка сигналов. 1 (1): 4–9. Дои:10.1016 / 1051-2004 (91) 90086-Z.
• Feig, E .; Виноград, С. (сентябрь 1992 г.). «Быстрые алгоритмы дискретного косинусного преобразования». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 40 (9): 2174–2193. Bibcode:1992ITSP ... 40.2174F. Дои:10.1109/78.157218.
• Малвар, Энрике (1992), Обработка сигналов с помощью преобразований с перекрытием, Бостон: Artech House, ISBN  978-0-89006-467-2
• Мартуччи, С. А. (май 1994 г.). «Симметричная свертка и дискретные синусоидальные и косинусные преобразования». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 42 (5): 1038–1051. Bibcode:1994ITSP ... 42.1038M. Дои:10.1109/78.295213.
• Оппенгейм, Алан; Шафер, Рональд; Бак, Джон (1999), Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN  978-0-13-754920-7
• Frigo, M .; Джонсон, С. Г. (февраль 2005 г.). «Разработка и реализация FFTW3» (PDF). Труды IEEE. 93 (2): 216–231. CiteSeerX  10.1.1.66.3097. Дои:10.1109 / JPROC.2004.840301. S2CID  6644892.
• Boussakta, Said .; Алшибами, Хамуд О. (апрель 2004 г.). «Быстрый алгоритм для 3-D DCT-II» (PDF). Транзакции IEEE при обработке сигналов. 52 (4): 992–1000. Bibcode:2004ITSP ... 52..992B. Дои:10.1109 / TSP.2004.823472. S2CID  3385296.
• Cheng, L. Z .; Цзэн, Ю. Х. (2003). «Новый быстрый алгоритм для многомерного ДКП IV типа». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 51 (1): 213–220. Дои:10.1109 / TSP.2002.806558.
• Вен-Сюн Чен; Smith, C .; Фралик, С. (сентябрь 1977 г.). «Быстрый вычислительный алгоритм для дискретного косинусного преобразования». Транзакции IEEE по коммуникациям. 25 (9): 1004–1009. Дои:10.1109 / TCOM.1977.1093941.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 12.4.2. Косинусное преобразование», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8

внешняя ссылка

• «дискретное косинусное преобразование». PlanetMath.
• Сайед Али Хайям: Дискретное косинусное преобразование (ДКП): теория и применение
• Реализация целочисленной аппроксимации MPEG 8x8 IDCT (ISO / IEC 23002-2)
• Маттео Фриго и Стивен Дж. Джонсон: FFTW, http://www.fftw.org/. Бесплатный (GPL ) Библиотека C, которая может вычислять быстрые DCT (типы I-IV) в одном или нескольких измерениях произвольного размера.
• Такуя Оура: Пакет БПФ общего назначения, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/fft.html. Бесплатные библиотеки C и FORTRAN для вычисления быстрых DCT (типы II – III) в одном, двух или трех измерениях, мощность двух размеров.
• Тим Кинцле: быстрые алгоритмы для вычисления 8-точечного DCT и IDCT, http://drdobbs.com/parallel/184410889.
• LTFAT - это бесплатный набор инструментов Matlab / Octave с интерфейсами для реализации FFTW DCT и DST типа I-IV.