Скорость убегания - Escape velocity

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Параметры орбиты Апсис Аргумент периапсиса Азимут Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Виды двухчастичные орбиты, к эксцентриситет Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита (Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки (Гало-орбиты ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта

В физика (конкретно, небесная механика ), скорость убегания это минимальная скорость, необходимая для бесплатного, неприводимый в движение объект, чтобы избежать гравитационного воздействия массивного тела, то есть достичь бесконечного расстояния от него. Скорость убегания зависит от массы тела и расстояния до центра масс тела.

Ракета, непрерывно ускоряемая за счет своего выхлопа, не должна достигать баллистической космической скорости на любом расстоянии, поскольку она получает дополнительную кинетическую энергию за счет выброса своей реакционной массы. Он может совершить побег на любой скорости, при условии подходящего режима движения и достаточного количества топлива, чтобы обеспечить ускоряющую силу для убегающего объекта.

Ускользающая скорость с поверхности Земли составляет около 11 186 м / с (6,951 миль / с; 40 270 км / ч; 36 700 футов / с; 25 020 миль / ч; 21 744 кН).^[1] В более общем смысле, убегающая скорость - это скорость, с которой сумма кинетическая энергия и это гравитационно потенциальная энергия равно нулю;^{[nb 1]} объект, достигший космической скорости, не находится ни на поверхности, ни на замкнутой орбите (любого радиуса). Со скоростью убегания в направлении, указывающем от земли массивного тела, объект будет удаляться от тела, навсегда замедляясь и приближаясь, но никогда не достигая нулевой скорости. Как только скорость убегания достигнута, дальнейший импульс для продолжения побега не требуется. Другими словами, если задана космическая скорость, объект будет удаляться от другого тела, постоянно замедляясь, и будет асимптотически приближаются к нулевой скорости по мере приближения объекта бесконечность, чтобы никогда не вернуться.^[2] Скорости, превышающие скорость убегания, имеют положительную скорость на бесконечности. Обратите внимание, что минимальная скорость убегания предполагает отсутствие трения (например, атмосферного сопротивления), которое увеличило бы требуемую мгновенную скорость, чтобы избежать гравитационного воздействия, и что в будущем не будет ускорения или замедления (например, от толкать или гравитация от других объектов), что изменит требуемую мгновенную скорость.

Для сферически-симметричного массивного тела, такого как звезда или планета, космическая скорость этого тела на заданном расстоянии рассчитывается по формуле^[3]

${displaystyle v_ {e} = {sqrt {frac {2GM} {r}}}}$

куда грамм универсальный гравитационная постоянная (грамм ≈ 6.67×10⁻¹¹ м³·кг⁻¹· С⁻²), M масса тела, из которого нужно убежать, и р расстояние от центр массы тела к объекту.^{[nb 2]} Взаимосвязь не зависит от массы объекта, покидающего массивное тело. И наоборот, тело, которое падает под действием силы гравитационного притяжения массы M, из бесконечности, начиная с нулевой скорости, ударит массивный объект со скоростью, равной его космической скорости, определяемой той же формулой.

При заданной начальной скорости ${displaystyle V}$ больше, чем скорость убегания ${displaystyle v_ {e},}$ объект будет асимптотически приближаться к гиперболическая избыточная скорость ${displaystyle v_ {infty},}$ удовлетворяющее уравнению:^[4]

${displaystyle {v_ {infty}} ^ {2} = V ^ {2} - {v_ {e}} ^ {2}.}$

В этих уравнениях атмосферное трение (сопротивление воздуха ) не принимается во внимание.

Обзор

Луна 1 Запущенный в 1959 году, был первым искусственным объектом, достигшим космической скорости с Земли (см. таблицу ниже).^[5]

Существование убегающей скорости является следствием сохранение энергии и энергетическое поле конечной глубины. Для объекта с заданной полной энергией, который движется в соответствии с консервативные силы (например, статическое гравитационное поле) объект может достигать только комбинаций положений и скоростей, которые имеют эту полную энергию; а места с более высокой потенциальной энергией, чем это, вообще не могут быть достигнуты. Добавляя скорость (кинетическую энергию) к объекту, он расширяет возможные местоположения, которые могут быть достигнуты, до тех пор, пока при достаточном количестве энергии они не станут бесконечными.

Для данного гравитационный потенциал энергии в данном положении, скорость убегания является минимальной скорость объект без движение должна иметь возможность «ускользнуть» от гравитации (то есть, чтобы гравитация никогда не смогла оттянуть ее назад). Скорость убегания на самом деле является скоростью (а не скоростью), потому что она не определяет направление: независимо от направления движения объект может выйти из гравитационного поля (при условии, что его путь не пересекает планету).

Изящный способ вывести формулу для убегающей скорости - использовать принцип сохранения энергии. Для простоты, если не указано иное, мы предполагаем, что объект выйдет из гравитационного поля однородной сферической планеты, удалившись от нее, и что единственная значительная сила, действующая на движущийся объект, - это гравитация планеты. В исходном состоянии я, представьте, что космический корабль массы м на расстоянии р от центра масс планеты, масса которой равна M. Его начальная скорость равна его космической скорости, ${displaystyle v_ {e}}$. В конечном состоянии ж, он будет находиться на бесконечном расстоянии от планеты, а его скорость будет пренебрежимо малой и принята равной 0. Кинетическая энергия K и гравитационный потенциал энергия U_грамм являются единственными видами энергии, с которыми мы будем иметь дело, поэтому благодаря сохранению энергии,

${displaystyle (K + U_ {g}) _ {i} = (K + U_ {g}) _ {f},}$

K_ƒ = 0, поскольку конечная скорость равна нулю, и U_gƒ = 0, потому что его конечное расстояние равно бесконечности, поэтому

${displaystyle {egin {align} Rightarrow {} & {frac {1} {2}} mv_ {e} ^ {2} + {frac {-GMm} {r}} = 0 + 0 [3pt] Rightarrow {} & v_ {e} = {sqrt {frac {2GM} {r}}} = {sqrt {frac {2mu} {r}}} конец {выровнено}}}$

где μ - стандартный гравитационный параметр.

Тот же результат дает релятивистский расчет, и в этом случае переменная р представляет радиальная координата или же уменьшенная окружность из Метрика Шварцшильда.^[6][7]

Если определить более формально, «убегающая скорость» - это начальная скорость, необходимая для перехода от начальной точки в поле гравитационного потенциала к бесконечности и конца на бесконечности с остаточной скоростью, равной нулю, без какого-либо дополнительного ускорения.^[8] Все скорости и скорости измеряются относительно поля. Кроме того, скорость убегания в точке пространства равна скорости, которую имел бы объект, если бы он стартовал в состоянии покоя с бесконечного расстояния и был притянут к этой точке под действием силы тяжести.

Обычно начальная точка находится на поверхности планета или же Луна. На поверхности Земли убегающая скорость составляет около 11,2 км / с, что примерно в 33 раза больше скорость звука (33 Маха) и в несколько раз больше Начальная скорость винтовочной пули (до 1,7 км / с). Однако на высоте 9000 км в «космосе» это чуть меньше 7,1 км / с.

Скорость убегания не зависит от массы убегающего объекта. Неважно, масса ли 1 кг или 1000 кг; отличается только количество необходимой энергии. Для объекта массы ${displaystyle m}$ энергия, необходимая для выхода из гравитационного поля Земли, равна GMm / r, функция массы объекта (где р это радиус Земли, грамм это гравитационная постоянная, и M это масса земной шар, M = 5.9736 × 10²⁴ кг). Связанная величина - это удельная орбитальная энергия который представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии, деленной на массу. Объект достиг космической скорости, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю.

Сценарии

С поверхности тела

Альтернативное выражение для убегающей скорости ${displaystyle v_ {e}}$ особенно полезны на поверхности тела:

${displaystyle v_ {e} = {sqrt {2gr,}}}$

куда р это расстояние между центром тела и точкой, в которой вычисляется космическая скорость, и грамм это гравитационное ускорение на этом расстоянии (т.е. поверхностная сила тяжести ).^[9]

Для тела со сферически-симметричным распределением массы убегающая скорость ${displaystyle v_ {e}}$ от поверхности пропорциональна радиусу, предполагающему постоянную плотность, и пропорциональному квадратному корню из средней плотности ρ.

${displaystyle v_ {e} = Kr {sqrt {ho}}}$

куда ${displaystyle K = {sqrt {{frac {8} {3}} pi G}} примерно 2,364 imes 10 ^ {- 5} {ext {m}} ^ {1,5} {ext {kg}} ^ {- 0,5} {ext {s}} ^ {- 1}}$

Из вращающегося тела

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления, в котором движется убегающее тело. Например, поскольку скорость вращения Земли составляет 465 м / с на экватор ракете, запускаемой тангенциально от экватора Земли на восток, требуется начальная скорость около 10,735 км / с. относительно Земли чтобы убежать, тогда как ракете, запускаемой по касательной от экватора Земли на запад, требуется начальная скорость около 11,665 км / с. относительно Земли. Скорость поверхности уменьшается с увеличением косинус географической широты, поэтому космические пусковые установки часто располагаются как можно ближе к экватору, например Американец мыс Канаверал (28 ° 28 ′ с.ш.) и французской Космический центр Гвианы (5 ° 14 ′ с.ш.).

Практические соображения

В большинстве ситуаций практически мгновенно достичь космической скорости непрактично из-за предполагаемого ускорения, а также из-за того, что при наличии атмосферы задействованные гиперзвуковые скорости (на Земле скорость 11,2 км / с или 40320 км / ч) будут вызывают возгорание большинства предметов из-за аэродинамический обогрев или быть разорванным атмосферное сопротивление. Для фактической орбиты ухода космический корабль будет устойчиво ускоряться за пределы атмосферы, пока не достигнет скорости убегания, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Во многих случаях космический аппарат может быть сначала помещен в парковочная орбита (например, низкая околоземная орбита на 160–2000 км), а затем разгоняется до космической скорости на этой высоте, которая будет немного ниже (около 11,0 км / с на низкой околоземной орбите 200 км). Необходимые дополнительные изменение скорости однако гораздо меньше, потому что космический корабль уже имеет значительную орбитальная скорость (скорость на низкой околоземной орбите составляет примерно 7,8 км / с, или 28 080 км / ч).

Из орбитального тела

Ускользающая скорость на заданной высоте равна ${displaystyle {sqrt {2}}}$ умноженной на скорость на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости в круговая орбита ). Это соответствует тому факту, что потенциальная энергия относительно бесконечности объекта на такой орбите в минус два раза превышает его кинетическую энергию, в то время как для выхода сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть по крайней мере равна нулю. Скорость, соответствующую круговой орбите, иногда называют первая космическая скорость, тогда как в этом контексте космическая скорость называется вторая космическая скорость.^[10]

Для тела на эллиптической орбите, желающего ускориться на орбиту ухода, требуемая скорость будет изменяться и будет максимальной в перицентре, когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако орбитальная скорость тела в этот момент также будет максимальной, а необходимое изменение скорости будет минимальным, как объясняется Эффект Оберта.

Барицентрическая убегающая скорость

Технически скорость убегания может быть измерена относительно другого, центрального тела или относительно центр масс или центр масс системы тел. Таким образом, для систем из двух тел термин скорость убегания может быть неоднозначным, но обычно подразумевается, что оно означает барицентрическую космическую скорость менее массивного тела. В гравитационных полях скорость убегания относится к космической скорости нулевой массы тестовые частицы относительно барицентра масс, генерирующих поле. В большинстве ситуаций, связанных с космическими кораблями, разница незначительна. Для массы равной a Сатурн V ракета, убегающая скорость относительно стартовой площадки 253,5 являюсь / с (8 нанометров в год) быстрее, чем космическая скорость относительно взаимного центра масс.^{[нужна цитата ]}

Высота низкоскоростных траекторий

Игнорируя все факторы, кроме силы тяжести между телом и объектом, объект проецируется вертикально со скоростью ${displaystyle v}$ от поверхности сферического тела со скоростью убегания ${displaystyle v_ {e}}$ и радиус ${displaystyle R}$ достигнет максимальной высоты ${displaystyle h}$ удовлетворяющий уравнению^[11]

${displaystyle v = v_ {e} {sqrt {frac {h} {R + h}}},}$

который, решая для час приводит к

${displaystyle h = {frac {x ^ {2}} {1-x ^ {2}}} R,}$

куда ${extstyle x = v / v_ {e}}$ это отношение исходной скорости ${displaystyle v}$ к космической скорости ${displaystyle v_ {e}.}$

В отличие от скорости убегания, направление (вертикально вверх) важно для достижения максимальной высоты.

Траектория

Если объект достигает точно убегающей скорости, но не направлен прямо от планеты, то он будет следовать по кривой пути или траектории. Хотя эта траектория не образует замкнутой формы, ее можно назвать орбитой. Если предположить, что гравитация является единственной значительной силой в системе, скорость этого объекта в любой точке траектории будет равна скорости убегания. в таком случае из-за сохранения энергии его полная энергия всегда должна быть 0, что означает, что он всегда имеет убегающую скорость; см. вывод выше. Форма траектории будет парабола фокус которого находится в центре масс планеты. Фактический побег требует курса с траекторией, которая не пересекается с планетой или ее атмосферой, поскольку это может привести к падению объекта. При удалении от источника этот путь называется покинуть орбиту. Спасательные орбиты известны как C3 = 0 орбит. C3 это характерная энергия, = −GM/2а, куда а это большая полуось, что для параболических траекторий бесконечно.

Если скорость тела превышает скорость убегания, то его путь будет образовывать гиперболическая траектория и он будет иметь избыточную гиперболическую скорость, эквивалентную дополнительной энергии тела. Относительно небольшая дополнительная дельта-v превышение скорости, необходимой для ускорения до аварийной скорости, может привести к относительно большой скорости на бесконечности. Некоторые орбитальные маневры воспользуйтесь этим фактом. Например, в месте, где скорость эвакуации составляет 11,2 км / с, прибавление 0,4 км / с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км / с:

${displaystyle v_ {infty} = {sqrt {V ^ {2} - {v_ {e}} ^ {2}}} = {sqrt {(11,6 {ext {км / с}}) ^ {2} - (11,2 {ext {km / s}}) ^ {2}}} приблизительно 3,02 {ext {km / s}}.}$

Если тело на круговой орбите (или в перицентре эллиптической орбиты) ускоряется в направлении своего движения до скорости убегания, точка ускорения будет формировать перицентр траектории ухода. Возможное направление движения будет под углом 90 градусов к направлению точки ускорения. Если тело разгоняется до превышающей скорость убегания, конечное направление движения будет под меньшим углом и обозначено одной из асимптот гиперболической траектории, которую оно сейчас принимает. Это означает, что выбор времени ускорения имеет решающее значение, если вы намерены уйти в определенном направлении.

Множественные тела

При покидании сложной системы, такой как Луна, вращающаяся вокруг планеты, или планета, вращающаяся вокруг Солнца, ракета, которая улетает со скоростью убегания (${displaystyle v_ {e1}}$) для первого (вращающегося) тела (например, Земли) не будет перемещаться на бесконечное расстояние, потому что ему требуется еще более высокая скорость, чтобы избежать гравитации второго тела (например, Солнца). Вблизи Земли траектория ракеты будет казаться параболической, но она по-прежнему будет гравитационно связана со вторым телом и выйдет на эллиптическую орбиту вокруг этого тела с орбитальной скоростью, аналогичной скорости первого тела.

Чтобы избежать гравитации второго тела после того, как оно покинуло первое тело, ракете необходимо будет двигаться со скоростью убегания для второго тела (${displaystyle v_ {e2}}$) (на орбитальном расстоянии первого тела). Однако, когда ракета покидает первое тело, она все еще будет иметь ту же орбитальную скорость вокруг второго тела, что и первое тело (${displaystyle v_ {o}}$). Таким образом, его избыточная скорость при выходе из первого тела должна быть разницей между орбитальной скоростью и скоростью убегания. При круговой орбите космическая скорость равна √2 раз больше орбитальной скорости. Таким образом, полная космическая скорость ${displaystyle v_ {te}}$ когда вы покидаете одно тело, вращающееся вокруг второго, и пытаясь убежать от них обоих, при упрощенных предположениях:^[12]

${displaystyle v_ {te} = {sqrt {(v_ {e2} -v_ {o}) ^ {2} + v_ {e1} ^ {2}}} = {sqrt {left (kv_ {e2} ight) ^ { 2} + v_ {e1} ^ {2}}}}$

куда ${displaystyle k = 1- {frac {1} {sqrt {2}}} примерно 0,2929}$ для круговых орбит.

Список скоростей убегания

Последние два столбца будут точно зависеть от того, где на орбите достигается космическая скорость, поскольку орбиты не совсем круговые (особенно Меркурий и Плутон).

Получение скорости убегания с помощью расчетов

Позволять грамм быть гравитационная постоянная и разреши M быть масса земли (или другое гравитирующее тело) и м быть массой убегающего тела или снаряда. На расстоянии р из центра тяжести тело ощущает силу притяжения^[16]

${displaystyle F = G {frac {Mm} {r ^ {2}}}.}$

Работа, необходимая для перемещения тела на небольшое расстояние доктор против этой силы поэтому дается

${displaystyle dW = F, dr = -G {frac {Mm} {r ^ {2}}}, dr,}$

где знак минус указывает, что сила действует в противоположном смысле ${displaystyle dr}$.

Общая работа, необходимая для перемещения тела с поверхности р₀ тяготеющего тела к бесконечности тогда

${displaystyle W = int _ {r_ {0}} ^ {infty} -G {frac {Mm} {r ^ {2}}}, dr = -G {frac {Mm} {r_ {0}}} = - mgr_ {0}.}$

Это минимальная кинетическая энергия, необходимая для достижения бесконечности, поэтому убегающая скорость v₀ удовлетворяет

${displaystyle W + K = 0Rightarrow {frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} = G {frac {Mm} {r_ {0}}},}$

что приводит к

${displaystyle v_ {0} = {sqrt {frac {2GM} {r_ {0}}}} = {sqrt {2gr_ {0}}}.}$

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• Роджер Р. Бейт; Дональд Д. Мюллер; Джерри Э. Уайт (1971). Основы астродинамики. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-60061-1.

внешняя ссылка

• Калькулятор скорости эвакуации
• Веб-калькулятор числовой скорости убегания