Модель рынка LIBOR - LIBOR market model

В Модель рынка LIBOR, также известный как Модель фоновой музыки (Brace Gatarek Musiela Модель) со ссылкой на имена некоторых изобретателей) финансовая модель из процентные ставки.^[1] Он используется для ценообразования производные по процентной ставке, особенно экзотических деривативов, таких как бермудские свопции, ограничители и минимумы с храповым механизмом, целевые ноты погашения, автокопы, обмены с нулевым купоном свопы с постоянным сроком погашения и варианты распространения среди многих других. Моделируемые величины, а не короткая ставка или мгновенные форвардные курсы (как в Фреймворк Хита-Джарроу-Мортона ) представляют собой набор форвардные курсы (также называется вперед LIBOR ), которые имеют то преимущество, что их можно напрямую наблюдать на рынке, а волатильность которых естественным образом связана с торгуемыми контрактами. Каждая форвардная ставка моделируется логнормальный процесс в рамках форвардная мера, т.е. Черная модель приводя к формуле Блэка для ограничение процентных ставок. Эта формула является рыночным стандартом для котировки капитальных цен с точки зрения подразумеваемой волатильности, отсюда и термин «рыночная модель». Рыночную модель LIBOR можно интерпретировать как набор форвардной динамики LIBOR для различных форвардных ставок с охватом срока и сроков погашения, причем каждая форвардная ставка соответствует формуле кэплета черной процентной ставки для ее канонического срока погашения. Можно записать разную динамику ставок под единой ценой. мера, например форвардная мера для предпочтительного одинарного срока погашения, и в этом случае форвардные ставки не будут логнормальными при единственном измерении в целом, что приведет к необходимости использования численных методов, таких как Монте-Карло моделирование или приближения, подобные предположению о замороженном дрейфе.

Модель динамическая

Модель рынка LIBOR моделирует набор ${displaystyle n}$ форвардные курсы ${displaystyle L_ {j}}$, ${displaystyle j = 1, ldots, n}$ в качестве логнормальный процессы. В соответствии с соответствующими ${displaystyle T_ {j}}$ -Перед мера ${displaystyle Q_ {T_ {j + 1}}}$

${displaystyle dL_ {j} (t) = mu _ {j} (t) L_ {j} (t) dt + sigma _ {j} (t) L_ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {j +1}}} (t) {ext {.}}}$ ^[2]

Здесь можно считать, что ${displaystyle mu _ {j} (t) = 0, forall t}$ (центрированный процесс) .Здесь, ${displaystyle L_ {j}}$ форвардная ставка на период ${displaystyle [T_ {j}, T_ {j + 1}]}$. Для каждого отдельного форвардного курса модель соответствует модели Блэка.

Новинка в том, что в отличие от Черная модель, рыночная модель LIBOR описывает динамику целого семейства форвардных ставок в рамках общей меры. Теперь вопрос в том, как переключаться между разными ${displaystyle T}$-Передовые меры. Посредством многомерного Теорема Гирсанова можно показать^[3][4]который

${displaystyle dW ^ {Q_ {T_ {j}}} (t) = {egin {cases} dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) - пределы суммы _ {k = j + 1} ^ {p } {frac {delta L_ {k} (t)} {1 + delta L_ {k} (t)}} {sigma} _ {k} (t) {ho} _ {jk} dtqquad j$

p end {case}}}

и

${displaystyle dL_ {j} (t) = {egin {case} L_ {j} (t) {sigma} _ {j} (t) dW ^ {Q_ {T_ {p}}} (t) -L_ {j } (t) ограничения суммы _ {k = j + 1} ^ {p} {frac {delta L_ {k} (t)} {1 + delta L_ {k} (t)}} {sigma} _ {j} (t) {sigma} _ {k} (t) {ho} _ {jk} dtqquad j$

p end {case}}}

Рекомендации

Литература

• Брейс, А., Гатарек, Д. и Мусиела, М. (1997): «Рыночная модель динамики процентной ставки», «Математические финансы», 7 (2), 127-154.
• Милтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д. (1997): «Решения в закрытой форме для производных срочной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52 (1), 409-430.
• Вернц, Дж. (2020): «Банковское управление и контроль», Springer Nature, 85-88

внешняя ссылка

• Java-апплеты для ценообразования по рыночной модели LIBOR и методам Монте-Карло
• Исходный код Jave и электронная таблица модели рынка LIBOR, включая калибровку для обмена и оценку продукта
• Конспект лекций Дамиано Бриго о модели рынка LIBOR для курса с фиксированным доходом Университета Боккони