Равновесие по Нэшу - Nash equilibrium

В теория игры, то равновесие по Нэшу, названный в честь математика Джон Форбс Нэш мл., предлагается решение из некооперативная игра с участием двух или более игроков, в которых предполагается, что каждый игрок знает стратегии равновесия других игроков, и ни один игрок не может получить ничего, изменяя только свою собственную стратегию.^[1] Использование равновесия Нэша и его принципы восходят к временам Курно, выдающегося философа и математика, который первым начал понимание экономического равновесия. ^[2]

Если каждый игрок выбрал стратегию - план действий, выбирающий свое собственное действие на основе того, что он видел до сих пор в игре, - и ни один игрок не может увеличить свой ожидаемый выигрыш, изменив свою стратегию, в то время как другие игроки сохранят свою неизменную, тогда текущий набор вариантов стратегии составляет равновесие по Нэшу.

Если два игрока Алиса и Боб выберите стратегии A и B, (A, B) является равновесием по Нэшу, если у Алисы нет другой доступной стратегии, которая лучше, чем A, максимизирует свой выигрыш в ответ на выбор Боба B, и у Боба нет другой доступной стратегии, которая работает лучше, чем B при максимизации своего выигрыша в ответ на выбор Алисы A. В игре, в которой Кэрол и Дэн также являются игроками, (A, B, C, D) является равновесием по Нэшу, если A - лучший ответ Алисы на (B, C, D) , B - лучший ответ Боба на (A, C, D) и т. Д.

Нэш показал, что равновесие по Нэшу существует для каждой конечной игры: см. Далее статью о стратегия.

Приложения

Теоретики игр используют равновесие по Нэшу для анализа результатов стратегическое взаимодействие из нескольких лица, принимающие решения. В стратегическом взаимодействии результат для каждого лица, принимающего решения, зависит от решений других, а также от их собственных. Простое понимание, лежащее в основе идеи Нэша, состоит в том, что нельзя предсказать выбор нескольких лиц, принимающих решения, если анализировать эти решения изолированно. Вместо этого нужно спросить, что будет делать каждый игрок, принимая во внимание то, что он / она ожидает от других. Равновесие по Нэшу требует, чтобы их выбор был последовательным: ни один игрок не желает отменять свое решение, учитывая то, что решают другие.

Концепция использовалась для анализа враждебных ситуаций, таких как войны и гонки вооружений.^[3] (увидеть Дилемма заключенного ), а также то, как конфликт может быть смягчен повторным взаимодействием (см. око за око ). Он также использовался для изучения того, в какой степени люди с разными предпочтениями могут сотрудничать (см. битва полов ), и пойдут ли они на риск для достижения совместных результатов (см. охота на оленей ). Он был использован для изучения принятия технические стандарты,^{[нужна цитата ]} а также возникновение банковские бегства и валютные кризисы (увидеть координационная игра ). Другие приложения включают поток трафика (см. Принцип Вардропа ), как проводить аукционы (см. теория аукционов ), результат усилий, приложенных несколькими сторонами в образовательном процессе,^[4] нормативное законодательство, такое как экологические нормы (см. Трагедия общественного достояния ),^[5] управление природными ресурсами,^[6] анализируя стратегии в маркетинге,^[7] даже пенальти футбол (увидеть соответствующие пенни ),^[8] энергосистемы, транспортные системы, проблемы эвакуации^[9] и беспроводная связь.^[10]

История

Равновесие Нэша названо в честь американского математика Джон Форбс Нэш младший. Та же идея была использована в конкретном приложении в 1838 г. Антуан Огюстен Курно в его теории олигополия.^[11] Согласно теории Курно, каждая из нескольких фирм выбирает, сколько продукции производить, чтобы максимизировать свою прибыль. Наилучший результат для одной фирмы зависит от объемов производства других. А Равновесие Курно происходит, когда выпуск каждой фирмы максимизирует свою прибыль с учетом выпуска других фирм, что является чистая стратегия Равновесие по Нэшу. Курно также ввел понятие лучший ответ динамика в его анализе устойчивости равновесия. Однако Курно не использовал эту идею в каких-либо других приложениях и не определял ее в целом.

Вместо этого современная теоретико-игровая концепция равновесия по Нэшу определяется в терминах смешанные стратегии, где игроки выбирают распределение вероятностей по возможным действиям (а не выбирают детерминированное действие, которое должно быть выполнено с уверенностью). Понятие равновесия смешанной стратегии было введено Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн в их книге 1944 года Теория игр и экономического поведения. Однако их анализ ограничился частным случаем с нулевой суммой игры. Они показали, что равновесие по Нэшу со смешанной стратегией будет существовать для любой игры с нулевой суммой с конечным набором действий.^[12] Вклад Нэша в его статье 1951 года «Некооперативные игры» состоял в том, чтобы определить равновесие Нэша смешанной стратегии для любой игры с конечным набором действий и доказать, что по крайней мере одно равновесие Нэша (смешанная стратегия) должно существовать в таком игра. Ключ к способности Нэша доказать существование в более широком смысле, чем фон Нейман, лежит в его определении равновесия. Согласно Нэшу, «точка равновесия - это набор из n таких, что смешанная стратегия каждого игрока максимизирует его выигрыш, если стратегии других остаются фиксированными. Таким образом, стратегия каждого игрока является оптимальной по сравнению со стратегиями других». Простая постановка проблемы в эту структуру позволила Нэшу использовать Теорема Какутани о неподвижной точке в его статье 1950 г. и в ее варианте в статье 1951 г. Теорема Брауэра о неподвижной точке доказать, что должен существовать, по крайней мере, один профиль смешанной стратегии, который отображается обратно в себя для игр с конечным числом игроков (не обязательно с нулевой суммой); а именно, профиль стратегии, который не требовал изменения стратегий, которые могли бы улучшить отдачу.^[13]

С момента разработки концепции равновесия по Нэшу теоретики игр обнаружили, что при определенных обстоятельствах она дает неверные прогнозы (или не дает однозначного прогноза). Они предложили много родственных концепции решения (также называемые «уточнениями» равновесия Нэша), предназначенные для преодоления кажущихся недостатков в концепции Нэша. Одна особенно важная проблема заключается в том, что некоторое равновесие по Нэшу может быть основано на угрозах, которые не соответствуют действительности.заслуживающий доверия '. В 1965 г. Райнхард Зельтен предложенный подигра идеальное равновесие как уточнение, устраняющее равновесия, зависящие от неправдоподобные угрозы. Другие расширения концепции равновесия по Нэшу обращаются к тому, что происходит, если игра повторяется, или что произойдет, если игра будет проходить в отсутствие полной информации. Однако последующие уточнения и расширения равновесия по Нэшу разделяют основную идею, на которой основана концепция Нэша: равновесие - это набор стратегий, так что стратегия каждого игрока является оптимальной с учетом выбора других.

Определения

Равновесие по Нэшу

Неформально профиль стратегии - это равновесие по Нэшу, если ни один игрок не может добиться большего, односторонне меняя свою стратегию. Чтобы понять, что это означает, представьте, что каждому игроку рассказывают стратегии других. Предположим, что каждый игрок спрашивает себя: «Зная стратегии других игроков и рассматривая стратегии других игроков как высеченные в камне, могу ли я извлечь выгоду, изменив свою стратегию?»

Если любой игрок мог ответить «да», то этот набор стратегий не является равновесием по Нэшу. Но если каждый игрок предпочитает не переключаться (или ему безразлично, переключаться или нет), тогда профиль стратегии представляет собой равновесие по Нэшу. Таким образом, каждая стратегия в равновесии по Нэшу является лучший ответ ко всем другим стратегиям в этом равновесии.^[14]

Равновесие Нэша иногда может показаться нерациональным с точки зрения третьего лица. Это потому, что равновесие по Нэшу не обязательно Оптимальный по Парето.

Равновесие по Нэшу также может иметь нерациональные последствия в последовательные игры потому что игроки могут «угрожать» друг другу нерациональными ходами. Для таких игр подигра идеальное равновесие по Нэшу может быть более значимым как инструмент анализа.

Строгое / слабое равновесие

Предположим, что в равновесии по Нэшу каждый игрок спрашивает себя: «Зная стратегии других игроков и рассматривая стратегии других игроков как высеченные в камне, понесу ли я убытки, изменив свою стратегию?»

Если каждый игрок отвечает «Да», то равновесие классифицируется как строгое равновесие по Нэшу.^[15]

Если вместо этого для некоторого игрока существует точное равенство между стратегией в равновесии по Нэшу и какой-либо другой стратегией, которая дает точно такую ​​же выплату (т.е. этому игроку безразлично переключение или нет), то равновесие классифицируется как слабое равновесие по Нэшу.

В игре может быть чистая стратегия или смешанная стратегия Равновесие по Нэшу. (В последнем случае выбрана чистая стратегия стохастически с фиксированной вероятность ).

Теорема существования Нэша

Нэш доказал, что если смешанные стратегии (где игрок выбирает вероятности использования различных чистых стратегий) разрешены, то каждая игра с конечным числом игроков, в которой каждый игрок может выбирать из конечного числа чистых стратегий, имеет по крайней мере одно равновесие по Нэшу, которое может быть чистой стратегией для каждого player или может быть распределением вероятностей по стратегиям для каждого игрока.

Равновесия по Нэшу могут не существовать, если набор вариантов бесконечен и некомпактен. Примером является игра, в которой два игрока одновременно называют число, и игрок, назвавший большее число, выигрывает. Другой пример: каждый из двух игроков выбирает действительное число строго меньше 5, и побеждает тот, у кого наибольшее число; не существует наибольшего числа, строго меньшего, чем 5 (если бы это число могло равняться 5, в равновесии Нэша оба игрока выбрали бы 5 и сыграли вничью). Однако равновесие по Нэшу существует, если набор вариантов компактный при этом выигрыш каждого игрока непрерывен в стратегиях всех игроков.^[16]

Примеры

Координационная игра

В координационная игра это классика (симметричный ) два игрока, два стратегия игра, с примером матрица выплат показано справа. Таким образом, игроки должны координировать свои действия, принимая стратегию А, чтобы получить наибольшую выгоду; т.е. 4. Если оба игрока выбрали стратегию B, равновесие по Нэшу по-прежнему сохраняется. Хотя каждому игроку присуждается выигрыш меньше оптимального, ни один из игроков не имеет стимула менять стратегию из-за уменьшения немедленной выплаты (с 2 до 1).

Известный пример такого типа игры получил название охота на оленей; в игре два игрока могут выбрать охоту на оленя или кролика, причем первый дает больше мяса (4 единицы полезности), чем второй (1 единица полезности). Предостережение заключается в том, что на оленя нужно охотиться совместно, поэтому, если один игрок попытается охотиться на оленя, а другой - на кролика, он / она потерпят неудачу в охоте (0 вспомогательных единиц), тогда как если они оба охотятся на него, они разделятся выигрыш (2, 2). Таким образом, игра демонстрирует два состояния равновесия: (олень, олень) и (кролик, кролик), и, следовательно, оптимальная стратегия игроков зависит от их ожиданий от того, что может сделать другой игрок. Если один охотник полагает, что другой будет охотиться на оленя, он должен охотиться на оленя; однако, если они подозревают, что другой будет охотиться на кролика, им следует охотиться на кролика. Эта игра использовалась в качестве аналогии для социального сотрудничества, поскольку большая часть выгоды, которую люди получают в обществе, зависит от людей, которые сотрудничают и безоговорочно доверяют друг другу свои действия, соответствующие сотрудничеству.

Другой пример координационной игры - ситуация, когда две технологии доступны двум фирмам с сопоставимыми продуктами, и они должны выбрать стратегию, чтобы стать стандартом рынка. Если обе фирмы согласятся с выбранной технологией, ожидается, что обе фирмы будут иметь высокие продажи. Если фирмы не согласятся на стандартную технологию, результат будет немного. Обе стратегии являются равновесием по Нэшу в игре.

Вождение по дороге против встречной машины и необходимость выбора поворота слева или справа от дороги - это также игра на координацию. Например, с выплатами 10, означающими отсутствие сбоев, и 0, означающими сбой, координационная игра может быть определена с помощью следующей матрицы выплат:

В этом случае есть два равновесия по Нэшу чистой стратегии, когда оба выбирают движение либо налево, либо направо. Если мы допустим смешанные стратегии (где чистая стратегия выбирается случайным образом с некоторой фиксированной вероятностью), тогда для одного и того же случая существует три равновесия по Нэшу: два мы видели из формы чистой стратегии, где вероятности равны (0%, 100%) для первого игрока (0%, 100%) для второго игрока; и (100%, 0%) для игрока 1, (100%, 0%) для игрока 2 соответственно. Мы добавляем еще один, где вероятности для каждого игрока (50%, 50%).

Дилемма заключенного

Представьте себе двух заключенных, содержащихся в разных камерах, допрашиваемых одновременно и предлагающих сделки (более мягкие сроки заключения) за предательство своего товарища-преступника. Они могут «сотрудничать» (с другим заключенным), не доносить, или «отступать», предавая другого. Однако есть загвоздка; если оба игрока дезертируют, то они оба отбывают наказание дольше, чем если бы ни один из них ничего не сказал. Более низкие сроки тюремного заключения интерпретируются как более высокие выплаты (показаны в таблице).

Дилемма заключенного имеет матрицу, аналогичную изображенной для координационной игры, но максимальное вознаграждение для каждого игрока (в данном случае минимальный проигрыш 0) получается только тогда, когда решения игроков различны. Каждый игрок улучшает свою ситуацию, переходя от «сотрудничества» к «отступлению», зная, что лучший выбор другого игрока - «сбежать». Таким образом, дилемма заключенного имеет единственное равновесие по Нэшу: оба игрока предпочитают дезертировать.

Что давно сделало этот случай интересным для изучения, так это тот факт, что этот сценарий в глобальном масштабе уступает сценарию «оба сотрудничают». То есть обоим игрокам было бы лучше, если бы они оба предпочли «сотрудничать», а не отступить. Однако каждый игрок может улучшить свою ситуацию, нарушив взаимное сотрудничество, независимо от того, как другой игрок возможно (или обязательно) изменит свое решение.

Сетевой трафик

Пример сетевого графика. Значения на краях - это время прохождения «автомобиля» по краю. Икс количество автомобилей, проезжающих через этот край.

Применение равновесия Нэша заключается в определении ожидаемого потока трафика в сети. Рассмотрим график справа. Если предположить, что есть Икс «автомобили» едут из пункта A в пункт D. Каково ожидаемое распределение трафика в сети?

Эту ситуацию можно смоделировать как «игру», в которой у каждого путешественника есть выбор из 3 стратегий, каждая из которых представляет собой маршрут от A до D (либо ABD, ABCD, или ACD). «Результатом» каждой стратегии является время прохождения каждого маршрута. На графике справа автомобиль едет через ABD переживает время путешествия (1+Икс/100)+2, где Икс это количество машин, движущихся по краю AB. Таким образом, выплаты по любой данной стратегии, как обычно, зависят от выбора других игроков. Однако цель в этом случае - минимизировать время в пути, а не максимизировать его. Равновесие наступит, когда время на всех путях будет одинаковым. Когда это происходит, ни у одного водителя нет стимула менять маршрут, поскольку это может только увеличить время в пути. Для графика справа, если, например, 100 автомобилей едут из пункта A в пункт D, то равновесие наступит, когда 25 водителей едут через ABD, 50 через ABCDи 25 через ACD. Теперь у каждого водителя есть общее время в пути 3,75 (чтобы увидеть это, обратите внимание, что всего 75 автомобилей проезжают мимо. AB край, и 75 автомобилей занимают компакт диск край).

Обратите внимание, что это распределение на самом деле не является оптимальным с социальной точки зрения. Если 100 автомобилей согласятся, что 50 едут через ABD а остальные 50 через ACD, то время в пути для любой отдельной машины фактически составит 3,5, что меньше 3,75. Это также равновесие по Нэшу, если путь между B и C удален, что означает, что добавление другого возможного маршрута может снизить эффективность системы, явление, известное как Парадокс Браесса.

Соревновательная игра

Это можно проиллюстрировать игрой для двух игроков, в которой оба игрока одновременно выбирают целое число от 0 до 3 и оба выигрывают в очках меньшее из двух чисел. Кроме того, если один игрок выбирает большее число, чем другой, он должен отдать два очка другому.

В этой игре используется уникальное равновесие по Нэшу в чистой стратегии: оба игрока выбирают 0 (выделено светло-красным). Любую другую стратегию можно улучшить, изменив количество игроков на единицу меньше, чем у другого игрока. В соседней таблице, если игра начинается с зеленого квадрата, игрок 1 заинтересован в переходе к фиолетовому квадрату, а игрок 2 - к синему квадрату. Хотя это не соответствует определению соревновательной игры, если игра модифицирована так, что два игрока выигрывают указанную сумму, если они оба выбирают одно и то же число, а в противном случае ничего не выигрывают, то имеется 4 равновесия по Нэшу: (0,0 ), (1,1), (2,2) и (3,3).

Равновесия по Нэшу в матрице выигрыша

Существует простой численный способ определить равновесие по Нэшу на матрице выигрыша. Это особенно полезно в играх для двух человек, когда у игроков более двух стратегий. В этом случае формальный анализ может затянуться. Это правило не распространяется на случай, когда интересны смешанные (стохастические) стратегии. Правило выглядит следующим образом: если первое число выплат в паре выплат ячейки является максимумом столбца ячейки, а второе число является максимумом строки ячейки - тогда ячейка представляет собой ячейку Нэша. равновесие.

Мы можем применить это правило к матрице 3 × 3:

Используя это правило, мы можем очень быстро (намного быстрее, чем при формальном анализе) увидеть, что ячейками равновесия Нэша являются (B, A), (A, B) и (C, C). Действительно, для ячейки (B, A) 40 - максимум первого столбца, а 25 - максимум второй строки. Для (A, B) 25 - максимум второго столбца, а 40 - максимум первой строки. То же самое для ячейки (C, C). Для других ячеек один или оба члена дуплета не являются максимальными из соответствующих строк и столбцов.

При этом фактическая механика нахождения ячеек равновесия очевидна: найдите максимум столбца и проверьте, является ли второй член пары максимумом строки. Если эти условия соблюдены, ячейка представляет собой равновесие по Нэшу. Отметьте все столбцы таким образом, чтобы найти все ячейки NE. Матрица N × N может иметь от 0 до N × N чистая стратегия Равновесия по Нэшу.

Стабильность

Концепция чего-либо стабильность, полезный для анализа многих видов равновесий, также может быть применен к равновесиям Нэша.

Равновесие по Нэшу для игры со смешанной стратегией является устойчивым, если небольшое изменение (в частности, бесконечно малое изменение) вероятностей для одного игрока приводит к ситуации, когда выполняются два условия:

1. у игрока, который не изменился, нет лучшей стратегии в новых обстоятельствах
2. игрок, который действительно изменился, теперь играет по строго худшей стратегии.

Если оба эти случая соблюдены, то игрок с небольшим изменением своей смешанной стратегии немедленно вернется к равновесию по Нэшу. Равновесие называется устойчивым. Если условие 1 не выполняется, то равновесие неустойчиво. Если выполняется только одно условие, то, вероятно, будет бесконечное количество оптимальных стратегий для изменившегося игрока.

В приведенном выше примере с «гоночной игрой» есть как стабильное, так и нестабильное равновесие. Равновесия, включающие смешанные стратегии со 100% вероятностями, устойчивы. Если один из игроков немного изменит свои вероятности, они оба окажутся в невыгодном положении, и у их оппонента не будет причин менять свою стратегию по очереди. Равновесие (50%, 50%) неустойчиво. Если любой из игроков изменит свои вероятности (что не принесет пользы и не повредит ожидание игрока, сделавшего изменение, если смешанная стратегия другого игрока по-прежнему (50%, 50%)), то у другого игрока сразу же есть лучшая стратегия либо (0%, 100%), либо (100%, 0%). ).

Стабильность имеет решающее значение в практических приложениях равновесия по Нэшу, поскольку смешанная стратегия каждого игрока не совсем известна, но ее следует выводить из статистического распределения их действий в игре. В этом случае очень маловероятно, что на практике возникнет нестабильное равновесие, поскольку любое незначительное изменение пропорций каждой увиденной стратегии приведет к изменению стратегии и нарушению равновесия.

Равновесие по Нэшу определяет стабильность только с точки зрения односторонних отклонений. В кооперативных играх такая концепция недостаточно убедительна. Сильное равновесие по Нэшу допускает отклонения со стороны любой мыслимой коалиции.^[17] Формально сильное равновесие по Нэшу - это равновесие по Нэшу, в котором никакая коалиция, принимая действия своих дополнений как данность, не может совместно отклоняться таким образом, чтобы это приносило пользу всем ее членам.^[18] Однако сильная концепция Нэша иногда воспринимается как слишком «сильная» в том смысле, что среда допускает неограниченное личное общение. Фактически, сильное равновесие по Нэшу должно быть Парето эффективный. В результате этих требований сильный Нэш слишком редок, чтобы быть полезным во многих областях теории игр. Однако в играх, таких как выборы, с гораздо большим количеством игроков, чем возможных исходов, это может быть более распространенным, чем стабильное равновесие.

Уточненное равновесие по Нэшу, известное как коалиционное равновесие по Нэшу (CPNE)^[17] происходит, когда игроки не могут добиться большего успеха, даже если им разрешено общаться и заключать «принудительное» соглашение об отклонении. Каждая коррелированная стратегия поддерживается повторное строгое доминирование и на Граница Парето является CPNE.^[19] Кроме того, игра может иметь равновесие по Нэшу, устойчивое к коалициям, меньшим, чем заданный размер k. CPNE относится к теория ядра.

Наконец, в восьмидесятые годы такие идеи стали глубже развиваться. Устойчивые по Мертенсу равновесия были представлены как концепция решения. Устойчивые равновесия Мертенса удовлетворяют обоим прямая индукция и обратная индукция. В теория игры контекст стабильные равновесия теперь обычно относятся к устойчивым равновесиям Мертенса.

Вхождение

Если в игре есть уникальный Равновесие по Нэшу и игра между игроками при определенных условиях, тогда будет принят набор стратегии NE. Достаточными условиями, гарантирующими соблюдение равновесия по Нэшу, являются:

1. Все игроки сделают все возможное, чтобы максимизировать ожидаемый выигрыш, как описано в игре.
2. Игроки безупречны в исполнении.
3. У игроков достаточно ума, чтобы найти решение.
4. Игроки знают запланированную стратегию равновесия всех остальных игроков.
5. Игроки считают, что отклонение от их собственной стратегии не вызовет отклонений со стороны других игроков.
6. Есть всем известный факт что все игроки соответствуют этим условиям, в том числе и это. Таким образом, каждый игрок должен не только знать, что другие игроки соответствуют условиям, но также они должны знать, что все они знают, что они встречают их, и что они знают, что они знают, что они встречают их, и так далее.

Где условия не выполняются

Примеры теория игры проблемы, при которых эти условия не выполняются:

1. Первое условие не выполняется, если игра неправильно описывает количества, которые игрок хочет максимизировать. В этом случае у этого игрока нет особых причин для принятия стратегии равновесия. Например, дилемма заключенного не является дилеммой, если любой из игроков счастлив быть заключенным в тюрьму на неопределенный срок.
2. Умышленное или случайное несовершенство исполнения. Например, компьютер, способный к безупречной логической игре, столкнувшись со вторым безупречным компьютером, приведет к равновесию. Введение несовершенства приведет к его нарушению либо из-за проигрыша игроку, допустившему ошибку, либо из-за отрицания всем известный факт критерий, ведущий к возможной победе игрока. (Примером может служить игрок, внезапно включивший задний ход в игра с курицей, гарантируя сценарий без потерь без выигрыша).
3. Во многих случаях третье условие не выполняется, потому что, хотя равновесие должно существовать, оно неизвестно из-за сложности игры, например, в китайские шахматы.^[20] Или, если известно, это может быть известно не всем игрокам, как при игре крестики-нолики с маленьким ребенком, который отчаянно хочет выиграть (соответствует другим критериям).
4. Критерий общеизвестности может не соблюдаться, даже если все игроки фактически соответствуют всем остальным критериям. Игроки, ошибочно не доверяющие рациональности друг друга, могут принять контр-стратегии против ожидаемой иррациональной игры от имени своих противников. Это главное соображение в "курица "или гонка вооружений, Например.

Где выполняются условия

В его докторской степени. В своей диссертации Джон Нэш предложил две интерпретации своей концепции равновесия с целью показать, как точки равновесия могут быть связаны с наблюдаемым явлением.

(...) Одна интерпретация является рационалистической: если мы предположим, что игроки рациональны, знают полную структуру игры, игра проводится только один раз и есть только одно равновесие по Нэшу, то игроки будут играть в соответствии с этим равновесием..

Эта идея была формализована Aumann, R. и A. Brandenburger, 1995, Эпистемические условия равновесия по Нэшу, Econometrica, 63, 1161-1180, которые интерпретировали смешанную стратегию каждого игрока как гипотезу о поведении других игроков и показали, что если игра и рациональность игроков взаимно известны и эти предположения общеизвестны, то предположения должны быть равновесие по Нэшу (общее предварительное предположение необходимо для этого результата в целом, но не в случае двух игроков. В этом случае гипотезы должны быть известны только друг другу).

Вторая интерпретация, которую Нэш называет интерпретацией массовых действий, менее требовательна к игрокам:

[i] Нет необходимости предполагать, что участники обладают полным знанием общей структуры игры или способностью и склонностью к прохождению каких-либо сложных процессов рассуждения. Предполагается, что для каждой позиции в игре существует группа участников, в которую на протяжении всего времени будут играть участники, выбранные случайным образом из разных популяций. Если есть стабильная средняя частота, с которой каждая чистая стратегия используется средний член соответствующей популяции, то эта стабильная средняя частота составляет равновесие по Нэшу смешанной стратегии.

Для формального результата в этом направлении см. Kuhn, H. and et al., 1996, "The Work of John Nash in Game Theory", Журнал экономической теории, 69, 153–185.

Из-за ограниченных условий, в которых фактически можно наблюдать NE, они редко рассматриваются как руководство к повседневному поведению или наблюдаются на практике в человеческих переговорах. Однако как теоретическая концепция в экономика и эволюционная биология, NE имеет объяснительную силу. Вознаграждение в экономике - это полезность (или иногда деньги), а в эволюционной биологии - передача генов; и то, и другое - основа выживания. Исследователи, применяющие теорию игр в этих областях, утверждают, что стратегии, не способные максимизировать их по какой-либо причине, будут вытеснены из рынка или окружающей среды, которым приписывается способность проверять все стратегии. Этот вывод сделан из "стабильность "теория выше. В этих ситуациях предположение о том, что наблюдаемая стратегия на самом деле является NE, часто подтверждается исследованиями.^[21]

NE и ненадежные угрозы

Иллюстрации в развернутой и нормальной форме, показывающие разницу между SPNE и другими сетевыми элементами. Синее равновесие не является совершенным, потому что второй игрок делает недостоверную угрозу в 2 (2), чтобы быть недобрым (U).

Равновесие по Нэшу - это надмножество совершенного равновесия по подыгре. Совершенное равновесие подигры в дополнение к равновесию Нэша требует, чтобы стратегия также была равновесием Нэша в каждой подигре этой игры. Это устраняет все неправдоподобные угрозы, то есть стратегии, которые содержат нерациональные ходы, чтобы заставить контр-игрока изменить свою стратегию.

На изображении справа показана простая последовательная игра, которая иллюстрирует проблему несовершенных равновесий Нэша в подиграх. В этой игре игрок выбирает влево (L) или вправо (R), за которым следует второй игрок, которого призывают проявить доброту (K) или недоброжелательность (U) по отношению к первому игроку. Однако второй игрок только выиграет, если будет неприятно, если первый игрок уйдет влево. Если первый игрок пойдет правильно, второй рациональный игрок де-факто будет добр к нему / ему в этой подигре. Тем не менее, неправдоподобная угроза недобрости в 2 (2) все еще является частью синего (L, (U, U)) равновесия по Нэшу. Следовательно, если обе стороны могут ожидать рационального поведения, идеальное равновесие по Нэшу может быть более значимой концепцией решения, когда такое динамические несоответствия возникают.

Доказательство существования

Доказательство с использованием теоремы Какутани о неподвижной точке

Первоначальное доказательство Нэша (в его диссертации) использовало теорему Брауэра о неподвижной точке (например, вариант см. Ниже). Мы даем более простое доказательство с помощью теоремы Какутани о неподвижной точке, следуя статье Нэша 1950 г. Дэвид Гейл с замечанием, что такое упрощение возможно).

Чтобы доказать существование равновесия по Нэшу, пусть ${ displaystyle r_ {я} ( sigma _ {- i})}$ быть лучшим ответом игрока i на стратегии всех остальных игроков.

${ displaystyle r_ {i} ( sigma _ {- i}) = mathop { underset { sigma _ {i}} { operatorname {arg , max}}} u_ {i} ( sigma _ { i}, sigma _ {- i})}$

Вот, ${ displaystyle sigma in Sigma}$, где ${ Displaystyle Sigma = Sigma _ {я} раз Sigma _ {- я}}$, - профиль смешанной стратегии во множестве всех смешанных стратегий и ${ displaystyle u_ {i}}$ - функция выигрыша для игрока i. Определить многозначная функция ${ Displaystyle г двоеточие Sigma rightarrow 2 ^ { Sigma}}$ такой, что ${ Displaystyle г = г_ {я} ( сигма _ {- я}) раз г _ {- я} ( сигма _ {я})}$. Существование равновесия по Нэшу эквивалентно ${ displaystyle r}$ с фиксированной точкой.

Теорема Какутани о неподвижной точке гарантирует существование неподвижной точки, если выполняются следующие четыре условия.

1. ${ displaystyle Sigma}$ компактно, выпукло и непусто.
2. ${ Displaystyle г ( сигма)}$ непусто.
3. ${ Displaystyle г ( сигма)}$ является верхний полунепрерывный
4. ${ Displaystyle г ( сигма)}$ выпуклый.

Условие 1. выполняется в силу того, что ${ displaystyle Sigma}$ является симплексом и поэтому компактным. Выпуклость следует из способности игроков смешивать стратегии. ${ displaystyle Sigma}$ непусто, пока у игроков есть стратегии.

Условия 2 и 3 выполняются по формуле Берже максимальная теорема. Потому что ${ displaystyle u_ {i}}$ сплошной и компактный, ${ Displaystyle г ( сигма _ {я})}$ не пусто и верхний полунепрерывный.

Условие 4. выполняется в результате смешанных стратегий. Предположим ${ displaystyle sigma _ {i}, sigma '_ {i} in r ( sigma _ {- i})}$, тогда ${ Displaystyle лямбда сигма _ {я} + (1- лямбда) сигма '_ {я} in г ( сигма _ {- я})}$. то есть, если две стратегии максимизируют выплаты, то сочетание этих двух стратегий даст одинаковый результат.

Следовательно, существует неподвижная точка в ${ displaystyle r}$ и равновесие по Нэшу.^[22]

Когда Нэш указал на это Джон фон Нейман в 1949 году фон Нейман, как известно, отверг это, сказав: «Знаете, это тривиально. теорема о неподвижной точке. »(См. Nasar, 1998, стр. 94).

Альтернативное доказательство с использованием Теорема Брауэра о неподвижной точке

У нас есть игра ${ Displaystyle G = (N, A, u)}$ где ${ displaystyle N}$ количество игроков и ${ Displaystyle А = А_ {1} раз cdots раз А_ {N}}$ - действие, установленное для игроков. Все наборы действий ${ displaystyle A_ {i}}$ конечны. Позволять ${ displaystyle Delta = Delta _ {1} times cdots times Delta _ {N}}$ обозначим множество смешанных стратегий игроков. Конечность ${ displaystyle A_ {i}}$s обеспечивает компактность ${ displaystyle Delta}$.

Теперь мы можем определить функции усиления. Для смешанной стратегии ${ displaystyle sigma in Delta}$, мы позволяем выигрышу для игрока ${ displaystyle i}$ по действию ${ displaystyle a in A_ {i}}$ быть

${ displaystyle { text {Gain}} _ {i} ( sigma, a) = max {0, u_ {i} (a, sigma _ {- i}) - u_ {i} ( sigma _ {i}, sigma _ {- i}) }.}$

Функция выигрыша представляет собой выгоду, которую получает игрок, изменяя свою стратегию в одностороннем порядке. Теперь определим ${ displaystyle g = (g_ {1}, dotsc, g_ {N})}$ где

${ displaystyle g_ {i} ( sigma) (a) = sigma _ {i} (a) + { text {Gain}} _ {i} ( sigma, a)}$

для ${ displaystyle sigma in Delta, a in A_ {i}}$. Мы видим, что

${ displaystyle sum _ {a in A_ {i}} g_ {i} ( sigma) (a) = sum _ {a in A_ {i}} sigma _ {i} (a) + { text {Gain}} _ {i} ( sigma, a) = 1 + sum _ {a in A_ {i}} { text {Gain}} _ {i} ( sigma, a)> 0 .}$

Далее мы определяем:

${ displaystyle { begin {case} f = (f_ {1}, cdots, f_ {N}): Delta to Delta f_ {i} ( sigma) (a) = { frac { g_ {i} ( sigma) (a)} { sum _ {b in A_ {i}} g_ {i} ( sigma) (b)}} & a in A_ {i} end {case} }}$

Легко видеть, что каждый ${ displaystyle f_ {i}}$ является допустимой смешанной стратегией в ${ displaystyle Delta _ {i}}$. Также легко проверить, что каждый ${ displaystyle f_ {i}}$ является непрерывной функцией ${ displaystyle sigma}$, и, следовательно ${ displaystyle f}$ является непрерывной функцией. Как произведение конечного числа компактных выпуклых множеств, ${ displaystyle Delta}$ также компактный и выпуклый. Применяя теорему Брауэра о неподвижной точке к ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle Delta}$ мы заключаем, что ${ displaystyle f}$ имеет фиксированную точку в ${ displaystyle Delta}$, назови это ${ Displaystyle sigma ^ {*}}$. Мы утверждаем, что ${ displaystyle sigma ^ {*}}$ является равновесием по Нэшу в ${ displaystyle G}$. Для этого достаточно показать, что

${ displaystyle forall i in {1, cdots, N }, forall a in A_ {i}: quad { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, а) = 0.}$

Это просто означает, что каждый игрок не получает никакой выгоды от одностороннего изменения своей стратегии, что является в точности необходимым условием равновесия по Нэшу.

Теперь предположим, что не все выигрыши равны нулю. Следовательно, ${ Displaystyle существует я в {1, cdots, N },}$ и ${ displaystyle a in A_ {i}}$ такой, что ${ displaystyle { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, a)> 0}$. Обратите внимание, что

${ displaystyle sum _ {a in A_ {i}} g_ {i} ( sigma ^ {*}, a) = 1 + sum _ {a in A_ {i}} { text {Gain} } _ {i} ( sigma ^ {*}, a)> 1.}$

Так что давайте

${ displaystyle C = sum _ {a in A_ {i}} g_ {i} ( sigma ^ {*}, a).}$

Также обозначим ${ displaystyle { text {Gain}} (я, cdot)}$ как вектор усиления, индексированный действиями в ${ displaystyle A_ {i}}$. поскольку ${ Displaystyle sigma ^ {*}}$ фиксированная точка:

${ displaystyle { begin {align} sigma ^ {*} = f ( sigma ^ {*}) & Rightarrow sigma _ {i} ^ {*} = f_ {i} ( sigma ^ {*} ) & Rightarrow sigma _ {i} ^ {*} = { frac {g_ {i} ( sigma ^ {*})} { sum _ {a in A_ {i}} g_ {i } ( sigma ^ {*}) (a)}} [6pt] & Rightarrow sigma _ {i} ^ {*} = { frac {1} {C}} left ( sigma _ { i} ^ {*} + { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, cdot) right) [6pt] & Rightarrow C sigma _ {i} ^ {* } = sigma _ {i} ^ {*} + { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, cdot) & Rightarrow left (C-1 right) sigma _ {i} ^ {*} = { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, cdot) & Rightarrow sigma _ {i} ^ {*} = left ({ frac {1} {C-1}} right) { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, cdot). end {выравнивается}}}$

поскольку ${ displaystyle C> 1}$ у нас есть это ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {*}}$ некоторое положительное масштабирование вектора ${ displaystyle { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, cdot)}$. Теперь мы утверждаем, что

${ displaystyle forall a in A_ {i}: quad sigma _ {i} ^ {*} (a) (u_ {i} (a_ {i}, sigma _ {- i} ^ {*}) ) -u_ {i} ( sigma _ {i} ^ {*}, sigma _ {- i} ^ {*})) = sigma _ {i} ^ {*} (a) { text {Усиление }} _ {i} ( sigma ^ {*}, а)}$

Чтобы убедиться в этом, сначала отметим, что если ${ displaystyle { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, a)> 0}$ тогда это верно по определению функции усиления. Теперь предположим, что ${ displaystyle { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, a) = 0}$. Согласно нашим предыдущим утверждениям, мы имеем

${ displaystyle sigma _ {i} ^ {*} (a) = left ({ frac {1} {C-1}} right) { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, а) = 0}$

и поэтому левый член равен нулю, что дает нам, что все выражение ${ displaystyle 0}$ по мере необходимости.

Итак, у нас наконец есть это

${ displaystyle { begin {align} 0 & = u_ {i} ( sigma _ {i} ^ {*}, sigma _ {- i} ^ {*}) - u_ {i} ( sigma _ {i } ^ {*}, sigma _ {- i} ^ {*}) & = left ( sum _ {a in A_ {i}} sigma _ {i} ^ {*} (а) u_ {i} (a_ {i}, sigma _ {- i} ^ {*}) right) -u_ {i} ( sigma _ {i} ^ {*}, sigma _ {- i} ^ {*}) & = sum _ {a in A_ {i}} sigma _ {i} ^ {*} (a) (u_ {i} (a_ {i}, sigma _ {- i } ^ {*}) - u_ {i} ( sigma _ {i} ^ {*}, sigma _ {- i} ^ {*})) & = sum _ {a in A_ {i }} sigma _ {i} ^ {*} (a) { text {Gain}} _ {i} ( sigma ^ {*}, a) && { text {по предыдущим утверждениям}} & = sum _ {a in A_ {i}} left (C-1 right) sigma _ {i} ^ {*} (a) ^ {2}> 0 end {выровнено}}}$

где последнее неравенство следует, поскольку ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {*}}$ - ненулевой вектор. Но это явное противоречие, поэтому все выигрыши действительно должны быть нулевыми. Следовательно, ${ Displaystyle sigma ^ {*}}$ является равновесием по Нэшу для ${ displaystyle G}$ по мере необходимости.

Вычисление равновесия по Нэшу

Если у игрока А есть доминирующая стратегия ${ displaystyle s_ {A}}$ тогда существует равновесие по Нэшу, в котором A играет ${ displaystyle s_ {A}}$. В случае двух игроков A и B существует равновесие по Нэшу, в котором A играет ${ displaystyle s_ {A}}$ и B лучше всего реагирует на ${ displaystyle s_ {A}}$. Если ${ displaystyle s_ {A}}$ строго доминирующая стратегия, A играет ${ displaystyle s_ {A}}$ во всех равновесиях по Нэшу. Если и A, и B имеют строго доминирующие стратегии, существует уникальное равновесие по Нэшу, в котором каждый играет свою строго доминирующую стратегию.

В играх со смешанными стратегиями равновесия по Нэшу вероятность того, что игрок выберет какую-либо конкретную (настолько чистую) стратегию, может быть вычислена путем присвоения переменной каждой стратегии, которая представляет фиксированную вероятность выбора этой стратегии. Для того чтобы игрок был готов к случайному выбору, его ожидаемый выигрыш для каждой (чистой) стратегии должен быть одинаковым. Кроме того, сумма вероятностей для каждой стратегии конкретного игрока должна быть 1. Это создает систему уравнений, из которых могут быть выведены вероятности выбора каждой стратегии.^[14]

Примеры

В игре на совпадение пенни игрок A теряет очко перед B, если A и B используют одну и ту же стратегию, и получает очко у B, если они используют разные стратегии. Чтобы вычислить равновесие по Нэшу для смешанной стратегии, присвойте A вероятность п игры H и (1−п) игры T и присвоить B вероятность q игры H и (1−q) игры Т.

E [выигрыш за игру A H] = (−1)q + (+1)(1−q) = 1−2q

E [выигрыш за игру A T] = (+1)q + (−1)(1−q) = 2q−1

E [выигрыш за игру A H] = E [выигрыш за игру A за T] ⇒ 1-2q = 2q−1 ⇒ q = 1/2

E [выигрыш для B, играющего H] = (+1)п + (−1)(1−п) = 2п−1

E [выигрыш за игру B T] = (−1)п + (+1)(1−п) = 1−2п

E [выигрыш для B, играющего H] = E [выигрыш для B, играющего T] ⇒ 2п−1 = 1−2п ⇒ п = 1/2

Таким образом, равновесие по Нэшу в смешанной стратегии в этой игре заключается в том, что каждый игрок случайным образом выбирает H или T с p = 1/2 и q = 1/2.

Смотрите также

Заметки

использованная литература

Учебники по теории игр

Оригинальные статьи Нэша

Прочие ссылки

внешние ссылки

• «Теорема Нэша (в теории игр)», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Полное доказательство существования равновесий по Нэшу
• Упрощенная форма и связанные результаты