Экспоненциальная функция - Exponential function

Естественная экспоненциальная функция

y = е Икс

Экспоненциальные функции с основанием 2 и 1/2

В математика, экспоненциальная функция это функция формы

{ Displaystyle е (х) = ab ^ {х},}

куда $б$ положительное действительное число, не равное 1, и аргумент $Икс$ встречается как показатель степени. Для реальных чисел $c$ и $d,$ функция формы ${ Displaystyle е (х) = ab ^ {cx + d}}$ также является экспоненциальной функцией, поскольку ее можно переписать как

{ displaystyle ab ^ {cx + d} = left (ab ^ {d} right) left (b ^ {c} right) ^ {x}.}

Как функции действительной переменной экспоненциальные функции однозначно характеризует тем, что скорость роста такой функции (т. е. ее производная ) является прямо пропорциональный к значению функции. Константа пропорциональности этого отношения - это натуральный логарифм базы $б$ :

{ displaystyle { frac {d} {dx}} b ^ {x} = b ^ {x} log _ {e} b.}

За $б > 1$ , функция ${ displaystyle b ^ {x}}$ увеличивается (как показано для $б = е$ и $б = 2$ ), потому что ${ displaystyle log _ {e} b> 0}$ делает производную всегда положительной; в то время как для $б < 1$ , функция убывает (как показано для $б = 1 / 2$ ); и для $б = 1$ функция постоянная.

Постоянная $е = 2.71828...$ - это единственное основание, для которого коэффициент пропорциональности равен 1, так что функция является собственной производной:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x} log _ {e} e = e ^ {x}.}

Эта функция, также обозначаемая как ${ Displaystyle ехр (х)}$ , называется "естественной экспоненциальной функцией",^[1]^[2]^[3] или просто «экспоненциальная функция». Поскольку любая экспоненциальная функция может быть записана в терминах естественной экспоненты как ${ displaystyle b ^ {x} = e ^ {x log _ {e} b}}$ , вычислительно и концептуально удобно свести изучение экспоненциальных функций к этому конкретному. Таким образом, естественная экспонента обозначается через

{ Displaystyle х mapsto е ^ {х}}

или же

{ displaystyle x mapsto exp x.}

Первое обозначение обычно используется для более простых показателей степени, а второе предпочтительнее, когда показатель степени является сложным выражением. В график из ${ Displaystyle у = е ^ {х}}$ имеет наклон вверх и увеличивается быстрее, чем $Икс$ увеличивается.^[4] График всегда лежит выше $Икс$ ось, но становится сколь угодно близкой к ней при больших отрицательных $Икс$ ; Таким образом $Икс$ - ось горизонтальная асимптота. Уравнение ${ displaystyle { tfrac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}}$ означает, что склон из касательная графику в каждой точке равен его $y$ -координировать в этой точке. Его обратная функция это натуральный логарифм, обозначенный ${ displaystyle log,}$ ^{[nb 1]} ${ displaystyle ln,}$ ^{[nb 2]} или же ${ displaystyle log _ {e};}$ из-за этого некоторые старые тексты^[5] называют экспоненциальную функцию антилогарифм.

Показательная функция удовлетворяет фундаментальному мультипликативному тождеству (которое может быть расширено до комплексный экспоненты):

{ Displaystyle е ^ {х + у} = е ^ {х} е ^ {у}}

для всех

{ displaystyle x, y in mathbb {R}.}

Можно показать, что любое непрерывное ненулевое решение функционального уравнения ${ Displaystyle е (х + у) = е (х) е (у)}$ - экспоненциальная функция, ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R}, x mapsto b ^ {x},}$ с ${ displaystyle b> 0.}$ Мультипликативное тождество вместе с определением ${ Displaystyle е = е ^ {1}}$ , показывает, что ${ displaystyle e ^ {n} = underbrace {e times cdots times e} _ {n { text {terms}}}}$ для положительных целых чисел $п$ , связывая экспоненциальную функцию с элементарным понятием возведения в степень.

Аргумент экспоненциальной функции может быть любым. настоящий или же комплексное число, или даже совершенно другой вид математический объект (например., матрица ).

Повсеместное появление экспоненциальной функции в чистый и Прикладная математика привел математика В. Рудин полагать, что экспоненциальная функция - «самая важная функция в математике».^[6] В применяемых настройках экспоненциальные функции моделируют взаимосвязь, в которой постоянное изменение независимой переменной дает такое же пропорциональное изменение (то есть процентное увеличение или уменьшение) зависимой переменной. Это широко применяется в естественных и социальных науках, например, в самовоспроизводящемся численность населения, накопительный фонд интерес, или растущий объем производственного опыта. Таким образом, экспоненциальная функция также появляется в различных контекстах внутри физика, химия, инженерное дело, математическая биология, и экономика.

Формальное определение

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых

п + 1

с точки зрения его степенного ряда (красным).

Действительная экспоненциальная функция ${ Displaystyle ехр двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ можно охарактеризовать множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенной ряд:^[6]^[7]

{ displaystyle exp x: = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + cdots}

Поскольку радиус схождения этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам $z \in ℂ$ (видеть § Комплексная плоскость для продления ${ Displaystyle ехр х}$ на комплексную плоскость). Постоянная $е$ тогда можно определить как ${ textstyle e = exp 1 = sum _ {k = 0} ^ { infty} (1 / k!).}$

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что ${ Displaystyle { гидроразрыва {d} {dx}} ехр х = ехр х}$ для всех реальных $Икс$ , что приводит к еще одной общей характеристике ${ Displaystyle ехр х}$ как уникальное решение дифференциальное уравнение

{ Displaystyle у '(х) = у (х),}

удовлетворяющий начальному условию ${ displaystyle y (0) = 1.}$

На основе этой характеристики Правило цепи показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм, удовлетворяет ${ Displaystyle (д / ду) ( журнал _ {е} у) = 1 / у}$ за ${ displaystyle y> 0,}$ или же ${ textstyle log _ {e} y = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.}$ Это соотношение приводит к менее распространенному определению реальной экспоненциальной функции ${ Displaystyle ехр х}$ как решение ${ displaystyle y}$ к уравнению

{ displaystyle x = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.}

Посредством биномиальная теорема и определение степенного ряда, экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:^[8]^[7]

{ displaystyle exp x = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}

Обзор

Красная кривая - экспоненциальная функция. Черные горизонтальные линии показывают, где он пересекает зеленые вертикальные линии.

Экспоненциальная функция возникает всякий раз, когда величина растет или же распадается по ставке пропорциональный к его текущему значению. Одна из таких ситуаций: непрерывно начисляемые проценты, и именно это наблюдение привело Джейкоб Бернулли в 1683 г.^[9] к номеру

{ displaystyle lim _ {n to infty} left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n}}

теперь известен как $е$ . Позже, в 1697 г., Иоганн Бернулли изучал исчисление экспоненциальной функции.^[9]

Если основная сумма 1 приносит проценты по годовой ставке $Икс$ начисляется ежемесячно, тогда ежемесячный доход составляет $Икс / 12$ умноженное на текущее значение, поэтому каждый месяц общее значение умножается на $(1 + Икс / 12)$ , а значение на конец года равно $(1 + Икс / 12) 12$ . Если вместо этого ежедневно начисляются проценты, это становится $(1 + Икс / 365) 365$ . Если позволить количеству временных интервалов в году неограниченно расти, то предел определение экспоненциальной функции,

{ displaystyle exp x = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}}

впервые данный Леонард Эйлер.^[8]Это один из многих характеристики экспоненциальной функции; другие включают серии или же дифференциальные уравнения.

Из любого из этих определений можно показать, что экспоненциальная функция подчиняется основным возведение в степень личность,

{ Displaystyle ехр (х + Y) = ехр х CDOT ехр у}

что оправдывает обозначение $е Икс$ за $exp Икс$ .

В производная (скорость изменения) экспоненциальной функции - это сама экспоненциальная функция. В более общем смысле, функция со скоростью изменения пропорциональный к самой функции (а не равной ей) выражается через экспоненциальную функцию. Это свойство функции приводит к экспоненциальный рост или же экспоненциальный спад.

Экспоненциальная функция продолжается до вся функция на комплексная плоскость. Формула Эйлера связывает свои ценности чисто воображаемыми аргументами с тригонометрические функции. У экспоненциальной функции также есть аналоги, для которых аргументом является матрица, или даже элемент Банахова алгебра или Алгебра Ли.

Производные и дифференциальные уравнения

Производная экспоненты равна значению функции. С любой точки

п

на кривой (синий) пусть касательная (красная) и вертикальная (зеленая) линия с высотой

час

быть нарисованным, образуя прямоугольный треугольник с основанием

б

на

Икс

-ось. Поскольку наклон красной касательной (производной) при

п

равна отношению высоты треугольника к основанию треугольника (подъем за пробегом), а производная равна значению функции,

час

должно быть равно отношению

час

к

б

. Следовательно, база б всегда должно быть 1.

Важность экспоненциальной функции в математике и науках проистекает главным образом из ее свойства как уникальной функции, которая равна ее производной и равна 1, когда $Икс = 0$ . То есть,

{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x} quad { text {and}} quad e ^ {0} = 1.}

Функции формы $ce Икс$ для постоянного $c$ являются единственными функциями, которые равны своей производной (по Теорема Пикара – Линделёфа ). Другие способы сказать то же самое:

Наклон графика в любой точке - это высота функции в этой точке.
Скорость увеличения функции при $Икс$ равно значению функции при $Икс$ .
Функция решает дифференциальное уравнение $y' = y$ .
$exp$ это фиксированная точка производной как функциональный.

Если скорость роста или убывания переменной равна пропорциональный к его размеру - как в случае неограниченного роста населения (см. Мальтузианская катастрофа ), непрерывно составляющий интерес, или же радиоактивный распад - тогда переменная может быть записана как постоянная, умноженная на экспоненциальную функцию времени. Явно для любой реальной константы $k$ , функция $ж : р \to р$ удовлетворяет $ж' = kf$ если и только если $ж (Икс) = ce kx$ для некоторой постоянной $c$ . Постоянная k называется постоянная распада, постоянная дезинтеграции,^[10] константа скорости,^[11] или же постоянная трансформации.^[12]

Кроме того, для любой дифференцируемой функции $ж (Икс)$ , мы находим по Правило цепи:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {f (x)} = f '(x) e ^ {f (x)}.}

Непрерывные дроби для $е Икс$

А непрерывная дробь за $е Икс$ можно получить через тождество Эйлера:

{ displaystyle e ^ {x} = 1 + { cfrac {x} {1 - { cfrac {x} {x + 2 - { cfrac {2x} {x + 3 - { cfrac {3x} {x) + 4- ddots}}}}}}}}}

Следующее обобщенная цепная дробь за $е z$ сходится быстрее:^[13]

{ Displaystyle е ^ {z} = 1 + { cfrac {2z} {2-z + { cfrac {z ^ {2}} {6 + { cfrac {z ^ {2}} {10 + { cfrac) {z ^ {2}} {14+ ddots}}}}}}}}}

или, применив замену $z = Икс / y$ :

{ Displaystyle е ^ { гидроразрыва {x} {y}} = 1 + { cfrac {2x} {2y-x + { cfrac {x ^ {2}} {6y + { cfrac {x ^ {2}} {10y + { cfrac {x ^ {2}} {14y + ddots}}}}}}}}}

со специальным футляром для $z = 2$ :

{ Displaystyle е ^ {2} = 1 + { cfrac {4} {0 + { cfrac {2 ^ {2}} {6 + { cfrac {2 ^ {2}} {10 + { cfrac { 2 ^ {2}} {14+ ddots ,}}}}}}}} = 7 + { cfrac {2} {5 + { cfrac {1} {7 + { cfrac {1} {9}) + { cfrac {1} {11+ ddots ,}}}}}}}}}

Эта формула также сходится, хотя и медленнее, для $z > 2$ . Например:

{ Displaystyle е ^ {3} = 1 + { cfrac {6} {- 1 + { cfrac {3 ^ {2}} {6 + { cfrac {3 ^ {2}} {10 + { cfrac) {3 ^ {2}} {14+ ddots ,}}}}}}}} = 13 + { cfrac {54} {7 + { cfrac {9} {14 + { cfrac {9} { 18 + { cfrac {9} {22+ ddots ,}}}}}}}}}

Комплексная плоскость

Экспоненциальная функция на комплексной плоскости. Переход от темных цветов к светлым показывает, что величина экспоненциальной функции увеличивается вправо. Периодические горизонтальные полосы показывают, что экспоненциальная функция равна периодический в мнимая часть своего аргумента.

Как в настоящий случае экспоненциальная функция может быть определена на комплексная плоскость в нескольких эквивалентных формах. Наиболее распространенное определение комплексной экспоненциальной функции соответствует определению степенного ряда для вещественных аргументов, где действительная переменная заменяется комплексной:

{ displaystyle exp z: = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k!}}}

В качестве альтернативы, комплексная экспоненциальная функция может быть определена путем моделирования определения предела для реальных аргументов, но с заменой реальной переменной на сложную:

{ displaystyle exp z: = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {z} {n}} right) ^ {n}}

Для определения степенного ряда, почленное умножение двух копий этого степенного ряда в Коши смысл, разрешенный Теорема Мертенса, показывает, что определяющее свойство мультипликативности экспоненциальных функций сохраняется для всех сложных аргументов:

{ Displaystyle ехр (вес + Z) = ехр ш ехр Z}

для всех

{ displaystyle w, z in mathbb {C}}

Определение комплексной экспоненциальной функции, в свою очередь, приводит к соответствующим определениям, расширяющим тригонометрические функции к сложным аргументам.

В частности, когда ${ displaystyle z = it}$ ( ${ displaystyle t}$ вещественный), определение ряда дает разложение

{ displaystyle exp (it) = left (1 - { frac {t ^ {2}} {2!}} + { frac {t ^ {4}} {4!}} - { frac { t ^ {6}} {6!}} + cdots right) + i left (t - { frac {t ^ {3}} {3!}} + { frac {t ^ {5}}) {5!}} - { frac {t ^ {7}} {7!}} + Cdots right).}

В этом разложении преобразование членов в действительную и мнимую части оправдывается абсолютной сходимостью ряда. Действительная и мнимая части этого выражения фактически соответствуют разложениям в ряд $потому что т$ и $грех т$ , соответственно.

Эта переписка дает мотивацию для определение косинус и синус для всех сложных аргументов в терминах ${ Displaystyle ехр ( PM iz)}$ и эквивалентный степенной ряд:^[14]

{ displaystyle { begin {align} cos z &: = { frac { exp (iz) + exp (-iz)} {2}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} ( -1) ^ {k} { frac {z ^ {2k}} {(2k)!}}, Quad { text {and}} sin z &: = { frac { exp (iz) - exp (-iz)} {2i}} = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} End {выровнены}}}

для всех ${ displaystyle z in mathbb {C}.}$

Функции $exp$ , $потому что$ , и $грех$ так определено иметь бесконечное радиусы схождения посредством тест соотношения и поэтому целые функции (т.е., голоморфный на ${ displaystyle mathbb {C}}$ ). Диапазон экспоненциальной функции ${ Displaystyle mathbb {C} setminus {0 }}$ , а диапазоны функций комплексного синуса и косинуса равны ${ displaystyle mathbb {C}}$ в целом, в соответствии с Теорема Пикарда, который утверждает, что диапазон непостоянной целой функции либо все ${ displaystyle mathbb {C}}$ , или же ${ displaystyle mathbb {C}}$ за исключением одного лакунарное значение.

Эти определения экспоненциальной и тригонометрической функций тривиально приводят к Формула Эйлера:

{ Displaystyle ехр (iz) = соз Z + я грех Z}

для всех

{ Displaystyle г в mathbb {C}}

В качестве альтернативы мы могли бы определить сложную экспоненциальную функцию на основе этого отношения. Если ${ displaystyle z = x + iy}$ , куда ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ оба действительны, то мы могли бы определить его экспоненту как

{ Displaystyle ехр Z = ехр (х + iy): = ( ехр х) ( соз у + я грех у)}

куда $exp$ , $потому что$ , и $грех$ в правой части знака определения следует интерпретировать как функции действительной переменной, ранее определенные другими способами.^[15]

За ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ , отношения ${ displaystyle { overline { exp (it)}} = exp (-it)}$ держит, так что ${ Displaystyle | ехр (оно) | = 1}$ серьезно ${ displaystyle t}$ и ${ Displaystyle т mapsto ехр (оно)}$ отображает реальную линию (мод ${ displaystyle 2 pi}$ ) к единичной окружности. Основываясь на соотношении между ${ Displaystyle ехр (оно)}$ и единичный круг, легко увидеть, что, ограниченные реальными аргументами, определения синуса и косинуса, данные выше, совпадают с их более элементарными определениями, основанными на геометрических понятиях.

Комплексная экспоненциальная функция периодична с периодом ${ displaystyle 2 pi i}$ и ${ Displaystyle ехр (Z + 2 пи ik) = ехр Z}$ относится ко всем ${ Displaystyle г ин mathbb {C}, к ин mathbb {Z}}$ .

Когда ее область определения расширяется от вещественной линии до комплексной плоскости, экспоненциальная функция сохраняет следующие свойства:

${ Displaystyle е ^ {г + ш} = е ^ {г} е ^ {ш} ,}$
${ Displaystyle е ^ {0} = 1 ,}$
${ displaystyle e ^ {z} neq 0}$
${ displaystyle { tfrac {d} {dz}} e ^ {z} = e ^ {z}}$
${ displaystyle left (e ^ {z} right) ^ {n} = e ^ {nz}, n in mathbb {Z}}$

для всех ${ displaystyle w, z in mathbb {C}}$ .

Расширение натурального логарифма до сложных аргументов дает комплексный логарифм $бревно z$ , что является многозначная функция.

Затем мы можем определить более общее возведение в степень:

{ Displaystyle г ^ {ш} = е ^ {ш журнал г}}

для всех комплексных чисел $z$ и $ш$ . Это тоже многозначная функция, даже если $z$ реально. Это различие проблематично, поскольку многозначные функции $бревно z$ и $z ш$ легко спутать с их однозначными эквивалентами при замене вещественным числом $z$ . Правило умножения показателей для случая положительных действительных чисел должно быть изменено в многозначном контексте:

(е z) ш \neq е zw

, скорее

(е z) ш = е (z + 2π в) ш

многозначный по целым числам

п

Видеть отказ от тождества мощности и логарифма подробнее о проблемах с объединением мощностей.

Экспоненциальная функция отображает любые линия в комплексной плоскости к логарифмическая спираль в комплексной плоскости с центром в источник. Существуют два особых случая: когда исходная линия параллельна реальной оси, полученная спираль никогда не замыкается сама на себя; когда исходная линия параллельна мнимой оси, полученная спираль представляет собой окружность некоторого радиуса.

3D-графики действительной части, мнимой части и модуля экспоненциальной функции
$z = Re (е Икс + иу)$
$z = Im (е Икс + иу)$
$z = | е Икс + иу |$

Рассмотрение комплексной экспоненциальной функции как функции, включающей четыре действительные переменные:

{ Displaystyle v + iw = ехр (х + iy)}

график экспоненциальной функции представляет собой двумерную поверхность, изгибающуюся в четырех измерениях.

Начиная с цветной части ${ displaystyle xy}$ Ниже приведены изображения графа, по-разному проецируемые в двух или трех измерениях.

Графики комплексной экспоненциальной функции
Ключ шахматной доски:
${ displaystyle x> 0: ; { text {зеленый}}}$
${ displaystyle x <0: ; { text {красный}}}$
${ displaystyle y> 0: ; { text {желтый}}}$
${ displaystyle y <0: ; { text {синий}}}$
Проекция на комплексную плоскость дальности (V / W). Сравните со следующей перспективной картинкой.
Проекция в ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle v}$ , и ${ displaystyle w}$ размеры, образующие расширяющийся рог или форму воронки (представленное как двумерное перспективное изображение).
Проекция в ${ displaystyle y}$ , ${ displaystyle v}$ , и ${ displaystyle w}$ размеры, образующие спиральную форму. ( ${ displaystyle y}$ диапазон увеличен до ± 2 $π$ , опять же как двумерное перспективное изображение).

На втором изображении показано, как комплексная плоскость домена отображается в комплексную плоскость диапазона:

ноль отображается в 1
реальный ${ displaystyle x}$ ось отображается в положительное вещественное ${ displaystyle v}$ ось
воображаемый ${ displaystyle y}$ ось вращается вокруг единичного круга с постоянной угловой скоростью
значения с отрицательными действительными частями отображаются внутри единичного круга
значения с положительными действительными частями отображаются за пределами единичного круга
значения с постоянной действительной частью отображаются на круги с центром в нуле
значения с постоянной мнимой частью отображаются на лучи, идущие от нуля

Третье и четвертое изображения показывают, как график на втором изображении расширяется в одно из двух других измерений, не показанных на втором изображении.

На третьем изображении показан график, вытянутый вдоль реального ${ displaystyle x}$ ось. Он показывает, что график представляет собой поверхность вращения вокруг ${ displaystyle x}$ ось графика действительной экспоненциальной функции, образующей форму рога или воронки.

Четвертое изображение показывает график, вытянутый вдоль воображаемого ${ displaystyle y}$ ось. Это показывает, что поверхность графика для положительных и отрицательных ${ displaystyle y}$ ценности действительно не совпадают с отрицательными реальными ${ displaystyle v}$ оси, но вместо этого образует спиральную поверхность вокруг ${ displaystyle y}$ ось. Потому что это ${ displaystyle y}$ были расширены до ± 2π, это изображение также лучше отображает периодичность 2π в мнимой ${ displaystyle y}$ ценить.

Расчет $а б$ где оба $а$ и $б$ сложные

Комплексное возведение в степень $а б$ можно определить преобразованием $а$ в полярные координаты и используя тождество $(е пер а) б = а б$ :

{ displaystyle a ^ {b} = left (re ^ { theta i} right) ^ {b} = left (e ^ {( ln r) + theta i} right) ^ {b} = e ^ { left (( ln r) + theta i right) b}}

Однако когда $б$ не целое число, эта функция многозначный, потому что $θ$ не уникален (см. отказ от тождества мощности и логарифма ).

Матрицы и банаховы алгебры

Определение степенного ряда экспоненциальной функции имеет смысл для квадрата матрицы (для которого функция называется матричная экспонента ) и вообще в любой единице Банахова алгебра $B$ . В этой настройке $е 0 = 1$ , и $е Икс$ обратима с обратным $е - Икс$ для любого $Икс$ в $B$ . Если $ху = yx$ , тогда $е Икс + y = е Икс е y$ , но эта личность может не работать для некоммерческих $Икс$ и $y$ .

Некоторые альтернативные определения приводят к той же функции. Например, $е Икс$ можно определить как

{ displaystyle lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}

Или же $е Икс$ можно определить как $ж Икс (1)$ , куда $ж Икс : р \to B$ является решением дифференциального уравнения $df Икс / dt (т) = Икс ж Икс (т)$ , с начальным условием $ж Икс (0) = 1$ ; следует, что $ж Икс (т) = е tx$ для каждого $т$ в $р .$

Алгебры Ли

Учитывая Группа Ли $грамм$ и связанные с ним Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , то экспоненциальная карта это карта ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ $\mapsto грамм$ удовлетворяющие аналогичным свойствам. Фактически, поскольку $р$ является алгеброй Ли группы Ли всех положительных действительных чисел при умножении, обычная экспоненциальная функция для вещественных аргументов является частным случаем ситуации алгебры Ли. Аналогично, поскольку группа Ли $GL (п, р)$ обратимого $п \times п$ матрицы имеет в качестве алгебры Ли $М (п, р)$ , пространство всех $п \times п$ матриц экспоненциальная функция для квадратных матриц является частным случаем экспоненциального отображения алгебры Ли.

Личность $ехр (Икс + y) = exp Икс exp y$ может потерпеть неудачу для элементов алгебры Ли $Икс$ и $y$ которые не ездят на работу; то Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа предоставляет необходимые исправительные условия.

Трансцендентность

Функция $е z$ не в $C (z)$ (т.е.не является частным двух многочленов с комплексными коэффициентами).

За $п$ различные комплексные числа ${а 1, \dots, а п$ }, набор ${е а 1 z, \dots, е а п z$ } линейно независима над $C (z)$ .

Функция $е z$ является трансцендентный над $C (z)$ .

Вычисление

При вычислении (приближении) экспоненциальной функции около аргумента $0$ , результат будет близок к 1, и вычисление значения разницы ${ Displaystyle ехр х-1}$ с арифметика с плавающей запятой может привести к потере (возможно, всех) значимые фигуры, приводя к большой ошибке вычисления, возможно, даже к бессмысленному результату.

По предложению Уильям Кахан, поэтому может быть полезно иметь специальную процедуру, часто называемую expm1, для вычисления $е Икс - 1$ напрямую, минуя вычисление $е Икс$ . Например, если экспонента вычисляется с использованием ее Серия Тейлор

{ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + cdots + { frac {x ^ {n}} {n!}} + cdots,}

можно использовать ряд Тейлора ${ displaystyle e ^ {x} -1:}$

{ displaystyle e ^ {x} -1 = x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + cdots + { frac {x ^ {n}} {n!}} + cdots.}

Впервые это было реализовано в 1979 г. Hewlett Packard HP-41C калькулятор, и предоставленный несколькими калькуляторами,^[16]^[17] операционные системы (Например Беркли UNIX 4.3BSD^[18]), системы компьютерной алгебры, и языки программирования (например, C99 ).^[19]

Помимо базы $е$ , то IEEE 754-2008 Стандарт определяет аналогичные экспоненциальные функции около 0 для оснований 2 и 10: ${ displaystyle 2 ^ {x} -1}$ и ${ displaystyle 10 ^ {x} -1}$ .

Аналогичный подход был использован для логарифма (см. lnp1 ).^{[№ 3]}

Идентичность с точки зрения гиперболический тангенс,

{ displaystyle operatorname {expm1} (x) = exp x-1 = { frac {2 tanh (x / 2)} {1- tanh (x / 2)}},}

дает значение высокой точности для малых значений $Икс$ в системах, которые не реализуют $ехр1 (Икс)$ .

Смотрите также

Экспонента Карлица, характеристика $п$ аналог
Двойная экспоненциальная функция - Экспоненциальная функция экспоненциальной функции
Экспоненциальное поле - Математическое поле, снабженное операцией, удовлетворяющей функциональному уравнению экспоненты
Функция Гаусса
Полуэкспоненциальная функция, композиционный квадратный корень из экспоненциальной функции
Список экспоненциальных тем
Список интегралов от экспоненциальных функций
Функция Миттаг-Леффлера, обобщение экспоненциальной функции
$п$ -адическая экспоненциальная функция
Таблица Паде для экспоненциальной функции – Приближение Паде экспоненты на долю полиномиальных функций
Тетрация - Повторное или повторяющееся возведение в степень

Примечания

^ В чистой математике обозначения $бревно Икс$ обычно относится к натуральному логарифму $Икс$ или логарифм вообще, если основание несущественно.
^ Обозначение $пер Икс$ является стандартом ISO и широко используется в естественных науках и среднем образовании (США). Однако некоторые математики (например, Пол Халмос ) раскритиковали эту нотацию и предпочли использовать $бревно Икс$ для натурального логарифма $Икс$ .
^ Аналогичный подход к уменьшению ошибки округления расчетов для определенных входных значений тригонометрические функции состоит из менее распространенных тригонометрических функций Версина, веркозин, Coverine, покровный козин, гаверсин, гаверкозин, hacoversine, hacovercosine, эксцентричный и excosecant.

внешняя ссылка

[Logx-5] В чистой математике обозначения $бревно Икс$ обычно относится к натуральному логарифму $Икс$ или логарифм вообще, если основание несущественно.

[lnx-6] Обозначение $пер Икс$ является стандартом ISO и широко используется в естественных науках и среднем образовании (США). Однако некоторые математики (например, Пол Халмос ) раскритиковали эту нотацию и предпочли использовать $бревно Икс$ для натурального логарифма $Икс$ .

[Alternative_funcs-22] Аналогичный подход к уменьшению ошибки округления расчетов для определенных входных значений тригонометрические функции состоит из менее распространенных тригонометрических функций Версина, веркозин, Coverine, покровный козин, гаверсин, гаверкозин, hacoversine, hacovercosine, эксцентричный и excosecant.

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-28.

[Goldstein_2006-2] Гольдштейн, Ларри Джоэл; Lay, David C .; Шнайдер, Дэвид I .; Асмар, Накле Х. (2006). Краткое исчисление и его приложения (11-е изд.). Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-191965-5. (467 стр.)

[Courant_1996-3] Курант; Роббинс (1996). Стюарт (ред.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд. Перераб.). Oxford University Press. п. 448. ISBN 978-0-13-191965-5. Эта естественная экспоненциальная функция идентична своей производной. Это действительно источник всех свойств экспоненциальной функции и основная причина ее важности для приложений ...

[4] «Справочник по экспоненциальной функции». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-28.

[Durell_1911-7] Converse, Генри Август; Дурелл, Флетчер (1911). Плоская и сферическая тригонометрия. Математический ряд Дурелла. C. E. Merrill Company. п.12. Обратное использование таблицы логарифмов; то есть, используя логарифм, найти соответствующее ему число (называемое его антилогарифмом) ... [1]

[Rudin_1987-8] а ^б Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.

[:0-9] а ^б Вайсштейн, Эрик В. "Экспоненциальная функция". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.

[Maor-10] а ^б Маор, Эли. е: история числа. п. 156.

[O'Connor_2001-11] а ^б О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (сентябрь 2001 г.). "Число е". Школа математики и статистики. Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Получено 2011-06-13.

[12] Сервей (1989, п. 384)

[13] Симмонс (1972), п. 15)

[14] Макгроу-Хилл (2007)

[Lorentzen_2008-15] Лоренцен, Л.; Вааделанд, Х. (2008). «A.2.2 Экспоненциальная функция».. Непрерывные дроби. Исследования Атлантиды по математике. 1. п. 268. Дои:10.2991/978-94-91216-37-4. ISBN 978-94-91216-37-4.

[Rudin_1976-16] Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 182. ISBN 978-0-07054235-8.

[Apostol_1974-17] Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Чтение, масс .: Эддисон Уэсли. стр.19. ISBN 978-0-20100288-1.

[HP48_AUR-18] Серия HP 48G - Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett Packard. Декабрь 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. Получено 2015-09-06.

[HP50_AUR-19] Расширенное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g + / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett Packard. 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010. Получено 2015-10-10. [2]

[Beebe_2017-20] Биби, Нельсон Х. Ф. (22 августа 2017 г.). «Глава 10.2. Экспонента около нуля». Справочник по вычислению математических функций - Программирование с использованием переносимой программной библиотеки MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG. С. 273–282. Дои:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721. Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию expm1 () в 1987 году.

[Beebe_2002-21] Биби, Нельсон Х. Ф. (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp (x) −1» (PDF). 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты.. Получено 2015-11-02.

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

[nb 2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[№ 3]

Экспоненциальная функция - Exponential function

Содержание

Формальное определение

Обзор

Производные и дифференциальные уравнения

Непрерывные дроби для $е Икс$

Комплексная плоскость

Расчет $а б$ где оба $а$ и $б$ сложные

Матрицы и банаховы алгебры

Алгебры Ли

Трансцендентность

Вычисление

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

Экспоненциальная функция - Exponential function

Формальное определение

Обзор

Производные и дифференциальные уравнения

Непрерывные дроби для еИкс

Комплексная плоскость

Расчет аб где оба а и б сложные

Матрицы и банаховы алгебры

Алгебры Ли

Трансцендентность

Вычисление

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

Непрерывные дроби для $е Икс$

Расчет $а б$ где оба $а$ и $б$ сложные