Счетчик песка - The Sand Reckoner

Счетчик песка (Греческий: Ψαμμίτης, Псаммиты) - это работа Архимед, Древнегреческий математик 3 век до н.э., в котором он намеревался определить верхнюю границу количества песчинок, которые помещаются в вселенная. Для этого ему пришлось оценить размер Вселенной в соответствии с современной моделью и изобрести способ говорить об очень больших числах. Произведение, также известное на латыни как Archimedis Syracusani Arenarius и Dimensio Circuli, который в переводе занимает около восьми страниц, адресован Сиракузский король Гело II (сын Иеро II ), и это, вероятно, самая доступная работа Архимеда; в каком-то смысле это первая научно-исследовательская работа.^[1]

Именование больших чисел

Во-первых, Архимеду пришлось изобрести систему именования большие числа. Система счисления, которая использовалась в то время, могла выражать числа до мириады (μυριάς - 10,000), и используя слово мириады само по себе, можно немедленно расширить это до именования всех чисел до мириадов (10⁸). Архимед называл числа до 10⁸ «первый заказ» и звонил 10⁸ Сама «единица второго порядка». Затем несколько единиц этой единицы стали вторым порядком, до этой единицы потребовалось мириады раз, 10⁸·10⁸=10¹⁶. Это стало «единицей третьего порядка», кратные которой были третьего порядка, и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом до бесчисленного множества раз больше единицы из десяти.⁸-го порядка, т.е. ${ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8 cdot 10 ^ {8}}}$.^[2]

Сделав это, Архимед назвал определенные им порядки «порядками первого периода», а последний - ${ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})}}$, «единица второго периода». Затем он построил порядки второго периода, взяв кратные этой единицы, аналогично тому, как были построены порядки первого периода. Продолжая таким образом, он, в конце концов, достиг приказов мириад-мириадов периода. Наибольшее число, названное Архимедом, было последним числом в этот период, т.е.

${ displaystyle left ( left (10 ^ {8} right) ^ {(10 ^ {8})} right) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8 cdot 10 ^ { 16}}.}$

Другой способ описания этого числа - единица, за которой следует (короткая шкала ) восемьдесят квадриллионов (80 · 10¹⁵) нулей.

Система Архимеда напоминает позиционная система счисления с основанием 10⁸, что примечательно тем, что древние греки использовали очень простая система записи чисел, в котором используются 27 различных букв алфавита для единиц с 1 по 9, от десятков с 10 до 90 и сотен со 100 по 900.

Архимед также открыл и доказал закон экспонентов, ${ displaystyle 10 ^ {a} 10 ^ {b} = 10 ^ {a + b}}$, необходимо управлять степенью 10.

Оценка размеров Вселенной

Затем Архимед оценил верхнюю границу количества песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическая модель из Аристарх Самосский. Оригинальная работа Аристарха утеряна. Однако эта работа Архимеда является одной из немногих сохранившихся ссылок на его теорию,^[3] посредством чего солнце остается неподвижным, пока земной шар орбиты солнце. По словам Архимеда:

Его [Аристарх] гипотезы состоят в том, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности круга, Солнце находится в середине орбиты, и что сфера неподвижных звезд, расположенная примерно в том же центре, что и Солнце, настолько велика, что круг, по которому, по его предположениям, вращается Земля, имеет такую ​​пропорцию, как расстояние между неподвижными звездами, на котором центр сферы относится к ее поверхности.^[4]

Причина большого размера этой модели в том, что греки не могли наблюдать звездный параллакс с доступными методами, что подразумевает, что любой параллакс чрезвычайно мал, и поэтому звезды должны быть размещены на больших расстояниях от Земли (при условии гелиоцентризм чтобы быть правдой).

Согласно Архимеду, Аристарх не указывал, насколько далеко звезды были от Земли. Поэтому Архимеду пришлось сделать следующие предположения:

• Вселенная была сферической
• Отношение диаметра Вселенной к диаметру орбиты Земли вокруг Солнца равнялось отношению диаметра орбиты Земли вокруг Солнца к диаметру Земли.

Это предположение также можно выразить, сказав, что звездный параллакс, вызванный движением Земли по своей орбите, равен солнечному параллаксу, вызванному движением вокруг Земли. Ставим соотношение:

${ displaystyle { frac { text {Диаметр Вселенной}} { text {Диаметр Земли вокруг Солнца}}} = { frac { text {Диаметр Земли вокруг Солнца}} { text {Диаметр Земной шар}}}}$

Чтобы получить верхнюю границу, Архимед сделал следующие предположения об их размерах:

• что периметр Земли не превышал 300 мириад стадион (5.55·10⁵ км).
• что Луна не больше Земли, а Солнце не более чем в тридцать раз больше Луны.
• что угловой диаметр Солнца, если смотреть с Земли, был больше 1/200 прямого угла (π / 400 радианы = 0.45° градусов ).

Затем Архимед пришел к выводу, что диаметр Вселенной не превышает 10¹⁴ стадионов (в современных единицах около 2 световых лет ), и что для этого потребуется не более 10⁶³ песчинки, чтобы заполнить его. С этими измерениями каждая песчинка в мысленном эксперименте Архимеда была бы примерно 19 мкм (0,019 мм) в диаметре.

Расчет количества песчинок в Аристархической Вселенной

Архимед утверждает, что сорок семян мака, положенных рядом, равняются одному греческому дактилю (ширина пальца), длина которого составляет примерно 19 мм (3/4 дюйма). Поскольку объем представляет собой куб линейного измерения («Поскольку было доказано, что сферы имеют тройное соотношение диаметров друг к другу»), то сфера диаметром в один дактиль будет содержать (с использованием нашей текущей системы счисления) 40³, или 64 000 семян мака.

Затем он заявил (без доказательств), что каждое семя мака может содержать мириады (10 000) песчинок. Умножив эти две цифры, он предложил 640 000 000 как количество гипотетических песчинок в сфере диаметром в один дактиль.

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, он округлил 640 миллионов до одного миллиарда, отметив только, что первое число меньше второго, и, следовательно, количество песчинок, вычисленное впоследствии, будет превышать фактическое количество песчинок. Напомним, что мета-цель Архимеда в этом эссе заключалась в том, чтобы показать, как производить вычисления с помощью того, что ранее считалось невероятно большими, а не просто точно рассчитать количество песчинок во Вселенной.

Греческий стадион имел длину 600 греческих футов, а каждая ступня была длиной 16 дактилей, так что на стадионе было 9600 дактилей. Архимед округлил это число до 10 000 (несметное число), чтобы упростить вычисления, еще раз отметив, что полученное число будет превышать фактическое количество песчинок.

Куб 10000 - это триллион (10¹²); и умножение миллиарда (количество песчинок в дактильной сфере) на триллион (количество дактильных сфер в сфере стадиона) дает 10²¹, количество песчинок в стадионе-сфере.

Архимед оценил, что Вселенная Аристарха была 10¹⁴ стадий в диаметре, поэтому соответственно будет (10¹⁴)³ стадион-сферы во Вселенной, или 10⁴². Умножение 10²¹ на 10⁴² дает 10⁶³, количество песчинок во Вселенной Аристархии.^[5]

Следуя оценке Архимеда мириада (10 000) песчинок в маке; 64000 семян мака в дактиль-сфере; длина стадиона - 10 000 дактилей; и принимая 19 мм за ширину дактиля, диаметр типичной песчинки Архимеда будет 18,3 мкм, что сегодня мы бы назвали песчинкой ил. В настоящее время самая мелкая песчинка имеет диаметр 50 мкм.

Дополнительные расчеты

По пути Архимед провел несколько интересных экспериментов и вычислений. Один эксперимент заключался в оценке углового размера Солнца, видимого с Земли. Метод Архимеда особенно интересен тем, что учитывает конечный размер зрачка глаза,^[6] и поэтому может быть первым известным примером экспериментов в психофизика, филиал психология имея дело с механикой человеческого восприятия, развитие которой обычно приписывают Герман фон Гельмгольц. Другое интересное вычисление учитывает солнечный параллакс и разные расстояния между наблюдателем и Солнцем, независимо от того, просматривается ли он из центра Земли или с поверхности Земли на восходе солнца. Это может быть первое известное вычисление солнечного параллакса.^[1]

Цитировать

Есть такие, царь Гелон, которые думают, что песка бесконечно много; и я имею в виду под песком не только то, что есть вокруг Сиракуз и остальной части Сицилии, но также то, что можно найти во всех регионах, будь то населенные или необитаемые. Опять же, есть такие, которые, не считая его бесконечным, все же думают, что не было названо число, которое было бы достаточно большим, чтобы превысить его величину. И ясно, что те, кто придерживается этой точки зрения, если они вообразили массу, состоящую из песка, в других отношениях такую ​​же большую, как масса Земли, включая в нее все моря и впадины Земли, заполненные до высоты, равной до самой высокой из гор, было бы во много раз дальше от признания того, что можно выразить любое число, превышающее множество взятого таким образом песка.

Но я постараюсь показать вам с помощью геометрических доказательств, которым вы сможете следовать, что из чисел, названных мною и приведенных в работе, которую я послал Зевксиппу, некоторые превышают не только число массы тела. песок, равный по величине Земле, засыпанный описанным способом, но также имеющий массу, равную по величине Вселенной.^[7]

— Archimedis Syracusani Arenarius и Dimensio Circuli

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Песчанин, к Джиллиан Брэдшоу. Кузница (2000), 348 стр., ISBN  0-312-87581-9. Это исторический роман о жизни и творчестве Архимеда.

внешняя ссылка

• Оригинальный греческий текст
• Счетчик песка (аннотировано)
• Счетчик песка (Arenario) Итальянский аннотированный перевод с примечаниями об Архимеде и греческой математической нотации и единицах измерения.. Исходный файл греческого текста Аренария (для LaTeX).
• Архимед, Счетчик пескаИлан Варди; включает буквальную английскую версию оригинального греческого текста