Перекрестное произведение - Cross product

В математика, то перекрестное произведение или векторный продукт (время от времени продукт направленной площади, чтобы подчеркнуть его геометрическое значение) является бинарная операция на двух векторов в трехмерное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, и обозначается символом ${ displaystyle times}$.^[1] Учитывая два линейно независимые векторы а и б, перекрестное произведение, а × б (читай "крестик b"), это вектор, который перпендикуляр как для а и б,^[2] и поэтому нормальный к самолету, содержащему их. У него много приложений в математике, физика, инженерное дело, и компьютерное программирование. Не следует путать с скалярное произведение (проекционный продукт).

Если два вектора имеют одинаковое направление или противоположное направление друг от друга (т.е. не линейно независимый), или если любой из них имеет нулевую длину, то их перекрестное произведение равно нулю.^[3] В более общем смысле величина продукта равна площади параллелограмм с векторами для сторон; в частности, величина произведения двух перпендикулярных векторов равна произведению их длин.

Перекрестное произведение антикоммутативный (т.е. а × б = − б × а) и является распределительный сверх сложения (т.е. а × (б + c) = а × б + а × c).^[2] Космос ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ вместе с кросс-произведением является алгебра над действительными числами, что ни коммутативный ни ассоциативный, но это Алгебра Ли с перекрестным произведением Кронштейн лжи.

Словно скалярное произведение, это зависит от метрика из Евклидово пространство, но в отличие от скалярного произведения, это также зависит от выбора ориентация или "руки ". Продукт можно обобщить по-разному; его можно сделать независимым от ориентации, изменив результат на псевдовектор, или внешний продукт векторов можно использовать в произвольных размерах с бивектор или 2-форма результат. Кроме того, используя ориентацию и метрическую структуру, как и для традиционного трехмерного перекрестного произведения, можно в п размеры, возьмите продукт п − 1 векторов, чтобы создать вектор, перпендикулярный им всем. Но если продукт ограничен нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, он существует только в трех и семь измерений.^[4] (Увидеть § Обобщения ниже, для других размеров.)

Перекрестное произведение относительно правой системы координат

Определение

Нахождение направления перекрестного произведения по правило правой руки.

Перекрестное произведение двух векторов а и б определяется только в трехмерном пространстве и обозначается а × б.^[1] В физика и Прикладная математика, обозначение клина а ∧ б часто используется (в сочетании с названием векторный продукт),^[5][6][7] хотя в чистой математике такие обозначения обычно используются только для внешний продукт, абстракция векторного произведения к п Габаритные размеры.

Перекрестное произведение а × б определяется как вектор c это перпендикуляр (ортогональные) обоим а и б, с направлением, заданным правило правой руки^[2] и величиной, равной площади параллелограмм что векторы охватывают.^[3]

Перекрестное произведение определяется формулой^[8][9]

${ Displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | sin ( theta) mathbf {n}}$

где θ это угол между а и б в плоскости, содержащей их (следовательно, между 0 ° и 180 °), ‖а‖ и ‖б‖ Являются величины векторов а и б, и п это единичный вектор перпендикуляр на самолет, содержащий а и б, в направлении, заданном правилом правой руки (показано).^[3] Если векторы а и б параллельны (т.е. угол θ между ними либо 0 °, либо 180 °), по приведенной выше формуле, перекрестное произведение а и б это нулевой вектор 0.

Перекрестное произведение а × б (вертикальный, фиолетовый) изменяется как угол между векторами а (синий) и б (красный) меняется. Перекрестное произведение всегда ортогонально обоим векторам и имеет нулевую величину, когда векторы параллельны, и максимальную величину ‖а‖‖б‖ Когда они ортогональны.

Условно направление вектора п дается правилом правой руки, когда нужно просто направить указательный палец правой руки в направлении а и средний палец в направлении б. Тогда вектор п выходит из большого пальца (см. рисунок рядом). Использование этого правила подразумевает, что перекрестное произведение антикоммутативный, это, б × а = −(а × б). Указав указательным пальцем в сторону б сначала, а затем указав средним пальцем в сторону а, большой палец будет перемещен в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения.

Использование перекрестного произведения требует, чтобы учитывалась управляемость системы координат (как это явно указано в определении выше). Если левая система координат используется направление вектора п задается правилом левой руки и указывает в противоположном направлении.

Это, однако, создает проблему, потому что преобразование из одной произвольной системы отсчета в другую (например, преобразование зеркального изображения из правой в левую систему координат) не должно изменять направление п. Проблема проясняется осознанием того, что векторное произведение двух векторов - это не (истинный) вектор, а скорее псевдовектор. Увидеть § Перекрестное произведение и ручность для более подробной информации.

Имена

Согласно с Правило Сарруса, то детерминант матрицы 3 × 3 включает в себя умножение элементов матрицы, обозначенных скрещенными диагоналями

В 1881 г. Джозайя Уиллард Гиббс, и независимо Оливер Хевисайд, представил как скалярное произведение и перекрестное произведение с точкой (а . б) и "х" (а Икс б) соответственно для их обозначения.^[10]

В 1877 году, чтобы подчеркнуть тот факт, что результатом скалярного произведения является скаляр в то время как результат перекрестного произведения - вектор, Уильям Кингдон Клиффорд придумал альтернативные имена скалярное произведение и векторный продукт для двух операций.^[10] Эти альтернативные названия до сих пор широко используются в литературе.

Обе перекрестные обозначения (а × б) и имя перекрестное произведение возможно были вдохновлены тем фактом, что каждый скалярная составляющая из а × б вычисляется путем умножения несоответствующих компонентов а и б. И наоборот, скалярное произведение а ⋅ б включает в себя умножения между соответствующими компонентами а и б. Как объяснено ниже, перекрестное произведение можно выразить в виде детерминант специального 3 × 3 матрица. Согласно с Правило Сарруса, это включает умножение элементов матрицы, обозначенных скрещенными диагоналями.

Вычисление кросс-продукта

Координатная запись

Стандартная основа векторы (я, j, k, также обозначается е₁, е₂, е₃) и компоненты вектора из а (а_Икс, а_у, а_z, также обозначается а₁, а₂, а₃)

В стандартная основа векторов я, j, и k удовлетворяют следующим равенствам в правой части система координат:^[2]

${ displaystyle { begin {alignat} {2} mathbf { color {blue} {i}} & times mathbf { color {red} {j}} && = mathbf { color {lime} { k}} mathbf { color {красный} {j}} & times mathbf { color {lime} {k}} && = mathbf { color {blue} {i}} mathbf { color {лайм} {k}} & times mathbf { color {blue} {i}} && = mathbf { color {red} {j}} end {alignat}}}$

что подразумевает, что антикоммутативность перекрестного произведения, что

${ displaystyle { begin {alignat} {2} mathbf { color {red} {j}} & times mathbf { color {blue} {i}} && = - mathbf { color {лайм} {k}} mathbf { color {lime} {k}} & times mathbf { color {red} {j}} && = - mathbf { color {blue} {i}} mathbf { color {blue} {i}} & times mathbf { color {lime} {k}} && = - mathbf { color {red} {j}} end {alignat}}}$

Антикоммутативность перекрестного произведения (и очевидное отсутствие линейной независимости) также означает, что

${ displaystyle mathbf { color {blue} {i}} times mathbf { color {blue} {i}} = mathbf { color {red} {j}} times mathbf { color { красный} {j}} = mathbf { color {lime} {k}} times mathbf { color {lime} {k}} = mathbf {0}}$ (в нулевой вектор ).

Эти равенства вместе с распределенность и линейность перекрестного произведения (но ни одно из них не следует легко из определения, данного выше), достаточны для определения перекрестного произведения любых двух векторов а и б. Каждый вектор можно определить как сумму трех ортогональных компонентов, параллельных стандартным базисным векторам:

${ displaystyle { begin {alignat} {3} mathbf {a} & = a_ {1} mathbf { color {blue} {i}} && + a_ {2} mathbf { color {red} { j}} && + a_ {3} mathbf { color {lime} {k}} mathbf {b} & = b_ {1} mathbf { color {blue} {i}} && + b_ { 2} mathbf { color {красный} {j}} && + b_ {3} mathbf { color {lime} {k}} end {alignat}}}$

Их перекрестный продукт а × б можно расширить с помощью дистрибутивности:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} times mathbf {b} = {} & (a_ {1} mathbf { color {blue} {i}} + a_ {2} mathbf { color {red} {j}} + a_ {3} mathbf { color {lime} {k}}) times (b_ {1} mathbf { color {blue} {i}} + b_ {2 } mathbf { color {red} {j}} + b_ {3} mathbf { color {lime} {k}}) = {} & a_ {1} b_ {1} ( mathbf { color {blue} {i}} times mathbf { color {blue} {i}}) + a_ {1} b_ {2} ( mathbf { color {blue} {i}} times mathbf { цвет {красный} {j}}) + a_ {1} b_ {3} ( mathbf { color {blue} {i}} times mathbf { color {lime} {k}}) + {} & a_ {2} b_ {1} ( mathbf { color {red} {j}} times mathbf { color {blue} {i}}) + a_ {2} b_ {2} ( mathbf { color {красный} {j}} times mathbf { color {red} {j}}) + a_ {2} b_ {3} ( mathbf { color {red} {j}} times mathbf { color {лайм} {k}}) + {} & a_ {3} b_ {1} ( mathbf { color {lime} {k}} times mathbf { color {blue} {i} }) + a_ {3} b_ {2} ( mathbf { color {lime} {k}} times mathbf { color {red} {j}}) + a_ {3} b_ {3} ( mathbf { color {лайм} {k}} times mathbf { color {лайм} {k}}) конец {выровненный}}}$

Это можно интерпретировать как разложение а × б в сумму девяти более простых перекрестных произведений векторов, выровненных с я, j, или k. Каждое из этих девяти перекрестных произведений работает с двумя векторами, с которыми легко работать, поскольку они параллельны или ортогональны друг другу. Из этого разложения с помощью упомянутого выше равенства и собирая аналогичные термины, получаем:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} times mathbf {b} = {} & quad a_ {1} b_ {1} mathbf {0} + a_ {1} b_ {2} mathbf { color {lime} {k}} -a_ {1} b_ {3} mathbf { color {red} {j}} & - a_ {2} b_ {1} mathbf { color {lime} {k}} + a_ {2} b_ {2} mathbf {0} + a_ {2} b_ {3} mathbf { color {blue} {i}} & + a_ {3} b_ {1} mathbf { color {красный} {j}} -a_ {3} b_ {2} mathbf { color {blue} {i}} + a_ {3} b_ {3} mathbf {0} = {} & (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf { color {blue} {i}} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) mathbf { color {red} {j}} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf { color {лайм} {k}} конец {выровнено}}}$

это означает, что три скалярные компоненты результирующего вектора s = s₁я + s₂j + s₃k = а × б находятся

${ displaystyle { begin {align} s_ {1} & = a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} s_ {2} & = a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} s_ {3} & = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} end {выровнено}}}$

С помощью векторы-столбцы, мы можем представить тот же результат следующим образом:

${ displaystyle { begin {pmatrix} s_ {1} s_ {2} s_ {3} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a_ {2} b_ {3} -a_ {3 } b_ {2} a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3} a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} end {pmatrix}}}$

Матричные обозначения

Использование правила Сарруса для нахождения перекрестного произведения а и б

Перекрестное произведение также может быть выражено как формальный детерминант:^{[примечание 1][2]}

${ displaystyle mathbf {a times b} = { begin {vmatrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} end {vmatrix}}}$

Этот определитель можно вычислить, используя Правило Сарруса или расширение кофактора. Используя правило Сарруса, он расширяется до

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a times b} & = (a_ {2} b_ {3} mathbf {i} + a_ {3} b_ {1} mathbf {j} + a_ { 1} b_ {2} mathbf {k}) - (a_ {3} b_ {2} mathbf {i} + a_ {1} b_ {3} mathbf {j} + a_ {2} b_ {1} mathbf {k}) & = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf {k}. End {выравнивается}}}$

С помощью кофактор вместо этого в первой строке он расширяется до^[11]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a times b} & = { begin {vmatrix} a_ {2} & a_ {3} b_ {2} & b_ {3} end {vmatrix}} mathbf {i} - { begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {3} b_ {1} & b_ {3} end {vmatrix}} mathbf {j} + { begin {vmatrix} a_ {1 } & a_ {2} b_ {1} & b_ {2} end {vmatrix}} mathbf {k} & = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf {i} - (a_ {1} b_ {3} -a_ {3} b_ {1}) mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf {k}, end {выравнивается}}}$

который дает компоненты результирующего вектора напрямую.

Использование символа Леви-Чивита

Мы также можем использовать Символ Леви-Чивита ${ displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ чтобы определить перекрестное произведение:${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = sum _ {i, j, k = 1} ^ {3} varepsilon _ {ijk} a_ {i} b_ {j} mathbf {e } _ {k} ,.}$

Свойства

Геометрический смысл

Рис. 1. Площадь параллелограмма как величина векторного произведения.

Рисунок 2. Три вектора, определяющие параллелепипед.

В величина перекрестного произведения можно интерпретировать как положительный площадь из параллелограмм имея а и б как стороны (см. рисунок 1):^[2]

${ Displaystyle left | mathbf {a} times mathbf {b} right | = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | | sin theta |.}$

Действительно, можно также вычислить объем V из параллелепипед имея а, б и c как края, используя комбинацию перекрестного произведения и скалярного произведения, называемого скалярное тройное произведение (см. рисунок 2):

${ Displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {c} times mathbf {a}) = mathbf { c} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b}).}$

Поскольку результат скалярного тройного произведения может быть отрицательным, объем параллелепипеда определяется его абсолютным значением. Например,

${ Displaystyle V = | mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) |.}$

Поскольку величина перекрестного произведения равна синусу угла между его аргументами, это произведение можно рассматривать как меру перпендикулярность так же, как скалярное произведение это мера параллелизм. Учитывая два единичные векторы, их перекрестное произведение имеет величину 1, если они перпендикулярны, и нулевую величину, если они параллельны. Скалярное произведение двух единичных векторов ведет себя прямо противоположно: оно равно нулю, когда единичные векторы перпендикулярны, и 1, если единичные векторы параллельны.

Единичные векторы обеспечивают два удобных тождества: скалярное произведение двух единичных векторов дает косинус (который может быть положительным или отрицательным) угла между двумя единичными векторами. Величина перекрестного произведения двух единичных векторов дает синус (который всегда будет положительным).

Алгебраические свойства

Перекрестное произведение скалярное умножение. Осталось: Разложение б на компоненты, параллельные и перпендикулярные а. Справа: масштабирование перпендикулярных компонентов положительным действительным числом р (если отрицательный, б и перекрестное произведение перевёрнуто).

Распределение перекрестного произведения по сравнению с векторным сложением. Осталось: Векторы б и c делятся на параллельные и перпендикулярные составляющие к а. Правильно: Параллельные компоненты исчезают в поперечном произведении, только перпендикулярные компоненты, показанные в плоскости, перпендикулярной а остаются.^[12]

Два неэквивалентных тройных произведения трех векторов а, б, c. В каждом случае два вектора определяют плоскость, другой находится вне плоскости и может быть разделен на параллельные и перпендикулярные компоненты к перекрестному произведению векторов, определяющих плоскость. Эти компоненты можно найти векторная проекция и отказ. Тройное произведение находится в плоскости и повернуто, как показано.

Если векторное произведение двух векторов является нулевым вектором (т.е. а × б = 0), то один или оба входа являются нулевым вектором, (а = 0 или б = 0) или они параллельны или антипараллельны (а ∥ б) так, чтобы синус угла между ними был равен нулю (θ = 0° или θ = 180° и грехθ = 0).

Самостоятельное перекрестное произведение вектора - это нулевой вектор:

${ Displaystyle mathbf {а} раз mathbf {а} = mathbf {0}}$

Перекрестное произведение антикоммутативный,

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} = - ( mathbf {b} times mathbf {a}),}$

распределительный сверх того,

${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} + mathbf {c}) = ( mathbf {a} times mathbf {b}) + ( mathbf {a} times mathbf { c}),}$

и совместим со скалярным умножением, так что

${ displaystyle (r , mathbf {a}) times mathbf {b} = mathbf {a} times (r , mathbf {b}) = r , ( mathbf {a} times mathbf {b}).}$

Это не так ассоциативный, но удовлетворяет Личность Якоби:

${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) + mathbf {b} times ( mathbf {c} times mathbf {a}) + mathbf { c} times ( mathbf {a} times mathbf {b}) = mathbf {0}.}$

Дистрибутивность, линейность и тождество Якоби показывают, что р³ векторное пространство вместе с векторным сложением и перекрестным произведением образует Алгебра Ли, алгебра Ли действительного ортогональная группа в 3-х измерениях, ТАК (3).Перекрестное произведение не подчиняется закон об отмене: это, а × б = а × c с участием а ≠ 0 не подразумевает б = c, но только это:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {0} & = ( mathbf {a} times mathbf {b}) - ( mathbf {a} times mathbf {c}) & = mathbf {a} times ( mathbf {b} - mathbf {c}). конец {выровнено}}}$

Это может быть случай, когда б и c отменить, но дополнительно где а и б − c параллельны; то есть они связаны масштабным коэффициентом т, ведущие к:

${ displaystyle mathbf {c} = mathbf {b} + t , mathbf {a},}$

для некоторого скаляра т.

Если в дополнение к а × б = а × c и а ≠ 0 как указано выше, это тот случай, когда а ⋅ б = а ⋅ c тогда

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} times ( mathbf {b} - mathbf {c}) & = mathbf {0} mathbf {a} cdot ( mathbf {b } - mathbf {c}) & = 0, end {align}}}$

Так как б − c не могут быть одновременно параллельны (чтобы кросс-произведение было 0) и перпендикулярно (чтобы скалярное произведение было 0) к а, должно быть так, что б и c Отмена: б = c.

Согласно геометрическому определению, векторное произведение инвариантно относительно собственных вращения вокруг оси, определяемой а × б. В формулах:

${ Displaystyle (R mathbf {a}) times (R mathbf {b}) = R ( mathbf {a} times mathbf {b})}$, где ${ displaystyle R}$ это матрица вращения с участием ${ Displaystyle Det (R) = 1}$.

В более общем смысле, перекрестное произведение подчиняется следующему тождеству под матрица трансформации:

${ displaystyle (M mathbf {a}) times (M mathbf {b}) = ( det M) left (M ^ {- 1} right) ^ { mathrm {T}} ( mathbf {a} times mathbf {b}) = operatorname {cof} M ( mathbf {a} times mathbf {b})}$

где ${ displaystyle M}$ представляет собой 3х3 матрица и ${ Displaystyle влево (М ^ {- 1} вправо) ^ { mathrm {T}}}$ это транспонировать из обратный и ${ displaystyle operatorname {cof}}$ матрица кофакторов. Нетрудно увидеть, как эта формула сводится к предыдущей, если ${ displaystyle M}$ матрица вращения.

Перекрестное произведение двух векторов лежит в пустое пространство из 2 × 3 матрица с векторами в виде строк:

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} in NS left ({ begin {bmatrix} mathbf {a} mathbf {b} end {bmatrix}} right).}$

Для суммы двух перекрестных произведений имеет место следующее тождество:

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} + mathbf {c} times mathbf {d} = ( mathbf {a} - mathbf {c}) times ( mathbf {b} - mathbf {d}) + mathbf {a} times mathbf {d} + mathbf {c} times mathbf {b}.}$

Дифференциация

В правило продукта дифференциального исчисления применимо к любой билинейной операции и, следовательно, к кросс-произведению:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} ( mathbf {a} times mathbf {b}) = { frac {d mathbf {a}} {dt}} times mathbf {b} + mathbf {a} times { frac {d mathbf {b}} {dt}},}$

где а и б векторы, которые зависят от действительной переменной т.

Тройное расширение продукта

Перекрестное произведение используется в обеих формах тройного произведения. В скалярное тройное произведение трех векторов определяется как

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}),}$

Это подписанный том параллелепипед с краями а, б и c и поэтому векторы можно использовать в любом порядке, даже перестановка вышеуказанного заказа. Следовательно, следующие равны:

${ Displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {c} times mathbf {a}) = mathbf { c} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b}),}$

В вектор тройное произведение представляет собой перекрестное произведение вектора на результат другого перекрестного произведения и связано со скалярным произведением по следующей формуле

${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) - mathbf {c} ( mathbf {a} cdot mathbf {b}).}$

В мнемонический «BAC минус CAB» используется для запоминания порядка векторов в правом элементе. Эта формула используется в физика для упрощения векторных вычислений. Особый случай, касающийся градиенты и полезно в векторное исчисление, является

${ Displaystyle { begin {выровнен} набла раз ( набла раз mathbf {f}) & = набла ( набла cdot mathbf {f}) - ( набла cdot набла) mathbf {f} & = nabla ( nabla cdot mathbf {f}) - nabla ^ {2} mathbf {f}, конец {выровнено}}}$

где ∇² это векторный лапласиан оператор.

Другие тождества связывают перекрестное произведение со скалярным тройным произведением:

${ displaystyle { begin {align} ( mathbf {a} times mathbf {b}) times ( mathbf {a} times mathbf {c}) & = ( mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c})) mathbf {a} ( mathbf {a} times mathbf {b}) cdot ( mathbf {c} times mathbf {d} ) & = mathbf {b} ^ { mathrm {T}} left ( left ( mathbf {c} ^ { mathrm {T}} mathbf {a} right) I- mathbf {c} mathbf {a} ^ { mathrm {T}} right) mathbf {d} & = ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) ( mathbf {b} cdot mathbf { d}) - ( mathbf {a} cdot mathbf {d}) ( mathbf {b} cdot mathbf {c}) end {align}}}$

где я - единичная матрица.

Альтернативная формулировка

Перекрестное произведение и скалярное произведение связаны между собой:

${ displaystyle left | mathbf {a} times mathbf {b} right | ^ {2} = left | mathbf {a} right | ^ {2} left | mathbf {b} right | ^ {2} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) ^ {2}.}$

Правая часть - это Определитель грамма из а и б, квадрат площади параллелограмма, определяемого векторами. Это условие определяет величину перекрестного произведения. А именно, поскольку скалярное произведение определяется в терминах угла θ между двумя векторами, как:

${ Displaystyle mathbf {a cdot b} = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | cos theta,}$

указанное выше соотношение можно переписать следующим образом:

${ displaystyle left | mathbf {a times b} right | ^ {2} = left | mathbf {a} right | ^ {2} left | mathbf {b} right | ^ {2} left (1- cos ^ {2} theta right).}$

Обращение к Пифагорейская тригонометрическая идентичность получается:

${ Displaystyle left | mathbf {a} times mathbf {b} right | = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | left | sin theta right |,}$

что представляет собой величину перекрестного произведения, выраженную через θ, равную площади параллелограмма, определяемого формулой а и б (увидеть определение над).

Сочетание этого требования и свойства, что перекрестное произведение ортогонально своим составляющим. а и б дает альтернативное определение перекрестного произведения.^[13]

Личность Лагранжа

Соотношение:

${ displaystyle left | mathbf {a} times mathbf {b} right | ^ {2} Equiv det { begin {bmatrix} mathbf {a} cdot mathbf {a} & mathbf {a} cdot mathbf {b} mathbf {a} cdot mathbf {b} & mathbf {b} cdot mathbf {b} end {bmatrix}} Equiv left | mathbf {a} right | ^ {2} left | mathbf {b} right | ^ {2} - ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) ^ { 2}.}$

можно сравнить с другим соотношением, включающим правую часть, а именно Личность Лагранжа выражается как:^[14]

${ displaystyle sum _ {1 leq i$

где а и б может быть п-мерные векторы. Это также показывает, что Риманова форма объема для поверхностей точно элемент поверхности из векторного исчисления. В случае, когда п = 3, объединение этих двух уравнений приводит к выражению величины перекрестного произведения через его компоненты:^[15]

${ Displaystyle { begin {align} & left | mathbf {a} times mathbf {b} right | ^ {2} Equiv sum _ {1 leq i$

Тот же результат получается непосредственно с использованием компонентов перекрестного произведения, найденных из:

${ displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} Equiv det { begin {bmatrix} mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} a_ {1} & a_ { 2} & a_ {3} b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} end {bmatrix}}.}$

В р³, Уравнение Лагранжа является частным случаем мультипликативности |vw| = |v||ш| нормы в кватернионная алгебра.

Это частный случай другой формулы, также иногда называемой тождеством Лагранжа, которая представляет собой трехмерный случай Тождество Бине – Коши:^[16][17]

${ displaystyle ( mathbf {a} times mathbf {b}) cdot ( mathbf {c} times mathbf {d}) Equiv ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) ( mathbf {b} cdot mathbf {d}) - ( mathbf {a} cdot mathbf {d}) ( mathbf {b} cdot mathbf {c}).}$

Если а = c и б = d это упрощается до формулы выше.

Бесконечно малые генераторы вращений

Перекрестное произведение удобно описывает бесконечно малые образующие вращения в р³. В частности, если п является единичным вектором в р³ и р(φ, п) обозначает поворот вокруг оси через начало координат, заданное п, с углом φ (измеряется в радианах, против часовой стрелки, если смотреть со стороны конца п), тогда

${ displaystyle left. {d over d phi} right | _ { phi = 0} R ( phi, { boldsymbol {n}}) { boldsymbol {x}} = { boldsymbol {n }} times { boldsymbol {x}}}$

для каждого вектора Икс в р³. Перекрестное произведение с п поэтому описывает бесконечно малый генератор вращений вокруг п. Эти бесконечно малые генераторы образуют Алгебра Ли так(3) из группа вращения SO (3), и получаем, что алгебра Ли р³ с перекрестным произведением изоморфна алгебре Ли так(3).

Альтернативные способы вычисления перекрестного произведения

Преобразование в матричное умножение

Векторное векторное произведение также может быть выражено как произведение кососимметричная матрица и вектор:^[16]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} times mathbf {b} = [ mathbf {a}] _ { times} mathbf {b} & = { begin {bmatrix} , 0 & ! - a_ {3} & , , a_ {2} , , a_ {3} & 0 & ! - a_ {1} - a_ {2} & , , a_ {1} & , 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} b_ {1} b_ {2} b_ {3} end {bmatrix}} mathbf {a} times mathbf { b} = {[ mathbf {b}] _ { times}} ^ { mathrm {! ! T}} mathbf {a} & = { begin {bmatrix} , 0 & , , b_ {3} & ! - b_ {2} - b_ {3} & 0 & , , b_ {1} , , b_ {2} & ! - b_ {1} & , 0 конец {bmatrix}} { begin {bmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} end {bmatrix}}, end {выровнено}}}$

где верхний индекс ^Т относится к транспонировать операция и [а]_× определяется:

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} { stackrel { rm {def}} {=}} { begin {bmatrix} , , 0 & ! - a_ {3} & , , , a_ {2} , , , a_ {3} & 0 & ! - a_ {1} ! - a_ {2} & , , a_ {1} & , , 0 end {bmatrix}}.}$

Столбцы [а]_{×, я} кососимметричной матрицы вектора а можно также получить, вычислив перекрестное произведение с единичные векторы, то есть:

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times, i} = mathbf {a} times mathbf {{ hat {e}} _ {i}}, ; i in {1, 2,3 }}$

или

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} = sum _ {i = 1} ^ {3} left ( mathbf {a} times mathbf {{ hat {e}} _ { i}} right) otimes mathbf {{ hat {e}} _ {i}},}$

где ${ displaystyle otimes}$ это внешний продукт оператор.

Кроме того, если а сам по себе выражается как перекрестное произведение:

${ displaystyle mathbf {a} = mathbf {c} times mathbf {d}}$

тогда

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} = mathbf {d} mathbf {c} ^ { mathrm {T}} - mathbf {c} mathbf {d} ^ { mathrm { T}}.}$

Доказательство подстановкой

Оценка перекрестного произведения дает ${ displaystyle mathbf {a} = mathbf {c} times mathbf {d} = { begin {pmatrix} c_ {2} d_ {3} -c_ {3} d_ {2} c_ {3 } d_ {1} -c_ {1} d_ {3} c_ {1} d_ {2} -c_ {2} d_ {1} end {pmatrix}}}$ Следовательно, левая часть равна ${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} = { begin {bmatrix} 0 & c_ {2} d_ {1} -c_ {1} d_ {2} & c_ {3} d_ {1} -c_ { 1} d_ {3} c_ {1} d_ {2} -c_ {2} d_ {1} & 0 & c_ {3} d_ {2} -c_ {2} d_ {3} c_ {1} d_ { 3} -c_ {3} d_ {1} & c_ {2} d_ {3} -c_ {3} d_ {2} & 0 end {bmatrix}}}$ Теперь что касается правой стороны, ${ displaystyle mathbf {c} mathbf {d} ^ { mathrm {T}} = { begin {bmatrix} c_ {1} d_ {1} & c_ {1} d_ {2} & c_ {1} d_ { 3} c_ {2} d_ {1} & c_ {2} d_ {2} & c_ {2} d_ {3} c_ {3} d_ {1} & c_ {3} d_ {2} и c_ {3} d_ {3} end {bmatrix}}}$ И его транспонирование ${ displaystyle mathbf {d} mathbf {c} ^ { mathrm {T}} = { begin {bmatrix} c_ {1} d_ {1} & c_ {2} d_ {1} & c_ {3} d_ { 1} c_ {1} d_ {2} & c_ {2} d_ {2} & c_ {3} d_ {2} c_ {1} d_ {3} & c_ {2} d_ {3} и c_ {3} d_ {3} end {bmatrix}}}$ Оценка правой части дает ${ displaystyle mathbf {d} mathbf {c} ^ { mathrm {T}} - mathbf {c} mathbf {d} ^ { mathrm {T}} = { begin {bmatrix} 0 & c_ {2 } d_ {1} -c_ {1} d_ {2} & c_ {3} d_ {1} -c_ {1} d_ {3} c_ {1} d_ {2} -c_ {2} d_ {1} & 0 & c_ {3} d_ {2} -c_ {2} d_ {3} c_ {1} d_ {3} -c_ {3} d_ {1} & c_ {2} d_ {3} -c_ {3} d_ {2} & 0 end {bmatrix}}}$ Сравнение показывает, что левая часть равна правой части.

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения, используя геометрическая алгебра. В частности, в любом измерении бивекторы могут быть идентифицированы с кососимметричными матрицами, поэтому произведение между кососимметричной матрицей и вектором эквивалентно части степени 1 произведения бивектора и вектора.^[18] В трех измерениях бивекторы двойной к векторам, поэтому произведение эквивалентно перекрестному произведению с бивектором вместо двойственного вектора. В более высоких измерениях произведение все еще можно вычислить, но бивекторы имеют больше степеней свободы и не эквивалентны векторам.^[18]

С этой нотацией также часто намного проще работать, например, в эпиполярная геометрия.

Из общих свойств векторного произведения немедленно следует, что

${ displaystyle [ mathbf {a}] _ { times} , mathbf {a} = mathbf {0}}$ и ${ Displaystyle mathbf {a} ^ { mathrm {T}} , [ mathbf {a}] _ { times} = mathbf {0}}$

и из того, что [а]_× кососимметрично, то

${ displaystyle mathbf {b} ^ { mathrm {T}} , [ mathbf {a}] _ { times} , mathbf {b} = 0.}$

Упомянутое выше разложение на тройное произведение (правило баккаба) может быть легко доказано с использованием этих обозначений.

Как упоминалось выше, алгебра Ли р³ с перекрестным произведением изоморфна алгебре Ли так (3), элементы которого можно отождествить с 3 × 3 кососимметричные матрицы. Карта а → [а]_× обеспечивает изоморфизм между р³ и так (3). На этой карте векторное произведение 3-векторов соответствует коммутатор кососимметричных матриц 3x3.

Преобразование матрицы для перекрестного произведения с каноническими базовыми векторами

Обозначая ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} in mathbf {R} ^ {3 times 1}}$ то ${ displaystyle i}$-й канонический базовый вектор, перекрестное произведение общего вектора ${ Displaystyle mathbf {v} in mathbf {R} ^ {3 times 1}}$ с участием ${ Displaystyle mathbf {е} _ {я}}$ дан кем-то: ${ displaystyle mathbf {v} times mathbf {e} _ {i} = mathbf {C} _ {i} mathbf {v}}$, где ${ displaystyle mathbf {C} _ {1} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 end {bmatrix}}, quad mathbf {C} _ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}}, quad mathbf {C} _ {3} = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 - 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix} }}$ Эти матрицы обладают следующими свойствами: ${ displaystyle mathbf {C} _ {i} ^ { textrm {T}} = - mathbf {C} _ {i}}$ (кососимметричный ); И след, и определитель равны нулю; ${ Displaystyle { текст {ранг}} ( mathbf {C} _ {я}) = 2}$; ${ displaystyle mathbf {C} _ {i} mathbf {C} _ {i} ^ { textrm {T}} = mathbf {P} _ { mathbf {e} _ {i}} ^ {^ { perp}}}$ (см. ниже); В ортогональная проекционная матрица вектора ${ Displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}}$ дан кем-то ${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbf {v}} = mathbf {v} left ( mathbf {v} ^ { textrm {T}} mathbf {v} right) ^ {- 1 } mathbf {v} ^ {T}}$. Матрица проекции на ортогональное дополнение дан кем-то ${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbf {v}} ^ {^ { perp}} = mathbf {I} - mathbf {P} _ { mathbf {v}}}$, где ${ displaystyle mathbf {I}}$ - единичная матрица. Для особого случая ${ Displaystyle mathbf {v} = mathbf {e} _ {я}}$, можно проверить, что ${ displaystyle mathbf {P} _ { mathbf {e} _ {1}} ^ {^ { perp}} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}, quad mathbf {P} _ { mathbf {e} _ {2}} ^ {^ { perp}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}, quad mathbf {P} _ { mathbf {e} _ {3}} ^ {^ { perp}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$ По поводу других свойств ортогональных матриц проекций см. проекция (линейная алгебра).

Обозначение индекса для тензоров

В качестве альтернативы перекрестное произведение можно определить в терминах Символ Леви-Чивита ε_ijk и точечный продукт η^ми (= δ^ми для ортонормированного базиса), которые полезны при преобразовании векторной записи для тензорных приложений:

${ displaystyle mathbf {c} = mathbf {a times b} Leftrightarrow c ^ {m} = sum _ {i = 1} ^ {3} sum _ {j = 1} ^ {3} sum _ {k = 1} ^ {3} eta ^ {mi} varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}}$

где индексы ${ displaystyle i, j, k}$ соответствуют компонентам вектора. Эта характеристика кросс-произведения часто выражается более компактно, используя Соглашение о суммировании Эйнштейна так как

${ displaystyle mathbf {c} = mathbf {a times b} Leftrightarrow c ^ {m} = eta ^ {mi} varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}}$

в котором повторяющиеся индексы суммируются по значениям от 1 до 3. Это представление является другой формой кососимметричного представления векторного произведения:

${ displaystyle eta ^ {mi} varepsilon _ {ijk} a ^ {j} = [ mathbf {a}] _ { times}.}$

В классическая механика: представление перекрестного произведения с помощью символа Леви-Чивита может сделать механическую симметрию очевидной, когда физические системы изотропный. (Пример: рассмотрим частицу в потенциале закона Гука в трех пространствах, свободную колебаться в трех измерениях; ни одно из этих измерений не является «особенным» ни в каком смысле, поэтому симметрии лежат в угловом моменте, представленном перекрестным произведением, который поясняются вышеупомянутым представлением Леви-Чивиты).^{[нужна цитата ]}

Мнемонический

Мнемоника для вычисления векторного произведения в векторной форме

Слово «xyzzy» можно использовать, чтобы запомнить определение перекрестного произведения.

Если

${ displaystyle mathbf {a} = mathbf {b} times mathbf {c}}$

где:

${ displaystyle mathbf {a} = { begin {bmatrix} a_ {x} a_ {y} a_ {z} end {bmatrix}}, mathbf {b} = { begin {bmatrix } b_ {x} b_ {y} b_ {z} end {bmatrix}}, mathbf {c} = { begin {bmatrix} c_ {x} c_ {y} c_ {z} end {bmatrix}}}$

тогда:

${ displaystyle a_ {x} = b_ {y} c_ {z} -b_ {z} c_ {y}}$

${ displaystyle a_ {y} = b_ {z} c_ {x} -b_ {x} c_ {z}}$

${ displaystyle a_ {z} = b_ {x} c_ {y} -b_ {y} c_ {x}.}$

Второе и третье уравнения можно получить из первого, просто повернув индексы по вертикали, Икс → у → z → Икс. Проблема, конечно, в том, как запомнить первое уравнение, и для этого доступны два варианта: либо запомнить соответствующие две диагонали схемы Сарруса (те, которые содержат я) или запомнить последовательность xyzzy.

Поскольку первая диагональ в схеме Сарруса - это просто главная диагональ из над Упомянутая матрица 3 × 3, первые три буквы слова xyzzy очень легко запомнить.

Перекрестная визуализация

Подобно приведенному выше мнемоническому устройству, «крест» или X можно визуализировать между двумя векторами в уравнении. Это может быть полезно для запоминания правильной формулы кросс-произведения.

Если

${ displaystyle mathbf {a} = mathbf {b} times mathbf {c}}$

тогда:

${ displaystyle mathbf {a} = { begin {bmatrix} b_ {x} b_ {y} b_ {z} end {bmatrix}} times { begin {bmatrix} c_ {x} c_ {y} c_ {z} end {bmatrix}}.}$

Если мы хотим получить формулу для ${ displaystyle a_ {x}}$ мы просто бросаем ${ displaystyle b_ {x}}$ и ${ displaystyle c_ {x}}$ из формулы и уберите следующие два компонента:

${ displaystyle a_ {x} = { begin {bmatrix} b_ {y} b_ {z} end {bmatrix}} times { begin {bmatrix} c_ {y} c_ {z} end {bmatrix}}.}$

При этом для ${ displaystyle a_ {y}}$ следующие два элемента должны «обернуть» матрицу так, чтобы после компонента z последовал компонент x. Для наглядности при выполнении этой операции для ${ displaystyle a_ {y}}$, следующие два компонента должны быть z и x (в указанном порядке). Хотя для ${ displaystyle a_ {z}}$ следующие два компонента следует принимать как x и y.

${ displaystyle a_ {y} = { begin {bmatrix} b_ {z} b_ {x} end {bmatrix}} times { begin {bmatrix} c_ {z} c_ {x} end {bmatrix}}, a_ {z} = { begin {bmatrix} b_ {x} b_ {y} end {bmatrix}} times { begin {bmatrix} c_ {x} c_ {y } end {bmatrix}}}$

Для ${ displaystyle a_ {x}}$ затем, если мы визуализируем перекрестный оператор как указывающий от элемента слева к элементу справа, мы можем взять первый элемент слева и просто умножить его на элемент, на который указывает крест в правой матрице. Затем мы вычитаем следующий элемент слева, умноженный на элемент, на который здесь указывает крест. В результате наши ${ displaystyle a_ {x}}$ формула -

${ displaystyle a_ {x} = b_ {y} c_ {z} -b_ {z} c_ {y}.}$

Мы можем сделать это таким же образом для ${ displaystyle a_ {y}}$ и ${ displaystyle a_ {z}}$ для построения связанных с ними формул.

Приложения

Перекрестный продукт имеет приложения в различных контекстах: например, он используется в вычислительной геометрии, физике и технике. Ниже приводится неисчерпывающий список примеров.

Вычислительная геометрия

Перекрестное произведение появляется при вычислении расстояния двух косые линии (линии не в одной плоскости) друг от друга в трехмерном пространстве.

Перекрестное произведение можно использовать для вычисления нормали для треугольника или многоугольника. Эта операция часто выполняется в компьютерная графика. Например, наматывание многоугольника (по часовой стрелке или против часовой стрелки) вокруг точки внутри многоугольника может быть вычислено путем триангуляции многоугольника (например, спицы колеса) и суммирования углов (между спицами) с использованием перекрестного произведения для отслеживания знак каждого угла.

В вычислительная геометрия из самолет, перекрестное произведение используется для определения знака острый угол определяется тремя точками ${ displaystyle p_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), p_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$ и ${ displaystyle p_ {3} = (x_ {3}, y_ {3})}$. Он соответствует направлению (вверх или вниз) поперечного произведения двух копланарных векторов определяется двумя парами точек ${ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ и ${ displaystyle (p_ {1}, p_ {3})}$. Знак острого угла - это знак выражения

${ Displaystyle P = (x_ {2} -x_ {1}) (y_ {3} -y_ {1}) - (y_ {2} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {1}) ,}$

которая представляет собой длину со знаком перекрестного произведения двух векторов.

В "правой" системе координат, если результат равен 0, точки коллинеарен; если он положительный, то три точки образуют положительный угол поворота вокруг ${ displaystyle p_ {1}}$ от ${ displaystyle p_ {2}}$ к ${ displaystyle p_ {3}}$, в противном случае - отрицательный угол. С другой точки зрения, знак ${ displaystyle P}$ говорит ли ${ displaystyle p_ {3}}$ лежит слева или справа от строки ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}.}$

Перекрестное произведение используется при расчете объема многогранник например, тетраэдр или параллелепипед.

Угловой момент и крутящий момент

В угловой момент L частицы с заданным происхождением определяется как:

${ Displaystyle mathbf {L} = mathbf {r} times mathbf {p},}$

где р - вектор положения частицы относительно начала координат, п - импульс частицы.

Таким же образом момент M силы F_B применяется в точке B вокруг точки A, определяется как:

${ Displaystyle mathbf {M} _ { mathrm {A}} = mathbf {r} _ { mathrm {AB}} times mathbf {F} _ { mathrm {B}} ,}$

В механике момент силы также называется крутящий момент и написано как ${ displaystyle mathbf { tau}}$

С позиции р, линейный импульс п и сила F все правда векторов, оба углового момента L и момент силы M находятся псевдовекторы или аксиальные векторы.

Жесткое тело

Перекрестное произведение часто встречается при описании жестких движений. Две точки п и Q на жесткое тело могут быть связаны:

${ displaystyle mathbf {v} _ {P} - mathbf {v} _ {Q} = mathbf { omega} times left ( mathbf {r} _ {P} - mathbf {r} _ {Q} right) ,}$

где ${ displaystyle mathbf {r}}$ позиция точки, ${ displaystyle mathbf {v}}$ его скорость и ${ displaystyle mathbf { omega}}$ это тело угловая скорость.

С позиции ${ displaystyle mathbf {r}}$ и скорость ${ displaystyle mathbf {v}}$ находятся правда векторов угловая скорость ${ displaystyle mathbf { omega}}$ это псевдовектор или осевой вектор.

Сила Лоренца

Перекрестное произведение используется для описания Сила Лоренца испытывает движущийся электрический заряд q_е:

${ displaystyle mathbf {F} = q_ {e} left ( mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} right)}$

Поскольку скорость v, сила F и электрическое поле E все правда векторы, магнитное поле B это псевдовектор.

Другой

В векторное исчисление, перекрестное произведение используется для определения формулы для векторный оператор завиток.

Уловка переписывания векторного произведения в терминах умножения матриц часто встречается в эпиполярный и многовидовая геометрия, в частности, при выводе ограничений соответствия.

Перекрестный продукт как внешний продукт

Перекрестное произведение по отношению к внешнему продукту. Красным цветом обозначены ортогональные единичный вектор, и «параллельный» единичный бивектор.

Перекрестное произведение можно определить в терминах внешний продукт. Его можно обобщить на внешний продукт кроме трех измерений.^[19] Этот вид^{[который? ]} позволяет естественную геометрическую интерпретацию векторного произведения. В внешняя алгебра внешнее произведение двух векторов есть бивектор. Бивектор - это ориентированный плоский элемент, почти так же, как вектор - это ориентированный линейный элемент. Учитывая два вектора а и б, можно увидеть бивектор а ∧ б как ориентированный параллелограмм, натянутый на а и б. Перекрестное произведение получается следующим образом: Ходжа звезда бивектора а ∧ б, отображение 2-векторы в векторы:

${ Displaystyle а раз Ь = звезда (а клин b) ,.}$

Это можно рассматривать как ориентированный многомерный элемент, «перпендикулярный» бивектору. Только в трех измерениях получается ориентированный одномерный элемент - вектор - тогда как, например, в четырех измерениях двойственный по Ходжу бивектор является двумерным - бивектором. Таким образом, только в трех измерениях векторное векторное произведение а и б быть определенным как вектор, двойственный к бивектору а ∧ б: он перпендикулярен бивектору с ориентацией, зависящей от руки системы координат, и имеет ту же величину относительно единичного вектора нормали, что и а ∧ б имеет относительно блока бивектор; именно те свойства, которые описаны выше.

Перекрестное произведение и ручная работа

Когда измеримые величины включают перекрестные произведения, руки используемых систем координат не может быть произвольным. Однако, когда законы физики записываются в виде уравнений, должна быть возможность сделать произвольный выбор системы координат (включая ручку). Чтобы избежать проблем, следует быть осторожным и никогда не записывать уравнение, в котором две стороны не ведут себя одинаково при всех преобразованиях, которые необходимо учитывать. Например, если одна часть уравнения является перекрестным произведением двух векторов, необходимо принять во внимание, что когда вращение системы координат равно не фиксированный априори, результатом будет не (истинный) вектор, а псевдовектор. Следовательно, для единообразия другая сторона тоже должна быть псевдовектором.^{[нужна цитата ]}

В более общем смысле результатом перекрестного произведения может быть вектор или псевдовектор, в зависимости от типа его операндов (векторы или псевдовекторы). А именно, векторы и псевдовекторы связаны между собой следующим образом при применении кросс-произведения:

• вектор × вектор = псевдовектор
• псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор
• вектор × псевдовектор = вектор
• псевдовектор × вектор = вектор.

Таким образом, согласно приведенным выше соотношениям, единичные базисные векторы я, j и k ортонормированной правой (декартовой) системы координат должен все являются псевдовекторами (если базис смешанных векторных типов запрещен, как обычно), поскольку я × j = k, j × k = я и k × я = j.

Поскольку перекрестное произведение также может быть (истинным) вектором, оно не может менять направление при преобразовании зеркального изображения. Это происходит, согласно приведенным выше отношениям, если один из операндов является (истинным) вектором, а другой - псевдовектором (например, перекрестным произведением двух векторов). Например, вектор тройное произведение с тремя (истинными) векторами является (истинным) вектором.

Безручный подход возможен с использованием внешняя алгебра.

Обобщения

Есть несколько способов обобщить перекрестное произведение на более высокие измерения.

Алгебра Ли

Перекрестное произведение можно рассматривать как одно из простейших произведений Ли, и поэтому оно обобщается следующим образом: Алгебры Ли, которые аксиоматизируются как бинарные произведения, удовлетворяющие аксиомам полилинейности, кососимметрии и тождества Якоби. Существует множество алгебр Ли, и их изучение составляет важную область математики, называемую Теория лжи.

Например, Алгебра Гейзенберга дает другую структуру алгебры Ли на ${ displaystyle mathbf {R} ^ {3}.}$ В основе ${ Displaystyle {х, у, г },}$ продукт ${ displaystyle [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0.}$

Кватернионы

Перекрестное произведение также можно описать в терминах кватернионы.В общем, если вектор [а₁, а₂, а₃] представлен как кватернион а₁я + а₂j + а₃k, перекрестное произведение двух векторов можно получить, взяв их произведение как кватернионы и удалив действительную часть результата. Реальная часть будет отрицательной скалярное произведение двух векторов.

Октонионы

Перекрестное произведение для 7-мерных векторов можно получить таким же образом, используя октонионы вместо кватернионов. Отсутствие нетривиальных векторных векторных произведений двух векторов в других измерениях связано с результатом из Теорема Гурвица что единственный нормированные алгебры с делением - это те, которые имеют размерность 1, 2, 4 и 8.

Внешний продукт

В общем измерении нет прямого аналога двоичного векторного произведения, которое дает конкретный вектор. Однако есть внешний продукт, который имеет аналогичные свойства, за исключением того, что внешнее произведение двух векторов теперь является 2-вектор вместо обычного вектора. Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать как внешний продукт в трех измерениях, используя звездный оператор Ходжа для отображения 2-векторов на векторы. Двойственное по Ходжу к внешнему произведению дает (п − 2)-вектор, который является естественным обобщением векторного произведения в любом количестве измерений.

Внешний продукт и скалярное произведение могут быть объединены (путем суммирования), чтобы сформировать геометрический продукт в геометрическая алгебра.

Внешний продукт

Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать в трех измерениях как двойственное произведение Ходжа внешнего продукта. В любом конечном п размеры, двойник Ходжа внешнего продукта п − 1 векторы - это вектор. Таким образом, вместо бинарной операции в произвольных конечных размерностях перекрестное произведение обобщается как двойственное по Ходжу внешнее произведение некоторого заданного п − 1 векторы. Это обобщение называется внешний продукт.^[20]

Коммутаторный продукт

Интерпретация трехмерного векторное пространство алгебры как 2-вектор (не 1-вектор) подалгебра трехмерного геометрическая алгебра, где ${ Displaystyle mathbf {я} = mathbf {е_ {2}} mathbf {е_ {3}}}$, ${ Displaystyle mathbf {j} = mathbf {e_ {1}} mathbf {e_ {3}}}$, и ${ Displaystyle mathbf {к} = mathbf {е_ {1}} mathbf {е_ {2}}}$, перекрестное произведение точно соответствует коммутаторный продукт в геометрической алгебре, и оба используют один и тот же символ ${ displaystyle times}$. Коммутаторное произведение определено для 2-векторов ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ в геометрической алгебре как:

${ displaystyle A times B = { tfrac {1} {2}} (AB-BA)}$

где ${ displaystyle AB}$ это геометрический продукт.^[21]

Коммутаторное произведение можно обобщить на произвольные многовекторы в трех измерениях, в результате получается мультивектор, состоящий только из элементов оценки 1 (1-векторы /истинные векторы ) и 2 (2-вектора /псевдовекторы ). В то время как коммутаторное произведение двух 1-векторов действительно такое же, как внешний продукт и дает 2-вектор, коммутатор 1-вектора и 2-вектора дает истинный вектор, соответствующий вместо этого левые и правые схватки в геометрической алгебре. Коммутаторное произведение двух 2-векторов не имеет соответствующего эквивалентного произведения, поэтому коммутаторное произведение определено в первую очередь для 2-векторов. Кроме того, коммутаторное тройное произведение трех 2-векторов такое же, как и вектор тройное произведение тех же трех псевдовекторов в векторной алгебре. Однако коммутаторное тройное произведение трех 1-векторов в геометрической алгебре вместо этого является отрицательный из вектор тройное произведение из тех же трех истинных векторов в векторной алгебре.

Обобщения на более высокие измерения обеспечиваются тем же самым коммутаторным произведением 2-векторов в геометрических алгебрах более высоких измерений, но 2-векторы больше не являются псевдовекторами. Так же, как произведение коммутатора / кросс-произведение 2-векторов в трех измерениях соответствуют простейшей алгебре Ли, 2-векторные подалгебры геометрической алгебры высшей размерности, снабженные коммутатором, также соответствуют алгебрам Ли.^[22] Также, как и в трех измерениях, коммутаторное произведение можно обобщить на произвольные мультивекторы.

Полилинейная алгебра

В контексте полилинейная алгебра, перекрестное произведение можно рассматривать как (1,2) -тензор (a смешанный тензор, в частности билинейная карта ), полученный из трехмерного объемная форма,^{[заметка 2]} (0,3) -тензор, по повышение индекса.

Подробно, трехмерная объемная форма определяет продукт. ${ Displaystyle V раз V раз V to mathbf {R},}$ взяв определитель матрицы, заданной этими тремя векторами. двойственность, это эквивалентно функции ${ displaystyle V times V to V ^ {*},}$ (фиксация любых двух входов дает функцию ${ displaystyle V to mathbf {R}}$ путем оценки на третьем входе) и при наличии внутренний продукт (такой как скалярное произведение; вообще невырожденная билинейная форма), мы имеем изоморфизм ${ Displaystyle от V до V ^ {*},}$ и, таким образом, это дает карту ${ displaystyle V times V to V,}$ который является кросс-продуктом: (0,3) -тензор (3 векторных входа, скалярный выход) был преобразован в (1,2) -тензор (2 векторных входа, 1 векторный выход) путем «повышения индекса».

Переводя приведенную выше алгебру в геометрию, функция "объем параллелепипеда" определяется формулой ${ Displaystyle (а, б, -)}$"(где первые два вектора фиксированы, а последний - вход), который определяет функцию ${ displaystyle V to mathbf {R}}$, может быть представлен однозначно как скалярное произведение с вектором: этот вектор является перекрестным произведением ${ displaystyle a times b.}$ С этой точки зрения перекрестное произведение определены посредством скалярное тройное произведение, ${ Displaystyle mathrm {Vol} (a, b, c) = (a times b) cdot c.}$

Таким же образом, в более высоких измерениях можно определить обобщенные перекрестные произведения, увеличивая индексы п-мерная объемная форма, представляющая собой ${ Displaystyle (0, п)}$-тензор. Наиболее прямые обобщения векторного произведения состоят в том, чтобы определить:

• а ${ Displaystyle (1, п-1)}$-tensor, который принимает на входе ${ displaystyle n-1}$ векторов, и дает на выходе 1 вектор - ${ Displaystyle (п-1)}$-арное векторное произведение, или
• а ${ Displaystyle (п-2,2)}$-тензор, который принимает на входе 2 вектора и дает на выходе кососимметричный тензор ранга п − 2 - бинарный продукт с рангом п − 2 тензорные значения. Можно также определить ${ Displaystyle (к, п-к)}$-тензоры для других k.

Все эти продукты являются полилинейными и кососимметричными и могут быть определены в терминах определителя и паритет.

В ${ Displaystyle (п-1)}$-аровой продукт можно охарактеризовать следующим образом: ${ displaystyle n-1}$ векторов ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n-1}}$ в ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n},}$ определить их обобщенный кросс-продукт ${ displaystyle v_ {n} = v_ {1} times cdots times v_ {n-1}}$ так как:

• перпендикулярно гиперплоскости, определяемой ${ displaystyle v_ {i},}$
• величина - это объем параллелоэдра, определяемый ${ displaystyle v_ {i},}$ который можно вычислить как Определитель грамма из ${ displaystyle v_ {i},}$
• ориентирован так, чтобы ${ displaystyle v_ {1}, dots, v_ {n}}$ положительно ориентирован.

Это уникальный полилинейный, чередующийся продукт, который оценивается как ${ Displaystyle е_ {1} раз cdots раз е_ {п-1} = е_ {п}}$, ${ Displaystyle е_ {2} раз cdots раз е_ {п} = е_ {1},}$ и так далее для циклических перестановок индексов.

В координатах можно дать формулу для этого ${ Displaystyle (п-1)}$-арный аналог кросс-произведения в р^п от:

${ displaystyle bigwedge _ {i = 0} ^ {n-1} mathbf {v} _ {i} = { begin {vmatrix} v_ {1} {} ^ {1} & cdots & v_ {1} {} ^ {n} vdots & ddots & vdots v_ {n-1} {} ^ {1} & cdots & v_ {n-1} {} ^ {n} mathbf { e} _ {1} & cdots & mathbf {e} _ {n} end {vmatrix}}.}$

Эта формула идентична по структуре определяющей формуле для нормального перекрестного произведения в р³ за исключением того, что строка базисных векторов является последней строкой в ​​определителе, а не первой. Причина в том, чтобы гарантировать, что упорядоченные векторы (v₁, ..., v_п−1, Λ^п–1
_{я = 0}v_я) иметь положительный ориентация относительно (е₁, ..., е_п). Если п является нечетным, эта модификация оставляет значение неизменным, поэтому это соглашение согласуется с обычным определением двоичного произведения. В случае, если п даже, однако, различие должно быть сохранено. Эта ${ Displaystyle (п-1)}$-арная форма обладает многими из тех же свойств, что и векторное векторное произведение: чередование и линейный по своим аргументам, он перпендикулярен каждому аргументу, а его величина дает гиперобъем области, ограниченной аргументами. И точно так же, как векторное векторное произведение, его можно определить независимо от координат как двойственное по Ходжу произведение клина аргументов.

Кососимметричная матрица

Если перекрестное произведение определяется как двоичная операция, оно принимает как ввод ровно два вектора. Если это вывод не обязательно быть вектором или псевдовектором, но вместо этого матрица, то его можно обобщить в произвольном количестве измерений.^[23][24][25]

В механике, например, угловая скорость можно интерпретировать либо как псевдовектор ${ displaystyle omega}$ или как антисимметричная матрица или кососимметричный тензор ${ displaystyle Omega}$. В последнем случае закон скорости для жесткое тело выглядит:

${ displaystyle mathbf {v} _ {P} - mathbf {v} _ {Q} = { Omega} cdot left ( mathbf {r} _ {P} - mathbf {r} _ {Q }правильно)}$

где Ω формально определяется из матрицы вращения ${ Displaystyle R ^ {N раз N}}$ связанный с корпусом: ${ displaystyle Omega triggeredq { frac {dR} {dt}} R ^ { mathrm {T}}.}$ В трехмерных зацепках:

${ displaystyle Omega = [ omega] _ { times} = { begin {bmatrix} , , 0 & ! - omega _ {3} & , , , omega _ {2} , , , omega _ {3} & 0 & ! - omega _ {1} ! - omega _ {2} & , , omega _ {1} & , , 0 end {bmatrix}}}$