Ряд Фурье - Fourier series

В математика, а Фурье серии (/ˈжʊrяeɪ,-яər/^[1]) это периодическая функция состоит из гармонично связанных синусоиды, объединенные взвешенным суммированием. При соответствующем весе один цикл (или период) суммирования можно выполнить для аппроксимации произвольной функции в этом интервале (или всей функции, если она также является периодической). Таким образом, суммирование представляет собой синтез другой функции. В преобразование Фурье с дискретным временем является примером ряда Фурье. Процесс получения весов, описывающих данную функцию, представляет собой форму Фурье анализ. Для функций на неограниченных интервалах аналогии анализа и синтеза имеют вид преобразование Фурье и обратное преобразование.

Функция ${ displaystyle s (x)}$ (красный) - это сумма шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье, ${ Displaystyle S (е)}$ (синим цветом), который отображает амплитуду в зависимости от частоты, показывает 6 частот (на нечетных гармониках) и их амплитуды (1 / нечетное число).

История

Ряд Фурье назван в честь Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830), внесшие важный вклад в изучение тригонометрический ряд, после предварительного расследования Леонард Эйлер, Жан ле Ронд д'Аламбер, и Даниэль Бернулли.^[A] Фурье ввел ряд для решения задачи уравнение теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первые результаты в 1807 г. Память о пропаганде шаллера в солидном корпусе (Трактат о распространении тепла в твердых телах), и опубликовав его Теория аналитик де ла шалёр (Аналитическая теория тепла) в 1822 году. Mémoire представил анализ Фурье, в частности ряды Фурье. Исследованиями Фурье было установлено, что произвольная (сначала непрерывная ^[2] а затем обобщены на любые кусочно -гладкая функция^[3] можно представить в виде тригонометрического ряда. Первое сообщение об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 г., до Французская Академия.^[4] Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций восходят к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семявыносящие протоки и эпициклы.

В уравнение теплопроводности это уравнение в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя частные решения были известны, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла был синус или косинус волна. Эти простые решения теперь иногда называют собственные решения. Идея Фурье заключалась в моделировании сложного источника тепла в виде суперпозиции (или линейная комбинация ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозиция соответствующих собственные решения. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функция и интеграл в начале девятнадцатого века. Позже, Питер Густав Лежен Дирихле^[5] и Бернхард Риманн^[6][7][8] выразил результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые связаны с линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоиды. Ряд Фурье имеет много таких приложений в электротехника, вибрация анализ, акустика, оптика, обработка сигнала, обработка изображений, квантовая механика, эконометрика,^[9] тонкостенная оболочка теория^[10] и т.п.

Определение

Рассмотрим функцию с действительными значениями, ${ displaystyle s (x)}$, это интегрируемый на отрезке длины ${ displaystyle P}$, который будет периодом ряда Фурье. Типичные примеры интервалов анализа:

${ Displaystyle х в [0,1],}$ и ${ displaystyle P = 1.}$

${ Displaystyle х в [- пи, пи],}$ и ${ Displaystyle P = 2 pi.}$

В анализ процесс определяет веса, индексированные целым числом ${ displaystyle n}$, что также является количеством циклов ${ displaystyle n ^ { text {th}}}$ гармоника в интервале анализа. Следовательно, длина цикла в единицах ${ displaystyle x}$, является ${ displaystyle P / n}$. И соответствующая частота гармоники ${ displaystyle n / P}$. В ${ displaystyle n ^ {th}}$ гармоники ${ displaystyle sin left (2 pi x { tfrac {n} {P}} right)}$ и ${ displaystyle cos left (2 pi x { tfrac {n} {P}} right)}$, а их амплитуды (веса) находятся интегрированием по интервалу длины ${ displaystyle P}$:^[11]

Коэффициенты Фурье

${ displaystyle { begin {align} a_ {n} & = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) cdot cos left (2 pi x { tfrac { n} {P}} right) , dx b_ {n} & = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) cdot sin left (2 pi x { tfrac {n} {P}} right) , dx. end {align}}}$

(Уравнение 1)

• Если ${ displaystyle s (x)}$ является ${ displaystyle P}$-периодической, то достаточно любого интервала такой длины.
• ${ displaystyle a_ {0}}$ и ${ displaystyle b_ {0}}$ можно свести к ${ displaystyle a_ {0} = { frac {2} {P}} int _ {P} s (x) , dx}$ и ${ displaystyle b_ {0} = 0}$.
• Многие тексты выбирают ${ Displaystyle P = 2 pi}$ для упрощения аргумента синусоидальных функций.

В синтез процесс (фактический ряд Фурье):

Ряд Фурье, синус-косинусная форма

${ displaystyle { begin {align} s_ {N} (x) = { frac {a_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ {N} left (a_ {n} cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) + b_ {n} sin left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) right) . end {выравнивается}}}$

(Уравнение 2)

В общем, целое число ${ displaystyle N}$ теоретически бесконечно. Даже в этом случае ряд может не сходиться или точно равняться ${ displaystyle s (x)}$ при всех значениях ${ displaystyle x}$ (например, одноточечный разрыв) в интервале анализа. Для «хороших» функций, типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство.

Если ${ displaystyle s (t)}$ функция, содержащаяся в интервале длины ${ displaystyle P}$ (и ноль в других местах), верхний правый квадрант является примером того, каковы его коэффициенты ряда Фурье (${ displaystyle A_ {n}}$) может выглядеть так, если сравнивать их с соответствующими частотами гармоник. Левый верхний квадрант - соответствующее преобразование Фурье ${ displaystyle s (t).}$ Суммирование ряда Фурье (не показано) синтезирует периодическое суммирование ${ displaystyle s (t),}$ тогда как обратное преобразование Фурье (не показано) синтезирует только ${ displaystyle s (t).}$

Используя тригонометрическую идентичность:

${ Displaystyle A_ {n} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right) Equiv underbrace {A_ {n} cos ( varphi _ {n})} _ {a_ {n}} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right) + underbrace {A_ {n} sin ( varphi _ {n})} _ {b_ {n}} cdot sin left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} right),}$

и определения ${ Displaystyle A_ {п} треугольникq { sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}}}$ и ${ Displaystyle varphi _ {п} треугольник OperatorName {arctan2} (b_ {n}, a_ {n})}$, пары синус и косинус могут быть выражены как одна синусоида со сдвигом фазы, аналогично преобразованию между ортогональными (декартовыми) и полярными координатами:

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

${ displaystyle s_ {N} (x) = { frac {A_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} cdot cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right).}$

(Уравнение 3)

Обычная форма обобщения до комплексных значений ${ displaystyle s (x)}$ (следующий раздел) получается с использованием Формула Эйлера чтобы разбить косинусную функцию на комплексные экспоненты. Вот, комплексное сопряжение обозначается звездочкой:

${ displaystyle { begin {array} {lll} cos left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right) & {} Equiv { tfrac {1 } {2}} e ^ {i left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right)} & {} + { tfrac {1} {2}} e ^ {- i left ({ tfrac {2 pi nx} {P}} - varphi _ {n} right)} & = left ({ tfrac {1} {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} right) cdot e ^ {i { tfrac {2 pi (+ n) x} {P}}} & {} + left ({ tfrac {1 } {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} right) ^ {*} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi (-n) x} {P}}}. конец {массив}}}$

Поэтому с определениями:

${ Displaystyle c_ {п} треугольникq влево {{ begin {array} {lll} A_ {0} / 2 & = a_ {0} / 2, quad & n = 0 { tfrac {A_ {n }} {2}} e ^ {- i varphi _ {n}} & = { tfrac {1} {2}} (a_ {n} -ib_ {n}), quad & n> 0 c_ {| n |} ^ {*}, quad && n <0 end {array}} right } quad = quad { frac {1} {P}} int _ {P} s (x) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx,}$

конечный результат:

Ряд Фурье, экспоненциальная форма

${ displaystyle s_ {N} (x) = sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}}.}$

(Уравнение 4)

Комплексные функции

Если ${ displaystyle s (x)}$ является комплексной функцией действительной переменной ${ displaystyle x,}$ обе компоненты (действительная и мнимая части) являются действительными функциями, которые могут быть представлены рядом Фурье. Два набора коэффициентов и частичная сумма определяются как:

${ displaystyle c _ {_ {Rn}} = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Re} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx}$ и ${ displaystyle c _ {_ {In}} = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Im} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx}$

${ displaystyle s_ {N} (x) = sum _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {Rn}} cdot e ^ {я { tfrac {2 pi nx} {P}} } + i cdot sum _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {In}} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}} = sum _ { n = -N} ^ {N} left (c _ {_ {Rn}} + i cdot c _ {_ {In}} right) cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P }}}.}$

Определение ${ Displaystyle c_ {п} треугольник с _ {_ {Rn}} + я cdot c _ {_ {In}}}$ дает:

${ displaystyle s_ {N} (x) = sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} cdot e ^ {i { tfrac {2 pi nx} {P}}}.}$

(Уравнение 5)

Это идентично Уравнение 4 Кроме ${ displaystyle c_ {n}}$ и ${ displaystyle c _ {- n}}$ больше не являются комплексными конъюгатами. Формула для ${ displaystyle c_ {n}}$ также без изменений:

${ displaystyle { begin {align} c_ {n} & = { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Re} {s (x) } cdot e ^ {- я { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx + i cdot { frac {1} {P}} int _ {P} operatorname {Im} {s (x) } cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx [4pt] & = { frac {1} {P}} int _ {P} left ( OperatorName {Re} {s (x) } + i cdot operatorname {Im} {s (x) } right) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P }}} dx = { frac {1} {P}} int _ {P} s (x) cdot e ^ {- i { tfrac {2 pi nx} {P}}} dx. end {выровненный}}}$

Другие общие обозначения

Обозначение ${ displaystyle c_ {n}}$ не подходит для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому его обычно заменяют модифицированной формой функции (${ displaystyle s}$, в данном случае), например ${ displaystyle { hat {s}} (п)}$ или ${ Displaystyle S [п]}$, а функциональная нотация часто заменяет индекс:

${ Displaystyle { begin {align} s _ { infty} (x) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} { hat {s}} (n) cdot e ^ {i , 2 pi nx / P} [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot e ^ {j , 2 pi nx / P} && scriptstyle { mathsf {общий инженерный нотация}} конец {выровненный}}}$

В технике, особенно когда переменная ${ displaystyle x}$ представляет время, последовательность коэффициентов называется частотная область представление. Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что область действия этой функции представляет собой дискретный набор частот.

Другое широко используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции Гребень Дирака:

${ Displaystyle S (е) треугольник сумма _ {п = - infty} ^ { infty} S [n] cdot delta left (f - { frac {n} {P}} правильно),}$

где ${ displaystyle f}$ представляет собой непрерывную частотную область. Когда переменная ${ displaystyle x}$ имеет единицы секунд, ${ displaystyle f}$ имеет единицы герц. «Зубцы» гребня разнесены на несколько интервалов (т.е. гармоники ) из ${ displaystyle 1 / P}$, который называется основная частота.  ${ Displaystyle s _ { infty} (х)}$ может быть восстановлен из этого представления обратное преобразование Фурье:

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {F}} ^ {- 1} {S (f) } & = int _ {- infty} ^ { infty} left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot delta left (f - { frac {n} {P}} right) right) e ^ {i2 pi fx} , df, [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [n] cdot int _ {- infty} ^ { infty} delta left (f - { frac {n} {P}} right) e ^ {i2 pi fx} , df, [6pt] & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} S [ n] cdot e ^ {i , 2 pi nx / P} треугольникq s _ { infty} (x). end {align}}}$

Построенная функция ${ Displaystyle S (е)}$ поэтому обычно называют преобразование Фурье, даже если интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник.^[B]

Конвергенция

В инженерное дело В приложениях обычно предполагается, что ряд Фурье сходится почти везде (за исключением дискретных разрывов), поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, которые математики могут предоставить в качестве контрпримеров к этому предположению. В частности, если ${ displaystyle s}$ непрерывна, а производная от ${ displaystyle s (x)}$ (который может существовать не везде) интегрируем с квадратом, то ряд Фурье ${ displaystyle s}$ сходится абсолютно и равномерно к ${ displaystyle s (x)}$.^[12] Если функция интегрируемый с квадратом на интервале ${ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} + P]}$, то ряд Фурье сходится к функции почти в каждой точке. Сходимость рядов Фурье также зависит от конечного числа максимумов и минимумов функции, которая широко известна как одна из Условие Дирихле для рядов Фурье. Увидеть Сходимость рядов Фурье.. Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, в таких случаях сходимость по норме или слабая конвергенция обычно представляет интерес.

• 

  Четыре частные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к прямоугольной волне улучшается по мере увеличения числа членов (анимация)

• 

  Четыре частные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения числа членов (анимация)

• 

  Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» (феномен Гиббса) на переходах к вертикальным участкам и обратно.

Можно увидеть интерактивную анимацию Вот.

Примеры

Пример 1: простой ряд Фурье

Сюжет о пилообразная волна, периодическое продолжение линейной функции ${ Displaystyle s (х) = х / пи}$ на интервале ${ displaystyle (- pi, pi]}$

Анимированный сюжет первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Теперь мы используем приведенную выше формулу, чтобы дать разложение в ряд Фурье очень простой функции. Рассмотрим пилообразную волну

${ displaystyle s (x) = { frac {x} { pi}}, quad mathrm {for} - pi$

${ displaystyle s (x + 2 pi k) = s (x), quad mathrm {for} - pi$

В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид

${ displaystyle { begin {align} a_ {n} & = { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} s (x) cos (nx) , dx = 0, quad n geq 0. [4pt] b_ {n} & = { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} s (x) sin (nx) , dx [4pt] & = - { frac {2} { pi n}} cos (n pi) + { frac {2} { pi ^ {2} n ^ {2}}} sin (n pi) [4pt] & = { frac {2 , (- 1) ^ {n + 1}} { pi n}}, quad n geq 1. end {align}}}$

Можно доказать, что ряд Фурье сходится к ${ displaystyle s (x)}$ в каждой точке ${ displaystyle x}$ где ${ displaystyle s}$ дифференцируема, поэтому:

${ displaystyle { begin {align} s (x) & = { frac {a_ {0}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} cos left (nx right) + b_ {n} sin left (nx right) right] [4pt] & = { frac {2} { pi}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} sin (nx), quad mathrm {for} quad x- pi notin 2 pi mathbb {Z}. end {выравнивается}}}$

(Уравнение 7)

Когда ${ Displaystyle х = пи}$, ряд Фурье сходится к 0, который является полусуммой левого и правого пределов s в ${ Displaystyle х = пи}$. Это частный случай Теорема Дирихле для ряда Фурье.

Распределение тепла в металлической пластине по методу Фурье

Этот пример приводит нас к решению Базельская проблема.

Пример 2: мотивация Фурье

Разложение нашей функции в примере 1 в ряд Фурье выглядит сложнее, чем простая формула ${ Displaystyle s (х) = х / пи}$, поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя приложений много, мотивация Фурье заключалась в решении уравнение теплопроводности. Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата со стороной ${ displaystyle pi}$ метров, с координатами ${ Displaystyle (х, у) в [0, пи] раз [0, пи]}$. Если внутри пластины нет источника тепла и если температура на трех из четырех сторон составляет 0 градусов Цельсия, а четвертая сторона, заданная формулой ${ displaystyle y = pi}$, поддерживается при градиенте температуры ${ Displaystyle Т (х, пи) = х}$ градусов Цельсия, для ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle (0, pi)}$, то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением

${ Displaystyle Т (х, у) = 2 сумма _ {п = 1} ^ { infty} { гидроразрыва {(-1) ^ {п + 1}} {п}} грех (пх) { sinh (ny) over sinh (n pi)}.}$

Здесь sinh - это гиперболический синус функция. Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого членаУравнение 7 от ${ Displaystyle зп (ny) / зп (п пи)}$. Хотя наш пример функции ${ displaystyle s (x)}$ имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла ${ Displaystyle Т (х, у)}$ нетривиально. Функция ${ displaystyle T}$ нельзя записать как выражение в закрытой форме. Этот метод решения тепловой проблемы стал возможным благодаря работе Фурье.

Другие приложения

Другое применение этого ряда Фурье - решение Базельская проблема используя Теорема Парсеваля. Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2п) для любого положительного целого числап.

Начало

Жозеф Фурье писал:^{[сомнительный – обсудить]}

${ displaystyle varphi (y) = a_ {0} cos { frac { pi y} {2}} + a_ {1} cos 3 { frac { pi y} {2}} + a_ { 2} cos 5 { frac { pi y} {2}} + cdots.}$

Умножая обе стороны на ${ Displaystyle соз (2к + 1) { гидроразрыва { пи у} {2}}}$, а затем интегрирование из ${ displaystyle y = -1}$ к ${ displaystyle y = + 1}$ дает:

${ displaystyle a_ {k} = int _ {- 1} ^ {1} varphi (y) cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} , dy.}$

— Жозеф Фурье, Память о пропаганде шаллера в солидном корпусе. (1807)^[13][C]

Это сразу дает любой коэффициент а_k из тригонометрический ряд для φ (у) для любой функции, имеющей такое расширение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих условиях сходимости) интеграл

${ displaystyle { begin {align} a_ {k} & = int _ {- 1} ^ {1} varphi (y) cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} , dy & = int _ {- 1} ^ {1} left (a cos { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y } {2}} + a ' cos 3 { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}} + cdots right) , ду конец {выровнено}}}$

можно проводить посменно. Но все термины, включающие ${ displaystyle cos (2j + 1) { frac { pi y} {2}} cos (2k + 1) { frac { pi y} {2}}}$ для j ≠ k исчезают при интегрировании от -1 до 1, оставляя только k-й семестр.

В этих нескольких строках, близких к современным формализм использованный в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлер, д'Аламбер, Даниэль Бернулли и Гаусс Фурье считал, что такой тригонометрический ряд может представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это действительно так, это довольно тонкий вопрос, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях конвергенция, функциональные пространства, и гармонический анализ.

Когда в 1811 году Фурье представил конкурсное эссе, комиссия (в которую входила Лагранж, Лаплас, Малус и Legendre, среди прочего) пришел к выводу: ... способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не лишен трудностей, и ... его анализ, направленный на их интеграцию, по-прежнему оставляет желать лучшего в плане общности и даже строгость.^{[нужна цитата ]}

Рождение гармонического анализа

Со времен Фурье было открыто множество различных подходов к определению и пониманию концепции рядов Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из них подчеркивает разные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны в то время, когда Фурье завершил свою первоначальную работу. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для вещественнозначных функций вещественных аргументов и использовал функции синуса и косинуса в качестве базисный набор для разложения.

Многие другие Преобразования, связанные с Фурье были определены, расширяя первоначальную идею на другие приложения. Эту общую область исследований теперь иногда называют гармонический анализ. Однако ряд Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале.

Расширения

Ряд Фурье на квадрате

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ на площади ${ Displaystyle [- пи, пи] раз [- пи, пи]}$:

${ Displaystyle { begin {выровнено} е (х, у) & = сумма _ {j, к , in , mathbb {Z} { text {(целые числа)}}} c_ {j, k } e ^ {ijx} e ^ {iky}, [5pt] c_ {j, k} & = {1 over 4 pi ^ {2}} int _ {- pi} ^ { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x, y) e ^ {- ijx} e ^ {- iky} , dx , dy. end {align}}}$

Помимо того, что он полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одно примечательное применение ряда Фурье на квадрате находится в сжатие изображений. В частности, jpeg стандарт сжатия изображений использует двумерный дискретное косинусное преобразование, которое является преобразованием Фурье с использованием базисных функций косинуса.

Ряд Фурье решеточно-периодической функции Браве

Трехмерный Решетка Браве определяется как набор векторов вида:

${ displaystyle mathbf {R} = n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3} }$

где ${ displaystyle n_ {i}}$ целые числа и ${ Displaystyle mathbf {а} _ {я}}$ - три линейно независимых вектора. Предполагая, что у нас есть какая-то функция, ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$, такое, что он удовлетворяет следующему условию для любого вектора решетки Браве ${ Displaystyle mathbf {R}: е ( mathbf {r}) = f ( mathbf {R} + mathbf {r})}$, мы могли бы составить из него ряд Фурье. Такого рода функцией может быть, например, эффективный потенциал, который один электрон «ощущает» внутри периодического кристалла. Полезно составить ряд Фурье потенциала, тогда при применении Теорема Блоха. Во-первых, мы можем написать любой произвольный вектор ${ displaystyle mathbf {r}}$ в системе координат решетки:

${ displaystyle mathbf {r} = x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ { 2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}$

где ${ Displaystyle а_ {я} треугольник | mathbf {а} _ {я} |.}$

Таким образом, мы можем определить новую функцию,

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) треугольник f ( mathbf {r}) = f left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ { 1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} right).}$

Эта новая функция, ${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$, теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность а₁, а₂, а₃ соответственно:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} + a_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} , x_ {2} + a_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} + a_ {3}).}$

Если мы напишем серию для г на интервале [0, а₁] для Икс₁, мы можем определить следующее:

${ displaystyle h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) треугольникq { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ { 1}} , dx_ {1}}$

И тогда мы можем написать:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}}}$

Дальнейшее определение:

${ displaystyle { begin {align} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) и треугольникq { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} h ^ { mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}} , dx_ {2} [12pt] & = { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ { 2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi left ({ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}}) {a_ {2}}} x_ {2} right)} end {align}}}$

Мы можем написать ${ displaystyle g}$ еще раз как:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} sum _ {m_ {2} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} { a_ {1}}} x_ {1}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}}}$

Наконец, применив то же самое для третьей координаты, мы определяем:

${ displaystyle { begin {align} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) и треугольникq { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} h ^ { mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}} , dx_ {3} [12pt] & = { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} { frac {1} {a_ { 1}}} int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) cdot e ^ {- i2 pi left ( { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + { frac {m_ {3}) } {a_ {3}}} x_ {3} right)} end {align}}}$

Мы пишем ${ displaystyle g}$ так как:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} sum _ {m_ {2} = - infty} ^ { infty} sum _ {m_ {3} = - infty} ^ { infty} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {2}} {a_ {2}) }}} x_ {2}} cdot e ^ {i2 pi { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}}}$

Перестановка:

${ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = sum _ {m_ {1}, m_ {2}, m_ {3} in mathbb {Z}} h ^ { mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) cdot e ^ {i2 pi left ({ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + { frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + { frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3} right)}. }$

Теперь каждый взаимный вектор решетки можно записать как ${ displaystyle mathbf {G} = ell _ {1} mathbf {g} _ {1} + ell _ {2} mathbf {g} _ {2} + ell _ {3} mathbf { g} _ {3}}$, где ${ displaystyle l_ {i}}$ целые числа и ${ displaystyle mathbf {g} _ {i}}$ - векторы обратной решетки, можно использовать тот факт, что ${ displaystyle mathbf {g_ {i}} cdot mathbf {a_ {j}} = 2 pi delta _ {ij}}$ чтобы вычислить, что для любого произвольного вектора обратной решетки ${ displaystyle mathbf {G}}$ и произвольный вектор в пространстве ${ displaystyle mathbf {r}}$, их скалярное произведение:

${ Displaystyle mathbf {G} cdot mathbf {r} = left ( ell _ {1} mathbf {g} _ {1} + ell _ {2} mathbf {g} _ {2} + ell _ {3} mathbf {g} _ {3} right) cdot left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}} } right) = 2 pi left (x_ {1} { frac { ell _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { ell _ {2}} { a_ {2}}} + x_ {3} { frac { ell _ {3}} {a_ {3}}} right).}$

Итак, ясно, что в нашем разложении сумма фактически берется по векторам обратной решетки:

${ Displaystyle е ( mathbf {r}) = сумма _ { mathbf {G}} ч ( mathbf {G}) cdot e ^ {я mathbf {G} cdot mathbf {r}}, }$

где

${ displaystyle h ( mathbf {G}) = { frac {1} {a_ {3}}} int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} , { frac {1} {a_ {2}}} int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} , { frac {1} {a_ {1}}} int _ {0} ^ {a_ {1 }} dx_ {1} , f left (x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a } _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} right) cdot e ^ {- i mathbf {G} cdot mathbf {r}}.}$

Предполагая

${ displaystyle mathbf {r} = (x, y, z) = x_ {1} { frac { mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} { frac { mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} { frac { mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}$

мы можем решить эту систему трех линейных уравнений относительно ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle z}$ с точки зрения ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {3}}$ для вычисления элемента объема в исходной декартовой системе координат. Как только у нас есть ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle z}$ с точки зрения ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {3}}$, мы можем вычислить Определитель якобиана:

${ displaystyle { begin {vmatrix} { dfrac { partial x_ {1}} { partial x}} & { dfrac { partial x_ {1}} { partial y}} & { dfrac { частичный x_ {1}} { partial z}} [12pt] { dfrac { partial x_ {2}} { partial x}} & { dfrac { partial x_ {2}} { partial y }} & { dfrac { partial x_ {2}} { partial z}} [12pt] { dfrac { partial x_ {3}} { partial x}} & { dfrac { partial x_ {3}} { partial y}} & { dfrac { partial x_ {3}} { partial z}} end {vmatrix}}}$

которое после некоторых вычислений и применения некоторых нетривиальных тождеств перекрестного произведения можно показать, что оно равно:

${ displaystyle { frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}}) )}}}$

(может быть полезно для упрощения вычислений работать в такой декартовой системе координат, в которой так уж получилось, что ${ Displaystyle mathbf {а_ {1}}}$ параллельно оси x, ${ Displaystyle mathbf {а_ {2}}}$ лежит в Икс-у самолет, и ${ Displaystyle mathbf {а_ {3}}}$ имеет компоненты всех трех осей). Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, которая окружена тремя примитивными векторами. ${ Displaystyle mathbf {а_ {1}}}$, ${ Displaystyle mathbf {а_ {2}}}$ и ${ Displaystyle mathbf {а_ {3}}}$. В частности, теперь мы знаем, что

${ displaystyle dx_ {1} , dx_ {2} , dx_ {3} = { frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}})}} cdot dx , dy , dz.}$

Мы можем написать сейчас ${ Displaystyle ч ( mathbf {K})}$ как интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {3}}$ переменные:

${ displaystyle h ( mathbf {G}) = { frac {1} { mathbf {a_ {1}} cdot ( mathbf {a_ {2}} times mathbf {a_ {3}})} } int _ {C} d mathbf {r} f ( mathbf {r}) cdot e ^ {- i mathbf {K} cdot mathbf {r}}}$

И ${ displaystyle C}$ примитивная элементарная ячейка, таким образом, ${ Displaystyle mathbf {а_ {1}} cdot ( mathbf {а_ {2}} раз mathbf {а_ {3}})}$ - объем примитивной элементарной ячейки.

Интерпретация гильбертова пространства

На языке Гильбертовы пространства, набор функций ${ displaystyle {e_ {n} = e ^ {inx}: п in mathbb {Z} }}$ является ортонормированный базис для космоса ${ Displaystyle L ^ {2} ([- пи, пи])}$ квадратично интегрируемых функций на ${ displaystyle [- pi, pi]}$. Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством с внутренний продукт дано для любых двух элементов ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ от

${ Displaystyle langle f, , g rangle ; треугольник ; { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) { overline {g (x)}} , dx.}$

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств может быть записан как

${ displaystyle f = sum _ {n = - infty} ^ { infty} langle f, e_ {n} rangle , e_ {n}.}$

Синусы и косинусы образуют ортонормированный набор, как показано выше. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и сокращаются), когда ${ displaystyle m}$, ${ displaystyle n}$ или функции разные, а пи только если ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ равны, и используемая функция одинакова.

Это в точности соответствует приведенной выше комплексной экспоненциальной формулировке. Версия с синусами и косинусами также оправдана интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор:

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos (mx) , cos (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} cos ((nm) x) + cos ((n + m) x) , dx = pi delta _ {mn}, quad m, n geq 1, ,}$

${ Displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} sin (mx) , sin (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} cos ((nm) x) - cos ((n + m) x) , dx = pi delta _ {mn}, quad m, n geq 1}$

(где δ_мин это Дельта Кронекера ), и

${ displaystyle int _ {- pi} ^ { pi} cos (mx) , sin (nx) , dx = { frac {1} {2}} int _ {- pi} ^ { pi} sin ((n + m) x) + sin ((nm) x) , dx = 0; ,}$

кроме того, синусы и косинусы ортогональны постоянной функции ${ displaystyle 1}$. An ортонормированный базис для ${ Displaystyle L ^ {2} ([- пи, пи])}$ состоящий из реальных функций, образован функциями ${ displaystyle 1}$ и ${ displaystyle { sqrt {2}} cos (nx)}$, ${ displaystyle { sqrt {2}} sin (nx)}$ с участием п = 1, 2, ... Плотность их диапазона является следствием Теорема Стоуна – Вейерштрасса, но следует также из свойств классических ядер типа Ядро Фейера.

Свойства

Таблица основных свойств

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

• ${ displaystyle z ^ {*}}$ это комплексно сопряженный из ${ displaystyle z}$.
• ${ Displaystyle е (х), г (х)}$ назначить ${ displaystyle P}$-периодические функции, определенные на ${ Displaystyle 0 <х leq P}$.
• ${ Displaystyle F [n], G [n]}$ обозначим коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальную форму) ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ как определено в уравнении Уравнение 5.

Свойство	Область времени	Частотная область (экспоненциальная форма)	Замечания	Справка
Линейность	${ Displaystyle а CDOT е (х) + б CDOT г (х)}$	${ Displaystyle а cdot F [n] + b cdot G [n]}$	сложные числа ${ displaystyle a, b}$
Обратное время / изменение частоты	${ displaystyle f (-x)}$	${ Displaystyle F [-n]}$		[14]:п. 610
Сопряжение времени	${ displaystyle f (x) ^ {*}}$	${ Displaystyle F [-n] ^ {*}}$		[14]:п. 610
Обращение времени и спряжение	${ displaystyle f (-x) ^ {*}}$	${ Displaystyle F [п] ^ {*}}$
Реальная часть времени	${ displaystyle operatorname {Re} {(f (x))}}$	${ displaystyle { frac {1} {2}} (F [n] + F [-n] ^ {*})}$
Воображаемая часть времени	${ displaystyle operatorname {Im} {(f (x))}}$	${ displaystyle { frac {1} {2i}} (F [n] -F [-n] ^ {*})}$
Реальная часть частоты	${ Displaystyle { гидроразрыва {1} {2}} (f (x) + f (-x) ^ {*})}$	${ displaystyle operatorname {Re} {(F [n])}}$
Мнимая часть частоты	${ displaystyle { frac {1} {2i}} (f (x) -f (-x) ^ {*})}$	${ displaystyle operatorname {Im} {(F [n])}}$
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${ displaystyle f (х-х_ {0})}$	${ displaystyle F [n] cdot e ^ {- i { frac {2 pi x_ {0}} {T}} n}}$	настоящий номер ${ displaystyle x_ {0}}$	[14]:п. 610
Сдвиг частоты / модуляция во времени	${ Displaystyle е (х) cdot e ^ {я { гидроразрыва {2 pi n_ {0}} {T}} x}}$	${ Displaystyle F [п-п_ {0}] !}$	целое число ${ displaystyle n_ {0}}$	[14]:п. 610

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четные и нечетные части, имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие:^[15]

${ displaystyle { begin {array} {rccccccccc} { text {Time domain}} & f & = & f _ {_ { text {RE}}} & + & f _ {_ { text {RO}}} & + & if_ { _ { text {IE}}} & + & underbrace {i f _ {_ { text {IO}}}} & { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} && { Bigg Updownarrow} { mathcal {F}} { text {Частотный домен}} & F & = & F_ {RE} & + & overbrace {i F_ {IO}} & + & i F_ {IE} & + & F_ {RO} end {массив}}}$

Отсюда очевидны различные отношения, например:

• Преобразование вещественной функции (ж_RE+ ж_RO) это даже симметричный функция F_RE+ я F_IO. И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции (я ж_IE+ я ж_IO) это нечетно симметричный функция F_RO+ я F_IE, и верно обратное.
• Преобразование четно-симметричной функции (ж_RE+ я ж_IO) - вещественная функция F_RE+ F_RO, и верно обратное.
• Преобразование нечетно-симметричной функции (ж_RO+ я ж_IE) - мнимозначная функция я F_IE+ я F_IO, и верно обратное.

Лемма Римана – Лебега.

Если ${ displaystyle f}$ является интегрируемый, ${ displaystyle lim _ {| n | rightarrow infty} { hat {f}} (n) = 0}$, ${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} a_ {n} = 0}$ и ${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} b_ {n} = 0.}$ Этот результат известен как Лемма Римана – Лебега..