K-распределение - Википедия - K-distribution

В вероятность и статистика, то K-распределение представляет собой трехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей. Распределение возникает путем сложения двух гамма-распределения. В каждом случае используется повторная параметризация обычной формы семейства гамма-распределений, так что параметры следующие:

• среднее значение распределения, и
• обычный параметр формы.

K-распределение - это частный случай дисперсионно-гамма-распределение, что, в свою очередь, является частным случаем обобщенное гиперболическое распределение.

Плотность

Модель такова случайная переменная ${ displaystyle X}$ имеет гамма-распределение со средним ${ displaystyle sigma}$ и параметр формы ${ displaystyle alpha}$, с ${ displaystyle sigma}$ рассматривается как случайная величина, имеющая другое гамма-распределение, на этот раз со средним ${ displaystyle mu}$ и параметр формы ${ displaystyle beta}$. В результате ${ displaystyle X}$ имеет следующие функция плотности вероятности (pdf) для ${ displaystyle x> 0}$:^[1]

${ displaystyle f_ {X} (x; mu, alpha, beta) = { frac {2} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} , left ({ frac { alpha beta} { mu}} right) ^ { frac { alpha + beta} {2}} , x ^ {{ frac { alpha + beta} {2}} - 1} K _ { alpha - beta} left (2 { sqrt { frac { alpha beta x} { mu}}} right),}$

куда ${ displaystyle K}$ это модифицированная функция Бесселя второго рода. Отметим, что для модифицированной функции Бесселя второго рода мы имеем ${ Displaystyle K _ { nu} = K _ {- nu}}$. В этом выводе K-распределение представляет собой сложное распределение вероятностей. Это также распространение продукции:^[1] это распределение продукта двух независимых случайных величин, одна из которых имеет гамма-распределение со средним значением 1 и параметром формы. ${ displaystyle alpha}$, второй имеет гамма-распределение со средним ${ displaystyle mu}$ и параметр формы ${ displaystyle beta}$.

Более простой двухпараметрической формализацией K-распределения является^[2]

${ displaystyle f_ {X} (x; b, v) = { frac {2b} { Gamma (v)}} left ({ frac {bx} {2}} right) ^ {v} K_ {v-1} (bx),}$

куда v коэффициент формы, б - коэффициент масштабирования, а K - модифицированная функция Бесселя второго рода.

Это распределение происходит из статьи Эрик Джейкман и Питер Пьюзи (1978), которые использовали его для моделирования морского микроволнового эха. Jakeman и Tough (1987) получили распределение на основе модели смещенного случайного блуждания. Уорд (1981) получил распределение из произведения двух случайных величин: z = а у, куда а имеет распределение ци и у сложное распределение Гаусса. Модуль упругости z, | z |, то имеет K-распределение.

Моменты

Производящая функция момента определяется выражением^[3]

${ Displaystyle M_ {X} (s) = left ({ frac { xi} {s}} right) ^ { beta / 2} exp left ({ frac { xi} {2s} } right) W _ {- delta / 2, gamma / 2} left ({ frac { xi} {s}} right),}$

куда ${ Displaystyle гамма = бета - альфа,}$ ${ Displaystyle дельта = альфа + бета -1,}$ ${ Displaystyle xi = альфа бета / му,}$ и ${ Displaystyle W _ {- дельта / 2, gamma / 2} ( cdot)}$ это Функция Уиттекера.

N-ые моменты K-распределения задаются выражением^[1]

${ displaystyle mu _ {n} = xi ^ {- n} { frac { Gamma ( alpha + n) Gamma ( beta + n)} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta )}}.}$

Таким образом, даны среднее значение и дисперсия^[1] к

${ displaystyle operatorname {E} (X) = mu}$

${ displaystyle operatorname {var} (X) = mu ^ {2} { frac { alpha + beta +1} { alpha beta}}.}$

Другие свойства

Все свойства распределения симметричны по ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta.}$^[1]

Приложения

K-распределение возникает как следствие статистической или вероятностной модели, используемой в радар с синтезированной апертурой (SAR) изображения. K-распределение формируется компаундирование два отдельных распределения вероятностей, один представляет поперечное сечение радара, а другой представляет собой спекл, который является характеристикой когерентного изображения. Он также используется в беспроводной связи для моделирования сложных эффектов быстрого затухания и затенения.

Примечания

Источники

• Реддинг, Николас Дж. (1999) Оценка параметров K-распределения в области интенсивности. [1]. Отчет DSTO-TR-0839, Лаборатория электроники и наблюдения DSTO, Южная Австралия. п. 60
• Джейкман, Э. и Пьюзи, П. Н. (1978) "Значение K-распределений в экспериментах по рассеянию", Письма с физическими проверками, 40, 546–550 Дои:10.1103 / PhysRevLett.40.546
• Jakeman, E. и Tough, R. J. A. (1987) "Обобщенное К-распределение: статистическая модель для слабого рассеяния", J. Opt. Soc. Am., 4, (9), с. 1764 - 1772.
• Уорд, К. Д. (1981) "Составное представление морских помех с высоким разрешением", Электрон. Lett., 17, с. 561 - 565.
• Лонг, М.В. (2001) "Радиолокационная отражательная способность суши и моря", 3-е изд., Artech House, Норвуд, Массачусетс, 2001.
• Bithas, P.S .; Сагиас, Северная Каролина; Mathiopoulos, P.T .; Карагианнидис, Г.К .; Ронтожаннис, А.А. (2006) «Об анализе производительности цифровой связи по каналам с замираниями с обобщенным K», IEEE Communications Letters, 10 (5), стр. 353-355.

дальнейшее чтение

• Jakeman, E. (1980) "О статистике K-распределенного шума", Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31–48
• Ward, K.D .; Жесткий, Роберт Дж. А.; Уоттс, Саймон (2006) Помехи от моря: рассеяние, распределение K и характеристики радара, Институт инженерии и технологий. ISBN  0-86341-503-2