Отрицательное гипергеометрическое распределение - Википедия - Negative hypergeometric distribution

Отрицательный гипергеометрический

Вероятностная функция масс
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ Displaystyle Н в влево {0,1,2, точки вправо }}$ - общее количество элементов ${ Displaystyle К в влево {0,1,2, точки, Н вправо }}$ - общее количество элементов успеха ${ Displaystyle г в влево {0,1,2, точки, НК вправо }}$ - количество сбоев при остановке эксперимента
Поддерживать	${ Displaystyle к в влево {0, , точки, , К вправо }}$ - количество успехов при остановке эксперимента.
PMF	${ displaystyle { frac {{{k + r-1} choose {k}} {{N-r-k} choose {K-k}}} {N choose K}}}$
Иметь в виду	${ displaystyle r { frac {K} {NK + 1}}}$
Дисперсия	${ Displaystyle г { гидроразрыва {(N + 1) K} {(N-K + 1) (N-K + 2)}} [1 - { frac {r} {N-K + 1}}] }$

В теория вероятности и статистика, то отрицательное гипергеометрическое распределение описывает вероятности при выборке из конечной совокупности без замены, в которой каждая выборка может быть разделена на две взаимоисключающие категории, такие как годен / не прошел, мужской / женский или занятый / безработный. Поскольку случайный выбор производится из совокупности, каждый последующий розыгрыш уменьшает популяцию, что приводит к изменению вероятности успеха с каждым розыгрышем. В отличие от стандартного гипергеометрическое распределение, который описывает количество успехов в фиксированном размере выборки, в отрицательном гипергеометрическом распределении выборки отбираются до ${ displaystyle r}$ отказов обнаружены, а распределение описывает вероятность нахождения ${ displaystyle k}$ успехов в таком образце. Другими словами, отрицательное гипергеометрическое распределение описывает вероятность ${ displaystyle k}$ успехов в выборке с точно ${ displaystyle r}$ неудачи.

Определение

Есть ${ displaystyle N}$ элементы, из которых ${ displaystyle K}$ определяются как «успехи», а остальные как «неудачи».

Элементы рисуются один за другим, без замены, пока ${ displaystyle r}$ встречаются сбои. Затем розыгрыш останавливается, и число ${ displaystyle k}$ успехов засчитывается. Отрицательное гипергеометрическое распределение, ${ displaystyle NHG_ {N, K, r} (k)}$ это дискретное распределение этого ${ displaystyle k}$.

^[1]

Результат требует, чтобы мы наблюдали ${ displaystyle k}$ успехи в ${ Displaystyle (к + г-1)}$ привлекает и ${ Displaystyle (к + г) { текст {-th}}}$ бит должен быть неудачным. Вероятность первого может быть найдена прямым применением гипергеометрическое распределение ${ displaystyle (HG_ {N, K, k + r-1} (k))}$ а вероятность последнего - это просто количество оставшихся отказов. ${ Displaystyle (= N-K- (г-1))}$ делится на размер оставшейся части населения ${ Displaystyle (= N- (к + г-1)}$. Вероятность иметь ровно ${ displaystyle k}$ успехов до ${ displaystyle r { text {-th}}}$ сбой (т. е. рисование останавливается, как только образец включает заранее определенное количество ${ displaystyle r}$ отказов) тогда является произведением этих двух вероятностей:

${ displaystyle { frac {{ binom {K} {k}} { binom {NK} {k + r-1-k}}} { binom {N} {k + r-1}}} cdot { frac {NK- (r-1)} {N- (k + r-1)}} = { frac {{{k + r-1} choose {k}} {{Nrk} choose {Kk}}} {N choose K}}.}$

Следовательно, случайная переменная следует отрицательному гипергеометрическому распределению, если его функция массы вероятности (pmf) определяется как

${ Displaystyle е (к; N, K, r) Equiv Pr (X = k) = { frac {{{k + r-1} choose {k}} {{Nrk} choose {Kk} }} {N choose K}} quad { text {for}} k = 0,1,2, dotsc, K}$

куда

• ${ displaystyle N}$ это численность населения,
• ${ displaystyle K}$ количество успешных состояний в популяции,
• ${ displaystyle r}$ количество отказов,
• ${ displaystyle k}$ количество наблюдаемых успехов,
• ${ displaystyle a choose b}$ это биномиальный коэффициент

По замыслу вероятности в сумме равны 1. Однако, если мы хотим показать это явно, мы имеем:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {K} Pr (X = k) = sum _ {k = 0} ^ {K} { frac {{{k + r-1} choose { k}} {{Nrk} choose {Kk}}} {N choose K}} = { frac {1} {N choose K}} sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r-1} choose {k}} {{Nrk} choose {Kk}} = { frac {1} {N choose K}} {N choose K} = 1,}$

где мы это использовали,

${ displaystyle { begin {align} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} & = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} { binom {-m} {j}} (- 1) ^ {kj} { binom {kn - (- m)} {kj}} & = (- 1) ^ {k} { binom {kn} {k}} = (- 1) ^ {k} { binom {k- (n + 1) -1} {k}} = { binom {n + 1} {k}}, end {align}}}$

который может быть получен с помощью биномиальная идентичность, ${ Displaystyle {{п выбрать k} = (- 1) ^ {k} {k-n-1 выбрать k}}}$, а Тождество Чу – Вандермонда, ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {m} {j}} { binom {n-m} {k-j}} = { binom {n} {k}}}$, что справедливо для любых комплексных значений ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ и любое неотрицательное целое число ${ displaystyle k}$.

Отношения ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} = { binom {n + 1} {k}} }$ также можно найти, изучив коэффициент ${ displaystyle x ^ {k}}$ в расширении ${ displaystyle { frac {1} {(1-x) ^ {m + 1}}} { frac {1} {(1-x) ^ {nm-k + 1}}} = { frac { 1} {(1-x) ^ {n-k + 2}}}}$, с помощью Биномиальный ряд Ньютона.

Ожидание

При подсчете числа ${ displaystyle k}$ успехов до ${ displaystyle r}$ неудач, ожидаемое количество успехов ${ displaystyle { frac {rK} {NK + 1}}}$ и может быть получен следующим образом.

${ Displaystyle { begin {выровнен} E [X] & = sum _ {k = 0} ^ {K} k Pr (X = k) = sum _ {k = 0} ^ {K} k { frac {{{k + r-1} choose {k}} {{Nrk} choose {Kk}}} {N choose K}} = { frac {r} {N choose K}} left [ sum _ {k = 0} ^ {K} { frac {(k + r)} {r}} {{k + r-1} choose {r-1}} {{Nrk} choose {Kk}} right] -r & = { frac {r} {N choose K}} left [ sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r} choose { r}} {{Nrk} choose {Kk}} right] -r = { frac {r} {N choose K}} left [ sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r} choose {k}} {{Nrk} choose {Kk}} right] -r & = { frac {r} {N choose K}} left [{{N + 1} choose K} right] -r = { frac {rK} {N-K + 1}}, end {align}}}$

где мы использовали отношения ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {j + m} {j}} { binom {nmj} {kj}} = { binom {n + 1} {k}} }$, который мы вывели выше, чтобы показать, что отрицательное гипергеометрическое распределение было правильно нормализовано.

Дисперсия

Дисперсию можно получить с помощью следующего расчета.

${ Displaystyle { begin {align} E [X ^ {2}] & = sum _ {k = 0} ^ {K} k ^ {2} Pr (X = k) = left [ sum _ {k = 0} ^ {K} (k + r) (k + r + 1) Pr (X = k) right] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r & = { frac {r (r + 1)} {N choose K}} left [ sum _ {k = 0} ^ {K} {{k + r + 1} choose {k + 1 }} {{N + 1- (r + 1) -k} choose {Kk}} right] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r & = { frac {r (r + 1)} {N choose K}} left [{{N + 2} choose K} right] - (2r + 1) E [X] -r ^ {2} -r = { frac {rK (N-r + Kr + 1)} {(N-K + 1) (N-K + 2)}} end {align}}}$

Тогда дисперсия равна ${ displaystyle { textrm {Var}} [X] = E [X ^ {2}] - left (E [X] right) ^ {2} = { frac {rK (N + 1) (NK -r + 1)} {(N-K + 1) ^ {2} (N-K + 2)}}}$

Связанные дистрибутивы

Если рисунок останавливается после постоянного числа ${ displaystyle n}$ ничьих (независимо от количества неудач), то количество успехов имеет гипергеометрическое распределение, ${ Displaystyle HG_ {N, K, n} (к)}$. Эти две функции связаны следующим образом:^[1]

${ Displaystyle NHG_ {N, K, r} (k) = 1-HG_ {N, N-K, k + r} (r-1)}$

Отрицательно-гипергеометрическое распределение (например, гипергеометрическое распределение) имеет дело с розыгрышами без замены, так что вероятность успеха в каждом розыгрыше разная. Напротив, отрицательно-биномиальное распределение (например, биномиальное распределение) имеет дело с ничьей. с заменой, так что вероятность успеха одинакова, а испытания независимы. В следующей таблице приведены четыре распределения, связанных с элементами чертежа:

Рекомендации