Распределение Беренса – Фишера - Википедия - Behrens–Fisher distribution

В статистика, то Распределение Беренса – Фишера, названный в честь Рональд Фишер и Вальтер Беренс, это параметризованный семья распределения вероятностей вытекающие из решения Проблема Беренса – Фишера предложенный сначала Беренсом, а несколькими годами позже Фишером. Проблема Беренса – Фишера - это проблема статистические выводы о разнице между средствами двух нормально распределенный население когда соотношение от их отклонения неизвестно (и, в частности, неизвестно, что их дисперсии равны).

Определение

Распределение Беренса – Фишера - это распределение случайная переменная формы

куда Т1 и Т2 находятся независимый случайные переменные каждый со студенческим t-распределение, с соответствующими степенями свободы ν1 = п1 - 1 и ν2 = п2 - 1, и θ является константой. Таким образом, семейство распределений Беренса – Фишера параметризуется следующим образом: ν1ν2, иθ.

Вывод

Предположим, что известно, что две дисперсии совокупности равны, и выборки размеров п1 и п2 взяты из двух популяций:

где "i.i.d" независимые и одинаково распределенные случайные величины и N обозначает нормальное распределение. Два образца средства находятся

Обычный "объединенный " беспристрастный оценка общей дисперсии σ2 затем

куда S12 и S22 обычные беспристрастные (С поправкой на Бесселя ) оценки двух дисперсий населения.

При этих предположениях основное количество

имеет t-распределение с п1 + п2 − 2 степени свободы. Соответственно, можно найти доверительный интервал за μ2 − μ1 чьи конечные точки

куда А является подходящей процентной точкой t-распределения.

Однако в задаче Беренса – Фишера не известно, что две дисперсии населения равны, равно как и их соотношение. Фишер считал[нужна цитата ] главное количество

Это можно записать как

куда

- обычная однократная t-статистика и

и один берет θ быть в первом квадранте. Алгебраические детали таковы:

Тот факт, что сумма квадратов выражений в скобках выше равна 1, означает, что они являются косинусом и синусом некоторого угла.

Распределение Берен-Фишера на самом деле является условное распределение количества (1) выше, данный значения величин, обозначенных cosθ и грехθ. Фактически, Фишер условия на дополнительную информацию.

Затем Фишер обнаружил "реперный интервал ", конечные точки которого

куда А является подходящей процентной точкой распределения Беренса – Фишера. Фишер утверждал[нужна цитата ] что вероятность того, что μ2 − μ1 находится в этом интервале, учитывая данные (в конечном итоге Иксs) - это вероятность того, что случайная величина, распределенная Беренса – Фишера, находится между -А иА.

Контрольные интервалы в сравнении с доверительными интервалами

Бартлетт[нужна цитата ] показал, что этот «реперный интервал» не является доверительным интервалом, потому что он не имеет постоянной степени охвата. Фишер не считал это веским возражением против использования реперного интервала.[нужна цитата ]


дальнейшее чтение

  • Кендалл, Морис Г., Стюарт, Алан (1973) Расширенная теория статистики, Том 2: Вывод и взаимосвязь, 3-е издание, Гриффин. ISBN  0-85264-215-6 (Глава 21)