Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса - Википедия - Exponentially modified Gaussian distribution

ЭМГ

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	μ ∈ р - среднее значение гауссовой составляющей σ2 > 0 - дисперсия гауссовой составляющей λ > 0 - коэффициент экспоненциальной составляющей
Поддерживать	Икс ∈ р
PDF	${ displaystyle { frac { lambda} {2}} e ^ {{ frac { lambda} {2}} (2 mu + lambda sigma ^ {2} -2x)} operatorname {erfc} left ({ frac { mu + lambda sigma ^ {2} -x} {{ sqrt {2}} sigma}} right)}$
CDF	${ Displaystyle Phi (u, 0, v) -e ^ {- u + v ^ {2} / 2 + log ( Phi (u, v ^ {2}, v))}}$, куда ${ Displaystyle Phi (х, му, sigma)}$ - CDF гауссова распределения, ${ Displaystyle и = лямбда (х- му)}$, ${ displaystyle v = lambda sigma}$
Иметь в виду	${ displaystyle mu + 1 / lambda}$
Режим	${ displaystyle x_ {m} = mu - operatorname {sgn} left ( tau right) { sqrt {2}} sigma operatorname {erfcxinv} left ({ frac {{|} tau {|}} { sigma}} { sqrt { frac {2} { pi}}} right) + { frac { sigma ^ {2}} { tau}}}$ ${ displaystyle f (x_ {m}) = h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac { mu -x_ {m}} { sigma}} right ) ^ {2} right)}$
Дисперсия	${ displaystyle sigma ^ {2} + 1 / lambda ^ {2}}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2} { sigma ^ {3} lambda ^ {3}}} left (1 + { frac {1} { sigma ^ {2} lambda ^ {2}}} right) ^ {- 3/2}}$
Бывший. эксцесс	${ displaystyle { frac {3 (1 + { frac {2} { sigma ^ {2} lambda ^ {2}}} + { frac {3} { lambda ^ {4} sigma ^ {) 4}}})} { left (1 + { frac {1} { lambda ^ {2} sigma ^ {2}}} right) ^ {2}}} - 3}$
MGF	${ displaystyle left (1 - { frac {t} { lambda}} right) ^ {- 1} , exp left ( mu t + { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2} right)}$
CF	${ displaystyle left (1 - { frac {it} { lambda}} right) ^ {- 1} , exp left (i mu t - { frac {1} {2}} сигма ^ {2} t ^ {2} right)}$

В теория вероятности, экспоненциально модифицированное гауссово распределение (ЭМГ, также известный как exGaussian распределение) описывает сумму независимых нормальный и экспоненциальный случайные переменные. Бывшая гауссовская случайная величина Z может быть выражено как Z = Икс + Y, куда Икс и Y независимы, Икс гауссово со средним μ и дисперсия σ², и Y экспоненциально от скорости λ. Он имеет характерный положительный перекос от экспоненциальной составляющей.

Его также можно рассматривать как взвешенную функцию сдвинутой экспоненты, причем вес является функцией нормального распределения.

Определение

В функция плотности вероятности (pdf) экспоненциально измененного нормальное распределение является^[1]

${ displaystyle f (x; mu, sigma, lambda) = { frac { lambda} {2}} e ^ {{ frac { lambda} {2}} (2 mu + lambda sigma ^ {2} -2x)} operatorname {erfc} left ({ frac { mu + lambda sigma ^ {2} -x} {{ sqrt {2}} sigma}} right) ,}$

где erfc - это дополнительная функция ошибок определяется как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) & = 1- operatorname {erf} (x) & = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt. end {align}}}$

Эта функция плотности выводится через свертка нормального и экспоненциальный функции плотности вероятности.

Альтернативные формы вычислений

Альтернативная, но эквивалентная форма распределения ЭМГ используется для описания формы пика в хроматография.^[2] Это выглядит следующим образом

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = { frac {h sigma} { tau}} { sqrt { frac { pi} {2}}} exp left ({ frac {1} {2}} left ({ frac { sigma} { tau}} right) ^ {2} - { frac {x- mu} { tau}} right) operatorname {erfc} left ({ frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu}) { sigma}} right) right),}$ (1)

куда

${ displaystyle h}$ - амплитуда гауссиана,

${ displaystyle tau = { frac {1} { lambda}}}$ - время релаксации экспоненты.

Эта функция не может быть вычислена для некоторых значений параметров (например, τ = 0) из-за арифметического переполнения. Альтернативная, но эквивалентная форма записи функции была предложена Делли:^[3]

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2} right) { frac { sigma} { tau}} { sqrt { frac { pi} {2}}} operatorname {erfcx} left ({ frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu} { sigma}} right) right), }$ (2)

куда ${ displaystyle operatorname {erfcx} t = exp t ^ {2} cdot operatorname {erfc} t}$ это масштабированная дополнительная функция ошибок

В случае этой формулы также возможно арифметическое переполнение, область переполнения отличается от первой формулы, за исключением очень малого τ.

При малых τ целесообразно использовать асимптотику второй формулы:

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = { frac {h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)} {1 + { frac { left (x- mu right) tau} { sigma ^ {2}}}}}, }$ (3)

Решение об использовании формулы принимается на основании параметра ${ displaystyle z = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu} { sigma}} верно)}$:

за z <0 должно быть выполнено вычисление^[2] по первой формуле,

для 0 ≤ z ≤ 6.71·10⁷ (в случае формат с плавающей запятой двойной точности ) по второй формуле,

и для z > 6.71·10⁷ по третьей формуле.

Режим (положение вершины, наиболее вероятное значение) вычисляется^[2] с использованием производной формулы 2; противоположность масштабированная дополнительная функция ошибок erfcxinv () используется для расчета. Приблизительные значения также предлагает Калембет.^[2] Хотя значение моды выше, чем у исходного гауссиана, вершина всегда находится на исходном (неизмененном) гауссиане.

Оценка параметров

Есть три параметра: иметь в виду нормального распределения (μ), стандартное отклонение нормального распределения (σ) и экспоненциальный спад параметр (τ = 1 / λ). Форма K = τ / σ также иногда используется для характеристики распределения. В зависимости от значений параметров распределение может иметь форму от почти нормальной до почти экспоненциальной.

Параметры распределения можно оценить по выборочным данным с помощью метод моментов следующее:^[4][5]

${ Displaystyle м = му + тау,}$

${ Displaystyle s ^ {2} = sigma ^ {2} + tau ^ {2},}$

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac {2 tau ^ {3}} {( sigma ^ {2} + tau ^ {2}) ^ {3/2}}},}$

куда м выборочное среднее, s - стандартное отклонение выборки, а γ₁ это перекос.

Решение этих параметров дает:

${ displaystyle { hat { mu}} = m-s left ({ frac { gamma _ {1}} {2}} right) ^ {1/3},}$

${ displaystyle { hat { sigma ^ {2}}} = s ^ {2} left [1- left ({ frac { gamma _ {1}} {2}} right) ^ {2 / 3} right],}$

${ displaystyle { hat { tau}} = s left ({ frac { gamma _ {1}} {2}} right) ^ {1/3}.}$

Рекомендации

Ратклифф предположил, что в выборке должно быть не менее 100 точек данных, прежде чем оценки параметров следует считать надежными.^[6] Винсент усреднение может использоваться с меньшими выборками, так как эта процедура лишь незначительно искажает форму распределения.^[7] Эти точечные оценки могут использоваться в качестве начальных значений, которые могут быть уточнены более мощными методами, включая максимальная вероятность.

Доверительные интервалы

В настоящее время нет опубликованных таблиц, доступных для тестирования значимости с этим распределением. Распределение может быть смоделировано путем формирования суммы двух случайных величин, одна из которых получена из нормального распределения, а другая - из экспоненты.

Перекос

Ценность непараметрический перекос

${ displaystyle { frac {{ text {mean}} - { text {median}}} { text {стандартное отклонение}}}}$

этого распределения лежит между 0 и 0,31.^[8][9] К нижнему пределу приближаются, когда преобладает нормальный компонент, и к верхнему, когда доминирует экспоненциальный компонент.

Вхождение

Распределение используется в качестве теоретической модели формы хроматографический пики.^[1][2][10] Это было предложено в качестве статистической модели перемежающееся время в делящихся клетках.^[11][12] Он также используется при моделировании кластерных ионных пучков.^[13] Он обычно используется в психологии и других науках о мозге для изучения времени реакции.^[14][15] В небольшом варианте, когда среднее значение Нормального компонента установлено на ноль, оно также используется в Стохастический пограничный анализ, как одна из спецификаций распределения для составного члена ошибки, моделирующего неэффективность. ^[16]

Связанные дистрибутивы

Это семейство дистрибутивов - частный или предельный случай нормально-экспоненциально-гамма-распределение. Это также можно рассматривать как трехпараметрическое обобщение нормального распределения для добавления перекоса; другой подобный дистрибутив - асимметричное нормальное распределение, у которого более тонкие хвосты. Распределение сложное распределение вероятностей в котором среднее значение нормальное распределение изменяется случайным образом как смещенный экспоненциальное распределение.

А Гауссов минус экспоненциальный распределение было предложено для моделирования цен опционов.^[17] Если такая случайная величина Y имеет параметры μ, σ, λ, то его отрицательный -Y имеет экспоненциально модифицированное гауссово распределение с параметрами -μ, σ, λ, и поэтому Y имеет в виду ${ displaystyle mu - { tfrac {1} { lambda}}}$ и дисперсия ${ Displaystyle sigma ^ {2} + { tfrac {1} { lambda ^ {2}}}}$.

Рекомендации