Непараметрический перекос - Википедия - Nonparametric skew

В статистика и теория вероятности, то непараметрический перекос это статистика иногда используется с случайные переменные что взять настоящий значения.^[1][2] Это мера перекос случайной величины распределение - то есть тенденция распределения "наклоняться" в ту или иную сторону иметь в виду. Его расчет не требует каких-либо знаний о форме основного распределения - отсюда и название непараметрический. У него есть некоторые желательные свойства: он равен нулю для любого симметричное распределение; на него не влияет шкала сдвиг; и он одинаково хорошо выявляет как левый, так и правый перекос. В некоторых статистические образцы было показано, что это меньше мощный^[3] чем обычные меры асимметрии при обнаружении отклонений численность населения из нормальность.^[4]

Характеристики

Определение

Непараметрический перекос определяется как

${ Displaystyle S = { гидроразрыва { mu - nu} { sigma}}}$

где иметь в виду (µ), медиана (ν) и стандартное отклонение (σ) населения имеют свои обычные значения.

Характеристики

Непараметрический перекос составляет одну треть от Коэффициент асимметрии Пирсона 2 и лежит между -1 и +1 для любого распределения.^[5][6] Этот диапазон подразумевается тем фактом, что среднее значение находится в пределах одного стандартного отклонения от любой медианы.^[7]

Под аффинное преобразование переменной (Икс), значение S не меняется, за исключением возможного изменения знака. В символах

${ Displaystyle S (aX + b) = operatorname {sign} (a) , S (X)}$

куда а ≠ 0 и б константы и S( Икс ) - непараметрический перекос переменной Икс.

Более точные границы

Границы этой статистики (± 1) были уточнены Маджиндаром.^[8] кто показал, что это абсолютная величина ограничен

${ displaystyle { frac {2 (pq) ^ {1/2}} {(p + q) ^ {1/2}}}}$

с

${ displaystyle p = Pr (X> operatorname {E} (X))}$

и

${ Displaystyle д = Pr (Икс < OperatorName {E} (X)),}$

куда Икс случайная величина с конечным отклонение, E() - оператор ожидания, а Pr() - вероятность наступления события.

Когда п = q = 0,5 абсолютное значение этой статистики ограничено 1. При п = 0,1 и п = 0,01, абсолютное значение статистики ограничено 0,6 и 0,199 соответственно.

Расширения

Также известно, что^[9]

${ displaystyle | mu - nu _ {0} | leq operatorname {E} (| X- nu _ {0} |) leq operatorname {E} (| X- mu |) leq sigma,}$

куда ν₀ любая медиана и E(.) это оператор ожидания.

Было показано, что

${ displaystyle { frac {| mu -x_ {q} |} { sigma}} leq max left ({ sqrt { frac {(1-q)} {q}}}, { sqrt { frac {q} {(1-q)}}} right)}$

куда Икс_q это q^th квантиль.^[7] Квантили лежат между 0 и 1: медиана (квантиль 0,5) имеет q = 0,5. Это неравенство также использовалось для определения меры асимметрии.^[10]

Это последнее неравенство было еще более обостренным.^[11]

${ displaystyle mu - sigma { sqrt { frac {1-q} {q}}} leq x_ {q} leq mu + sigma { sqrt { frac {q} {1-q }}}}$

Было опубликовано еще одно расширение для распределения с конечным средним:^[12]

${ displaystyle mu - { frac {1} {2q}} operatorname {E} | X- mu | leq x_ {q} leq mu + { frac {1} {(2-2q) }} operatorname {E} | X- mu |}$

Оценки в этой последней паре неравенств достигаются, когда ${ Displaystyle Pr (Х = а) = д}$ и ${ Displaystyle Pr (X = Ь) = 1-q}$ для фиксированных номеров а < б.

Конечные образцы

Для конечной выборки с размером выборки п ≥ 2 с Икс_р это р^th статистика заказов, м выборочное среднее и s в стандартное отклонение выборки с поправкой на степени свободы,^[13]

${ displaystyle { frac {| m-x_ {r} |} {s}} leq { text {max}} left [{ sqrt { frac {(n-1) (r-1)} {n (n-r + 1)}}}, { sqrt { frac {(n-1) (nr)} {nr}}} right]}$

Замена р с п / 2 дает результат, соответствующий медиане выборки:^[14]

${ displaystyle { frac {| ma |} {s}} leq { sqrt { frac {n ^ {2} -n} {n ^ {2}}}} = { sqrt { frac {n -1} {n}}}}$

куда а медиана выборки.

Статистические тесты

Хотеллинг и Соломонс рассмотрели распределение тестовой статистики^[5]

${ Displaystyle D = { гидроразрыва {п (м-а)} {s}}}$

куда п размер выборки, м выборочное среднее, а медиана выборки и s стандартное отклонение выборки.

Статистические испытания D предположили, что проверяемая нулевая гипотеза заключается в том, что распределение является симметричным.

Гаствирт оценил асимптотику отклонение из п^−1/2D.^[15] Если распределение является унимодальным и симметричным относительно 0, асимптотическая дисперсия находится между 1/4 и 1. Допущение консервативной оценки (приравнивание дисперсии к 1) может привести к истинному уровню значимости значительно ниже номинального.

Предполагая, что основное распределение является симметричным, Кабилио и Масаро показали, что распределение S асимптотически нормально.^[16] Асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: для нормального распределения асимптотическая дисперсия S√п составляет 0,5708 ...

Предполагая, что лежащее в основе распределение симметрично, рассматривая распределение значений выше и ниже медианы, Чжэн и Гаствирт утверждали, что^[17]

${ displaystyle { sqrt {2n}} left ({ frac {m-a} {s}} right)}$

куда п размер выборки, распределяется как t распределение.

Связанная статистика

Мира изучила распределение разницы между средним и медианным значением.^[18]

${ Displaystyle гамма _ {1} = 2 (м-а),}$

куда м выборочное среднее и а это медиана. Если основное распределение симметрично γ₁ сам по себе асимптотически нормален. Эта статистика была ранее предложена Бонферрони.^[19]

Предполагая симметричное базовое распределение, модификация S изучал Мяо, Гель и Гаствирт, которые изменили стандартное отклонение для создания своей статистики.^[20]

${ displaystyle J = { frac {1} {n}} { sqrt { frac { pi} {2}}} sum {| X_ {i} -a |}}$

куда Икс_я - значения выборки, || это абсолютная величина и сумма берется по всем п примерные значения.

Статистика теста была

${ displaystyle T = { frac {m-a} {J}}.}$

Масштабированная статистика Т√п асимптотически нормально со средним нулем для симметричного распределения. Его асимптотическая дисперсия зависит от основного распределения: предельные значения для нормального распределения var (Т√п) = 0,5708 ... и для t распределение с тремя степени свободы, var (Т√п) = 0.9689...^[20]

Значения для индивидуальных распределений

Симметричные распределения

За симметричные распределения вероятностей значение непараметрического перекоса равно 0.

Асимметричные распределения

Он положителен для распределений с уклоном вправо и отрицателен для распределений с уклоном влево. Абсолютные значения ≥ 0,2 указывают на заметную асимметрию.

Может быть трудно определить S для некоторых дистрибутивов. Обычно это происходит потому, что закрытая форма для медианы неизвестна: примеры таких распределений включают гамма-распределение, обратное распределение хи-квадрат, то обратное гамма-распределение и масштабированное обратное распределение хи-квадрат.

Следующие значения для S известны:

• Бета-распределение: 1 < α < β куда α и β - параметры распределения, то в хорошем приближении^[21]

${ Displaystyle S = { гидроразрыва {1} {3}} { гидроразрыва {( альфа -2 бета) ( альфа + бета +1) ^ {1/2}} {( альфа + бета -2/3) ( alpha beta) ^ {1/2}}}}$

Если 1 < β < α то позиции α и β перевернуты в формуле. S всегда <0.

• Биномиальное распределение: разнится. Если среднее значение целое число тогда S = 0. Если среднее не целое число S может иметь знак или быть нулевым.^[22] Он ограничен ± min {max {п, 1 − п }, бревно_е2 } / σ куда σ - стандартное отклонение биномиального распределения.^[23]
• Распределение заусенцев:
• Распределение Бирнбаума – Сондерса:

${ displaystyle S = { frac {2} { beta ^ {2} (4 + 5 alpha ^ {2})}}}$

куда α - параметр формы и β - параметр местоположения.

• Канторовское распределение:

${ displaystyle { frac {-4} {3}} leq S leq { frac {4} {3}}}$

• Распределение хи-квадрат: Несмотря на то что S ≥ 0 его значение зависит от количества степени свободы (k).

${ displaystyle S приблизительно { гидроразрыва {1- (1 - { frac {2} {k}}) ^ {3}} {2}}}$

• Распределение Dagum:
• Экспоненциальное распределение:

${ Displaystyle S = 1- log _ {e} (2) приблизительно 0,31}$

• Экспоненциальное распределение с двумя параметрами:^[24]

${ Displaystyle S = 1- log _ {e} (2) приблизительно 0,31}$

• Экспоненциально-логарифмическое распределение

${ displaystyle S = - { frac {polylog (2,1-p) + ln (1 + { sqrt {p}}) ln p} { sqrt {- [2polylog (3,1-p) + полилог ^ {2} (2,1-p)]}}}}$

Здесь S всегда> 0.

• Экспоненциально модифицированное распределение Гаусса:

${ Displaystyle 0 Leq S Leq 1- log _ {e} (2)}$

• F распределение с п и п степени свободы ( п > 4 ):^[25]

${ displaystyle S = n ^ {- 3/2} { sqrt { frac {n-4} {n-2}}} + O (n ^ {- 5/2})}$

• Распределение фреше: Дисперсия этого распределения определяется только для α > 2.

${ displaystyle S = { frac { Gamma left (1 - { frac {1} { alpha}} right) - { frac {1} {{ sqrt { alpha}} log _ { e} (2)}}} { sqrt { Gamma left (1 - { frac {2} { alpha}} right) - left ( Gamma left (1 - { frac {1}) { alpha}} right) right) ^ {2}}}}}$

• Гамма-распределение: Медиана может быть определена только приблизительно для этого распределения.^[26] Если параметр формы α ≥ 1, то

${ Displaystyle S приблизительно { гидроразрыва { beta} {3 alpha +0.2}}}$

куда β > 0 - параметр скорости. Здесь S всегда> 0.

• Обобщенное нормальное распределение версия 2

${ displaystyle S = - { frac { exp ({ frac {-k ^ {2}} {2}}) - 1} { sqrt { exp ({ frac {k ^ {2}} { 2}}) - 1}}}}$

S всегда <0.

• Обобщенное распределение Парето: S определяется только тогда, когда параметр формы ( k ) <1/2. S <0 для этого распределения.

${ displaystyle S = left ({ frac {2 ^ {k} -1} {k}} - 2 ^ {k} right) (1-2k) ^ {0.5}}$

• Гамбель раздача:

${ displaystyle { frac {{ sqrt {6}} [ gamma + log _ {e} ( log _ {e} (2))]} { pi}} приблизительно 0,1643}$

куда γ является Постоянная Эйлера.^[27]

• Полунормальное распределение:^[24]

${ displaystyle S приблизительно { frac {{ sqrt {2}} - 0,6745 { sqrt { pi}}} { sqrt { pi -2}}} приблизительно 0,36279}$

• Распределение Кумарасвами
• Логистическая дистрибуция (Распределение Фиска): Пусть β быть параметром формы. Дисперсия и среднее значение этого распределения определяются только тогда, когда β > 2. Для упрощения обозначений пусть б = β / π.

${ Displaystyle S = { гидроразрыва {b- sin (b)} { sqrt {b tan (b) -b ^ {2}}}}}$

Стандартное отклонение не существует для значений б > 4,932 (приблизительно). Для значений, для которых определено стандартное отклонение, S > 0.

• Логнормальное распределение: Со средним ( μ ) и дисперсия ( σ² )

${ Displaystyle S = { гидроразрыва {1} {(е ^ { гидроразрыва { sigma ^ {2}} {2}} + 1) (е ^ { mu + sigma ^ {2}})}} }$

• Распределение Лога-Вейбулла:^[24]

${ Displaystyle S приблизительно { гидроразрыва {[ log _ {e} ( log _ {e} (2)) - 0,5772] { sqrt {6}}} { pi}} приблизительно -0,1643}$

• Распределение Lomax: S определяется только для α > 2

${ Displaystyle S = { гидроразрыва {( альфа -1) ( альфа -2) (1 - ( альфа -1) (2 ^ {1 / альфа} -1))} { альфа ^ {1 / 2}}}}$

• Распределение Максвелла – Больцмана:^[24]

${ displaystyle S приблизительно { frac {{ sqrt {2}} - 1,5382 Gamma ({ frac {3} {2}})} { sqrt {2 ( Gamma ({ frac {5} { 2}}) - Gamma ({ frac {3} {2}}))}}} приблизительно 0,0854}$

• Распределение Накагами

${ displaystyle S = -1}$

• Распределение Парето: за α > 2 где α - параметр формы распределения,

${ Displaystyle S = ( альфа -2 ^ {1 / альфа} [ альфа -1]) ({ гидроразрыва { альфа -2} { альфа}}) ^ {1/2},}$

и S всегда> 0.

• распределение Пуассона:

${ displaystyle { frac {- log _ {e} (2)} { lambda ^ { frac {1} {2}}}} leq S leq { frac {1} {3 lambda ^ { frac {1} {2}}}}}$

куда λ - параметр распределения.^[28]

• Распределение Рэлея:

${ displaystyle S = { sqrt { frac {2} {4- pi}}} [({ frac { pi} {2}}) ^ {0.5} - log _ {e} (4) ] приблизительно 0,1251}$

• Распределение Вейбулла:

${ Displaystyle S = { гидроразрыва { Gamma (1 + 1 / k) - log _ {e} (2) ^ {1 / k}} {( Gamma (1 + 2 / k) - Gamma ( 1 + 1 / k)) ^ {1/2}}},}$

куда k - параметр формы распределения. Здесь S всегда> 0.

История

В 1895 г. Пирсон впервые предложил измерять асимметрию путем стандартизации разницы между средним и Режим,^[29] давая

${ displaystyle { frac { mu - theta} { sigma}},}$

куда μ, θ и σ - среднее значение, мода и стандартное отклонение распределения соответственно. Оценки режима генеральной совокупности на основе данных выборки могут быть трудными, но разница между средним значением и модой для многих распределений примерно в три раза превышает разницу между средним и медианным значением.^[30] который предложил Пирсону второй коэффициент асимметрии:

${ displaystyle { frac {3 ( mu - nu)} { sigma}},}$

куда ν - медиана распределения. Боули в 1901 г. в этой формуле был исключен фактор 3, что привело к непараметрической статистике перекоса.

Связь между медианой, средним значением и модой впервые была отмечена Пирсоном, когда он исследовал свои распределения типа III.

Связь между средним, медианным и модой

Для произвольного распределения мода, медиана и среднее значение могут появляться в любом порядке.^[31][32][33]

Был проведен анализ некоторых соотношений между средним, медианным, модой и стандартным отклонением.^[34] и эти отношения накладывают некоторые ограничения на знак и величину непараметрического перекоса.

Простым примером, иллюстрирующим эти отношения, является биномиальное распределение с п = 10 и п = 0.09.^[35] На графике это распределение имеет длинный правый хвост. Среднее значение (0,9) находится слева от медианы (1), но перекос (0,906), определенный третьим стандартизированным моментом, положительный. Напротив, непараметрический перекос составляет -0,110.

Правило Пирсона

Правило, согласно которому для некоторых распределений разница между средним значением и модой в три раза больше, чем между средним значением и медианой, принадлежит Пирсону, который обнаружил его, исследуя свои распределения типа 3. Его часто применяют к слегка асимметричным распределениям, которые напоминают нормальное распределение, но это не всегда верно.

В 1895 году Пирсон заметил, что то, что сейчас известно как гамма-распределение что отношение^[29]

${ Displaystyle ню - тета = 2 ( му - ню)}$

куда θ, ν и µ - мода, медиана и среднее значение распределения соответственно были приблизительно верными для распределений с большим параметром формы.

Дудсон в 1917 году доказал, что медиана находится между модой и средним значением для умеренно искаженных распределений с конечными четвертыми моментами.^[36] Эта связь сохраняется для всех Распределения Пирсона и все эти распределения имеют положительный непараметрический перекос.

Дудсон также отметил, что для этого семейства распределений с хорошим приближением

${ Displaystyle theta = 3 ну -2 му,}$

куда θ, ν и µ - мода, медиана и среднее значение распределения соответственно. Приближение Дудсона было дополнительно исследовано и подтверждено Холдейн.^[37] Холдейн отметил, что выборки с идентичными и независимыми вариациями с третьим кумулянт имел выборку означает, что подчиняется соотношению Пирсона для больших размеров выборки. Холдейн требовал выполнения ряда условий для этих отношений, включая наличие Расширение Эджворта и уникальность как медианы, так и моды. В этих условиях он обнаружил, что мода и медиана сходятся к 1/2 и 1/6 третьего момента соответственно. Этот результат был подтвержден Холлом в более слабых условиях с использованием характеристические функции.^[38]

Отношения Дудсона изучали Кендалл и Стюарт в логнормальное распределение для которого они нашли точные отношения, близкие к нему.^[39]

Холл также показал, что для распределения с правильно меняющимися хвостами и показателем α который^{[требуется разъяснение ][38]}

${ Displaystyle му - тета = альфа ( му - ню)}$

Унимодальные распределения

Гаусс показал в 1823 г., что для одномодальное распределение^[40]

${ displaystyle sigma leq omega leq 2 sigma}$

и

${ displaystyle | nu - mu | leq { sqrt { frac {3} {4}}} omega,}$

куда ω - среднеквадратичное отклонение от режима.

Для большого класса унимодальных распределений, которые имеют положительный перекос, мода, медиана и среднее падают в указанном порядке.^[41] И наоборот, для большого класса унимодальных распределений, которые имеют отрицательный перекос, среднее значение меньше медианы, которая, в свою очередь, меньше, чем мода. В символах этих положительно скошенных одномодальных распределений

${ Displaystyle тета Leq Nu Leq mu}$

и для этих отрицательно скошенных одномодальных распределений

${ Displaystyle му leq nu leq theta}$

Этот класс включает важные распределения F, бета и гамма.

Это правило не выполняется для унимодального распределения Вейбулла.^[42]

Для унимодального распределения известны и точны следующие оценки:^[43]

${ displaystyle { frac {| theta - mu |} { sigma}} leq { sqrt {3}},}$

${ displaystyle { frac {| nu - mu |} { sigma}} leq { sqrt {0,6}},}$

${ displaystyle { frac {| theta - nu |} { sigma}} leq { sqrt {3}},}$

куда μ,ν и θ - среднее значение, медиана и мода соответственно.

Средняя граница ограничивает непараметрический перекос унимодального распределения примерно до ± 0,775.

состояние ван Цвета

Следующее неравенство,

${ Displaystyle тета Leq Nu Leq mu,}$

куда θ, ν и µ - мода, медиана и среднее значение распределения соответственно, выполняется, если

${ Displaystyle F ( nu -x) + F ( nu + x) geq 1 { text {для всех}} x,}$

куда F это кумулятивная функция распределения распределения.^[44] С тех пор эти условия были обобщены.^[33] и распространен на дискретные распределения.^[45] Любое распределение, для которого это верно, имеет либо нулевой, либо положительный непараметрический перекос.

Примечания

Порядок перекоса

В 1964 году ван Цвет предложил ряд аксиом для упорядочивания мер асимметрии.^[46] Непараметрический перекос не удовлетворяет этим аксиомам.

Закон Бенфорда

Закон Бенфорда представляет собой эмпирический закон о распределении цифр в списке чисел. Было высказано предположение, что случайные переменные из распределений с положительным непараметрическим перекосом будут подчиняться этому закону.^[47]

Связь с коэффициентом Боули

Эта статистика может быть получена из коэффициента асимметрии Боули.^[48]

${ displaystyle SK_ {2} = { frac {Q_ {3} + Q_ {1} -2Q_ {2}} {Q_ {3} -Q_ {1}}}}$

где Q_я - i-й квартиль распределения.

Хинкли обобщил это^[49]

${ displaystyle SK = { frac {F ^ {- 1} (1- alpha) + F ^ {- 1} ( alpha) -2Q_ {2}} {Q_ {3} -Q_ {1}}} }$

куда ${ displaystyle alpha}$ лежит между 0 и 0,5. Коэффициент Боули - частный случай с ${ displaystyle alpha}$ равно 0,25.

Греневельд и Меден^[50] удалили зависимость от путем интегрирования по ней.

${ displaystyle SK_ {3} = { frac { mu -Q_ {2}} {E | y-Q_ {2} |}}}$

Знаменатель - это мера дисперсии. Заменяя знаменатель на стандартное отклонение, мы получаем непараметрический перекос.

Рекомендации