Полосы уверенности и прогнозов - Confidence and prediction bands

А группа уверенности используется в статистический анализ для представления неопределенности в оценке кривой или функции на основе ограниченных или зашумленных данных. Аналогично диапазон предсказаний используется для представления неопределенности относительно значения новой точки данных на кривой, но подверженной шуму. Полосы уверенности и прогноза часто используются как часть графического представления результатов регрессивный анализ.

Полосы уверенности тесно связаны с доверительные интервалы, которые представляют собой неопределенность в оценке одного числового значения. «Поскольку доверительные интервалы по своей конструкции относятся только к одной точке, они уже (в этой точке), чем доверительный интервал, который должен удерживаться одновременно во многих точках».^[1]

Точечные и одновременные доверительные интервалы

Предположим, наша цель - оценить функцию ж(Икс). Например, ж(Икс) может быть доля людей определенного возраста Икс которые поддерживают данного кандидата на выборах. Если Икс измеряется с точностью до одного года, мы можем построить отдельный 95% доверительный интервал для каждого возраста. Каждый из этих доверительных интервалов покрывает соответствующее истинное значение ж(Икс) с уверенностью 0,95. Взятые вместе, эти доверительные интервалы составляют 95% точечный доверительный интервал за ж(Икс).

С математической точки зрения, точечный доверительный интервал ${displaystyle {hat {f}} (x) pm w (x)}$ с вероятностью охвата 1 -α удовлетворяет следующему условию отдельно для каждого значения Икс:

{displaystyle Pr {Big (} {hat {f}} (x) -w (x) leq f (x) leq {hat {f}} (x) + w (x) {Big)} = 1-альфа, }

куда ${displaystyle {hat {f}} (x)}$ точечная оценка ж(Икс).

В вероятность одновременного покрытия совокупности доверительных интервалов - это вероятность того, что все они охватывают свои соответствующие истинные значения одновременно. В приведенном выше примере вероятность одновременного охвата - это вероятность того, что интервалы для Икс = 18,19, ... все соответствуют своим истинным ценностям (при условии, что 18 - самый молодой возраст, в котором человек может голосовать). Если каждый интервал в отдельности имеет вероятность охвата 0,95, вероятность одновременного охвата обычно меньше 0,95. А 95% одновременный доверительный интервал представляет собой набор доверительных интервалов для всех значений Икс в области ж(Икс), который рассчитан на вероятность одновременного охвата 0,95.

С математической точки зрения, диапазон одновременной уверенности ${displaystyle {hat {f}} (x) pm w (x)}$ с вероятностью охвата 1 -α удовлетворяет следующему условию:

{displaystyle Pr {Big (} {hat {f}} (x) -w (x) leq f (x) leq {hat {f}} (x) + w (x) ;; {ext {для всех}} x {Big)} = 1-альфа.}

Почти во всех случаях одновременный доверительный интервал будет шире, чем точечный доверительный интервал с той же вероятностью охвата. В определении точечной доверительной полосы этот универсальный квантор выходит за пределы функции вероятности.

Полосы уверенности для смоделированных данных, отображающие долю избирателей, поддерживающих данного кандидата на выборах, в зависимости от возраста избирателей. Точечные 95% доверительные интервалы и одновременные 95% доверительные интервалы, построенные с использованием Коррекция Бонферрони показаны.

Полосы уверенности в регрессионном анализе

Полосы уверенности обычно возникают в регрессивный анализ.^[2] В случае простой регрессии, включающей одну независимую переменную, результаты могут быть представлены в форме графика, показывающего оценочную линию регрессии вместе с точечными или одновременными доверительными полосами. Обычно используемые методы для построения одновременных доверительных интервалов в регрессии: Бонферрони и Шеффе методы; видеть Семейные процедуры контроля частоты ошибок для большего.

Полосы уверенности для простого линейного регрессионного анализа с использованием смоделированных данных. Точечные 95% доверительные интервалы и одновременные 95% доверительные интервалы, построенные с использованием Метод Шеффе показаны.

Полосы уверенности для вероятностных распределений

Полосы уверенности могут быть построены на основе оценок эмпирическая функция распределения. Простая теория позволяет построить точечные доверительные интервалы, но также возможно построить одновременную доверительную полосу для кумулятивной функции распределения в целом, инвертируя Тест Колмогорова-Смирнова, или с помощью непараметрических методов правдоподобия.^[3]

Другие применения доверительных полос

Полосы уверенности возникают всякий раз, когда статистический анализ фокусируется на оценке функции.

Полосы уверенности также были разработаны для оценки функции плотности, спектральная плотность функции^[4], квантиль функции, диаграмма рассеяния сглаживает, функции выживания, и характеристические функции.^{[нужна цитата ]}

Полосы прогнозов

Полосы прогнозов связаны с интервалы прогноза так же, как доверительные интервалы связаны с доверительными интервалами. Полосы прогнозирования обычно возникают при регрессионном анализе. Цель диапазона прогнозов - охватить с заданной вероятностью значения одного или нескольких будущих наблюдений из той же совокупности, из которой был выбран данный набор данных. Так же, как интервалы предсказания шире доверительных интервалов, диапазоны предсказаний будут шире доверительных интервалов.

С математической точки зрения, диапазон прогнозов ${displaystyle {hat {f}} (x) pm w (x)}$ с вероятностью охвата 1 -α удовлетворяет следующему условию для каждого значения Икс:

{displaystyle Pr {Big (} {hat {f}} (x) -w (x) leq y ^ {*} leq {hat {f}} (x) + w (x) {Big)} = 1-альфа ,}

куда у^* это наблюдение, взятое из процесса генерации данных в данной точке Икс который не зависит от данных, используемых для построения точечной оценки ${displaystyle {hat {f}} (x)}$ и доверительный интервал ш(Икс). Это интервал точечного предсказания. Можно было бы построить одновременный интервал для конечного числа независимых наблюдений, используя, например, метод Бонферрони, чтобы расширить интервал на соответствующую величину.