Методы Монте-Карло для переноса электронов - Википедия - Monte Carlo methods for electron transport

В Метод Монте-Карло для электронного транспорта это полуклассический Монте-Карло (MC) подход к моделированию полупроводник транспорт. Предполагая, что движение носителя состоит из свободных полетов, прерываемых механизмами рассеяния, компьютер используется для моделирования траекторий частиц, когда они движутся через устройство под воздействием электрическое поле с помощью классическая механика. События рассеяния и продолжительность полета частицы определяется с помощью случайных чисел.

Фон

Уравнение переноса Больцмана

В Уравнение переноса Больцмана Модель была основным инструментом, используемым при анализе транспорта в полупроводниках. Уравнение BTE задается следующим образом:^{[нужна цитата ]}:

{ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + { frac {1} { hbar}} nabla _ {k} E (k) nabla _ {r} f + { frac { qF (r)} { hbar}} nabla _ {k} f = left [{ frac { partial f} { partial t}} right] _ { mathrm {collision}}}

{ displaystyle v = { frac {1} { hbar}} nabla _ {k} E (k)}

В функция распределения, ж, представляет собой безразмерную функцию, которая используется для извлечения всех интересующих наблюдаемых и дает полное описание распределения электронов как в реальном, так и в k-пространство. Кроме того, он физически представляет собой вероятность заселения частицей энергии. k на позиции р и времят. Кроме того, из-за того, что это семимерное интегро-дифференциальное уравнение (шесть измерений в фазовом пространстве и одно во времени), решение BTE является громоздким и может быть решено в замкнутой аналитической форме при очень особых ограничениях. Численно решение для BTE используется либо детерминированным методом, либо стохастическим методом. Решение детерминированного метода основано на сеточном численном методе, таком как подход сферических гармоник, тогда как метод Монте-Карло - это стохастический подход, используемый для решения BTE.

Метод Монте-Карло

Квазиклассический метод Монте-Карло - это статистический метод, используемый для получения точного решения уравнения переноса Больцмана, которое включает комплексные ленточная структура и рассеяние процессы. Этот подход является полуклассическим по той причине, что механизмы рассеяния рассматриваются квантово-механически с использованием Золотое правило Ферми, тогда как перенос между событиями рассеяния рассматривается с использованием классического понятия частиц. Модель Монте-Карло, по сути, отслеживает траекторию частицы при каждом свободном полете и случайным образом выбирает соответствующий механизм рассеяния. Двумя большими преимуществами полуклассического Монте-Карло являются его способность обеспечивать точную квантово-механическую трактовку различных механизмов рассеяния в условиях рассеяния и отсутствие предположений о форме распределения носителей по энергии или k-пространству. Квазиклассическое уравнение, описывающее движение электрона, имеет вид

{ displaystyle { frac {dr} {dt}} = { frac {1} { hbar}} nabla _ {k} E (k)}

{ displaystyle { frac {dk} {dt}} = { frac {qF (r)} { hbar}}}

где F - электрическое поле, E (k) - соотношение дисперсии энергии, k - волновой вектор импульса. Чтобы решить указанное выше уравнение, необходимо хорошо знать зонную структуру (E (k)). Соотношение E (k) описывает, как частица движется внутри устройства, в дополнение к отображению полезной информации, необходимой для транспортировки, такой как плотность состояний (DOS) и скорость частицы. Полнодиапазонное соотношение E (K) может быть получено с использованием полуэмпирического метода псевдопотенциала.^[1]

Метод гидродинамической и дрейфовой диффузии

Обе дрейфовая диффузия (DD) и гидродинамические (HD) модели могут быть получены из моментов уравнения переноса Больцмана (BTE) с использованием упрощенного приближения, применимого для устройств с длинным каналом. Схема DD является наиболее классическим подходом и обычно решает Уравнение Пуассона и уравнения неразрывности для носителей с учетом дрейфовой и диффузионной составляющих. В этом подходе предполагается, что время прохождения заряда очень велико по сравнению со временем релаксации энергии.^[2] С другой стороны, метод HD решает схему DD с уравнениями баланса энергии, полученными из моментов BTE.^[3]^[4] Таким образом, можно фиксировать и рассчитывать физические детали, такие как нагрев носителя и превышение скорости эффект. Излишне говорить, что при моделировании HD требуется точный метод дискретизации, поскольку основные уравнения сильно связаны и приходится иметь дело с большим количеством переменных по сравнению со схемой DD.

Сравнение полуклассических моделей

Средняя скорость носителей для НМО 80 нм при сравнении различных полуклассических имитационных моделей (а) Vds = 0,3 В (б) Vds = 0,6 В.

Точность полуклассических моделей сравнивается на основе BTE путем исследования того, как они решают классическую проблему превышения скорости, ключевую эффект короткого канала (SCE) в транзисторных структурах. По сути, выброс скорости - это нелокальный эффект масштабированных устройств, связанный с экспериментально наблюдаемым увеличением тока возбуждения и крутизны.^[5] По мере того, как длина канала становится меньше, скорость больше не является насыщенной в области сильного поля, но она превышает прогнозируемую скорость насыщения. Причина этого явления заключается в том, что время прохождения носителей становится сопоставимым со временем релаксации энергии, и, следовательно, мобильные носители не имеют достаточно времени для достижения равновесия с приложенным электрическим полем за счет рассеяния в устройствах с коротким каналом.^[6] Сводка результатов моделирования (Illinois Tool: MOCA) с моделями DD и HD показана на рисунке рядом. На рисунке (а) показан случай, когда поле недостаточно велико, чтобы вызвать эффект выброса скорости во всей области канала. Обратите внимание, что при таком пределе данные модели DD хорошо соответствуют модели MC в области без перерегулирования, но модель HD переоценивает скорость в этой области. Выбросы скорости наблюдаются только вблизи дренажного перехода в данных МК, и модель HD хорошо подходит для этой области. Из данных MC можно заметить, что эффект выброса скорости резкий в области сильного поля, что не учитывается должным образом в модели HD. Для условий сильного поля, как показано на рисунке (b), эффект превышения скорости почти по всему каналу, и результаты HD и результаты MC очень близки в области канала.

Монте-Карло для транспортировки полупроводников

Ленточная структура

Ленточная структура описывает связь между энергией (E) и волновой вектор (k). Зонная структура используется для расчета движения носителей под действием электрического поля, скорости рассеяния и конечного состояния после столкновения. Структура кремниевой полосы и ее зона Бриллюэна показаны на рисунке ниже, но нет аналитического выражения, которое удовлетворяет всей Зона Бриллюэна. Используя некоторое приближение, можно получить две аналитические модели зонной структуры, а именно параболическую и непараболическую моды.

Silicon band structure and its Brillouin Zone

Структура параболической ленты

В концепции зонной структуры для простоты обычно предполагаются параболические энергетические зоны. Электроны находятся, по крайней мере, когда они близки к равновесию, близко к минимумам зависимости E (k). Тогда отношение E (k) может быть расширено в ряд Тейлора как

{ Displaystyle E (k) = E (0) + left. { frac { partial E (k)} { partial k}} right | _ { mathrm {k = 0}} cdot k + { frac {1} {2}} { frac { partial ^ {2} E (k)} { partial k ^ {2}}} cdot k ^ {2}}

Поскольку первая производная обращается в нуль в минимуме зоны, градиент E (k) равен нулю при k = 0. Таким образом,

{ displaystyle E (k) = { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m ^ {*}}}}

что дает определение тензора эффективной массы

{ displaystyle { frac {1} {m ^ {*}}} = { frac {1} { hbar ^ {2}}} { frac { partial ^ {2} E (k)} { частичное k ^ {2}}}}

Это выражение справедливо для полупроводника, который имеет изотропную эффективную массу, например GaAs. В случае кремния минимум зоны проводимости не лежит на k = 0, а эффективная масса зависит от кристаллографической ориентации минимума как

{ displaystyle E (k) = { frac { hbar ^ {2}} {2}} left ({ frac {k_ {l} ^ {2}} {m_ {l} ^ {*}}}) + { frac {2k_ {t} ^ {2}} {m_ {t} ^ {*}}} right)}

куда ${ displaystyle m_ {l} ^ {*}, m_ {t} ^ {*}}$ описывают продольную и поперечную эффективную массу соответственно.

Непараболическая ленточная структура

Для более высоких приложенных полей несущие находятся выше минимума, и дисперсионное соотношение E (k) не удовлетворяет простому параболическому выражению, описанному выше. Эта непараболичность обычно описывается следующим образом:

{ displaystyle E (1+ alpha E) = { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m ^ {*}}}}

куда ${ displaystyle alpha}$ - коэффициент непараболичности, определяемый формулой

{ displaystyle alpha = { frac {(1-m ^ {*} / m_ {0}) ^ {2}} {E_ {g}}}}

куда ${ displaystyle m_ {0}}$ - масса электрона в вакууме, Eg - запрещенная зона.^[7]

Полная структура диапазона

Для многих приложений непараболическая зонная структура обеспечивает разумное приближение. Однако в случае переноса очень сильного поля, который требует лучшей физической модели полной зонной структуры. Для полнополосного подхода используется численно сгенерированная таблица E (k). Полнополосный подход для моделирования методом Монте-Карло впервые был использован Карлом Гессом из Иллинойского университета в Урбане-Шампейн. Этот подход основан на методе эмпирического псевдопотенциала, предложенном Коэном и Бергстрессером [18]. Полнополосный подход является дорогостоящим с точки зрения вычислений, однако, после увеличения вычислительной мощности, его можно использовать как более общий подход.^[8]

Типы моделирования Монте-Карло

Одночастичный Монте-Карло

Для этого типа моделирования вводится один носитель, и движение отслеживается в домене, пока он не выходит через контакт. Затем вводится другой носитель и процесс повторяется для моделирования ансамбля траекторий. Этот подход в основном полезен для изучения объемных свойств, таких как стационарная скорость дрейфа как функция поля.

Ансамбль Монте-Карло

Вместо одного носителя одновременно моделируется большой ансамбль носителей. Эта процедура, очевидно, является хорошим кандидатом для супер-вычислений, поскольку можно применять распараллеливание и векторизацию. Кроме того, теперь можно выполнять средние по ансамблю напрямую. Этот подход подходит для моделирования переходных процессов.

Самосогласованный ансамбль Монте-Карло

Этот метод объединяет ансамблевую процедуру Монте-Карло с уравнением Пуассона и является наиболее подходящим для моделирования устройств. Как правило, уравнение Пуассона решается через фиксированные интервалы для обновления внутреннего поля, чтобы отразить внутреннее перераспределение заряда из-за движения носителей.

Случайный выбор рейса

Вероятность следующего столкновения электрона в течение времени dt вокруг t определяется выражением

{ Displaystyle п (т) , дт = п [к (т)] ехр [- int _ {0} ^ {т} п [к (т ')] , дт'] , дт}

где P [k (t)] dt - вероятность того, что электрон в состоянии k подвергнется столкновению в течение времени dt. Из-за сложности интеграла в показателе экспоненты нецелесообразно генерировать стохастические свободные полеты с распределением приведенного выше уравнения. Чтобы преодолеть эту трудность, люди используют фиктивную схему «саморассеивания». При этом общая скорость рассеяния, включая это саморассеяние, будет постоянной и равна, например, ${ displaystyle Gamma}$ . При случайном выборе, если выбрано саморассеяние, k 'после столкновения будет таким же, как k, и носитель продолжает свой полет без возмущений. Введение постоянного ${ Displaystyle P (к) = тау _ {0} ^ {- 1}}$ , приведенное выше уравнение сводится к

{ displaystyle p (t) = { frac {1} { tau _ {0}}} exp (-t / tau _ {0}).}

Случайные числа р можно очень просто использовать для генерации стохастических бесплатных рейсов, продолжительность которых будет определяться как ${ displaystyle t_ {r} = - tau _ {0} ln (r)}$ . Компьютерное время, используемое для саморассеяния, более чем компенсируется за счет упрощения расчета продолжительности свободного полета.^[9] Чтобы увеличить скорость расчета времени свободного полета, используются несколько схем, таких как «Постоянная техника» и «Кусочная техника» для минимизации событий саморассеяния.

Механизмы рассеяния

Общие основы физики твердого тела

Важные свойства переноса заряда полупроводниковых устройств, такие как отклонение от закона Ома и насыщение подвижности носителей, являются прямым следствием механизмов рассеяния. Таким образом, для моделирования полупроводниковых устройств очень важно уловить физику таких механизмов. Моделирование полупроводников методом Монте-Карло в этой области является очень мощным инструментом для простоты и точности, с которой может быть включен почти полный набор механизмов рассеяния. Продолжительность бесплатных полетов определяется исходя из ставок рассеяния. В конце каждого полета должен быть выбран соответствующий механизм рассеяния, чтобы определить конечную энергию рассеянного носителя или, что эквивалентно, его новый импульс и угол рассеяния. В этом смысле можно различать два широких типа механизмов рассеяния, которые естественным образом происходят из классической теории столкновения двух тел:

Упругое рассеяние, где энергия частицы сохраняется после рассеяния. Таким образом, упругое рассеяние изменит только направление импульса частицы. Примесное рассеяние и поверхностное рассеяние - в хорошем приближении - два хороших примера процессов упругого рассеяния.

Неупругое рассеяние, где энергия передается между рассеиваемой частицей и центром рассеяния. Электронфононные взаимодействия по существу неупругие, поскольку фонон определенной энергии либо излучается, либо поглощается рассеянной частицей. Прежде чем описывать механизмы рассеяния в более подробных математических деталях, важно отметить, что при проведении моделирования методом Монте-Карло полупроводников приходится иметь дело в основном с следующие типы событий рассеяния:^[9]

Акустический фонон: Носитель заряда обменивается энергией с акустической модой колебаний атомов в кристаллической решетке. Акустические фононы в основном возникают в результате теплового возбуждения кристаллической решетки.

Полярная оптика: Носитель заряда обменивается энергией с одной из полярных оптических мод кристаллической решетки. Эти моды отсутствуют в ковалентных полупроводниках. Оптические фононы возникают из-за колебаний друг относительно друга атомов разных типов, когда в самой маленькой элементарной ячейке находится более одного атома, и обычно возбуждаются светом.

Неполярная оптика: Обмен энергией осуществляется с помощью оптического режима. Неполярные оптические фононы обычно следует рассматривать в ковалентных полупроводниках и L-долине GaAs.

Эквивалентный Intervalley Phonon: Из-за взаимодействия с фононом носитель заряда переходит из начальных состояний в конечные, которые принадлежат разным, но эквивалентным долинам. Обычно этот тип механизма рассеяния описывает переход электрона из одной X-долины в другую X-долину или из одной L-долины в другую L-долину.^[10]

Неэквивалентный Intervalley Phonon: Предполагает переход носителя заряда между долинами разных типов.

Пьезоэлектрический фонон: Для низких температур.

Ионизированная примесь: Отражает отклонение частицы от ее баллистической траектории из-за кулоновского взаимодействия с ионизированной примесью в кристаллической решетке. Поскольку масса электрона относительно мала по сравнению с массой примеси, кулоновское сечение быстро уменьшается с увеличением разницы в модуле импульса между начальным и конечным состояниями.^[9] Поэтому примесное рассеяние в основном рассматривается для внутридолинного рассеяния, внутризонного рассеяния и, в меньшей степени, для межзонного рассеяния.

Перевозчик-перевозчик: (электрон-электронное, дырочное и электрон-дырочное взаимодействия). Когда концентрация носителей высока, этот тип рассеяния отражает электростатическое взаимодействие между носителями заряда. Эта проблема очень быстро становится вычислительно интенсивной с увеличением числа частиц в ансамблевом моделировании. В этой области алгоритмы Particle-Particle-Particle-Mesh (P3M), которые различают короткодействующее и дальнодействующее взаимодействие частицы с окружающим ее зарядовым газом, доказали свою эффективность при включении взаимодействия носителей и носителей в моделирование полупроводников методом Монте-Карло.^[11] Очень часто заряд носителей назначается сетке с использованием метода Cloud-in-Cell, где часть заряда данной частицы присваивается заданному количеству ближайших узлов сетки с определенным весовым коэффициентом.

Плазмон: Отражает влияние коллективных колебаний носителей заряда на данную частицу.

Включение механизмов рассеяния в Монте-Карло

Вычислительно эффективный подход к включению рассеяния в моделирование методом Монте-Карло заключается в хранении скоростей рассеяния отдельных механизмов в таблицах. Учитывая разные скорости рассеяния для конкретного состояния частицы, можно затем случайным образом выбрать процесс рассеяния в конце свободного полета. Эти скорости рассеяния очень часто получают с помощью Борновское приближение, в котором событие рассеяния - это просто переход между двумя импульсными состояниями носителя. Как обсуждалось в разделе II-I, квантовая проблема многих тел, возникающая при взаимодействии носителя с окружающей средой (фононами, электронами, дырками, плазмонами, примесями, ...), может быть сведена к задаче двух тел, используя приближение квазичастиц, которое отделяет интересующий носитель от остальной части кристалла.^[9] В рамках этих приближенийЗолотое правило Ферми дает в первом порядке вероятность перехода в единицу времени для механизма рассеяния из состояния ${ displaystyle | к rangle}$ в состояние ${ Displaystyle | к ' rangle}$ :

{ displaystyle S (k, k ') = { frac {2 pi} { hbar}} left | langle k | H' | k ' rangle right | ^ {2} cdot delta ( E-E ')}

где H '- гамильтониан возмущения, представляющий столкновение, а E и E' - соответственно начальная и конечная энергии системы, состоящей как из носителя, так и из электронного и фононного газа. Дирак ${ displaystyle delta}$ -функция означает сохранение энергии. Кроме того, термин ${ Displaystyle langle к | H '| k' rangle}$ , обычно называемый матричным элементом, математически представляет собой внутреннее произведение начальной и конечной волновых функций несущей:^[12]

{ displaystyle langle k | H '| k' rangle = { frac {1} {Vol}} int _ { mathrm {Vol}} psi _ {k} (r) H ' psi _ { k '} ^ {*} (r) , dr}

В кристаллической решетке волновые функции ${ Displaystyle psi _ {к} (г)}$ и ${ Displaystyle psi _ {к '} (г)}$ просто Волны Блоха. Когда это возможно, аналитическое выражение элементов Матрицы обычно находят путем разложения Фурье Гамильтониан H ', как и в случае примесного рассеяния ^[13] или рассеяние акустических фононов.^[14] В важном случае перехода из энергетического состояния E в энергетическое состояние E 'за счет фонона волнового вектора q и частоты ${ displaystyle omega _ {q}}$ , изменение энергии и импульса равно:

{ Displaystyle E'-E = E (k ') - E (k) pm hbar omega _ {q} ,}

{ displaystyle k'-k pm q = { begin {cases} 0 & { text {}} R & { text {Umklapp-process}} end {cases}}}

куда р это обратная решетка вектор. Процессы переброса (или U-процессы) изменяют импульс частицы после рассеяния и, следовательно, ограничивают проводимость в кристаллах полупроводников. Физически U-процессы происходят, когда конечный импульс частицы направлен из первой зоны Бриллюэна. Когда кто-то знает вероятность рассеяния в единицу времени из состояния k в состояние k ', интересно определить скорость рассеяния для данного процесса рассеяния. Скорость рассеяния дает вероятность в единицу времени рассеяться из состояния k в любое другое состояние в обратном пространстве. Следовательно, скорость рассеяния равна

{ Displaystyle лямбда (к) = сумма _ {к '} S (к, к')}

которые можно легко использовать для определения времени свободного полета и процесса рассеяния, как описано в разделе 3-3. Важно отметить, что эта скорость рассеяния будет зависеть от зонной структуры материала (зависимость возникает от матричных элементов).

Выбор режима рассеяния и траектории рассеяния

В конце свободного полета режим рассеяния и угол должны выбираться случайным образом. Чтобы определить механизм рассеяния, необходимо учесть все скорости рассеяния ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ..., lambda _ {n}}$ механизмов, относящихся к моделированию, а также полную скорость рассеяния во время рассеяния ${ displaystyle lambda _ {tot} (t_ {sc}) = sum _ {i} lambda _ {i}.}$ Выбор механизма рассеяния затем просто приводит к генерации равномерно распределенного случайного числа 0

{ displaystyle { begin {align} r & <{ frac { lambda _ {1}} { lambda _ { mathrm {tot}}}} rightarrow { text {scattering-Mechanism -}} 1 r & <{ frac { lambda _ {1} + lambda _ {2}} { lambda _ { mathrm {tot}}}} rightarrow { text {механизм рассеивания -}} 2 & { } vdots r & <{ frac { sum _ {i = 0} ^ {n} lambda _ {i}} { lambda _ { mathrm {tot}}}} rightarrow { text { механизм рассеивания -}} n end {выровнен}}}

Вычислительно эффективный подход к выбору механизма рассеяния состоит в добавлении «пустотного» механизма рассеяния так, чтобы ${ displaystyle lambda _ { mathrm {tot}}}$ остается неизменным с течением времени. Если частица рассеивается по этому механизму, она сохранит свою баллистическую траекторию после рассеяния. Чтобы выбрать новую траекторию, необходимо сначала получить энергия (или же импульс ) частицы после рассеяния

{ displaystyle E (k ') = E (k) pm hbar omega _ {q} pm Delta E_ {C} ,}

где термин ${ displaystyle hbar omega _ {q}}$ учитывает излучение или поглощение фононов, а термин ${ displaystyle Delta E_ {C}}$ не равно нулю для междолинного рассеяния. Конечная энергия (и зонная структура) непосредственно дают модуль нового импульса k '. На этом этапе нужно только выбрать новое направление (или угол) для рассеянной частицы. В некоторых простых случаях как рассеяние фононов и параболическое соотношение дисперсии, угол рассеяния является случайным и равномерно распределен на сфере радиуса k '. Используя сферические координаты, процесс выбора угла эквивалентен случайному выбору двух углов. ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle psi}$ . Если угол распределен с распределением ${ Displaystyle р ( тета, psi)}$ , то при равномерном распределении углов вероятность выбрать точку сферы - это

{ displaystyle p ( theta, psi) , d theta d psi = { frac { sin theta , d theta , d psi} {4 pi}}}

В этом случае можно разделить две переменные. Интеграция более ${ displaystyle psi}$ затем закончился ${ displaystyle theta}$ , можно найти

{ Displaystyle р ( тета) = { гидроразрыва { грех тета} {2}}}

{ displaystyle p ( psi) = { frac {1} {2 pi}}}

Затем два сферических угла могут быть выбраны в однородном случае путем генерации двух случайных чисел 0 1, р₂ <1 такой, что

{ displaystyle r_ {1} = int _ {0} ^ { psi} p ( psi ') , d psi' = { frac { psi} {2 pi}}}

{ displaystyle r_ {2} = int _ {0} ^ { theta} p ( theta ') , d theta' = { frac {1- cos theta} {2}}}

Квантовые поправки для моделирования Монте-Карло

Эффекты квантовой коррекции

Текущая тенденция к сокращению полупроводниковые приборы вынудил физиков включить вопросы квантовой механики, чтобы получить полное представление о поведении устройства. Моделирование поведения наноразмерных устройств требует использования полной квантовый транспорт модель особенно для случаев, когда квантовые эффекты нельзя игнорировать. Однако этого усложнения можно избежать в случае практических устройств, таких как современные. МОП-транзистор, используя квантовые поправки в полуклассических рамках. Затем можно использовать полуклассическую модель Монте-Карло для моделирования характеристик устройства. Квантовые поправки могут быть включены в симулятор Монте-Карло путем простого введения члена квантового потенциала, который накладывается на классический электростатический потенциал, наблюдаемый моделируемыми частицами. Рисунок рядом наглядно изображает основные черты этой техники. Различные доступные для реализации квантовые подходы описаны в следующих подразделах.

Коррекция на основе Вигнера

Уравнение переноса Вигнера составляет основу квантовой поправки на основе Вигнера.^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + r cdot nabla _ {r} f - { frac {1} { hbar}} nabla _ {r} V cdot nabla _ {k} f + sum _ { alpha = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { alpha +1}} { hbar 4 ^ { alpha} (2 alpha + 1)!}} Times ( nabla _ {r} nabla _ {k}) ^ {2 alpha +1} Vf = left ({ frac { partial f} { partial t}} right ) _ {c}}

куда, k - импульс кристалла, V - классический потенциал, член в правой части представляет собой эффект столкновения, четвертый член в левой части представляет собой нелокальные квантово-механические эффекты. Стандартное уравнение переноса Больцмана получается, когда нелокальные члены на LHS исчезают в пределе медленных пространственных изменений. Упрощенный (для ${ Displaystyle альфа = 0}$ ) BTE с квантовой коррекцией становится

{ displaystyle { frac { partial f} { partial t}} + r cdot nabla _ {r} f - { frac {1} { hbar}} nabla _ {r} V cdot набла _ {k} f = left ({ frac { partial f} { partial t}} right) _ {c}}

где квантовый потенциал содержится в члене ${ displaystyle V _ { omega}}$ (должна быть ошибка: ${ displaystyle V _ { omega}}$ никогда не упоминался).

Эффективная потенциальная коррекция

Этот метод квантовой коррекции был разработан Фейнманом и Хиббсом в 1965 году.^{[нужна цитата ]} В этом методе эффективный потенциал получается путем вычисления вклада в интеграл по путям квантовых флуктуаций частицы вокруг ее классического пути. Этот расчет выполняется вариационным методом с использованием пробного потенциала первого порядка. Тогда эффективный классический потенциал в средней точке на каждом пути принимает вид

{ displaystyle V _ { mathrm {eff}} (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi a}}} int _ {- infty} ^ { infty} V (x ') e ^ {- { frac {(x'-x) ^ {2}} {2a ^ {2}}}} dx '}

{ displaystyle a ^ {2} = { frac { hbar ^ {2}} {12m ^ {*} k_ {B} T}}}

Коррекция на основе Шредингера

Этот подход предполагает периодическое решение Уравнение Шредингера в моделировании с входом самосогласованного электростатического потенциала. Точные уровни энергии и волновые функции, относящиеся к решению электростатического потенциала, используются для вычисления квантового потенциала. Квантовая поправка, полученная на основе этого метода, может быть визуализирована следующим уравнением

{ Displaystyle V _ { mathrm {schr}} (z) = - k_ {B} T cdot log (n_ {q} (z)) - V_ {p} (z) + V_ {0}}

где V_шр - потенциал квантовой поправки, z - направление, перпендикулярное границе раздела, п_q квантовая плотность из уравнения Шредингера, которая эквивалентна сходящейся концентрации Монте-Карло, V_п - потенциал из решения Пуассона, V₀ - произвольный опорный потенциал вдали от квантовой области, такой, что поправка обращается в нуль в области полуклассического поведения. Несмотря на то, что вышеупомянутые потенциалы для квантовой коррекции различаются по методам расчета и основным предположениям, все же, когда дело доходит до их включения в моделирование методом Монте-Карло, все они включаются одинаково.