Лагранжева механика - Lagrangian mechanics

Часть серии по
Классическая механика
${displaystyle {extbf {F}} = {гидроразрыв {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / Момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Демпфирование  (соотношение ) Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерционный  / Неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  (линейный ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / смещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813)

Лагранжева механика это переформулировка классическая механика, представленный итало-французским математиком и астрономом Жозеф-Луи Лагранж в 1788 г.

В лагранжевой механике траектория системы частиц выводится путем решения уравнений Лагранжа в одной из двух форм: либо Уравнения Лагранжа первого рода,^[1] которые лечат ограничения явно как дополнительные уравнения, часто используя Множители Лагранжа;^[2][3] или Уравнения Лагранжа второго рода, которые включают ограничения непосредственно путем разумного выбора обобщенные координаты.^[1][4] В каждом случае математическая функция называется Лагранжиан является функцией обобщенных координат, их производных по времени и времени и содержит информацию о динамике системы.

Никакая новая физика не обязательно вводится при применении лагранжевой механики по сравнению с Ньютоновская механика. Однако он более математически сложен и систематичен. Законы Ньютона могут включать не-консервативные силы подобно трение; однако они должны явно включать ограничивающие силы и лучше всего подходят для Декартовы координаты. Лагранжева механика идеальна для систем с консервативными силами и для обхода сил связи в любых система координат. Диссипативные и ведомые силы можно учесть, разделив внешние силы на сумму потенциальных и непотенциальных сил, что приведет к набору модифицированных Уравнения Эйлера – Лагранжа (ЭЛ).^[5] Обобщенные координаты могут быть выбраны для удобства, чтобы использовать симметрии в системе или геометрию ограничений, что может упростить решение для движения системы. Лагранжева механика также выявляет сохраняющиеся величины и их симметрии прямым путем, как частный случай Теорема Нётер.

Лагранжева механика важна не только из-за ее широких приложений, но и из-за ее роли в продвижении глубокого понимания физика. Хотя Лагранж стремился описать классическая механика в его трактате Mécanique analytique,^[6][7] Уильям Роуэн Гамильтон позже разработан Принцип Гамильтона которое можно использовать для вывода уравнения Лагранжа, и позже было признано, что оно применимо к большинству фундаментальных теоретическая физика а также особенно квантовая механика и теория относительности. Его также можно применить к другим системам по аналогии, например, чтобы соединить электрические цепи с индуктивности и емкости.^[8]

Лагранжева механика широко используется для решения механических задач физики и когда Формулировка Ньютона классической механики не удобно. Лагранжева механика применяется к динамике частиц, в то время как поля описаны с использованием Плотность лагранжиана. Уравнения Лагранжа также используются в задачах оптимизации динамических систем. В механике уравнения Лагранжа второго рода используются гораздо чаще, чем уравнения первого рода.

Вступление

Бусинка вынуждена двигаться по проводу без трения. Проволока проявляет силу реакции C на бусине, чтобы она оставалась на проволоке. Неограничивающая сила N в данном случае - гравитация. Обратите внимание, что исходное положение провода может привести к различным движениям.

Простой маятник. Поскольку шток жесткий, положение боба ограничено уравнением ж(Икс, у) = 0, сила связи C это натяжение стержня. Опять не сдерживающая сила N в данном случае - гравитация.

Предположим, существует шарик, скользящий по проволоке, или качающийся простой маятник и т. д. Если отслеживать каждый из массивных объектов (бусинка, маятник и т. д.) как частицу, расчет движения частицы с использованием Ньютоновская механика потребует решения для изменяющейся во времени сдерживающей силы, необходимой для удержания частицы в ограниченном движении (сила реакции, оказываемая проволокой на шарик, или напряжение в стержне маятника). Для той же задачи с использованием лагранжевой механики можно посмотреть на путь, по которому может двигаться частица, и выбрать удобный набор независимый обобщенные координаты которые полностью характеризуют возможное движение частицы. Такой выбор избавляет от необходимости вводить силу ограничения в результирующую систему уравнений. Уравнений меньше, так как нельзя напрямую вычислять влияние ограничения на частицу в данный момент.

Для самых разных физических систем, если размер и форма массивного объекта незначительны, полезно рассматривать его как точечная частица. Для системы N точечные частицы с массы м₁, м₂, ..., м_N, каждая частица имеет вектор положения, обозначенный р₁, р₂, ..., р_N. Декартовы координаты часто бывает достаточно, поэтому р₁ = (Икс₁, у₁, z₁), р₂ = (Икс₂, у₂, z₂) и так далее. В трехмерное пространство, каждый вектор позиции требует трех координаты для однозначного определения местоположения точки, поэтому существует 3N координаты для однозначного определения конфигурации системы. Все это определенные точки в космосе, по которым можно найти частицы; пишется общая точка в пространстве р = (Икс, у, z). В скорость каждой частицы - это скорость, с которой частица движется по своему пути движения, и является производная по времени своего положения, таким образом

$${displaystyle mathbf {v} _ {1} = {frac {dmathbf {r} _ {1}} {dt}}, mathbf {v} _ {2} = {frac {dmathbf {r} _ {2}} { dt}}, ldots, mathbf {v} _ {N} = {гидроразрыв {dmathbf {r} _ {N}} {dt}}}$$

$${displaystyle sum mathbf {F} = m {frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}$$

Вместо сил лагранжева механика использует энергии в системе. Центральная величина лагранжевой механики - это Лагранжиан, функция, которая суммирует динамику всей системы. В целом, в лагранжиане есть единицы энергии, но нет единого выражения для всех физических систем. Любая функция, которая генерирует правильные уравнения движения в соответствии с физическими законами, может быть принята в качестве лагранжиана. Тем не менее можно построить общие выражения для больших классов приложений. В нерелятивистский Лагранжиан системы частиц можно определить как^[9]

${displaystyle L = T-V}$

куда

${displaystyle T = {frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2}}$

это общая кинетическая энергия системы, равной сумма Σ кинетических энергий частиц,^[10] и V это потенциальная энергия системы.

Кинетическая энергия - это энергия движения системы, а v_k² = v_k · v_k - квадрат величины скорости, эквивалентный скалярное произведение скорости с собой. Кинетическая энергия зависит только от скоростей v_k, а не должности р_k ни время т, так Т = Т(v₁, v₂, ...).

В потенциальная энергия системы отражает энергию взаимодействия между частицами, то есть сколько энергии будет иметь одна частица из-за всех остальных и других внешних воздействий. За консервативные силы (например. Ньютоновская гравитация ), это функция только векторов положения частиц, поэтому V = V(р₁, р₂, ...). Для тех неконсервативных сил, которые могут быть получены из соответствующего потенциала (например, электромагнитный потенциал ), появятся и скорости, V = V(р₁, р₂, ..., v₁, v₂, ...). Если есть какое-то внешнее поле или внешняя движущая сила, изменяющаяся со временем, потенциал будет меняться со временем, поэтому в большинстве случаев V = V(р₁, р₂, ..., v₁, v₂, ..., т).

Приведенная выше форма L не выдерживает релятивистская лагранжева механика, и должна быть заменена функцией, совместимой со специальной или общей теорией относительности. Кроме того, для диссипативных сил необходимо ввести другую функцию наряду с L.

Одна или несколько частиц могут быть подвержены одному или нескольким голономные ограничения; такое ограничение описывается уравнением вида ж(р, т) = 0. Если количество ограничений в системе равно C, то каждое ограничение имеет уравнение, ж₁(р, т) = 0, ж₂(р, т) = 0, ... ж_C(р, т) = 0, каждая из которых может относиться к любой из частиц. Если частица k подлежит ограничению я, тогда ж_я(р_k, т) = 0. В любой момент времени координаты связанной частицы связаны между собой и не являются независимыми. Уравнения ограничений определяют допустимые пути, по которым частицы могут двигаться, но не то, где они находятся или как быстро они движутся в каждый момент времени. Неголономные связи зависят от скоростей частиц, ускорений или более высоких производных положения. Лагранжева механика может применяться только к системам, ограничения которых, если таковые имеются, являются голономными.. Три примера неголономных ограничений:^[11] когда уравнения связей неинтегрируемы, когда ограничения имеют неравенства, или со сложными неконсервативными силами, такими как трение. Неголономные связи требуют специального рассмотрения, и, возможно, придется вернуться к механике Ньютона или использовать другие методы.

Если Т или же V или оба явно зависят от времени из-за изменяющихся во времени ограничений или внешних воздействий, лагранжиан L(р₁, р₂, ... v₁, v₂, ... т) является явно зависящий от времени. Если ни потенциал, ни кинетическая энергия не зависят от времени, то лагранжиан L(р₁, р₂, ... v₁, v₂, ...) является явно не зависит от времени. В любом случае лагранжиан всегда будет иметь неявную зависимость от времени через обобщенные координаты.

С этими определениями Уравнения Лагранжа первого рода находятся^[12]

куда k = 1, 2, ..., N маркирует частицы, есть Множитель Лагранжа λ_я для каждого уравнения связи ж_я, и

${displaystyle {frac {partial} {partial mathbf {r} _ {k}}} эквивалент слева ({frac {partial} {partial x_ {k}}}, {frac {partial} {partial y_ {k}}}, {frac {partial} {partial z_ {k}}} ight) ,, quad {frac {partial} {partial {dot {mathbf {r}}} _ {k}}} эквивалент влево ({frac {partial} {partial {точка {x}} _ {k}}}, {frac {partial} {partial {dot {y}} _ {k}}}, {frac {partial} {partial {dot {z}} _ {k} }} ight)}$

являются сокращениями для вектора частные производные ∂/∂ по указанным переменным (не производная по всему вектору).^{[nb 1]} Каждая точка - это сокращение для производная по времени. Эта процедура увеличивает количество решаемых уравнений по сравнению с законами Ньютона с 3N до 3N + C, потому что их 3N связанных дифференциальных уравнений второго порядка в координатах положения и множителях, плюс C уравнения связей. Однако при решении вместе с координатами положения частиц множители могут дать информацию о силах связи. Координаты не нужно исключать путем решения уравнений связи.

В лагранжиане координаты положения и компоненты скорости равны независимые переменные, а производные лагранжиана берутся по ним отдельно согласно обычному правила дифференциации (например, производная от L с уважением к z-компонента скорости частицы 2, v_z2 = dz₂/ дт, это просто так; не неловко правила цепочки или полные производные необходимо использовать, чтобы связать компонент скорости с соответствующей координатой z₂).

В каждом уравнении ограничения одна координата является избыточной, потому что она определяется из других координат. Количество независимый координаты поэтому п = 3N − C. Мы можем преобразовать каждый вектор положения в общий набор п обобщенные координаты, удобно записать как ппара q = (q₁, q₂, ... q_п), выражая каждый вектор положения и, следовательно, координаты положения как функции обобщенных координат и времени,

${displaystyle mathbf {r} _ {k} = mathbf {r} _ {k} (mathbf {q}, t) = (x_ {k} (mathbf {q}, t), y_ {k} (mathbf {q }, t), z_ {k} (mathbf {q}, t), t) ,.}$

Вектор q это точка в конфигурационное пространство системы. Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями, а для каждой частицы преобразование ее вектора скорости - полная производная положения относительно времени, составляет

${displaystyle {dot {q}} _ {j} = {frac {mathrm {d} q_ {j}} {mathrm {d} t}} ,, quad mathbf {v} _ {k} = sum _ {j = 1} ^ {n} {frac {partial mathbf {r} _ {k}} {partial q_ {j}}} {dot {q}} _ {j} + {frac {partial mathbf {r} _ {k} } {частичное t}} ,.}$

Учитывая это v_k, кинетическая энергия в обобщенных координатах зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени, если векторы положения явно зависят от времени из-за изменяющихся во времени ограничений, поэтому Т = Т(q, dq/ дт, т).

С этими определениями Уравнения Эйлера – Лагранжа., или же Уравнения Лагранжа второго рода^[13][14]

математические результаты вариационное исчисление, который также можно использовать в механике. Подставляя в лагранжиан L(q, dq/ дт, т), дает уравнения движения системы. Количество уравнений уменьшилось по сравнению с механикой Ньютона, с 3N к п = 3N − C связанные дифференциальные уравнения второго порядка в обобщенных координатах. Эти уравнения вообще не включают в себя силы связи, необходимо учитывать только силы, не являющиеся связями.

Хотя уравнения движения включают частные производные, результаты частных производных по-прежнему обыкновенные дифференциальные уравнения в координатах положения частиц. В полная производная по времени обозначается d / dт часто включает неявное дифференцирование. Оба уравнения линейны по лагранжиану, но, как правило, будут нелинейными связанными уравнениями по координатам.

От ньютоновской механики к лагранжевой

Законы Ньютона

Исаак Ньютон (1642—1727)

Для простоты законы Ньютона можно проиллюстрировать для одной частицы без особой потери общности (для системы N частиц, все эти уравнения применимы к каждой частице в системе). В уравнение движения для частицы массы м является Второй закон Ньютона 1687 г., в современной векторной записи

${displaystyle mathbf {F} = mmathbf {a} ,,}$

куда а это его ускорение и F результирующая сила, действующая на Это. В трех пространственных измерениях это система трех связанных второго порядка обыкновенные дифференциальные уравнения решить, поскольку в этом векторном уравнении есть три компонента. Решения - это векторы положения р частиц во время тпри условии первоначальные условия из р и v когда т = 0.

Законы Ньютона легко использовать в декартовых координатах, но декартовы координаты не всегда удобны, а для других систем координат уравнения движения могут стать сложными. В комплекте криволинейные координаты ξ = (ξ¹, ξ², ξ³), закон в обозначение тензорного индекса это «Лагранжева форма»^[15][16]

${displaystyle F ^ {a} = mleft ({frac {mathrm {d} ^ {2} xi ^ {a}} {mathrm {d} t ^ {2}}} + Gamma ^ {a} {} _ {bc } {frac {mathrm {d} xi ^ {b}} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} xi ^ {c}} {mathrm {d} t}} ight) = g ^ {ak } left ({frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial T} {partial {dot {xi}} ^ {k}}}} - {frac {partial T} {partial xi ^ {k}}} ight) ,, quad {dot {xi}} ^ {a} Equiv {frac {mathrm {d} xi ^ {a}} {mathrm {d} t}} ,,}$

куда F^а это аth контравариантные компоненты равнодействующей силы, действующей на частицу, Γ^а_{до н.э} являются Символы Кристоффеля второго рода,

${displaystyle T = {frac {1} {2}} mg_ {bc} {frac {mathrm {d} xi ^ {b}} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} xi ^ {c} } {mathrm {d} t}} ,,}$

- кинетическая энергия частицы, а грамм_{до н.э} то ковариантные компоненты из метрический тензор криволинейной системы координат. Все индексы а, б, c, каждый принимает значения 1, 2, 3. Криволинейные координаты не совпадают с обобщенными координатами.

Приведение закона Ньютона в такую ​​форму может показаться чрезмерным усложнением, но есть преимущества. Компоненты ускорения в терминах символов Кристоффеля можно избежать, вычислив вместо этого производные кинетической энергии. Если на частицу нет равнодействующей силы, F = 0, он не ускоряется, а движется с постоянной скоростью по прямой. Математически решения дифференциального уравнения имеют вид геодезические, кривые экстремальной длины между двумя точками в пространстве (они могут оказаться минимальными, так что это кратчайшие пути, но это не обязательно). В плоском трехмерном реальном пространстве геодезические - это просто прямые линии. Итак, для свободной частицы второй закон Ньютона совпадает с уравнением геодезических, и состояния свободных частиц следуют геодезическим, экстремальным траекториям, по которым они могут двигаться. Если на частицу действуют силы, F ≠ 0, частица ускоряется из-за сил, действующих на нее, и отклоняется от геодезических, если бы она была свободна. С соответствующим расширением величин, приведенных здесь в плоском трехмерном пространстве, до 4d. искривленное пространство-время, указанная выше форма закона Ньютона также переносится на Эйнштейн с общая теория относительности, и в этом случае свободные частицы следуют геодезическим в искривленном пространстве-времени, которые больше не являются «прямыми линиями» в обычном смысле.^[17]

Однако нам еще нужно знать полную равнодействующую силу F действующее на частицу, что, в свою очередь, требует результирующей силы, не связанной с ограничением N плюс результирующая сила ограничения C,

${displaystyle mathbf {F} = mathbf {C} + mathbf {N},.}$

Сдерживающие силы могут быть сложными, поскольку они обычно зависят от времени. Кроме того, при наличии ограничений криволинейные координаты не являются независимыми, а связаны одним или несколькими уравнениями ограничений.

Силы связи могут быть либо исключены из уравнений движения, так что остаются только силы, не являющиеся связями, либо включены путем включения уравнений связи в уравнения движения.

Принцип Даламбера

Жан д'Аламбер (1717—1783)

Одна степень свободы.

Две степени свободы.

Сдерживающая сила C и виртуальное смещение δр для частицы массы м ограничен кривой. Результирующая неконтактная сила равна N.

Фундаментальный результат в аналитическая механика является Принцип Даламбера, введен в 1708 г. Жак Бернулли понимать статическое равновесие, и разработан Д'Аламбер в 1743 г. для решения динамических задач.^[18] Принцип утверждает, что N частиц виртуальная работа, т.е. работа вдоль виртуального перемещения, δр_k, равно нулю^[10]

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} (mathbf {N} _ {k} + mathbf {C} _ {k} -m_ {k} mathbf {a} _ {k}) cdot delta mathbf {r } _ {k} = 0 ,.}$

В виртуальные смещения, δр_k, по определению, являются бесконечно малыми изменениями конфигурации системы, согласованными с силами связи, действующими на систему. в момент времени,^[19] т.е. таким образом, чтобы силы ограничения поддерживали ограниченное движение. Это не то же самое, что фактические смещения в системе, которые вызваны результирующими ограничивающими и не ограничивающими силами, действующими на частицу для ее ускорения и перемещения.^{[nb 2]} Виртуальная работа это работа, выполняемая при виртуальном перемещении для любой силы (ограничения или отсутствия ограничений).

Поскольку силы ограничения действуют перпендикулярно движению каждой частицы в системе для поддержания ограничений, общая виртуальная работа сил ограничения, действующих на систему, равна нулю;^{[20][№ 3]}

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {C} _ {k} cdot delta mathbf {r} _ {k} = 0 ,,}$

так что

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} (mathbf {N} _ {k} -m_ {k} mathbf {a} _ {k}) cdot delta mathbf {r} _ {k} = 0 ,. }$

Таким образом, принцип Даламбера позволяет нам сосредоточиться только на приложенных силах, не являющихся связями, и исключить силы связи в уравнениях движения.^[21][22] Показанная форма также не зависит от выбора координат. Однако его нелегко использовать для построения уравнений движения в произвольной системе координат, так как перемещения δр_k могут быть связаны уравнением ограничения, которое не позволяет нам установить N отдельные слагаемые равны 0. Поэтому мы будем искать систему взаимно независимых координат, для которой общая сумма будет равна 0 тогда и только тогда, когда отдельные слагаемые равны 0. Установка каждого слагаемого на 0 в конечном итоге даст нам наши разделенные уравнения движения.

Уравнения движения из принципа Даламбера

Если есть ограничения на частицу k, то поскольку координаты позиции р_k = (Икс_k, у_k, z_k) связаны между собой уравнением связи, так же как и уравнения виртуальные смещения δр_k = (δx_k, δy_k, δz_k). Поскольку обобщенные координаты независимы, мы можем избежать сложностей с δр_k преобразованием в виртуальные перемещения в обобщенных координатах. Они связаны в той же форме, что и полный дифференциал,^[10]

${displaystyle delta mathbf {r} _ {k} = sum _ {j = 1} ^ {n} {frac {partial mathbf {r} _ {k}} {partial q_ {j}}} delta q_ {j}, .}$

Не существует частной производной по времени по времени, умноженной на приращение времени, поскольку это виртуальное смещение, одно по ограничениям в мгновенное времени.

Первый член в приведенном выше принципе Даламбера - это виртуальная работа, совершаемая силами, не являющимися связями. N_k вдоль виртуальных перемещений δр_k, и без ограничения общности могут быть преобразованы в обобщенные аналоги по определению обобщенные силы

${displaystyle Q_ {j} = sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k} cdot {frac {partial mathbf {r} _ {k}} {partial q_ {j}}} ,, }$

так что

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k} cdot delta mathbf {r} _ {k} = sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k } cdot sum _ {j = 1} ^ {n} {frac {partial mathbf {r} _ {k}} {partial q_ {j}}} delta q_ {j} = sum _ {j = 1} ^ {n } Q_ {j} дельта q_ {j} ,.}$

Это половина преобразования в обобщенные координаты. Осталось преобразовать член ускорения в обобщенные координаты, что не сразу очевидно. Вспоминая форму Лагранжа второго закона Ньютона, можно найти частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам и скоростям, чтобы получить желаемый результат;^[10]

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot {frac {partial mathbf {r} _ {k}} {partial q_ {j}}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial T} {partial {dot {q}} _ {j}}} - {frac {partial T} {partial q_ {j}}}, .}$

Теперь принцип Даламбера находится в необходимых обобщенных координатах:

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} left [Q_ {j} -left ({frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial T} {partial {dot {q}). }} _ {j}}} - {frac {partial T} {partial q_ {j}}} ight) ight] delta q_ {j} = 0 ,,}$

и поскольку эти виртуальные смещения δq_j независимы и отличны от нуля, коэффициенты можно приравнять к нулю, в результате чего Уравнения Лагранжа^[23][24] или обобщенные уравнения движения,^[25]

${displaystyle Q_ {j} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial T} {partial {dot {q}} _ {j}}} - {frac {partial T} {частичный q_ {j}}}}$

Эти уравнения эквивалентны законам Ньютона. для несвязных сил. Обобщенные силы в этом уравнении выводятся только из сил, не связанных с ограничениями - силы связи исключены из принципа Даламбера, и их нет необходимости находить. Обобщенные силы могут быть неконсервативными при условии, что они удовлетворяют принципу Даламбера.^[26]

Уравнения Эйлера – Лагранжа и принцип Гамильтона.

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δq).^[27]

Для неконсервативной силы, зависящей от скорости, она май можно найти функцию потенциальной энергии V это зависит от положения и скорости. Если обобщенные силы Q_я может быть получен из потенциала V такой, что^[28][29]

${displaystyle Q_ {j} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial V} {partial {dot {q}} _ {j}}} - {frac {partial V} {частичный q_ {j}}} ,,}$

приравнивая к уравнениям Лагранжа и определяя лагранжиан как L = Т − V получает Уравнения Лагранжа второго рода или Уравнения Эйлера – Лагранжа. движения

${displaystyle {frac {partial L} {partial q_ {j}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {j }}} = 0 ,.}$

Однако уравнения Эйлера – Лагранжа могут учитывать только неконсервативные силы. если потенциал можно найти, как показано. Это не всегда возможно для неконсервативных сил, и уравнения Лагранжа не включают никаких потенциальных сил, а только обобщенные силы; поэтому они более общие, чем уравнения Эйлера – Лагранжа.

Уравнения Эйлера – Лагранжа также следуют из вариационное исчисление. В вариация лагранжиана есть

${displaystyle delta L = sum _ {j = 1} ^ {n} left ({frac {partial L} {partial q_ {j}}} delta q_ {j} + {frac {partial L}} {partial {dot {q) }} _ {j}}} delta {dot {q}} _ {j} ight) ,, quad delta {dot {q}} _ {j} Equiv delta {frac {mathrm {d} q_ {j}} { mathrm {d} t}} Equiv {frac {mathrm {d} (delta q_ {j})} {mathrm {d} t}} ,,}$

который имеет вид, аналогичный полный дифференциал из L, но виртуальные смещения и их производные по времени заменяют дифференциалы, и приращения по времени в соответствии с определением виртуальных смещений нет. An интеграция по частям по времени может передавать производную по времени от δq_j к ∂L/ ∂ (dq_j/ дт), при обмене d (δq_j) / dт за δq_j, позволяя факторизовать независимые виртуальные смещения из производных лагранжиана,

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} delta L, mathrm {d} t = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} sum _ {j = 1} ^ { n} слева ({frac {partial L} {partial q_ {j}}} delta q_ {j} + {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left ({frac {partial L}} {partial {точка {q}} _ {j}}} delta q_ {j} ight) - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {j}}} delta q_ {j} ight), mathrm {d} t, = sum _ {j = 1} ^ {n} left [{frac {partial L} {partial {dot {q}} _ { j}}} delta q_ {j} ight] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} sum _ {j = 1} ^ { n} left ({frac {partial L} {partial q_ {j}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L}} {partial {dot {q}} _ {j}}} ight) delta q_ {j}, mathrm {d} t ,.}$

Теперь, если условие δq_j(т₁) = δq_j(т₂) = 0 выполняется для всех j, неинтегрированные члены равны нулю. Если вдобавок весь временной интеграл от δL равен нулю, тогда, поскольку δq_j независимы, и единственный способ получить нулевой определенный интеграл - это если подынтегральное выражение равно нулю, каждый из коэффициентов δq_j также должен быть равен нулю. Тогда получаем уравнения движения. Это можно резюмировать следующим образом: Принцип Гамильтона;

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} дельта L, mathrm {d} t = 0 ,.}$

Интеграл по времени от лагранжиана - это еще одна величина, называемая действие, определяется как^[30]

${displaystyle S = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L, mathrm {d} t ,,}$

который является функциональный; он принимает функцию Лагранжа на все времена между т₁ и т₂ и возвращает скалярное значение. Его размеры такие же, как у [ угловой момент ], [энергия] · [время] или [длина] · [импульс]. С этим определением принцип Гамильтона таков:

${displaystyle delta S = 0 ,.}$

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно было бы подумать о том, что они выбирают путь с помощью стационарного действия, с конечными точками пути в конфигурационном пространстве, фиксированными в начальный и конечный моменты времени. Принцип Гамильтона иногда называют принцип наименьшего действия, однако функционал действия должен быть стационарный, не обязательно максимальное или минимальное значение. Любая вариация функционала дает увеличение функционального интеграла действия.

Исторически сложилось так, что идея найти кратчайший путь, по которому частица может пройти под действием силы, мотивировала первые применения вариационное исчисление к механическим проблемам, таким как Проблема брахистохрона решено Жан Бернулли в 1696 г., а также Лейбниц, Даниэль Бернулли, L'Hôpital примерно в то же время, и Ньютон в следующем году.^[31] Сам Ньютон мыслил в духе вариационного исчисления, но не опубликовал.^[31] Эти идеи, в свою очередь, приводят к вариационные принципы механики, Ферма, Мопертюи, Эйлер, Гамильтон, и другие.

Принцип Гамильтона можно применить к неголономные связи если уравнениям связи можно придать определенную форму, линейная комбинация дифференциалов первого порядка по координатам. Полученное уравнение связи можно преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка.^[32] Здесь это не приводится.

Множители и ограничения Лагранжа

Лагранжиан L может быть изменен в декартовом р_k координаты, для N частицы

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} sum _ {k = 1} ^ {N} left ({frac {partial L} {partial mathbf {r} _ {k}}} - { frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L} {partial {dot {mathbf {r}}} _ {k}}} ight) cdot delta mathbf {r} _ {k} , mathrm {d} t = 0 ,.}$

Принцип Гамильтона остается в силе, даже если координаты L выражается в не являются независимыми, здесь р_k, но связи по-прежнему считаются голономными.^[33] Как всегда, конечные точки зафиксированы δр_k(т₁) = δр_k(т₂) = 0 для всех k. Чего нельзя сделать, так это просто приравнять коэффициенты при δр_k к нулю, поскольку δр_k не независимы. Вместо этого метод Множители Лагранжа можно использовать для включения ограничений. Умножение каждого уравнения ограничения ж_я(р_k, т) = 0 на множитель Лагранжа λ_я за я = 1, 2, ..., C, и добавление результатов к исходному лагранжиану дает новый лагранжиан

${displaystyle L '= L (mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, {dot {mathbf {r}}} _ {1}, {dot {mathbf {r}}}) _ {2}, ldots, t) + sum _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} (t) f_ {i} (mathbf {r} _ {k}, t) ,.}$

Множители Лагранжа - произвольные функции времени т, но не функции координат р_k, так что множители приравниваются к координатам положения. Варьируя этот новый лагранжиан и интегрируя по времени, получаем

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} delta L'mathrm {d} t = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} sum _ {k = 1} ^ { N} left ({frac {partial L} {partial mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L} {partial {dot { mathbf {r}}} _ {k}}} + sum _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {partial f_ {i}} {partial mathbf {r} _ {k}}} ight) cdot delta mathbf {r} _ {k}, mathrm {d} t = 0 ,.}$

Введенные множители можно найти так, чтобы коэффициенты при δр_k равны нулю, хотя р_k не независимы. Уравнения движения следуют. Из предыдущего анализа получение решения этого интеграла эквивалентно утверждению

${displaystyle {frac {partial L '} {partial mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L'} {partial {dot { mathbf {r}}} _ {k}}} = 0quad Правая четверка {frac {partial L} {partial mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t} } {frac {partial L} {partial {dot {mathbf {r}}} _ {k}}} + sum _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {partial f_ {i}} {частичное mathbf {r} _ {k}}} = 0 ,,}$

которые Уравнения Лагранжа первого рода. Так же λ_я Уравнения Эйлера-Лагранжа для нового лагранжиана возвращают уравнения связи

${displaystyle {frac {partial L '} {partial lambda _ {i}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L'} {partial {dot {lambda}} _ {i}}} = 0quad Четверка правой стрелки f_ {i} (mathbf {r} _ {k}, t) = 0 ,.}$

В случае консервативной силы, задаваемой градиентом некоторой потенциальной энергии V, функция р_k только координаты, подставив лагранжиан L = Т − V дает

${displaystyle underbrace {{frac {partial T} {partial mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial T} {partial {dot { mathbf {r}}} _ {k}}}} _ {- mathbf {F} _ {k}} + underbrace {- {frac {partial V} {partial mathbf {r} _ {k}}}}} _ { mathbf {N} _ {k}} + sum _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {partial f_ {i}} {partial mathbf {r} _ {k}}} = 0, ,}$

и идентифицируя производные кинетической энергии как (отрицательные) результирующей силы, а производные потенциала, равные силе без ограничения, следует, что силы связи равны

${displaystyle mathbf {C} _ {k} = sum _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {partial f_ {i}} {partial mathbf {r} _ {k}}} ,, }$

таким образом давая силы связи явно в терминах уравнений связи и множителей Лагранжа.

Свойства лагранжиана

Неединственность

Лагранжиан данной системы не единственен. Лагранжиан L можно умножить на ненулевую константу а, произвольная постоянная б можно добавить, а новый лагранжиан аЛ + б будет описывать точно такое же движение, как L. Если к тому же ограничиться, как это было сделано выше, траекториями ${displaystyle mathbf {q}}$ ограничены заданным интервалом времени ${displaystyle [t_ {ext {st}}, t_ {ext {fin}}]}$ и имея свои конечные точки ${displaystyle P_ {ext {st}} = mathbf {q} (t_ {ext {st}})}$ и ${displaystyle P_ {ext {fin}} = mathbf {q} (t_ {ext {fin}})}$ фиксировано, то два лагранжиана, описывающие одну и ту же систему, могут отличаться «полной производной по времени» функции ${displaystyle f (mathbf {q}, t)}$,^[34] т.е.

${displaystyle L '(mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) = L (mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) + {frac {mathrm {d} f (mathbf {q}, t)} {mathrm {d} t}},}$

куда ${displaystyle extstyle {frac {mathrm {d} f (mathbf {q}, t)} {mathrm {d} t}}}$ это сокращение для ${displaystyle extstyle {frac {partial f (mathbf {q}, t)} {partial t}} + sum _ {i} {frac {partial f (mathbf {q}, t)} {partial q_ {i}}} {точка {q}} _ {i}.}$

Оба лагранжиана ${displaystyle L}$ и ${displaystyle L '}$ произвести те же уравнения движения^[35][36] поскольку соответствующие действия ${displaystyle S}$ и ${displaystyle S '}$ связаны через

${displaystyle {egin {align} S '[mathbf {q}] = int limits _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} L' (mathbf {q} (t), { точка {mathbf {q}}} (t), t), dt = int ограничения _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} L (mathbf {q} (t), { точка {mathbf {q}}} (t), t), dt + int _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} {frac {mathrm {d} f (mathbf {q } (t), t)} {mathrm {d} t}}, dt = S [mathbf {q}] + f (P_ {ext {fin}}, t_ {ext {fin}}) - f (P_ {ext {st}}, t_ {ext {st}}), конец {выровнен}}}$

с двумя последними компонентами ${displaystyle f (P_ {ext {fin}}, t_ {ext {fin}})}$ и ${displaystyle f (P_ {ext {st}}, t_ {ext {st}})}$ независимо от ${displaystyle mathbf {q}.}$

Инвариантность относительно точечных преобразований

Учитывая набор обобщенных координат q, если мы заменим эти переменные на новый набор обобщенных координат s согласно точечное преобразование q = q(s, т) новый лагранжиан L′ Является функцией новых координат

${displaystyle L (mathbf {q} (mathbf {s}, t), {dot {mathbf {q}}} (mathbf {s}, {dot {mathbf {s}}}, t), t) = L ' (mathbf {s}, {точка {mathbf {s}}}, t) ,,}$

и по Правило цепи для частного дифференцирования уравнения Лагранжа инвариантны относительно этого преобразования;^[37]

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L '} {partial {dot {s}} _ {i}}} = {frac {partial L'} {partial s_ {я}}},.}$

Это может упростить уравнения движения.

Циклические координаты и сохраняющиеся импульсы

Важным свойством лагранжиана является то, что сохраненные количества легко читается по нему. В обобщенный импульс "канонически сопряжена" координате q_я определяется

${displaystyle p_ {i} = {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {i}}}.}$

Если лагранжиан L делает нет зависит от некоторой координаты q_я, из уравнений Эйлера – Лагранжа сразу следует, что

${displaystyle {dot {p}} _ {i} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {i}}} = {frac {partial L} {partial q_ {i}}} = 0 ,.}$

а интегрирование показывает, что соответствующий обобщенный импульс равен постоянной, сохраняющейся величине. Это частный случай Теорема Нётер. Такие координаты называются «циклическими» или «игнорируемыми».

Например, в системе может быть лагранжиан

${displaystyle L (r, heta, {точка {s}}, {точка {z}}, {точка {r}}, {точка {heta}}, {точка {phi}}, t) ,,}$

куда р и z длины по прямым линиям, s длина дуги вдоль некоторой кривой, а θ и φ углы. Уведомление z, s, и φ все отсутствуют в лагранжиане, хотя их скорости нет. Тогда импульсы

${displaystyle p_ {z} = {frac {partial L} {partial {dot {z}}}}} ,, quad p_ {s} = {frac {partial L} {partial {dot {s}}}}} ,, quad p_ {phi} = {frac {partial L} {partial {dot {phi}}}} ,,}$

все являются сохраняющимися величинами. Единицы и характер каждого обобщенного импульса будут зависеть от соответствующей координаты; в этом случае п_z поступательный импульс в z направление, п_s также поступательный импульс вдоль кривой s измеряется, и п_φ - момент количества движения в плоскости угол φ измеряется в дюймах. Каким бы сложным ни было движение системы, все координаты и скорости будут изменяться таким образом, чтобы эти импульсы сохранялись.

Энергия

Определение

Учитывая лагранжиан ${displaystyle L,}$ то энергия соответствующей механической системы есть по определению

${displaystyle E = sum _ {i = 1} ^ {n} {dot {q}} _ {i} {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {i}}} - L.}$

Инвариантность относительно преобразований координат

В каждый момент времени ${displaystyle t,}$ энергия инвариантна относительно конфигурационное пространство координировать изменения ${displaystyle mathbf {q} o mathbf {Q}}$, т.е.

${displaystyle E (mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) = E (mathbf {Q}, {dot {mathbf {Q}}}, t).}$

Помимо этого результата, приведенное ниже доказательство показывает, что при такой замене координат производные ${displaystyle partial L / partial {dot {q}} _ {i}}$ изменяются как коэффициенты линейной формы.

Сохранение

В лагранжевой механике система закрыто тогда и только тогда, когда его лагранжиан ${displaystyle L}$ не зависит явно от времени. В закон сохранения энергии заявляет, что энергия ${displaystyle E}$ закрытой системы - это интеграл движения.

Точнее, пусть ${displaystyle mathbf {q} = mathbf {q} (t)}$ быть экстремальный. (Другими словами, ${displaystyle mathbf {q}}$ удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа). Взяв полную производную по времени от ${displaystyle L}$ вдоль этой экстремали и использование уравнений ЭЛ приводит к

${displaystyle - {frac {partial L} {partial t}} {iggl |} _ {mathbf {q} (t)} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left [E {iggl |} _ {mathbf {q} (t)} ight].}$

Если лагранжиан ${displaystyle L}$ не зависит явно от времени, то ${displaystyle partial L / partial t = 0,}$ так ${displaystyle E}$ действительно является интегралом движения, а это означает, что

${displaystyle E (mathbf {q} (t), {dot {mathbf {q}}} (t), t) = {ext {const}}.}$

Следовательно, энергия сохраняется.

Кинетическая и потенциальная энергии

Отсюда также следует, что кинетическая энергия равна однородная функция степени 2 по обобщенным скоростям. Если к тому же потенциал V является только функцией координат и не зависит от скоростей, это следует прямым вычислением или использованием Теорема Эйлера для однородных функций, который

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {dot {q}} _ {i} {frac {partial L} {partial {dot {q}} _ {i}}} = sum _ {i = 1 } ^ {n} {точка {q}} _ {i} {frac {partial T} {partial {dot {q}} _ {i}}} = 2T ,.}$

При всех этих обстоятельствах^[38] постоянная

${displaystyle E = T + V}$

- полная энергия системы. Кинетическая и потенциальная энергии все еще изменяются по мере развития системы, но движение системы будет таким, что их сумма, полная энергия, будет постоянной. Это ценное упрощение, поскольку энергия E - постоянная интегрирования, которая считается произвольной константой для задачи, и можно интегрировать скорости из этого энергетического отношения для решения координат. В случае, если скорость или кинетическая энергия или и то, и другое зависит от времени, тогда энергия равна нет сохранено.

Механическое сходство

Если потенциальная энергия равна однородная функция координат и независимо от времени,^[39] и все векторы положения масштабируются той же ненулевой константой α, р_k′ = αр_k, так что

${displaystyle V (alpha mathbf {r} _ {1}, alpha mathbf {r} _ {2}, ldots, alpha mathbf {r} _ {N}) = alpha ^ {N} V (mathbf {r} _ { 1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N})}$

и время масштабируется на коэффициент β, т′ = βt, то скорости v_k масштабируются с коэффициентом α/β и кинетическая энергия Т от (α/β)². Весь лагранжиан был масштабирован с тем же коэффициентом, если

${displaystyle {frac {alpha ^ {2}} {eta ^ {2}}} = alpha ^ {N} quad Rightarrow quad eta = alpha ^ {1- {frac {N} {2}}} ,.}$

Поскольку длины и времена были масштабированы, траектории частиц в системе следуют геометрически подобным путям, различающимся по размеру. Длина л пройденный во времени т в исходной траектории соответствует новой длине l ′ пройденный во времени t ′ по новой траектории, заданной соотношениями

${displaystyle {frac {t '} {t}} = left ({frac {l'} {l}} ight) ^ {1- {frac {N} {2}}} ,.}$

Взаимодействующие частицы

Для данной системы, если две подсистемы А и B не взаимодействуют, лагранжиан L общей системы представляет собой сумму лагранжианов L_А и L_B для подсистем:^[34]

${displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} ,.}$

Если они действительно взаимодействуют, это невозможно. В некоторых ситуациях можно выделить лагранжиан системы L в сумму невзаимодействующих лагранжианов плюс еще один лагранжиан L_AB содержащие информацию о взаимодействии,

${displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} + L_ {AB} ,.}$

Это может быть физически мотивировано, если принять невзаимодействующие лагранжианы только за кинетические энергии, в то время как лагранжиан взаимодействия - это полная потенциальная энергия системы. Также в предельном случае пренебрежимо малого взаимодействия L_AB стремится к нулю, что приводит к отсутствию взаимодействия, описанному выше.

Расширение на более чем две невзаимодействующие подсистемы несложно - общий лагранжиан представляет собой сумму отдельных лагранжианов для каждой подсистемы. Если есть взаимодействия, то можно добавить лагранжианы взаимодействия.

Примеры

Следующие ниже примеры применяют уравнения Лагранжа второго рода к механическим задачам.

Консервативная сила

Частица массы м движется под воздействием консервативная сила полученный из градиент ∇ из скалярный потенциал,

${displaystyle mathbf {F} = -abla V (mathbf {r}) ,.}$

Если частиц больше, в соответствии с приведенными выше результатами, полная кинетическая энергия является суммой всех кинетических энергий частиц, а потенциал является функцией всех координат.

Декартовы координаты

Лагранжиан частицы можно записать

${displaystyle L (x, y, z, {точка {x}}, {точка {y}}, {точка {z}}) = {гидроразрыв {1} {2}} m ({точка {x}} ^ {2} + {точка {y}} ^ {2} + {точка {z}} ^ {2}) - V (x, y, z) ,.}$

Уравнения движения частицы находятся с помощью Уравнение Эйлера – Лагранжа., для Икс координировать

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left ({frac {partial L} {partial {dot {x}}}} ight) = {frac {partial L} {partial x}} ,,}$

с производными

${displaystyle {frac {partial L} {partial x}} = - {frac {partial V} {partial x}} ,, quad {frac {partial L} {partial {dot {x}}}}} = m {dot { x}} ,, quad {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left ({frac {partial L} {partial {dot {x}}}} ight) = m {ddot {x}} ,,}$

следовательно

${displaystyle m {ddot {x}} = - {frac {partial V} {partial x}} ,,}$

и аналогично для у и z координаты. Собирая уравнения в векторной форме, находим

${displaystyle m {ddot {mathbf {r}}} = - abla V}$

который Второй закон движения Ньютона для частицы, подверженной действию консервативной силы.

Полярные координаты в 2d и 3d

Лагранжиан для указанной задачи в сферические координаты (2d полярные координаты можно восстановить, установив ${displaystyle heta = pi / 2}$) с центральным потенциалом

${displaystyle L = {frac {m} {2}} ({точка {r}} ^ {2} + r ^ {2} {точка {heta}} ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2 } heta, {точка {varphi}} ^ {2}) - V (r) ,,}$

поэтому уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид

${displaystyle m {ddot {r}} - mr ({точка {heta}} ^ {2} + sin ^ {2} heta, {точка {varphi}} ^ {2}) + {frac {partial V} {partial r}} = 0 ,,}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} (mr ^ {2} {dot {heta}}) - mr ^ {2} sin heta cos heta, {точка {varphi}} ^ { 2} = 0 ,,}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} (mr ^ {2} sin ^ {2} heta, {dot {varphi}}) = 0 ,.}$

В φ координата является циклической, поскольку она не входит в лагранжиан, поэтому сохраняющийся импульс в системе - это угловой момент

${displaystyle p_ {varphi} = {frac {partial L} {partial {dot {varphi}}}}} = mr ^ {2} sin ^ {2} heta {dot {varphi}} ,,}$

в котором р, θ и dφ / dt могут все меняться со временем, но только таким образом, чтобы п_φ постоянно.

Маятник на подвижной опоре

Набросок ситуации с определением координат (нажмите, чтобы увеличить)

Рассмотрим маятник массы м и длина ℓ, который прикреплен к опоре с массой M, который может двигаться по линии в Икс-направление. Позволять Икс - координата вдоль линии опоры, а положение маятника обозначим углом θ от вертикали. Координаты и компоненты скорости качения маятника равны

${displaystyle {egin {array} {rll} & x_ {mathrm {pend}} = x + ell sin heta & quad Rightarrow quad {dot {x}} _ {mathrm {pend}} = {dot {x}} + ell {dot {heta}} cos heta & y_ {mathrm {pend}} = - ell cos heta & quad Rightarrow quad {dot {y}} _ {mathrm {pend}} = ell {dot {heta}} sin heta end {array}} }$

Обобщенные координаты можно принять как Икс и θ. Тогда кинетическая энергия системы равна

${displaystyle T = {frac {1} {2}} M {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}} mleft ({dot {x}} _ {mathrm {pend}} ^ {2} + {точка {y}} _ {mathrm {pend}} ^ {2} ight)}$

а потенциальная энергия равна

${displaystyle V = mgy_ {mathrm {pend}}}$

давая лагранжиан

${displaystyle {egin {array} {rcl} L & = & T-V & = & {frac {1} {2}} M {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}} mleft [left ({dot {x}} + ell {dot {heta}} cos heta ight) ^ {2} + left (ell {dot {heta}} sin heta ight) ^ {2} ight] + mgell cos heta & = & {frac {1} {2}} left (M + might) {dot {x}} ^ {2} + m {dot {x}} ell {dot {heta}} cos heta + {frac {1 } {2}} mell ^ {2} {точка {heta}} ^ {2} + mgell cos heta end {array}}}$

С Икс отсутствует в лагранжиане, это циклическая координата. Сохраняющийся импульс равен

${displaystyle p_ {x} = {frac {partial L} {partial {dot {x}}}}} = (M + m) {dot {x}} + mell {dot {heta}} cos heta,.}$

и уравнение Лагранжа для поддержки координат Икс является

${displaystyle (M + m) {ddot {x}} + mell {ddot {heta}} cos heta -mell {точка {heta}} ^ {2} sin heta = 0}$

Уравнение Лагранжа для угла θ является

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} left [m ({dot {x}} ell cos heta + ell ^ {2} {dot {heta}}) ight] + mell ({ точка {x}} {точка {heta}} + g) sin heta = 0;}$

и упрощение

${displaystyle {ddot {heta}} + {frac {ddot {x}} {ell}} cos heta + {frac {g} {ell}} sin heta = 0.}$

Эти уравнения могут выглядеть довольно сложными, но нахождение их с помощью законов Ньютона потребовало бы тщательного определения всех сил, что было бы гораздо более трудоемким и подверженным ошибкам. Рассматривая предельные случаи, можно проверить правильность этой системы: например, ${displaystyle {ddot {x}} o 0}$ должен дать уравнения движения для простой маятник что в покое в некоторых инерциальная система отсчета, в то время как ${displaystyle {ddot {heta}} o 0}$ должен давать уравнения для маятника в постоянно ускоряющейся системе и т. д. Кроме того, легко получить результаты численно при подходящих начальных условиях и выбранном временном шаге с помощью итеративно перебирая результаты.

Задача двух тел центральной силы

Два тела масс м₁ и м₂ с позиционными векторами р₁ и р₂ находятся на орбите друг друга из-за привлекательного центральный потенциал V. Мы можем записать лагранжиан в терминах координат положения, как они есть, но это установленная процедура преобразования задачи двух тел в задачу одного тела следующим образом. Представьте Координаты Якоби; разделение тел р = р₂ − р₁ и расположение центр массы р = (м₁р₁ + м₂р₂)/(м₁ + м₂). Тогда лагранжиан равен^{[40][41][№ 4]}

${displaystyle L = underbrace {{frac {1} {2}} M {dot {mathbf {R}}} ^ {2}} _ {L_ {ext {cm}}} + underbrace {{frac {1} {2} }} mu {точка {mathbf {r}}} ^ {2} -V (| mathbf {r} |)} _ {L_ {ext {rel}}}}$

куда M = м₁ + м₂ полная масса, μ = м₁м₂/(м₁ + м₂) это уменьшенная масса, и V потенциал радиальной силы, который зависит только от величина разделения |р| = |р₂ − р₁|, Лагранжиан распадается на центр массы срок L_см и относительное движение срок L_rel.

Уравнение Эйлера – Лагранжа для р просто

${displaystyle M {ddot {mathbf {R}}} = 0 ,,}$

в котором говорится, что центр масс движется по прямой с постоянной скоростью.

Поскольку относительное движение зависит только от величины разделения, идеально использовать полярные координаты (р, θ) и возьми р = |р|,

${displaystyle L_ {ext {rel}} = {frac {1} {2}} mu ({dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {dot {heta}} ^ {2}) - V (р),,}$

так θ - циклическая координата с соответствующим сохраняющимся (угловым) моментом

${displaystyle p_ {heta} = {frac {partial L_ {ext {rel}}}} {partial {dot {heta}}}} = mu r ^ {2} {dot {heta}} = ell,.}$

Радиальная координата р и угловая скорость dθ/ дт может меняться со временем, но только таким образом, чтобы ℓ постоянно. Уравнение Лагранжа для р является

${displaystyle mu r {dot {heta}} ^ {2} - {frac {dV} {dr}} = mu {ddot {r}} ,.}$

Это уравнение идентично радиальному уравнению, полученному с использованием законов Ньютона в совместное вращение система отсчета, то есть система, вращающаяся с уменьшенной массой так, что кажется неподвижной. Исключая угловую скорость dθ/ дт из этого радиального уравнения,^[42]

${displaystyle mu {ddot {r}} = - {frac {mathrm {d} V} {mathrm {d} r}} + {frac {ell ^ {2}} {mu r ^ {3}}} ,.}$