Среднее геометрическое - Geometric mean

Построение среднего геометрического:

{displaystyle l_ {g}}

(красный) - среднее геометрическое

{displaystyle l_ {1}}

и

{displaystyle l_ {2}}

,^[1]^[2] в примере, в котором отрезок линии

{displaystyle l_ {2}; ({overline {BC}})}

дан как перпендикуляр к

{displaystyle {overline {AB}}}

, анимация в конце 10 с пауза.

В математике среднее геометрическое это иметь в виду или же средний, что указывает на основная тенденция или типичное значение набора чисел, используя произведение их значений (в отличие от среднее арифметическое который использует их сумму). Среднее геометрическое определяется как $п$ й корень из товар из $п$ числа, т.е. для набора чисел $Икс 1, Икс 2, ..., Икс п$ , среднее геометрическое определяется как

{displaystyle left (prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ight) ^ {frac {1} {n}} = {sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}}}}

Например, среднее геометрическое двух чисел, скажем 2 и 8, - это просто квадратный корень своего продукта, то есть ${displaystyle {sqrt {2cdot 8}} = 4}$ . Другой пример: среднее геометрическое трех чисел 4, 1 и 1/32 - это кубический корень их продукта (1/8), что составляет 1/2, то есть ${displaystyle {sqrt [{3}] {4cdot 1cdot 1/32}} = 1/2}$ . Среднее геометрическое применяется только к положительным числам.^[3]

Среднее геометрическое часто используется для набора чисел, значения которых предназначены для перемножения или являются экспоненциальными по своей природе, например набор цифр роста: значения человеческое население или процентные ставки финансовых вложений с течением времени.

Среднее геометрическое можно понять с точки зрения геометрия. Среднее геометрическое двух чисел, ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ , - длина одной стороны квадрат площадь которого равна площади прямоугольник со сторонами длины ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ . Точно так же среднее геометрическое трех чисел, ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ , и ${displaystyle c}$ , - длина одного ребра куб чей объем такой же, как у кубовид со сторонами, длина которых равна трем заданным числам.

Среднее геометрическое - одно из трех классических Пифагорейские средства, вместе со средним арифметическим и гармоническое среднее. Для всех наборов положительных данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений, гармоническое среднее всегда является наименьшим из трех средних, в то время как среднее арифметическое всегда является наибольшим из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними (см. Неравенство средних арифметических и геометрических.)

Расчет

Среднее геометрическое для набора данных ${extstyle left {a_ {1}, a_ {2} ,, ldots ,, a_ {n} ight}}$ дан кем-то:

{displaystyle left (prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ight) ^ {frac {1} {n}} = {sqrt [{n}] {a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n}}}.}

На приведенном выше рисунке используется прописная пи показать серию умножений. Каждая сторона знака равенства показывает, что набор значений последовательно умножается (количество значений представлено буквой «n»), чтобы получить общее товар набора, а затем пКорень-й степени от общего произведения берется, чтобы получить среднее геометрическое для исходного набора. Например, в наборе из четырех чисел ${extstyle {1,2,3,4}}$ , продукт ${extstyle 1 imes 2 imes 3 imes 4}$ является ${extstyle 24}$ , а среднее геометрическое - это корень четвертой степени из 24, или ~ 2,213. Показатель ${extstyle {frac {1} {n}}}$ слева эквивалентно взятию пй корень. Например, ${extstyle 24 ^ {гидроразрыв {1} {4}} = {sqrt [{4}] {24}}}$ .

Среднее геометрическое для набора данных меньше чем набор данных среднее арифметическое если все элементы набора данных не равны, и в этом случае геометрические и средние арифметические равны. Это позволяет определить среднее арифметико-геометрическое, пересечение двух, которое всегда находится между ними.

Среднее геометрическое также является среднее арифметико-гармоническое в том смысле, что если два последовательности ( ${extstyle a_ {n}}$ ) и ( ${extstyle h_ {n}}$ ) определены:

{displaystyle a_ {n + 1} = {frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}}, quad a_ {0} = x}

и

{displaystyle h_ {n + 1} = {frac {2} {{frac {1} {a_ {n}}}} + {frac {1} {h_ {n}}}}}, quad h_ {0} = y }

куда ${extstyle h_ {n + 1}}$ это гармоническое среднее предыдущих значений двух последовательностей, то ${extstyle a_ {n}}$ и ${extstyle h_ {n}}$ будет сходиться к среднему геометрическому ${extstyle x}$ и ${extstyle y}$ .

Это легко увидеть из того факта, что последовательности сходятся к общему пределу (который можно показать как Теорема Больцано – Вейерштрасса ) и сохранение среднего геометрического:

{displaystyle {sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = {sqrt {frac {a_ {i} + h_ {i}} {frac {a_ {i} + h_ {i}} {h_ {i} a_) {i}}}}} = {sqrt {frac {a_ {i} + h_ {i}} {{frac {1} {a_ {i}}} + {frac {1} {h_ {i}}}}} }} = {sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}}

Замена среднего арифметического и гармонического парой обобщенные средства противоположных конечных показателей дает тот же результат.

Связь с логарифмами

Среднее геометрическое также может быть выражено как экспонента среднего арифметического логарифмов.^[4] Используя логарифмические тождества чтобы преобразовать формулу, умножение может быть выражено как сумма, а степень как умножение:

Когда ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}> 0}$

{displaystyle left (prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ight) ^ {frac {1} {n}} = exp left [{frac {1} {n}} sum _ {i = 1 } ^ {n} ln a_ {i} ight];}

дополнительно, если отрицательные значения ${displaystyle a_ {i}}$ разрешены,

{displaystyle left (prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ight) ^ {frac {1} {n}} = left (left (-1ight) ^ {m} ight) ^ {frac {1 } {n}} exp left [{frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} ln left | a_ {i} ight | ight],}

куда $м$ это количество отрицательных чисел.

Иногда это называют среднее значение журнала (не путать с логарифмическое среднее ). Это просто вычисление среднее арифметическое преобразованных в логарифм значений ${displaystyle a_ {i}}$ (то есть среднее арифметическое в логарифмической шкале), а затем с помощью возведения в степень, чтобы вернуть вычисление к исходному масштабу, то есть это обобщенное f-среднее с ${displaystyle f (x) = log x}$ . Например, среднее геометрическое 2 и 8 можно рассчитать следующим образом, где ${displaystyle b}$ любая база логарифм (обычно 2, ${displaystyle e}$ или 10):

{displaystyle b ^ {{frac {1} {2}} left [log _ {b} (2) + log _ {b} (8) ight]} = 4}

В связи с вышеизложенным видно, что для данной выборки точек ${displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ , среднее геометрическое является минимизатором ${displaystyle f (a) = sum _ {i = 1} ^ {n} (log (a_ {i}) - log (a)) ^ {2}}$ , а среднее арифметическое - минимизатор ${displaystyle f (a) = sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -a) ^ {2}}$ . Таким образом, среднее геометрическое дает сводку образцов, показатель степени которых лучше всего соответствует показателям показателей образцов (в смысле наименьших квадратов).

Логарифмическая форма среднего геометрического обычно является предпочтительной альтернативой для реализации на компьютерных языках, поскольку вычисление произведения многих чисел может привести к арифметическое переполнение или же арифметическое истощение. Это менее вероятно с суммой логарифмов для каждого числа.

Сравнение со средним арифметическим

Доказательство без слов из неравенство средних арифметических и геометрических:
PR - диаметр круга с центром в точке O; его радиус AO равен среднее арифметическое из а и б. С использованием теорема о среднем геометрическом, треугольник PGR высота GQ - это среднее геометрическое. Для любого соотношения а:б, АО ≥ GQ.

Геометрический доказательство без слов который Максимум (а,б) > среднее квадратичное или же среднеквадратичное значение (QM) > среднее арифметическое (ЯВЛЯЮСЬ) > среднее геометрическое (GM) > гармоническое среднее (HM) > мин (а,б) двух положительных чисел а и б ^[5]

Среднее геометрическое для непустого набора данных (положительных) чисел всегда равно их среднему арифметическому. Равенство достигается только тогда, когда все числа в наборе данных равны; в противном случае среднее геометрическое меньше. Например, среднее геометрическое 242 и 288 равно 264, а их среднее арифметическое - 265. В частности, это означает, что когда набор неидентичных чисел подвергается средний сохраняющий спред - то есть элементы набора больше «разнесены» друг от друга, при этом среднее арифметическое остается неизменным - их среднее геометрическое уменьшается.^[6]

Средняя скорость роста

Во многих случаях среднее геометрическое - лучший показатель для определения средней скорости роста некоторой величины. (Например, если в течение одного года продажи увеличиваются на 80%, а в следующем году на 25%, конечный результат будет таким же, как и при постоянном темпе роста в 50%, поскольку среднее геометрическое 1,80 и 1,25 равно 1,50.) Для определения средней скорости роста необязательно брать произведение измеренных темпов роста на каждом этапе. Пусть величина задана как последовательность ${displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ..., a_ {n}}$ , куда ${displaystyle n}$ - количество шагов от начального до конечного состояния. Скорость роста между последовательными измерениями ${displaystyle a_ {k}}$ и ${displaystyle a_ {k + 1}}$ является ${displaystyle a_ {k + 1} / a_ {k}}$ . Среднее геометрическое этих темпов роста тогда просто:

{displaystyle left ({frac {a_ {1}} {a_ {0}}}) {frac {a_ {2}} {a_ {1}}} cdots {frac {a_ {n}} {a_ {n-1} }} ight) ^ {frac {1} {n}} = left ({frac {a_ {n}} {a_ {0}}} ight) ^ {frac {1} {n}}.}

Применение к нормированным значениям

Фундаментальное свойство среднего геометрического, которое не выполняется ни для какого другого среднего, состоит в том, что для двух последовательностей ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ равной длины,

{displaystyle operatorname {GM} left ({frac {X_ {i}} {Y_ {i}}} ight) = {frac {operatorname {GM} (X_ {i})} {operatorname {GM} (Y_ {i}) )}}}

Это делает среднее геометрическое единственно правильным средним при усреднении. нормализованный полученные результаты; то есть результаты, которые представлены как отношения к контрольным значениям.^[7] Это имеет место при представлении производительности компьютера по сравнению с эталонным компьютером или при вычислении единого среднего индекса из нескольких разнородных источников (например, ожидаемая продолжительность жизни, годы образования и младенческая смертность). В этом сценарии использование среднего арифметического или гармонического приведет к изменению ранжирования результатов в зависимости от того, что используется в качестве ссылки. Например, возьмем следующее сравнение времени выполнения компьютерных программ:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1000	100	20
Среднее арифметическое	500.5	55	20
Среднее геометрическое	31.622 . . .	31.622 . . .	20
Гармоническое среднее	1.998 . . .	18.182 . . .	20

Средние арифметические и геометрические "согласны", что компьютер C является самым быстрым. Однако, представляя правильно нормализованные значения и используя среднее арифметическое, мы можем показать, что любой из двух других компьютеров является самым быстрым. Нормализация на результат A дает A как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	1	10	20
Программа 2	1	0.1	0.02
Среднее арифметическое	1	5.05	10.01
Среднее геометрическое	1	1	0.632 . . .
Гармоническое среднее	1	0.198 . . .	0.039 . . .

в то время как нормализация по результату B дает B как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	0.1	1	2
Программа 2	10	1	0.2
Среднее арифметическое	5.05	1	1.1
Среднее геометрическое	1	1	0.632
Гармоническое среднее	0.198 . . .	1	0.363 . . .

и нормализация по результату C дает C как самый быстрый компьютер согласно среднему арифметическому, но A как самый быстрый согласно среднему гармоническому:

	Компьютер А	Компьютер B	Компьютер C
Программа 1	0.05	0.5	1
Программа 2	50	5	1
Среднее арифметическое	25.025	2.75	1
Среднее геометрическое	1.581 . . .	1.581 . . .	1
Гармоническое среднее	0.099 . . .	0.909 . . .	1

Во всех случаях рейтинг, определяемый средним геометрическим, остается таким же, как и рейтинг, полученный с ненормализованными значениями.

Однако это рассуждение было поставлено под сомнение.^[8]Давать стабильные результаты не всегда равносильно получению правильных результатов. Как правило, более строго присваивать веса каждой из программ, вычислять средневзвешенное время выполнения (используя среднее арифметическое), а затем нормализовать этот результат для одного из компьютеров. В трех приведенных выше таблицах просто присваивается разный вес каждой из программ, объясняя несовместимые результаты средних арифметических и гармонических (первая таблица дает одинаковый вес обеим программам, вторая дает вес 1/1000 второй программе, а третий дает вес 1/100 второй программе и 1/10 первой). По возможности следует избегать использования среднего геометрического для агрегирования показателей производительности, потому что умножение времени выполнения не имеет физического смысла, в отличие от сложения времени, как в среднем арифметическом. Показатели, обратно пропорциональные времени (ускорение, МПК ) следует усреднить с использованием гармонического среднего.

Среднее геометрическое может быть получено из обобщенное среднее как его предел как ${displaystyle p}$ уходит в ноль. Точно так же это возможно для средневзвешенного геометрического.

Среднее геометрическое непрерывной функции

Если f: [a, b] → (0, ∞) - непрерывная вещественная функция, определенная на отрезке [a, b] и принимающая только положительные значения, ее среднее геометрическое значение на этом интервале может быть вычислено как число exp (1 / (ba)) в степени, равной интегралу от функции ln (f (x)) по интервалу [a, b]. Например, это показывает, что среднее геометрическое положительных чисел от 0 до 1 равно 1 / e.

Приложения

Пропорциональный рост

Среднее геометрическое более уместно, чем среднее арифметическое для описания пропорционального роста оба экспоненциальный рост (постоянный пропорциональный рост) и переменный рост; в бизнесе среднее геометрическое значение темпов роста известно как Совокупный среднегодовой темп роста (CAGR). Среднее геометрическое значение роста за периоды дает эквивалентную постоянную скорость роста, которая дает такую же конечную сумму.

Предположим, апельсиновое дерево дает 100 апельсинов в один год, а затем 180, 210 и 300 в последующие годы, поэтому рост составит 80%, 16,6666% и 42,8571% за каждый год соответственно. С использованием среднее арифметическое вычисляет (линейный) средний рост в 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, эта сумма затем делится на 3). Однако, если мы начнем со 100 апельсинов и позволим ему расти на 46,5079% каждый год, в результате получится 314 апельсинов, а не 300, поэтому линейное среднее над-значает годовой рост.

Вместо этого мы можем использовать среднее геометрическое. Рост на 80% соответствует умножению на 1,80, поэтому мы берем среднее геометрическое 1,80, 1,166666 и 1,428571, т.е. ${displaystyle {sqrt [{3}] {1,80 imes 1.166666 imes 1.428571}} приблизительно 1.442249}$ ; таким образом, «средний» рост в год составляет 44,2249%. Если мы начнем со 100 апельсинов и позволим их количеству расти на 44,2249% каждый год, то получится 300 апельсинов.

Финансовые

Среднее геометрическое время от времени используется для расчета финансовых показателей (усреднение проводится по компонентам индекса). Например, в прошлом FT 30 индекс использовал среднее геометрическое.^[9] Он также используется в недавно представленном "RPIJ «мера инфляции в Соединенном Королевстве и в Европейском Союзе.

Это приводит к занижению динамики индекса по сравнению с использованием среднего арифметического.^[9]

Приложения в социальных науках

Хотя среднее геометрическое используется относительно редко при вычислении социальной статистики, начиная с 2010 года Индекс человеческого развития Организации Объединенных Наций действительно перешел на этот способ расчета на том основании, что он лучше отражает незаменимый характер собираемых и сравниваемых статистических данных:

Среднее геометрическое снижает уровень взаимозаменяемости между [сравниваемыми] измерениями и в то же время гарантирует, что снижение ожидаемой продолжительности жизни на 1 процент, скажем, при рождении, окажет такое же влияние на ИРЧП, как снижение уровня образования или дохода на 1 процент. Таким образом, в качестве основы для сравнения достижений этот метод также более уважительно относится к внутренним различиям по измерениям, чем к простому среднему.^[10]

Не все значения используются для вычисления ИЧР (Индекс человеческого развития) нормализованы; некоторые из них вместо этого имеют форму ${displaystyle left (X-X_ {ext {min}} ight) / left (X_ {ext {norm}} - X_ {ext {min}} ight)}$ . Это делает выбор среднего геометрического менее очевидным, чем можно было бы ожидать в разделе «Свойства» выше.

Равномерно распределенный доход, эквивалентный благосостоянию, связанный с Индекс Аткинсона с параметром неприятия неравенства 1,0 - это просто среднее геометрическое значение доходов. Для значений, отличных от единицы, эквивалентным значением является Lp норма деленное на количество элементов, где p равно единице минус параметр неприятия неравенства.

Геометрия

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. С помощью Теорема Пифагора на 3-х сторонах треугольника (п + q, р, s ), (р, п, час ) и (s, час, q ),

{displaystyle {egin {align} (p + q) ^ {2} ;; & = quad r ^ {2} ;;, + quad s ^ {2} p ^ {2} !! +! 2pq! +! q ^ {2} & = overbrace {p ^ {2} !! +! h ^ {2}} + overbrace {h ^ {2} !! +! q ^ {2}} 2pqquad ;;; & = 2h ^ {2}; поэтому h! =! {sqrt {pq}} end {align}}}

В случае прямоугольный треугольник, его высота равна длине прямой, идущей перпендикулярно от гипотенузы до ее вершины под углом 90 °. Если представить, что эта линия разделяет гипотенузу на два сегмента, среднее геометрическое значение длины этих отрезков равно длине высоты. Это свойство известно как теорема о среднем геометрическом.

В эллипс, то малая полуось - среднее геометрическое максимального и минимального расстояний эллипса от фокус; это также среднее геометрическое большая полуось и полу-латусная прямая кишка. В большая полуось эллипса - это среднее геометрическое расстояние от центра до любого фокуса и расстояние от центра до любого директриса.

Расстояние до горизонт из сфера приблизительно равно среднему геометрическому расстоянию до ближайшей точки сферы и расстоянию до самой дальней точки сферы, когда расстояние до ближайшей точки сферы мало.

Оба в приближении квадрат круга согласно С.А.Рамануджану (1914) и в строительстве Гептадекагон в соответствии с "послано Т. П. Стоуэллом, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818 г.", используется среднее геометрическое.

Соотношения сторон

Сравнение равных площадей соотношений сторон, использованных Кернсом Пауэрсом для получения SMPTE 16:9 стандарт.^[11] TV 4: 3 / 1,33 в красном, 1,66 в оранжевом, 16:9/1.77 в синем, 1,85 в желтом, Panavision /2,2 дюймов лиловый и CinemaScope /2.35 фиолетовым.

Среднее геометрическое использовалось при выборе компромисса. соотношение сторон в кино и видео: при двух соотношениях сторон их среднее геометрическое обеспечивает компромисс между ними, искажая или обрезая оба изображения в некотором смысле одинаково. Конкретно, два прямоугольника равной площади (с одинаковым центром и параллельными сторонами) с разными соотношениями сторон пересекаются в прямоугольнике, соотношение сторон которого является средним геометрическим, а их корпус (наименьший прямоугольник, который содержит оба из них) также имеет соотношение сторон их среднее геометрическое.

В выбор 16: 9 соотношение сторон SMPTE, уравновешивая 2,35 и 4: 3, среднее геометрическое ${extstyle {sqrt {2,35 imes {frac {4} {3}}}} примерно 1,7701}$ , и поэтому ${extstyle 16: 9 = 1,77 {overline {7}}}$ ... был выбран. Это было эмпирически обнаружено Кернсом Пауэрсом, который вырезал прямоугольники с равными площадями и придал им форму, соответствующую каждому из популярных соотношений сторон. При наложении их центральных точек он обнаружил, что все эти прямоугольники с соотношением сторон помещаются во внешний прямоугольник с соотношением сторон 1,77: 1, и все они также покрывают меньший общий внутренний прямоугольник с тем же соотношением сторон 1,77: 1.^[11] Значение, найденное Пауэрсом, - это в точности среднее геометрическое экстремальных соотношений сторон, 4:3 (1,33: 1) и CinemaScope (2.35: 1), что по совпадению близко к ${extstyle 16: 9}$ ( ${extstyle 1.77 {overline {7}}: 1}$ ). Промежуточные соотношения не влияют на результат, только два крайних соотношения.

Применение того же метода среднего геометрического к 16: 9 и 4: 3 приблизительно дает 14:9 ( ${extstyle 1.55 {overline {5}}}$ ...) соотношение сторон, которое также используется как компромисс между этими соотношениями.^[12] В этом случае 14: 9 - это именно то, среднее арифметическое из ${extstyle 16: 9}$ и ${extstyle 4: 3 = 12: 9}$ , поскольку 14 - это среднее значение 16 и 12, а точное среднее геометрическое является ${extstyle {sqrt {{frac {16} {9}} imes {frac {4} {3}}}} примерно 1,5396approx 13,8: 9,}$ но два разных средства, арифметический и геометрический примерно равны, поскольку оба числа достаточно близки друг к другу (разница менее 2%).

Спектральная плоскостность

В обработка сигналов, спектральная плоскостность, мера того, насколько плоский или резкий спектр, определяется как отношение среднего геометрического спектра мощности к его среднему арифметическому.

Антибликовые покрытия

В оптических покрытиях, где необходимо минимизировать отражение между двумя средами с показателями преломления. п₀ и п₂, оптимальный показатель преломления п₁ из антибликовое покрытие дается средним геометрическим: ${displaystyle n_ {1} = {sqrt {n_ {0} n_ {2}}}}$ .

Субтрактивное смешение цветов

В кривая спектрального отражения для краски смеси (равных тонировка сила, непрозрачность и разбавление ) представляет собой приблизительно среднее геометрическое индивидуальных кривых отражательной способности красок, вычисленных на каждой длине волны их спектры.^[13]

Обработка изображений

В фильтр среднего геометрического используется в качестве шумового фильтра в обработка изображений.

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях компаса и линейки: средства» (PDF). ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. 2013. Получено 14 июн 2018.
^ "Евклид, книга VI, предложение 13". Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013. Получено 19 июля 2019.
^ Среднее геометрическое применяется только к числам одного знака, чтобы избежать извлечения корня из отрицательного произведения, что привело бы к мнимые числа, а также для удовлетворения определенных свойств средств, которые будут объяснены далее в статье. Определение однозначно, если допускается 0 (что дает среднее геометрическое 0), но может быть исключено, поскольку часто требуется логарифм средних геометрических (для преобразования между умножением и сложением), и нельзя брать логарифм от 0.
^ Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: введение с использованием R. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
^ Если AC = а и BC = б. OC = ЯВЛЯЮСЬ из а и б, и радиус р = QO = OG.
С помощью Теорема Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
С помощью похожие треугольники, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.
^ Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средствах». Математический вестник. 88: 142–144.
^ Флеминг, Филип Дж .; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не обмануть статистику: как правильно подводить итоги тестов». Коммуникации ACM. 29 (3): 218–221. Дои:10.1145/5666.5673.
^ Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом». Коммуникации ACM. 31 (10): 1202–1206. Дои:10.1145/63039.63043.
^ ^а ^б Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня. Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875.
^ «Часто задаваемые вопросы - отчеты о человеческом развитии». hdr.undp.org. В архиве из оригинала от 02.03.2011.
^ ^а ^б «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношений сторон» (PDF). CinemaSource Press. 2001 г. В архиве (PDF) из оригинала 2009-09-09. Получено 2009-10-24. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ США 5956091, "Метод показа изображений 16: 9 на дисплеях 4: 3", выпущенный 21 сентября 1999 г.
^ Макэвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета». handprint.com/LS/CVS/color.html. Колориметрия. В архиве из оригинала на 2019-07-14. Получено 2020-01-02.

внешняя ссылка

[1] Мэтт Фрихауф, Микаэла Хертель, Хуан Лю и Стейси Луонг «О конструкциях компаса и линейки: средства» (PDF). ВАШИНГТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. 2013. Получено 14 июн 2018.

[2] "Евклид, книга VI, предложение 13". Дэвид Э. Джойс, Университет Кларка. 2013. Получено 19 июля 2019.

[3] Среднее геометрическое применяется только к числам одного знака, чтобы избежать извлечения корня из отрицательного произведения, что привело бы к мнимые числа, а также для удовлетворения определенных свойств средств, которые будут объяснены далее в статье. Определение однозначно, если допускается 0 (что дает среднее геометрическое 0), но может быть исключено, поскольку часто требуется логарифм средних геометрических (для преобразования между умножением и сложением), и нельзя брать логарифм от 0.

[4] Кроули, Майкл Дж. (2005). Статистика: введение с использованием R. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.

[5] Если AC = а и BC = б. OC = ЯВЛЯЮСЬ из а и б, и радиус р = QO = OG.
С помощью Теорема Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
С помощью похожие треугольники, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

[6] Митчелл, Дуглас В. (2004). «Подробнее о спредах и неарифметических средствах». Математический вестник. 88: 142–144.

[7] Флеминг, Филип Дж .; Уоллес, Джон Дж. (1986). «Как не обмануть статистику: как правильно подводить итоги тестов». Коммуникации ACM. 29 (3): 218–221. Дои:10.1145/5666.5673.

[8] Смит, Джеймс Э. (1988). «Характеристика производительности компьютера одним числом». Коммуникации ACM. 31 (10): 1202–1206. Дои:10.1145/63039.63043.

[Rowley_1987-9] а ^б Роули, Эрик Э. (1987). Финансовая система сегодня. Издательство Манчестерского университета. ISBN 0719014875.

[10] «Часто задаваемые вопросы - отчеты о человеческом развитии». hdr.undp.org. В архиве из оригинала от 02.03.2011.

[Cinemasource-11] а ^б «ТЕХНИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ: Понимание соотношений сторон» (PDF). CinemaSource Press. 2001 г. В архиве (PDF) из оригинала 2009-09-09. Получено 2009-10-24. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[12] США 5956091, "Метод показа изображений 16: 9 на дисплеях 4: 3", выпущенный 21 сентября 1999 г.

[13] Макэвой, Брюс. «Атрибуты цветопередачи: измерение света и цвета». handprint.com/LS/CVS/color.html. Колориметрия. В архиве из оригинала на 2019-07-14. Получено 2020-01-02.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]