Теория множеств - Set theory

А Диаграмма Венна иллюстрируя пересечение из двух наборы.

Теория множеств это филиал математическая логика что изучает наборы, которые неформально представляют собой коллекции объектов. Хотя любой тип объекта может быть собран в набор, теория множеств чаще всего применяется к объектам, имеющим отношение к математике. Язык теории множеств можно использовать для определения почти всех математические объекты.

Начало современного изучения теории множеств положили Георг Кантор и Ричард Дедекинд в 1870-х гг. После открытия парадоксы в наивная теория множеств, Такие как Парадокс Рассела, многочисленные системы аксиом были предложены в начале двадцатого века, из которых Аксиомы Цермело – Френкеля, с или без аксиома выбора, являются самыми известными.

Теория множеств обычно используется как базовая система математики, в частности, в форме теории множеств Цермело – Френкеля с выбранной аксиомой.^[1] Помимо своей основополагающей роли, теория множеств является отраслью математика сам по себе, с активным исследовательским сообществом. Современные исследования теории множеств включают в себя широкий спектр тем, начиная от структуры настоящий номер линия на изучение последовательность из большие кардиналы.

История

Георг Кантор.

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия между многими исследователями. Теория множеств, однако, была основана в одной статье 1874 г. Георг Кантор: "Об одном свойстве набора всех вещественных алгебраических чисел ".^[2][3]

С V века до нашей эры, начиная с Греческий математик Зенон Элейский на Западе и в начале Индийские математики на Востоке математики боролись с концепцией бесконечность. Особенно примечательна работа Бернар Больцано в первой половине 19 века.^[4] Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работами Кантора в реальный анализ.^[5] Встреча 1872 года между Кантором и Ричард Дедекинд повлияли на мышление Кантора и достигли высшей точки в работе Кантора 1874 года.

Работа Кантора изначально поляризовала математиков его времени. Пока Карл Вейерштрасс и Дедекинд поддержал Кантора, Леопольд Кронекер, теперь рассматривается как основатель математический конструктивизм, не. Канторовская теория множеств в конечном итоге получила широкое распространение благодаря полезности канторовских концепций, таких как индивидуальная переписка среди множеств, его доказательство того, что есть больше действительные числа чем целые числа, и "бесконечность бесконечностей" ("Канторовский рай ") в результате набор мощности операция. Эта полезность теории множеств привела к статье "Mengenlehre", опубликованной в 1898 г. Артур Шенфлис к Энциклопедия Кляйна.

Следующая волна ажиотажа в теории множеств пришла примерно в 1900 году, когда было обнаружено, что некоторые интерпретации канторовской теории множеств породили несколько противоречий, называемых антиномии или же парадоксы. Бертран Рассел и Эрнст Цермело независимо обнаружил самый простой и самый известный парадокс, который теперь называется Парадокс Рассела: рассмотрите «множество всех множеств, которые не являются членами самих себя», что ведет к противоречию, поскольку оно должно быть членом самого себя, а не самого себя. В 1899 году Кантор сам задал вопрос: «Что такое количественное числительное множества всех множеств? », и получил связанный с этим парадокс. Рассел использовал этот парадокс в качестве темы в своем обзоре континентальной математики 1903 г. Принципы математики.

В 1906 г. английские читатели получили книгу Теория множеств точек^[6] мужем и женой Уильям Генри Янг и Грейс Чисхолм Янг, опубликовано Издательство Кембриджского университета.

Импульс теории множеств был таков, что обсуждение парадоксов не привело к отказу от нее. Работа Цермело в 1908 году и работа Авраам Френкель и Торальф Сколем в 1922 г. привел к аксиомам ZFC, который стал наиболее часто используемым набором аксиом для теории множеств. Работа аналитики, например, Анри Лебег, продемонстрировала огромную математическую полезность теории множеств, которая с тех пор стала неотъемлемой частью современной математики. Теория множеств обычно используется как основополагающая система, хотя в некоторых областях, таких как алгебраическая геометрия и алгебраическая топология —теория категорий считается предпочтительным основанием.

Основные понятия и обозначения

Теория множеств начинается с фундаментальных бинарное отношение между объектом о и набор А. Если о это член (или же элемент) из А, обозначение о ∈ А используется.^[7] Набор описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеристическим свойством его элементов в фигурных скобках {}.^[8] Поскольку наборы являются объектами, отношение членства также может связывать наборы.

Производное бинарное отношение между двумя наборами - это отношение подмножества, также называемое установить включение. Если все члены набора А также являются членами множества B, тогда А это подмножество из B, обозначенный А ⊆ B.^[7] Например, {1, 2} это подмножество {1, 2, 3}, и так {2} но {1, 4} не является. Как следует из этого определения, набор - это подмножество самого себя. В случаях, когда такая возможность не подходит или имеет смысл отвергнуть, термин правильное подмножество определено. А называется правильное подмножество из B если и только если А это подмножество B, но А не равно B. Также 1, 2 и 3 являются членами (элементами) множества {1, 2, 3}, но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1}, не являются членами набора {1, 2, 3}.

Как только арифметика Особенности бинарные операции на числа Теория множеств описывает бинарные операции над множествами.^[9] Ниже приводится неполный их список:

• Союз наборов А и B, обозначенный А ∪ B,^[7] это набор всех объектов, которые входят в А, или же B, или оба.^[10] Например. союз {1, 2, 3} и {2, 3, 4} это набор {1, 2, 3, 4}.
• Пересечение наборов А и B, обозначенный А ∩ B,^[7] это набор всех объектов, которые являются членами обоих А и B. Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} это набор {2, 3}.
• Установить разницу из U и А, обозначенный U А, это набор всех членов U которые не являются членами А. Установленная разница {1, 2, 3} {2, 3, 4} является {1}, а заданная разность, наоборот, {2, 3, 4} {1, 2, 3} является {4}. Когда А это подмножество U, установленная разница U А также называется дополнять из А в U. В этом случае, если выбор U ясно из контекста, обозначение А^c иногда используется вместо U Аособенно если U это универсальный набор как в изучении Диаграммы Венна.
• Симметричная разница наборов А и B, обозначенный А △ B или же А ⊖ B,^[7] - это набор всех объектов, которые являются членами только одного из А и B (элементы, которые есть в одном из наборов, но не в обоих). Например, для наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4}, симметричное разностное множество {1, 4}. Это заданная разница объединения и пересечения, (А ∪ B) (А ∩ B) или же (А B) ∪ (B А).
• Декартово произведение из А и B, обозначенный А × B,^[7] это набор, члены которого все возможные заказанные пары (а, б), куда а является членом А и б является членом B. Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} - это {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
• Набор мощности набора А, обозначенный ${displaystyle {mathcal {P}} (A)}$,^[7] - это множество, членами которого являются все возможные подмножества А. Например, силовой набор {1, 2} является { {}, {1}, {2}, {1, 2} }.

Некоторые основные наборы, имеющие центральное значение, - это набор натуральные числа, набор действительные числа и пустой набор - уникальный набор, не содержащий элементов. Пустое множество также иногда называют нулевой набор,^[11] хотя это название неоднозначно и может привести к нескольким интерпретациям.

Некоторая онтология

Начальный сегмент иерархии фон Неймана.

Набор есть чистый если все его члены являются наборами, все члены его членов являются наборами и так далее. Например, набор {{}} содержащий только пустое множество, является непустым чистым множеством. В современной теории множеств принято ограничивать внимание Вселенная фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматическая теория множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и теряется небольшая общность, потому что практически все математические концепции могут быть смоделированы с помощью чистых множеств. Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупная иерархия, в зависимости от того, насколько глубоко вложены их члены, члены и т. д. Каждому набору в этой иерархии назначается ( трансфинитная рекурсия ) порядковый номер ${displaystyle alpha}$, известный как его классифицировать. Ранг чистого набора ${displaystyle X}$ определяется как наименьшая верхняя граница из всех преемники рангов членов ${displaystyle X}$. Например, пустому набору присваивается ранг 0, а множеству {{}} содержащий только пустой набор, получает ранг 1. Для каждого порядкового номера ${displaystyle alpha}$, набор ${displaystyle V_ {alpha}}$ определяется как состоящее из всех чистых множеств ранга меньше, чем ${displaystyle alpha}$. Вся вселенная фон Неймана обозначается${displaystyle V}$.

Аксиоматическая теория множеств

Теорию элементарных множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальной школе, используя Диаграммы Венна. Интуитивный подход неявно предполагает, что набор может быть сформирован из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение порождает парадоксы, простейшие и наиболее известные из которых: Парадокс Рассела и Парадокс Бурали-Форти. Аксиоматическая теория множеств изначально был разработан, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов.^{[примечание 1]}

Наиболее широко изученные системы аксиоматической теории множеств предполагают, что все множества образуют совокупная иерархия. Такие системы бывают двух видов: онтология состоит из:

• Только наборы. Сюда входит наиболее распространенная аксиоматическая теория множеств, ZErmelo–Fтеория множеств раенкеля с Аксиома Cвыбор (ZFC). Фрагменты ZFC включают:
  • Теория множеств Цермело, который заменяет схема аксиомы замены с этим из разделение;
  • Общая теория множеств, небольшой фрагмент Теория множеств Цермело достаточно для Аксиомы Пеано и конечные множества;
  • Теория множеств Крипке – Платека, который опускает аксиомы бесконечности, powerset, и выбор, и ослабляет схемы аксиом разделение и замена.
• Наборы и правильные классы. К ним относятся Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя., который имеет ту же силу, что и ZFC для теорем только о множествах, и Теория множеств Морса – Келли и Теория множеств Тарского – Гротендика, оба из которых сильнее, чем ZFC.

Вышеуказанные системы могут быть изменены, чтобы урэлементы, объекты, которые могут быть членами наборов, но сами не являются наборами и не имеют никаких членов.

В Новые основы системы НФУ (позволяя урэлементы ) и NF (их отсутствие) не основаны на кумулятивной иерархии. NF и NFU включают «набор всего», относительно которого каждый набор имеет дополнение. В этих системах важны элементы, потому что NF, а не NFU, производит наборы, для которых аксиома выбора не держит.

Системы конструктивная теория множеств, такие как CST, CZF и IZF, встраивают свои аксиомы множества в интуиционистский вместо классическая логика. Однако другие системы принимают классическую логику, но имеют нестандартные отношения принадлежности. К ним относятся грубая теория множеств и теория нечетких множеств, в котором значение атомная формула воплощение отношения членства - это не просто Истинный или же Ложь. В Булевозначные модели из ZFC являются связанной темой.

Обогащение ZFC называется теория внутренних множеств был предложен Эдвард Нельсон в 1977 г.

Приложения

Многие математические концепции можно точно определить, используя только теоретико-множественные концепции. Например, такие разнообразные математические структуры, как графики, коллекторы, кольца, и векторные пространства все могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. Эквивалентность и порядковые отношения широко распространены в математике, а теория математических связи можно описать в теории множеств.

Теория множеств также является многообещающей основополагающей системой для большей части математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica утверждалось, что большинство (или даже все) математические теоремы могут быть получены с использованием удачно разработанного набора аксиом для теории множеств, дополненного множеством определений, с использованием первый или же логика второго порядка. Например, свойства естественный и действительные числа могут быть получены в рамках теории множеств, поскольку каждая система счисления может быть идентифицирована с помощью набора классы эквивалентности под подходящим отношение эквивалентности - чье поле какое-то бесконечный набор.

Теория множеств как основа математический анализ, топология, абстрактная алгебра, и дискретная математика является также бесспорным; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Тем не менее остается, что формально подтверждено лишь несколько полных выводов сложных математических теорем из теории множеств, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее, чем обычно представляемые математиками доказательства на естественном языке. Один верификационный проект, Метамат, включает написанные человеком и проверенные компьютером выводы более 12 000 теорем, начиная с ZFC теория множеств логика первого порядка и логика высказываний.

Направления обучения

Теория множеств - важная область математических исследований с множеством взаимосвязанных областей.

Комбинаторная теория множеств

Комбинаторная теория множеств касается расширений конечных комбинаторика к бесконечным множествам. Это включает изучение кардинальная арифметика и изучение расширений Теорема Рамсея такой как Теорема Эрдеша – Радо.

Теория описательных множеств

Теория описательных множеств изучение подмножеств реальная линия и, в более общем плане, подмножества Польские просторы. Он начинается с изучения pointclasses в Борелевская иерархия и распространяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и Иерархия Wadge. Многие свойства Наборы Бореля могут быть установлены в ZFC, но для доказательства этих свойств для более сложных множеств требуются дополнительные аксиомы, связанные с определенностью и большими кардиналами.

Поле эффективная дескриптивная теория множеств находится между теорией множеств и теория рекурсии. Он включает изучение классы лайтфейса, и тесно связан с гиперарифметическая теория. Во многих случаях результаты классической описательной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получают, сначала доказывая эффективную версию, а затем расширяя («релятивизируя») ее, чтобы сделать ее более широко применимой.

Недавняя область исследований, вызывающая озабоченность Борелевские отношения эквивалентности и более сложный определяемый отношения эквивалентности. Это имеет важные приложения к изучению инварианты во многих областях математики.

Теория нечетких множеств

В теории множеств как Кантор Согласно определению и аксиоматизации Цермело и Френкеля, объект либо является членом множества, либо нет. В теория нечетких множеств это условие было ослаблено Лотфи А. Заде так что объект имеет степень членства в наборе - число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к группе «высокие люди» более гибкая, чем простой ответ «да» или «нет», и может быть действительным числом, например 0,75.

Теория внутренней модели

An внутренняя модель теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) является транзитивным учебный класс который включает в себя все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Канонический пример - это конструируемая вселенная L Разработанный Гёделем, одна из причин, по которой изучение внутренних моделей представляет интерес, состоит в том, что его можно использовать для доказательства согласованности результатов. Например, можно показать, что независимо от того, V ZF удовлетворяет гипотеза континуума или аксиома выбора, внутренняя модель L построенная внутри исходной модели будет удовлетворять как обобщенную гипотезу континуума, так и аксиому выбора. Таким образом, предположение, что ZF согласован (имеет по крайней мере одну модель), означает, что ZF вместе с этими двумя принципами согласован.

Изучение внутренних моделей является обычным делом при изучении определенность и большие кардиналы, особенно при рассмотрении таких аксиом, как аксиома определенности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет выбранной аксиоме, внутренняя модель может не удовлетворять выбранной аксиоме. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме детерминированности (и, следовательно, не удовлетворяющая аксиоме выбора).^[12]

Крупные кардиналы

А большой кардинал - это количественное число с дополнительным свойством. Многие такие свойства изучаются, в том числе недоступные кардиналы, измеримые кардиналы и многое другое. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, а существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в Теория множеств Цермело-Френкеля.

Решительность

Решительность относится к тому факту, что при соответствующих допущениях определенные игры с идеальной информацией для двух игроков определяются с самого начала в том смысле, что один игрок должен иметь выигрышную стратегию. Существование этих стратегий имеет важные последствия для описательной теории множеств, поскольку предположение о том, что определяется более широкий класс игр, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. В аксиома детерминированности (AD) - важный объект изучения; хотя это и несовместимо с выбранной аксиомой, AD подразумевает, что все подмножества действительной прямой имеют хорошее поведение (в частности, измеримы и обладают свойством идеального множества). AD можно использовать для доказательства того, что Wadge степени имеют элегантную структуру.

Принуждение

Пол Коэн изобрел метод принуждение в поисках модель из ZFC в которой гипотеза континуума выходит из строя, или модель ZF, в которой аксиома выбора терпит неудачу. Принуждение присоединяется к некоторой заданной модели теории множеств дополнительных наборов, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (т.е. «принудительными») конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна примыкает к дополнительным подмножествам натуральные числа без изменения любого из Количественные числительные оригинальной модели. Принуждение также является одним из двух методов доказательства относительная последовательность финитистическими методами, другой метод Булевозначные модели.

Кардинальные инварианты

А кардинальный инвариант - свойство действительной прямой, измеряемое количественным числом. Например, хорошо изученный инвариант - это наименьшая мощность набора скудные наборы действительных чисел, объединение которых представляет собой всю действительную линию. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать одинаковый кардинал для каждого инварианта. Многие кардинальные инварианты были изучены, и отношения между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология изучает вопросы общая топология которые являются теоретико-множественными по своей природе или требуют передовых методов теории множеств для их решения. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, и для их доказательства требуются более сильные аксиомы. Известная проблема - это нормальный космический вопрос Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Возражения против теории множеств как основы математики

С самого начала теории множеств некоторые математики возражали против этого как фундамент математики. Наиболее частое возражение против теории множеств. Кронекер озвученный в самые ранние годы теории множеств, начинается с конструктивист считают, что математика слабо связана с вычислениями. Если это мнение допустимо, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивный а в аксиоматической теории множеств вводит в математику методы и объекты, которые невозможно вычислить даже в принципе. Возможность конструктивизма в качестве замены основы математики была значительно увеличена благодаря Эрретт Бишоп влиятельная книга Основы конструктивного анализа.^[13]

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре заключается в том, что определение множеств с использованием схем аксиом Технические характеристики и замена, так же хорошо как аксиома власти, представляет непредсказуемость, тип округлость, в определения математических объектов. Сфера применения математики, основанной на предсказаниях, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, но гораздо больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ может быть разработан [с использованием методов прогнозирования]».^[14]

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации Математический платонизм.^[15] Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, имеет «пагубные идиомы» и что бессмысленно говорить о «всех числах».^[16] Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией;^[17] потребность в надежном фундаменте математики казалась ему бессмысленной.^[18] Более того, поскольку человеческие усилия неизбежно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальным конструктивизм и финитизм. Мета-математические утверждения, которые, по Витгенштейну, включали в себя любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, следовательно, почти вся современная теория множеств, не являются математикой.^[19] Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после впечатляющей ошибки в Замечания по основам математики: Витгенштейн попытался опровергнуть Теоремы Гёделя о неполноте после прочтения только аннотации. Как рецензенты Kreisel, Бернейс, Dummett, и Гудштейн Все отмечалось, что многие из его критических замечаний не относились к статье в полной мере. Совсем недавно такие философы, как Криспин Райт начал реабилитировать аргументы Витгенштейна.^[20]

Теоретики категорий предложили теория топоса как альтернатива традиционной аксиоматической теории множеств. Теория Топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм, теория конечных множеств и вычислимый теория множеств.^[21][22] Топои также дают естественную среду для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленная топология и Каменные пространства.^[23]

Активная область исследований - это однозначные фонды и связанные с этим теория гомотопического типа. В рамках теории гомотопического типа множество можно рассматривать как гомотопический 0-тип, с универсальные свойства множеств, возникающих из индуктивных и рекурсивных свойств высшие индуктивные типы. Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного среднего могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет провести подробный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов.^[24][25]

Теория множеств в математическом образовании

Поскольку теория множеств приобрела популярность как основа современной математики, появилась поддержка идеи введения базовой теории или наивная теория множеств, в начале математическое образование.

В США в 1960-х гг. Новая математика Эксперимент был направлен на преподавание базовой теории множеств, среди других абстрактных понятий, учащихся начальных классов, но встретил много критики. Учебные программы по математике в европейских школах следовали этой тенденции и в настоящее время включают предметы на разных уровнях во всех классах.

Теория множеств используется для ознакомления студентов с логические операторы (НЕ, И, ИЛИ) и семантическое описание или описание правила (технически содержательное определение^[26]) наборов (например, «месяцы, начинающиеся с буквы А"). Это может быть полезно при изучении компьютерное программирование, как наборы и логическая логика являются основными строительными блоками многих языков программирования.

Множества обычно упоминаются при обучении различным типам чисел (N, Z, р, ...), а при определении математические функции как отношения между двумя наборами.

Смотрите также

• Глоссарий теории множеств
• Класс (теория множеств)
• Список тем теории множеств
• Реляционная модель - заимствует из теории множеств

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Девлин, Кит (1993), Радость наборов (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN  0-387-94094-4
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике, Базель: Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-8349-7
• Джонсон, Филип (1972), История теории множеств, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN  0-87150-154-6
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости, Северная Голландия, ISBN  0-444-85401-0
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение, Oxford University Press
• Плитка, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора, Dover Publications, ISBN  978-0-486-43520-6
• Смуллян, Раймонд М.; Фитинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума, Dover Publications, ISBN  978-0-486-47484-7
• Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств, Книжная компания McGraw-Hill, ISBN  978-0898740066

внешняя ссылка

• Дэниел Каннингем, Теория множеств статья в Интернет-энциклопедия философии.
• Хосе Феррейрос, Раннее развитие теории множеств статья в [Стэнфордская энциклопедия философии].
• Форман, Мэтью, Акихиро Канамори, ред. Справочник по теории множеств. 3 тома, 2010. В каждой главе рассматриваются некоторые аспекты современных исследований в области теории множеств. Не распространяется на установленную элементарную теорию множеств, о которой см. Devlin (1993).
• «Аксиоматическая теория множеств», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Теория множеств», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Schoenflies, Артур (1898). Mengenlehre в Энциклопедия Кляйна.
• Интернет-книги, и библиотечные ресурсы в вашей библиотеке и в других библиотеках о теории множеств
• Рудин, Вальтер Б. (6 апреля 1990 г.). «Теория множеств: порождение анализа». Лекция Мардена по математике. Университет Висконсин-Милуоки - через YouTube.