Векторное исчисление - Википедия - Vector calculus

Векторное исчисление, или же векторный анализ, связана с дифференциация и интеграция из векторные поля, в первую очередь в 3-х мерном Евклидово пространство ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}.}$ Термин «векторное исчисление» иногда используется как синоним более широкого предмета многомерное исчисление, который включает в себя векторное исчисление, а также частичная дифференциация и множественная интеграция. Векторное исчисление играет важную роль в дифференциальная геометрия и в изучении уравнения в частных производных. Он широко используется в физика и инженерное дело, особенно в описанииэлектромагнитные поля, гравитационные поля, и поток жидкости.

Векторное исчисление было разработано кватернион анализ Дж. Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд ближе к концу 19 века, и большая часть обозначений и терминологии была установлена Гиббсом и Эдвин Бидвелл Уилсон в своей книге 1901 года, Векторный анализ. В общепринятом виде с использованием перекрестные продукты, векторное исчисление не распространяется на более высокие измерения, в то время как альтернативный подход геометрическая алгебра который использует внешние продукты делает (см. § Обобщения ниже для получения дополнительной информации).

Основные объекты

Скалярные поля

А скалярное поле ассоциирует скаляр значение для каждой точки в пространстве. Скаляр - это математическое число представляющий физическое количество. Примеры скалярных полей в приложениях включают температура распределение по всему пространству, давление распределение в жидкости и квантовые поля с нулевым спином (известные как скалярные бозоны ), такой как Поле Хиггса. Эти поля являются предметом скалярная теория поля.

Векторные поля

А векторное поле это задание вектор к каждой точке в Космос.^[1] Например, векторное поле на плоскости можно визуализировать как набор стрелок с заданным величина и направление, каждое из которых привязано к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторых сила, такой как магнитный или же гравитационный сила, поскольку она меняется от точки к точке. Это можно использовать, например, для расчета работай сделано по линии.

Векторы и псевдовекторы

В более сложных методах лечения дополнительно различают псевдовектор поля и псевдоскалярный поля, которые идентичны векторным полям и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при изменении ориентации карты: например, завиток векторного поля является псевдовекторным полем, и если оно отражает векторное поле, то ротор указывает в противоположном направлении. Это различие разъясняется и детализируется в геометрическая алгебра, как описано ниже.

Векторная алгебра

Алгебраические (недифференциальные) операции в векторном исчислении называются векторная алгебра, который определяется для векторного пространства, а затем применяется глобально к векторному полю. Основные алгебраические операции состоят из:^[2]

Обозначения в векторном исчислении
Операция	Обозначение	Описание
Сложение вектора	${ Displaystyle mathbf {v} _ {1} + mathbf {v} _ {2}}$	Сложение двух векторов дает вектор.
Скалярное умножение	${ Displaystyle а mathbf {v}}$	Умножение скаляра и вектора, в результате чего получается вектор.
Скалярное произведение	${ Displaystyle mathbf {v} _ {1} cdot mathbf {v} _ {2}}$	Умножение двух векторов, дающее скаляр.
Перекрестный продукт	${ Displaystyle mathbf {v} _ {1} times mathbf {v} _ {2}}$	Умножение двух векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ , давая (псевдо) вектор.

Также обычно используются два тройные продукты:

Векторное исчисление тройных произведений
Операция	Обозначение	Описание
Скалярное тройное произведение	${ Displaystyle mathbf {v} _ {1} cdot left ( mathbf {v} _ {2} times mathbf {v} _ {3} right)}$	Скалярное произведение векторного произведения двух векторов.
Векторное тройное произведение	${ Displaystyle mathbf {v} _ {1} times left ( mathbf {v} _ {2} times mathbf {v} _ {3} right)}$	Перекрестное произведение двух векторов.

Операторы и теоремы

Дифференциальные операторы

Векторное исчисление изучает различные дифференциальные операторы определены на скалярных или векторных полях, которые обычно выражаются через дель оператор ( ${ displaystyle nabla}$ ), также известная как «набла». Три основных векторные операторы находятся:^[3]^[4]

Дифференциальные операторы в векторном исчислении
Операция	Обозначение	Описание	Обозначение аналогия	Домен / Диапазон
Градиент	${ Displaystyle OperatorName {grad} (е) = набла ф}$	Измеряет скорость и направление изменения скалярного поля.	Скалярное умножение	Отображает скалярные поля в векторные поля.
Расхождение	${ displaystyle operatorname {div} ( mathbf {F}) = nabla cdot mathbf {F}}$	Измеряет скаляр источника или стока в заданной точке векторного поля.	Скалярное произведение	Отображает векторные поля в скалярные поля.
Завиток	${ Displaystyle OperatorName {завиток} ( mathbf {F}) = набла раз mathbf {F}}$	Измеряет тенденцию к вращению вокруг точки в векторном поле в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ .	Перекрестный продукт	Отображает векторные поля в (псевдо) векторные поля.
$ж$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле

Также обычно используются два оператора Лапласа:

Операторы Лапласа в векторном исчислении
Операция	Обозначение	Описание	Домен / Диапазон
Лапласиан	${ displaystyle Delta f = nabla ^ {2} f = nabla cdot nabla f}$	Измеряет разницу между значением скалярного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Карты между скалярными полями.
Векторный лапласиан	${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {F} = nabla ( nabla cdot mathbf {F}) - nabla times ( nabla times mathbf {F})}$	Измеряет разницу между значением векторного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Карты между векторными полями.
$ж$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле

Величина, называемая Матрица якобиана полезен для изучения функций, когда и область, и диапазон функции являются многомерными, например замена переменных во время интеграции.

Интегральные теоремы

Три основных векторных оператора имеют соответствующие теоремы, которые обобщают основная теорема исчисления в более высокие измерения:

Интегральные теоремы векторного исчисления
Теорема	Заявление	Описание
Теорема о градиенте	${ displaystyle int _ {L subset mathbb {R} ^ {n}} ! ! ! nabla varphi cdot d mathbf {r} = varphi left ( mathbf {q } right) - varphi left ( mathbf {p} right) { text {for}} L = L [p to q]}$	В линейный интеграл градиента скалярного поля над изгиб L равно изменению скалярного поля между конечными точками п и q кривой.
Теорема расходимости	${ displaystyle underbrace { int ! cdots ! int _ {V subset mathbb {R} ^ {n}}} _ {n} ( nabla cdot mathbf {F}) , dV = underbrace { oint ! cdots ! oint _ { partial V}} _ {n-1} mathbf {F} cdot d mathbf {S}}$	Интеграл от расходимости векторного поля по $п$ -мерное твердое тело V равно поток векторного поля через $(п -1)$ -мерная замкнутая граничная поверхность твердого тела.
Теорема Керла (Кельвина – Стокса)	${ Displaystyle iint _ { Sigma , subset mathbb {R} ^ {3}} ( nabla times mathbf {F}) cdot d mathbf { Sigma} = oint _ { ! ! ! partial Sigma} mathbf {F} cdot d mathbf {r}}$	Интеграл от ротора векторного поля над поверхность Σ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ равна циркуляции векторного поля вокруг замкнутой кривой, ограничивающей поверхность.
${ displaystyle varphi}$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле

В двух измерениях теоремы о расходимости и роторе сводятся к теореме Грина:

Теорема Грина векторного исчисления
Теорема	Заявление	Описание
Теорема Грина	${ displaystyle iint _ {A , subset mathbb {R} ^ {2}} left ({ frac { partial M} { partial x}} - { frac { partial L} { частичный y}} right) dA = oint _ { partial A} left (L , dx + M , dy right)}$	Интеграл от дивергенции (или ротора) векторного поля по некоторой области А в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ равен потоку (или циркуляции) векторного поля по замкнутой кривой, ограничивающей область.
Для расхождения $F = (M, - L)$ . Для локона, $F = (L, M, 0)$ . $L$ и $M$ являются функциями $(Икс, у)$ .

Приложения

Линейные приближения

Линейные приближения используются для замены сложных функций линейными функциями, которые почти не отличаются. Для дифференцируемой функции $ж (Икс, у)$ с реальными значениями можно приблизить $ж (Икс, у)$ за $(Икс, у)$ рядом с $(а, б)$ по формуле

{ Displaystyle е (х, у) приблизительно е (а, б) + { tfrac { partial f} { partial x}} (a, b) , (xa) + { tfrac { partial f} { partial y}} (a, b) , (yb).}

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику $z = ж (Икс, у)$ в $(а, б)$ .

Оптимизация

Для непрерывно дифференцируемой функция нескольких действительных переменных, точка п (то есть набор значений для входных переменных, который рассматривается как точка в р^п) является критический если все частные производные функции равны нулю при п, или, что то же самое, если его градиент равно нулю. Критические значения - это значения функции в критических точках.

Если функция гладкий, или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемой, критическая точка может быть либо локальный максимум, а местный минимум или точка перевала. Различные случаи можно различить, рассмотрев собственные значения из Матрица Гессе вторых производных.

К Теорема Ферма, все местные максимумы и минимумы дифференцируемой функции возникают в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях.

Физика и инженерия

Векторное исчисление особенно полезно при изучении:

Обобщения

Различные 3-многообразия

Векторное исчисление изначально определено для Евклидово 3-пространство, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3},}$ который имеет дополнительную структуру помимо трехмерного реального векторного пространства, а именно: норма (что дает понятие длины), определенное через внутренний продукт (в скалярное произведение ), что, в свою очередь, дает понятие угла, и ориентация, что дает понятие левшей и правшей. Эти структуры порождают объемная форма, а также перекрестное произведение, который широко используется в векторном исчислении.

Для градиента и расхождения требуется только внутренний продукт, в то время как изгиб и перекрестное произведение также требуют маневренности система координат следует учитывать (см. перекрестное произведение и ручность для более подробной информации).

Векторное исчисление может быть определено в других трехмерных вещественных векторных пространствах, если они имеют внутренний продукт (или, в более общем смысле, симметричный невырожденная форма ) и ориентация; обратите внимание, что это меньше данных, чем изоморфизм в евклидово пространство, поскольку он не требует набора координат (системы отсчета), что отражает тот факт, что векторное исчисление инвариантно относительно вращений ( специальная ортогональная группа SO (3)).

В более общем смысле, векторное исчисление может быть определено на любом трехмерном ориентированном Риманово многообразие, или в более общем смысле псевдориманово многообразие. Эта структура просто означает, что касательное пространство в каждой точке есть внутренний продукт (в более общем смысле, симметричная невырожденная форма) и ориентация, или, более глобально, существует симметричная невырожденная метрический тензор и ориентация, и работает, потому что векторное исчисление определяется в терминах касательных векторов в каждой точке.

Другие размеры

Большинство аналитических результатов легко понять в более общей форме, используя механизм дифференциальная геометрия, из которых векторное исчисление составляет подмножество. Grad и div немедленно обобщаются на другие измерения, как и теорема о градиенте, теорема о расходимости и лапласиан (давая гармонический анализ ), в то время как curl и кросс-произведение не обобщают напрямую.

С общей точки зрения, различные поля в (3-мерном) векторном исчислении единообразно рассматриваются как k-векторные поля: скалярные поля - это 0-векторные поля, векторные поля - это 1-векторные поля, псевдовекторные поля - это 2-векторные поля, а псевдоскалярные поля - это 3-векторные поля. В более высоких измерениях есть дополнительные типы полей (скалярные / векторные / псевдовекторные / псевдоскалярные, соответствующие 0/1 /п−1/п измерений, что является исчерпывающим в размерности 3), поэтому нельзя работать только с (псевдо) скалярами и (псевдо) векторами.

В любом измерении, принимая невырожденную форму, grad скалярной функции является векторным полем, а div векторного поля является скалярной функцией, но только в размерности 3 или 7.^[5] (и, тривиально, в размерности 0 или 1) является ротором векторного поля векторным полем, и только в 3 или 7 размеры могут быть определены как перекрестное произведение (обобщения в других размерностях либо требуют ${ displaystyle n-1}$ векторы для получения 1 вектора, или являются альтернативными Алгебры Ли, которые представляют собой более общие антисимметричные билинейные произведения). Обобщение grad и div и то, как можно обобщить curl, подробно описано в Curl: обобщения; короче говоря, ротор векторного поля - это бивектор поле, которое можно интерпретировать как специальная ортогональная алгебра Ли бесконечно малых вращений; однако это не может быть отождествлено с векторным полем, потому что размеры различаются - есть 3 измерения вращения в 3 измерениях, но 6 измерений вращения в 4 измерениях (и в более общем случае ${ displaystyle textstyle {{ binom {n} {2}} = { frac {1} {2}} n (n-1)}}$ размеры поворотов в п размеры).

Есть два важных альтернативных обобщения векторного исчисления. Первый, геометрическая алгебра, использует k-вектор поля вместо векторных (в 3-х или менее измерениях, каждые k-векторное поле может быть отождествлено со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких измерениях). Это заменяет перекрестное произведение, которое относится к 3 измерениям, принимая два векторных поля и давая на выходе векторное поле, с внешний продукт, который существует во всех измерениях и принимает два векторных поля, давая на выходе бивекторное (2-векторное) поле. Этот продукт дает Алгебры Клиффорда как алгебраическая структура на векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется в обобщениях физики и других прикладных областей на более высокие измерения.

Второе обобщение использует дифференциальные формы (k-ковекторные поля) вместо векторных полей или k-векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальная геометрия, геометрическая топология, и гармонический анализ, в частности, принося Теория Ходжа на ориентированных псевдоримановых многообразиях. С этой точки зрения grad, curl и div соответствуют внешняя производная 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно, и ключевые теоремы векторного исчисления являются частными случаями общего вида Теорема Стокса.

С точки зрения обоих этих обобщений векторное исчисление неявно идентифицирует математически различные объекты, что делает представление более простым, но лежащую в основе математическую структуру и обобщения менее ясными. С точки зрения геометрической алгебры векторное исчисление неявно идентифицирует k-векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм векторное исчисление неявно идентифицирует k-формы со скалярными полями или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Таким образом, например, curl естественно принимает в качестве входных данных векторное поле или 1-форму, но, естественно, имеет на выходе 2-векторное поле или 2-форму (следовательно, псевдовекторное поле), которое затем интерпретируется как векторное поле, а не напрямую векторное поле в векторное поле; это отражается в изгибе векторного поля в более высоких измерениях, не имеющем на выходе векторного поля.

Смотрите также

внешняя ссылка

«Векторный анализ», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
«Векторная алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен-То
Векторный анализ: Учебное пособие для студентов-математиков и физиков (по материалам лекций Уиллард Гиббс ) к Эдвин Бидвелл Уилсон, опубликовано в 1902 г.
Самые ранние известные применения некоторых слов математики: векторный анализ

[Galbis-2012-p12-1] Гальбис, Антонио и Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления. Springer. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.CS1 maint: использует параметр авторов (связь)

[2] «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-17.

[3] «Список математических и аналитических символов». Математическое хранилище. 2020-05-11. Получено 2020-09-17.

[4] «Дифференциальные операторы». Math24. Получено 2020-09-17.

[5] Личжун Пэн и Лэй Ян (1999) «Ротор в семимерном пространстве и его приложения», Теория приближений и ее приложения 15 (3): от 66 до 80 Дои:10.1007 / BF02837124

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]