Евклидова геометрия - Euclidean geometry

Деталь из Рафаэль с Афинская школа с участием греческого математика - возможно, представляющего Евклид или же Архимед - используя компас нарисовать геометрическую конструкцию.

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре - / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов

Евклидова геометрия математическая система, приписываемая Александрийский Греческий математик Евклид, который он описал в своем учебнике по геометрия: the Элементы. Метод Евклида состоит в предположении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиомы, и выводя многие другие предложения (теоремы ) от них. Хотя многие результаты Евклида были заявлены более ранними математиками,^[1] Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться в исчерпывающий дедуктивный и логическая система.^[2] В Элементы начинается с плоская геометрия, все еще преподается в Средняя школа (средняя школа) как первая аксиоматическая система и первые примеры формальное доказательство. Он переходит к сплошная геометрия из три измерения. Большая часть Элементы заявляет результаты того, что сейчас называется алгебра и теория чисел, объясняется геометрическим языком.^[1]

Более двух тысяч лет в прилагательном «евклидова» не было необходимости, потому что не было придумано никакой другой геометрии. Аксиомы Евклида казались интуитивно очевидными (за возможным исключением параллельный постулат ), что любая доказанная ими теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом смысле. Однако сегодня многие другие самосогласованный неевклидовы геометрии известны, первые из которых были обнаружены в начале 19 века. Следствие Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности что само физическое пространство не евклидово, и Евклидово пространство является хорошим приближением для него только на коротких расстояниях (относительно силы гравитационное поле ).^[3]

Евклидова геометрия - пример синтетическая геометрия, в том смысле, что он логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах, и все это без использования координаты чтобы указать эти объекты. Это в отличие от аналитическая геометрия, который использует координаты для перевода геометрических утверждений в алгебраические формулы.

В Элементы

В Элементы в основном это систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Его улучшение по сравнению с более ранними методами лечения было быстро признано, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних методов, и теперь они почти все потеряны.

В каталоге 13 книг Элементы:

В книгах I – IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказаны многие результаты о плоских фигурах, например: «В любом треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых». (Книга 1, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, образующих прямой угол». (Книга I, предложение 47)

Книги V и VII – X посвящены теория чисел, с числами, рассматриваемыми геометрически как длины отрезков линии или области областей. Такие понятия, как простые числа и рациональный и иррациональные числа представлены. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI – XIII концерна сплошная геометрия. Типичный результат - это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. В платоновые тела построены.

Аксиомы

Постулат параллельности (Постулат 5): если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они протянуты далеко. довольно.

Евклидова геометрия - это аксиоматическая система, в котором все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидова геометрия, эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений к заключениям остаются в силе независимо от их физической реальности.^[4]

Ближе к началу первой книги Элементы, Евклид дает пять постулаты (аксиомы) плоской геометрии, выраженные в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):^[5]

Постулируем следующее:

1. Чтобы нарисовать прямая линия из любого точка в любую точку.
2. Произвести (расширить) конечная прямая линия непрерывно по прямой.
3. Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием (радиусом).
4. Все это прямые углы равны друг другу.
5. [The параллельный постулат ]: Если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов. .

Хотя Евклид только явно утверждает существование сконструированных объектов, в его рассуждениях они неявно предполагаются уникальными.

В Элементы также включают следующие пять «общих понятий»:

1. Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу ( Переходное свойство из Евклидово отношение ).
2. Если равные добавляются к равным, то целые равны (свойство равенства сложения).
3. Если равные вычитаются из равных, то разности равны (свойство равенства вычитания).
4. Совпадающие друг с другом вещи равны друг другу (рефлексивное свойство).
5. Целое больше части.

Современные ученые согласны с тем, что постулаты Евклида не обеспечивают полного логического основания, которое Евклид требовал для своего выступления.^[6] Современное лечение использовать более обширные и полные наборы аксиом.

Параллельный постулат

Древним постулат параллельности казался менее очевидным, чем другие. Они стремились создать систему абсолютно определенных утверждений, и им казалось, что постулат параллельной линии требует доказательства с помощью более простых утверждений. Теперь известно, что такое доказательство невозможно, поскольку можно построить непротиворечивые системы геометрии (подчиняющиеся другим аксиомам), в которых постулат параллельности истинен, и другие, в которых он ложен.^[7] Сам Евклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем свидетельствует организация Элементы: его первые 28 утверждений - это те, которые можно доказать без этого.

Можно сформулировать множество альтернативных аксиом, которые логически эквивалентный к постулату параллельности (в контексте других аксиом). Например, Аксиома Playfair состояния:

В самолет через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной линии, которая никогда не пересекает данную линию.

Предложение «не больше» - это все, что необходимо, поскольку с помощью остальных аксиом можно доказать, что существует по крайней мере одна параллельная линия.

Доказательство Евклида Элементы что, задав отрезок прямой, можно построить равносторонний треугольник, который включает отрезок в качестве одной из его сторон: равносторонний треугольник ΑΒΓ создается путем рисования окружностей Δ и Ε с центрами в точках Α и и одного пересечения окружностей как третья вершина треугольника.

Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивный. Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но также дают методы для их создания с помощью не более чем компас и линейка без опознавательных знаков.^[8] В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств, которые часто утверждают существование объектов, не говоря, как их сконструировать, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории.^[9] Строго говоря, линии на бумаге модели объектов, определенных в формальной системе, а не экземпляров этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая настоящая нарисованная линия будет. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же надежные, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные доказательства - например, некоторые из доказательств пифагорейцев, в которых использовались иррациональные числа, которые обычно требовали такого утверждения, как «Найдите наибольшую общую меру ...»^[10]

Евклид часто использовал доказательство от противного. Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, конгруэнтность треугольников сторона-угол-сторона, доказывается перемещением одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпадала с равной стороной другого треугольника, а затем доказывается, что другие стороны также совпадают. . Некоторые современные методы лечения добавляют шестой постулат, жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции.^[11]

Система измерения и арифметики

Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние. Шкала углов абсолютная, Евклид использует прямой угол как его основная единица, так что, например, 45-степень угол будет обозначаться как половина прямого угла. Шкала расстояний относительна; один произвольно выбирает отрезок прямой с определенной ненулевой длиной в качестве единицы, и другие расстояния выражаются относительно него. Добавление расстояний представлено конструкцией, в которой один линейный сегмент копируется на конец другого линейного сегмента для увеличения его длины, и аналогично для вычитания.

Измерения площадь и объем получены из расстояний. Например, прямоугольник с шириной 3 и длиной 4 имеет область, которая представляет произведение, 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не было прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел, и Евклид избегал такие продукты, хотя они подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложение 20.

Пример конгруэнтности. Две фигуры слева совпадают, а третья - похожий им. Последняя цифра ни то, ни другое. Конгруэнции изменяют некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляют другие неизменными, например расстояние и углы. Последний вид свойств называется инварианты и их изучение составляет сущность геометрии.

Евклид называет пару линий, пару плоских или твердых фигур «равными» (ἴσος), если их длина, площадь или объем равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин "конгруэнтный "относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры являются конгруэнтными, если одна может быть перемещена поверх другой так, чтобы она точно совпадала с ней. (Разрешено перевертывание. .) Таким образом, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бы конгруэнтными, за исключением их разных размеров, называются похожий. Соответствующие углы в паре одинаковых форм конгруэнтны и соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

Обозначения и терминология

Именование точек и фигур

Очки обычно называют заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, именуются перечислением достаточного количества точек, чтобы однозначно выделить их из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно представляет собой треугольник с вершинами в точках A, B и C. .

Дополнительные и дополнительные углы

Углы, сумма которых составляет прямой угол, называются дополнительный. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Углы, сумма которых является прямым углом, равны дополнительный. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол (угол 180 градусов). Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Современные версии обозначений Евклида

В современной терминологии углы обычно измеряются в градусы или же радианы.

В современных школьных учебниках часто встречаются отдельные фигуры, называемые линии (бесконечно), лучи (полубесконечное) и отрезки линии (конечной длины). Евклид, вместо того чтобы обсуждать луч как объект, который простирается до бесконечности в одном направлении, обычно использовал бы такие выражения, как «если бы линия удлинялась до достаточной длины», хотя он иногда упоминал «бесконечные линии». «Линия» у Евклида могла быть как прямой, так и изогнутой, и при необходимости он использовал более конкретный термин «прямая линия».

Некоторые важные или хорошо известные результаты

• 

  В pons asinorum или же теорема о мосте ослов ' утверждает, что в равнобедренном треугольнике α = β и γ = δ.

• 

  В теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма трех углов любого треугольника, в данном случае углов α, β и γ, всегда будет равна 180 градусам.

• 

  В теорема Пифагора утверждает, что сумма площадей двух квадратов на ножках (а и б) прямоугольного треугольника равна площади квадрата на гипотенузе (c).

• 

  Теорема Фалеса утверждает, что если AC - диаметр, то угол при B является прямым.

Pons Asinorum

В pons asinorum (мост ослов) утверждает, что в равнобедренных треугольниках углы у основания равны друг другу, а если равные прямые образуются дальше, то углы под основанием равны друг другу.^[12] Его название может быть связано с его частой ролью первого настоящего испытания в Элементы интеллекта читателя и как мост к последующим более трудным предложениям. Он также мог быть назван так из-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который мог пройти только уверенный осел.^[13]

Конгруэнтность треугольников

Конгруэнтность треугольников определяется указанием двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника, если только указанный угол не является прямым.

Треугольники равны, если у них все три стороны равны (SSS), две стороны и угол между ними равны (SAS), или два угла и одна сторона равны (ASA) (Книга I, предложения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами (AAA) похожи, но не обязательно совпадают. Кроме того, треугольники с двумя равными сторонами и прилегающим углом не обязательно равны или конгруэнтны.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов).^[14] Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет три внутренних угла в 60 градусов. Кроме того, это приводит к тому, что каждый треугольник имеет не менее двух острых углов и до одного тупой или же прямой угол.

теорема Пифагора

Знаменитый теорема Пифагора (книга I, предложение 47) гласит, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, сторона которого является гипотенузой (стороной, противоположной прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются двумя катетами ( две стороны, которые встречаются под прямым углом).

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса, названный в честь Фалес Милетский утверждает, что если A, B и C являются точками на окружности, где прямая AC является диаметром окружности, то угол ABC является прямым углом. Кантор предположил, что Фалес доказал свою теорему с помощью Евклида, книга I, предложение 32, подобно Евклиду, книга III, предложение 31.^[15][16]

Масштабирование площади и объема

В современной терминологии площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого из ее линейных размеров, ${ Displaystyle A propto L ^ {2}}$, а объем твердого тела - кубу, ${ Displaystyle V propto L ^ {3}}$. Евклид доказал эти результаты в различных частных случаях, таких как площадь круга^[17] и объем параллелепипеда.^[18] Евклид определил некоторые, но не все, соответствующие константы пропорциональности. Например, это был его преемник Архимед доказавший, что сфера имеет 2/3 объема описывающего цилиндра.^[19]

Приложения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Март 2009 г.)

Из-за фундаментального статуса евклидовой геометрии в математике непрактично давать здесь более чем репрезентативную выборку приложений.

• 

  Сюрвейер использует уровень

• 

  Упаковка сфер применяется к стопке апельсины.

• 

  Параболическое зеркало фокусирует параллельные лучи света.

Судя по этимологии этого слова, одной из первых причин интереса к геометрии была геодезия,^[20] и некоторые практические результаты евклидовой геометрии, такие как свойство прямоугольности треугольника 3-4-5, были использованы задолго до того, как они были формально доказаны.^[21] Основными типами измерений в евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически расстояния часто измерялись цепями, такими как Цепь Гюнтера, и углы с использованием градуированных окружностей, а затем теодолит.

Применение евклидовой твердотельной геометрии - определение порядка упаковки, например, проблема поиска наиболее эффективных упаковка сфер в n измерениях. Эта проблема имеет приложения в обнаружение и исправление ошибок.

Геометрическая оптика использует евклидову геометрию для анализа фокусировки света линзами и зеркалами.

• 

  Геометрия используется в искусстве и архитектуре.

• 

  Водонапорная башня состоит из конуса, цилиндра и полусферы. Его объем можно рассчитать, используя твердотельную геометрию.

• 

  Геометрию можно использовать для дизайна оригами.

Геометрия широко используется в архитектура.

Геометрию можно использовать для дизайна оригами. Немного классические конструктивные задачи геометрии невозможно использовать компас и линейка, но может быть решено с помощью оригами.^[22]

Довольно много САПР (автоматизированное проектирование) и CAM (автоматизированное производство) основан на евклидовой геометрии. Геометрия дизайна обычно состоит из форм, ограниченных плоскостями, цилиндрами, конусами, торами и т. Д. В настоящее время CAD / CAM играет важную роль при проектировании почти всего, включая автомобили, самолеты, корабли и смартфоны. Несколько десятилетий назад опытные рисовальщики изучили довольно продвинутую евклидову геометрию, включая такие вещи, как теорема Паскаля и теорема Брианшона. Но теперь в этом нет необходимости, потому что все геометрические построения выполняются программами САПР.

Как описание структуры пространства

Евклид считал, что его аксиомы были самоочевидными утверждениями о физической реальности. Доказательства Евклида основаны на предположениях, которые, возможно, не очевидны в основных аксиомах Евклида,^[23] в частности, некоторые движения фигур не изменяют их геометрических свойств, таких как длина сторон и внутренние углы, так называемые Евклидовы движения, которые включают переводы, отражения и вращения фигур.^[24] Постулат 2 (продолжение линии), взятый как физическое описание пространства, утверждает, что пространство не имеет дыр или границ (другими словами, пространство есть однородный и неограниченный ); постулат 4 (равенство прямых углов) гласит, что пространство изотропный и фигурки можно перемещать в любое место, сохраняя соответствие; и постулат 5 ( параллельный постулат ), что пространство плоское (не имеет собственная кривизна ).^[25]

Как более подробно обсуждается ниже, Альберт Эйнштейн с теория относительности значительно изменяет это представление.

Неоднозначный характер аксиом, первоначально сформулированных Евклидом, дает возможность различным комментаторам расходиться во мнениях относительно некоторых других их последствий для структуры пространства, например, является ли оно бесконечным.^[26] (см. ниже) и что это за топология является. Современные, более строгие переформулировки системы^[27] обычно стремятся к более четкому разделению этих проблем. Интерпретируя аксиомы Евклида в духе этого более современного подхода, аксиомы 1-4 совместимы либо с бесконечным, либо с конечным пространством (как в эллиптическая геометрия ), и все пять аксиом совместимы с множеством топологий (например, плоскость, цилиндр или тор для двумерной евклидовой геометрии).

Позже работа

Архимед и Аполлоний

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности окружающего ее цилиндра. По его просьбе на гробницу Архимеда положили шар и цилиндр.

Архимед (ок. 287 г. до н. э. - ок. 212 г. до н. э.), красочная фигура, о которой записано множество исторических анекдотов, запоминается вместе с Евклидом как один из величайших математиков древности. Хотя основы его работы были заложены Евклидом, его работы, в отличие от Евклида, считаются полностью оригинальными.^[28] Он доказал уравнения для объемов и площадей различных фигур в двух и трех измерениях и сформулировал Архимедова собственность конечных чисел.

Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н. э. - ок. 190 г. до н. э.) в основном известен своими исследованиями конических сечений.

Рене Декарт. Портрет после Франс Хальс, 1648.

17 век: Декарт

Рене Декарт (1596–1650) развитый аналитическая геометрия, альтернативный метод формализации геометрии, направленный на превращение геометрии в алгебру.^[29]

В этом подходе точка на плоскости представлена ​​ее Декартово (Икс, y) координаты, линия представлена ​​ее уравнением и т. д.

В первоначальном подходе Евклида теорема Пифагора следует из аксиом Евклида. В декартовом подходе аксиомы являются аксиомами алгебры, а уравнение, выражающее теорему Пифагора, тогда является определением одного из терминов в аксиомах Евклида, которые теперь считаются теоремами.

Уравнение

${ displaystyle | PQ | = { sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2}}} ,}$

определение расстояния между двумя точками п = (п_Икс, п_y) и Q = (q_Икс, q_y) тогда известен как Евклидово метрика, и другие показатели определяют неевклидовы геометрии.

В терминах аналитической геометрии ограничение классической геометрии конструкциями циркуля и линейки означает ограничение уравнениями первого и второго порядка, например, y = 2Икс + 1 (линия) или Икс² + y² = 7 (круг).

Также в 17 веке Жирар Дезарг, мотивированный теорией перспектива, ввел понятие идеализированных точек, линий и плоскостей на бесконечности. Результат можно рассматривать как разновидность обобщенной геометрии, проективная геометрия, но его также можно использовать для получения доказательств в обычной евклидовой геометрии, в которой количество частных случаев сокращено.^[30]

Возведение круга в квадрат: площади этого квадрата и этого круга равны. В 1882 году было доказано, что эту фигуру нельзя построить за конечное число шагов с идеализированной компас и линейка.

18-ый век

Геометры 18 века пытались определить границы евклидовой системы. Многие тщетно пытались доказать пятый постулат из первых четырех. К 1763 году было опубликовано не менее 28 различных доказательств, но все они оказались неверными.^[31]

В преддверии этого периода геометры также пытались определить, какие конструкции могут быть выполнены в евклидовой геометрии. Например, проблема трисекция угла с циркулем и линейкой - это то, что естественно встречается в теории, поскольку аксиомы относятся к конструктивным операциям, которые могут быть выполнены с помощью этих инструментов. Однако веками усилий не удалось найти решение этой проблемы, пока Пьер Ванцель опубликовал в 1837 году доказательство невозможности такой конструкции. Другие конструкции, которые оказались невозможными, включают удвоение куба и квадрат круга. В случае удвоения куба невозможность построения происходит из-за того, что метод циркуля и линейки включает уравнения, порядок которых является целой степенью двойки,^[32] в то время как удвоение куба требует решения уравнения третьего порядка.

Эйлер обсудил обобщение евклидовой геометрии, названное аффинная геометрия, который сохраняет пятый постулат неизменным, в то же время ослабляя постулаты три и четыре таким образом, что устраняются понятия угла (из-за чего прямоугольные треугольники теряют смысл) и равенства длины отрезков в целом (из-за чего круги становятся бессмысленными) при сохранении понятий параллелизм как отношение эквивалентности между линиями и равенство длины параллельных отрезков (так, чтобы отрезки продолжали иметь середину).

XIX век и неевклидова геометрия

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В начале 19 века Карно и Мебиус систематически развивал использование подписанных углов и отрезков линий как способ упрощения и унификации результатов.^[33]

Наиболее значительное развитие геометрии в этом столетии произошло, когда около 1830 г. Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский отдельно опубликованная работа над неевклидова геометрия, в котором постулат параллельности неверен.^[34] Поскольку неевклидова геометрия относительно совместима с евклидовой геометрией, постулат параллельности не может быть доказан с помощью других постулатов.

В 19 веке было также осознано, что десяти аксиом и общих понятий Евклида недостаточно для доказательства всех теорем, сформулированных в Элементы. Например, Евклид неявно предполагал, что любая линия содержит по крайней мере две точки, но это предположение не может быть доказано с помощью других аксиом, и, следовательно, должно быть аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в Элементы, как показано на рисунке выше, любой отрезок линии является частью треугольника; Евклид строит это обычным образом, рисуя круги вокруг обеих конечных точек и принимая их пересечение в качестве третьего. вершина. Его аксиомы, однако, не гарантируют, что круги действительно пересекаются, потому что они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых терминах эквивалентно полнота свойство действительных чисел. Начиная с Мориц Паш в 1882 г. было предложено много улучшенных аксиоматических систем для геометрии, наиболее известными из которых являются системы Гильберта,^[35] Джордж Биркофф,^[36] и Тарский.^[37]

20 век и относительность

Опровержение евклидовой геометрии как описания физического пространства. В 1919 году в ходе проверки общей теории относительности звезды (отмеченные короткими горизонтальными линиями) были сфотографированы во время солнечной затмение. На пути к Земле лучи звездного света отклонялись гравитацией Солнца. Это интерпретируется как свидетельство в пользу предсказания Эйнштейна о том, что гравитация вызовет отклонения от евклидовой геометрии.

Эйнштейна теория специальная теория относительности включает четырехмерный пространство-время, то Пространство Минковского, который неевклидов. Это показывает, что неевклидовы геометрии, которые были введены несколькими годами ранее, чтобы показать, что параллельный постулат не могут быть доказаны, также полезны для описания физического мира.

Однако трехмерная «пространственная часть» пространства Минковского остается пространством евклидовой геометрии. Это не так с общая теория относительности, для которого геометрия пространственной части пространства-времени не является евклидовой геометрией.^[38] Например, если треугольник состоит из трех лучей света, то в целом внутренние углы не составляют в сумме 180 градусов из-за силы тяжести. Относительно слабое гравитационное поле, такое как земное или солнечное, представлено метрикой, которая приблизительно, но не точно, является евклидовой. До 20 века не существовало технологии, способной обнаруживать отклонения от евклидовой геометрии, но Эйнштейн предсказал, что такие отклонения будут. Позже они были подтверждены наблюдениями, такими как небольшое искривление звездного света Солнцем во время солнечного затмения в 1919 году, и такие соображения теперь являются неотъемлемой частью программного обеспечения, которое запускает GPS система.^[39]

Лечение бесконечности

Бесконечные объекты

Евклид иногда явно различал «конечные линии» (например, постулат 2) и «бесконечный линий »(книга I, предложение 12). Однако он обычно не проводил таких различий, если они не были необходимы. Постулаты явно не относятся к бесконечным линиям, хотя, например, некоторые комментаторы интерпретируют постулат 3, существование круга любого радиуса , подразумевая, что пространство бесконечно.^[26]

Понятие бесконечно малые количества ранее широко обсуждались Элейская школа, но никто не смог поставить их на прочную логическую основу, с такими парадоксами, как Парадокс Зенона происходящие, которые не были разрешены к всеобщему удовлетворению. Евклид использовал метод истощения а не бесконечно малые.^[40]

Более поздние древние комментаторы, такие как Прокл (410–485 н.э.), рассматривал многие вопросы о бесконечности как вопросы, требующие доказательства, и, например, Прокл утверждал, что доказал бесконечную делимость прямой, основываясь на доказательстве от противоречия, в котором он рассматривал случаи четного и нечетного числа точек. составляя его.^[41]

На рубеже 20-го века Отто Штольц, Поль дю Буа-Реймон, Джузеппе Веронезе, и другие написали неоднозначную работу по неархимедов модели евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым, в Ньютон –Лейбниц смысл.^[42] Пятьдесят лет спустя Авраам Робинсон обеспечил строгую логическую основу для работы Веронезе.^[43]

Бесконечные процессы

Одна из причин, по которой древние считали постулат параллельности менее достоверным, чем другие, заключается в том, что для его физической проверки нам потребовалось бы проверить две линии, чтобы убедиться, что они никогда не пересекались, даже в какой-то очень удаленной точке, и эта проверка потенциально может потребовать бесконечного количества времени.^[44]

Современная формулировка Доказательство по индукции не был разработан до 17 века, но некоторые более поздние комментаторы считают его подразумеваемым в некоторых доказательствах Евклида, например в доказательстве бесконечности простых чисел.^[45]

Предполагаемые парадоксы с участием бесконечных серий, такие как Парадокс Зенона, предшествовавший Евклиду. Евклид избегал таких дискуссий, дав, например, выражение для частичных сумм геометрическая серия в IX.35, не комментируя возможность бесконечного числа членов.

Логическая основа

Эта статья требует внимания специалиста по математике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Декабрь 2010 г.)

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2010 г.)

Классическая логика

Евклид часто использовал метод доказательство от противного, поэтому традиционное представление евклидовой геометрии предполагает классическая логика, в котором каждое предложение либо истинно, либо ложно, т.е. для любого предложения P предложение «P или не P» автоматически истинно.

Современные стандарты строгости

Поставить евклидову геометрию на прочную аксиоматическую основу на протяжении веков занимали математики.^[46] Роль примитивные представления, или неопределенные концепции, были явно выдвинуты Алессандро Падоа из Пеано Делегация на Парижской конференции 1900 года:^[46][47]

... когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределенные символы полностью лишен смысла и что недоказанные утверждения просто условия наложены на неопределенные символы.

Затем система идей что мы изначально выбрали просто одна интерпретация неопределенных символов; но ... эту интерпретацию может игнорировать читатель, который волен заменить ее в своем уме другая интерпретация.. это удовлетворяет условиям ...

Логический вопросы таким образом становятся полностью независимыми от эмпирический или же психологический вопросов...

Тогда систему неопределенных символов можно рассматривать как абстракция получен из специализированные теории результат, когда ... система неопределенных символов последовательно заменяется каждой из интерпретаций ...

— Падоа, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

То есть математика - это контекстно-независимое знание в иерархической структуре. Как сказал Бертран Рассел:^[48]

Если наша гипотеза о что-либо, а не о какой-то одной или нескольких конкретных вещах, тогда наши выводы составляют математику. Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не узнаем, о чем говорим, и правильно ли то, что мы говорим.

— Бертран Рассел, Математика и метафизики

Такие основополагающие подходы варьируются от фундаментализм и формализм.

Аксиоматические формулировки

Геометрия - это наука о правильном рассуждении о неправильных фигурах.

— Георгий Полиа, Как это решить, п. 208

• Аксиомы Евклида: В своей диссертации в Тринити-колледже в Кембридже Бертран Рассел резюмировал изменяющуюся роль геометрии Евклида в сознании философов до того времени.^[49] Это был конфликт между определенным знанием, независимым от эксперимента, и эмпиризмом, требующий экспериментального вклада. Эта проблема стала очевидной, когда было обнаружено, что параллельный постулат не обязательно действительный, и его применимость была эмпирическим вопросом, решающим, была ли применимая геометрия евклидовой или неевклидов.
• Аксиомы Гильберта: Аксиомы Гильберта имели целью идентифицировать просто и полный набор из независимый аксиомы, из которых можно вывести важнейшие геометрические теоремы. Выдающиеся цели заключались в том, чтобы сделать евклидову геометрию строгой (избегая скрытых предположений) и прояснить разветвления параллельного постулата.
• Аксиомы Биркгофа: Биркгоф предложил четыре постулата для евклидовой геометрии, которые могут быть подтверждены экспериментально с помощью шкалы и транспортира. Эта система во многом зависит от свойств действительные числа.^[50][51][52] Представления о угол и расстояние становятся примитивными понятиями.^[53]
• Аксиомы Тарского: Альфред Тарский (1902–1983) и его ученики определили элементарный Евклидова геометрия как геометрия, которая может быть выражена логика первого порядка и не зависит от теория множеств за свою логическую основу,^[54] в отличие от аксиом Гильберта, которые включают точечные множества.^[55] Тарский доказал, что его аксиоматическая формулировка элементарной евклидовой геометрии непротиворечива и полна в определенном смысл: существует алгоритм, который для каждого предложения может быть показан либо истинным, либо ложным.^[37] (Это не нарушает Теорема Гёделя, поскольку евклидова геометрия не может описать достаточное количество арифметика для применения теоремы.^[56]) Это равносильно разрешимости настоящие закрытые поля, моделью которой является элементарная евклидова геометрия.

Смотрите также

• Абсолютная геометрия
• Аналитическая геометрия
• Аксиомы Биркгофа
• Декартова система координат
• Аксиомы Гильберта
• Геометрия падения
• Список программного обеспечения для интерактивной геометрии
• Метрическое пространство
• Неевклидова геометрия
• Упорядоченная геометрия
• Параллельный постулат
• Теория типов

Классические теоремы

• Теорема о биссектрисе угла
• Теорема бабочки
• Теорема Чевы
• Формула Герона
• Теорема Менелая
• Девятиконечный круг
• теорема Пифагора

Примечания

Рекомендации

• Болл, W.W. Роза (1960). Краткое изложение истории математики (4-е изд. [Перепечатка. Исходная публикация: Лондон: Macmillan & Co., 1908] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.50–62. ISBN  0-486-20630-0.
• Кокстер, H.S.M. (1961). Введение в геометрию. Нью-Йорк: Вили.
• Евс, Ховард (1963). Обзор геометрии (Том первый). Аллин и Бэкон.
• Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. В 3-х т .: Т. 1 ISBN  0-486-60088-2, т. 2 ISBN  0-486-60089-0, т. 3 ISBN  0-486-60090-4. Авторитетный перевод Хита Элементов Евклида, а также его обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. W.H. Фримен.
• Млодинов (2001). Окно Евклида. Свободная пресса.
• Nagel, E .; Ньюман, Дж. Р. (1958). Доказательство Гёделя. Издательство Нью-Йоркского университета.
• Тарский, Альфред (1951). Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии. Univ. Калифорнийской прессы.

внешняя ссылка

• «Евклидова геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Плоская тригонометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Киран Кедлая, Свободная геометрия (обработка с использованием аналитической геометрии; формат PDF, лицензия GFDL)