Калибровочная теория - Gauge theory

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В физика, а калибровочная теория это тип теория поля в которой Лагранжиан не меняется (есть инвариантный ) под локальные преобразования из определенных Группы Ли.

Период, термин калибр относится к любому конкретному математическому формализму для регулирования избыточных степени свободы в лагранжиане. Преобразования между возможными калибровками, называемые калибровочные преобразования, образуют группу Ли, называемую группа симметрии или группа датчиков теории. С любой группой Ли связана группа Алгебра Ли из групповые генераторы. Для каждого генератора группы обязательно возникает соответствующее поле (обычно векторное поле ) называется калибровочное поле. Калибровочные поля включены в лагранжиан, чтобы гарантировать его инвариантность относительно преобразований локальной группы (называемых калибровочная инвариантность). Когда такая теория квантованный, то кванты калибровочных полей называются калибровочные бозоны. Если группа симметрии некоммутативна, то калибровочная теория называется неабелев калибровочная теория, обычным примером является Теория Янга – Миллса.

Многие мощные теории в физике описаны Лагранжианы которые инвариантный при некоторых группах преобразований симметрии. Когда они инвариантны относительно преобразования, тождественно выполняемого при каждый точка в пространство-время в которых происходят физические процессы, они, как говорят, имеют глобальная симметрия. Локальная симметрия краеугольный камень калибровочных теорий - более сильное ограничение. Фактически, глобальная симметрия - это просто локальная симметрия, параметры группы которой фиксированы в пространстве-времени (точно так же, как постоянное значение может пониматься как функция определенного параметра, выход которого всегда один и тот же).

Калибровочные теории важны как успешные теории поля, объясняющие динамику элементарные частицы. Квантовая электродинамика является абелевский калибровочная теория с группой симметрии U (1) и имеет одно калибровочное поле, электромагнитный четырехпотенциальный, с фотон калибровочный бозон. В Стандартная модель является неабелевой калибровочной теорией с группой симметрий U (1) × SU (2) × SU (3) и имеет всего двенадцать калибровочных бозонов: фотон, три слабые бозоны и восемь глюоны.

Калибровочные теории также важны для объяснения гравитация в теории общая теория относительности. Его случай несколько необычен тем, что калибровочное поле представляет собой тензор, Тензор Ланцоша. Теории квантовая гравитация, начиная с калибровочная теория гравитации, также постулируют существование калибровочного бозона, известного как гравитон. Калибровочные симметрии можно рассматривать как аналоги принцип общей ковариантности общей теории относительности, в которой систему координат можно свободно выбирать при произвольных диффеоморфизмы пространства-времени. Как калибровочная инвариантность, так и инвариантность к диффеоморфизму отражают избыточность в описании системы. Альтернативная теория гравитации, калибровочная теория гравитации, заменяет принцип общей ковариантности истинным калибровочным принципом с новыми калибровочными полями.

Исторически эти идеи были впервые высказаны в контексте классический электромагнетизм а позже в общая теория относительности. Однако современное значение калибровочных симметрий впервые появилось в релятивистская квантовая механика из электроны  – квантовая электродинамика, подробно описано ниже. Сегодня калибровочные теории полезны в конденсированное вещество, ядерный и физика высоких энергий среди других подполей.

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

История

Самая ранняя теория поля, имеющая калибровочную симметрию, была Максвелл формулировка в 1864–1865 гг. электродинамика ("Динамическая теория электромагнитного поля. "), в котором говорилось, что любое векторное поле, ротор которого обращается в нуль - и поэтому его обычно можно записать как градиент функции - может быть добавлен к векторному потенциалу, не влияя на магнитное поле. Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Так же незаметно, Гильберта получил Уравнения поля Эйнштейна постулируя инвариантность действие при общем преобразовании координат. Позже Герман Вейль, в попытке объединить общая теория относительности и электромагнетизм, предположил, что Эйхинварианц или инвариантность при изменении масштаб (или «калибровка») также может быть локальной симметрией общей теории относительности. После разработки квантовая механика, Вейль, Владимир Фок и Фриц Лондон модифицированный датчик путем замены масштабного коэффициента на сложный количество и превратил масштабное преобразование в изменение фаза, которая является калибровочной симметрией U (1). Это объяснило электромагнитное поле влияние на волновая функция из заряжен квантово-механический частица. Это была первая широко известная калибровочная теория, популяризированная А. Паули в 1941 г.^[1]

В 1954 году, пытаясь разрешить большую путаницу в физика элементарных частиц, Чен Нин Ян и Роберт Миллс представили неабелевы калибровочные теории как модели для понимания сильное взаимодействие держаться вместе нуклоны в атомные ядра.^[2] (Рональд Шоу, работающий под Абдус Салам, независимо ввел то же понятие в свою докторскую диссертацию.) Обобщая калибровочную инвариантность электромагнетизма, они попытались построить теорию, основанную на действии (неабелевой) SU (2) -симметрии группа на изоспин дублет протоны и нейтроны. Это похоже на действие U (1) группа по спинор поля из квантовая электродинамика. В физике элементарных частиц упор делался на использование квантованные калибровочные теории.

Позже эта идея нашла применение в квантовая теория поля из слабая сила, и его объединение с электромагнетизмом в электрослабый теория. Калибровочные теории стали еще более привлекательными, когда стало ясно, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят особенность, называемую асимптотическая свобода. Асимптотическая свобода считалась важной характеристикой сильных взаимодействий. Это мотивировало поиски сильной калибровочной теории силы. Эта теория, теперь известная как квантовая хромодинамика, является калибровочной теорией с действием группы SU (3) на цвет тройка кварки. В Стандартная модель унифицирует описание электромагнетизма, слабых и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-е годы Майкл Атья начал изучать математику решений классической Ян – Миллс уравнения. В 1983 году ученица Атьи Саймон Дональдсон построенный на этой работе, чтобы показать, что дифференцируемый классификация гладкий; плавный 4-коллекторы сильно отличается от их классификации вплоть до гомеоморфизм.^[3] Майкл Фридман использовал работы Дональдсона для выставки экзотика р⁴s, то есть экзотика дифференцируемые структуры на Евклидово 4-х мерное пространство. Это привело к возрастанию интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от ее успехов в фундаментальной физике. В 1994 г. Эдвард Виттен и Натан Зайберг изобрел теоретико-калибровочные методы, основанные на суперсимметрия что позволило рассчитать определенные топологический инварианты^[4][5] (в Инварианты Зайберга – Виттена. ). Этот вклад в математику со стороны калибровочной теории привел к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике подтверждается огромным успехом математического формализма в обеспечении единой основы для описания квантовые теории поля из электромагнетизм, то слабая сила и сильная сила. Эта теория, известная как Стандартная модель, точно описывает экспериментальные предсказания относительно трех из четырех фундаментальные силы природы, и является калибровочной теорией с калибровочной группой СУ (3) × СУ (2) × U (1). Современные теории вроде теория струн, а также общая теория относительности, так или иначе являются калибровочными теориями.

См Пикеринг^[6] для получения дополнительной информации об истории калибровочных и квантовых теорий поля.

Описание

Глобальные и локальные симметрии

Глобальная симметрия

В физика, математическое описание любой физической ситуации обычно содержит лишние степени свободы; одна и та же физическая ситуация одинаково хорошо описывается многими эквивалентными математическими конфигурациями. Например, в Ньютоновская динамика, если две конфигурации связаны между собой Преобразование Галилея (ан инерционный изменение системы отсчета) они представляют одну и ту же физическую ситуацию. Эти преобразования образуют группа из "симметрии "теории, и физическая ситуация соответствует не отдельной математической конфигурации, а классу конфигураций, связанных друг с другом этой группой симметрии.

Эту идею можно обобщить, включив в нее как локальные, так и глобальные симметрии, аналогичные гораздо более абстрактным «изменениям координат» в ситуации, когда нет предпочтительных ».инерционный «система координат, которая охватывает всю физическую систему. Калибровочная теория - это математическая модель, которая имеет симметрии такого рода, вместе с набором методов для выполнения физических предсказаний, согласующихся с симметриями модели.

Пример глобальной симметрии

Когда величина, встречающаяся в математической конфигурации, является не просто числом, но имеет некоторое геометрическое значение, например скорость или ось вращения, ее представление в виде чисел, расположенных в векторе или матрице, также изменяется посредством преобразования координат. Например, если одно описание модели потока жидкости утверждает, что скорость жидкости в окрестности (Икс=1, у= 0) составляет 1 м / с в положительном Икс направлении, то описание той же ситуации, в которой система координат была повернута по часовой стрелке на 90 градусов, утверждает, что скорость жидкости в окрестности (Икс=0, у= 1) составляет 1 м / с в положительном у направление. Преобразование координат затронуло обе системы координат, используемые для идентификации расположение измерения и основы, на которой ценность выражается. Пока это преобразование выполняется глобально (влияя на базис координат одинаково в каждой точке), влияние на значения, представляющие скорость изменения некоторого количества по некоторому пути в пространстве и времени, когда он проходит через точку п то же самое, что и влияние на значения, которые действительно локальны для п.

Локальная симметрия

Использование пучков волокон для описания локальных симметрий

Чтобы адекватно описать физические ситуации в более сложных теориях, часто необходимо ввести «координатную основу» для некоторых объектов теории, которые не имеют этого простого отношения к координатам, используемым для обозначения точек в пространстве и времени. (С математической точки зрения теория включает в себя пучок волокон в котором волокно в каждой точке базового пространства состоит из возможных баз координат для использования при описании значений объектов в этой точке.) Чтобы описать математическую конфигурацию, нужно выбрать конкретный базис координат в каждой точке ( местная секция пучка волокон) и выражают значения объектов теории (обычно "поля "в физическом смысле), используя этот базис. Две такие математические конфигурации эквивалентны (описывают одну и ту же физическую ситуацию), если они связаны преобразованием этого абстрактного координатного базиса (изменение локального сечения или калибровочное преобразование).

В большинстве калибровочных теорий набор возможных преобразований абстрактного калибровочного базиса в отдельной точке пространства и времени является конечномерной группой Ли. Простейшая такая группа - это U (1), которое появляется в современной формулировке квантовая электродинамика (КЭД) через использование сложные числа. КЭД обычно считается первой и простейшей физической калибровочной теорией. Множество возможных калибровочных преобразований всей конфигурации данной калибровочной теории также образует группу, группа датчиков теории. Элемент калибровочной группы может быть параметризован плавно изменяющейся функцией от точек пространства-времени до (конечномерной) группы Ли, так что значение функции и ее производных в каждой точке представляет действие калибровочного преобразования на волокно над этой точкой.

Калибровочное преобразование с постоянным параметром в каждой точке пространства и времени аналогично жесткому вращению геометрической системы координат; он представляет собой глобальная симметрия калибровочного представления. Как и в случае жесткого вращения, это калибровочное преобразование влияет на выражения, которые представляют скорость изменения вдоль пути некоторой зависящей от калибровки величины, точно так же, как и те, которые представляют действительно локальную величину. Калибровочное преобразование с параметром не постоянная функция называется локальная симметрия; его влияние на выражения, содержащие производная качественно отличается от выражений, которые этого не делают. (Это аналогично неинерциальному изменению системы отсчета, которое может произвести Эффект Кориолиса.)

Калибровочные поля

«Калибровочно-ковариантная» версия калибровочной теории объясняет этот эффект введением калибровочное поле (на математическом языке Связь Ehresmann ) и формулировка всех скоростей изменений с точки зрения ковариантная производная в отношении этой связи. Калибровочное поле становится важной частью описания математической конфигурации. Конфигурация, в которой калибровочное поле может быть устранено калибровочным преобразованием, имеет свойство напряженность поля (на математическом языке это кривизна ) везде равен нулю; калибровочная теория не ограничены этими конфигурациями. Другими словами, отличительной чертой калибровочной теории является то, что калибровочное поле не просто компенсирует плохой выбор системы координат; обычно не существует калибровочного преобразования, обращающего в нуль калибровочное поле.

При анализе динамика В калибровочной теории калибровочное поле следует рассматривать как динамическую переменную, аналогичную другим объектам в описании физической ситуации. В дополнение к его взаимодействие с другими объектами через ковариантную производную калибровочное поле обычно способствует энергия в форме термина «собственная энергия». Уравнения калибровочной теории можно получить следующим образом:

• начиная с наивного анзац без калибровочного поля (в котором производные фигурируют в «голом» виде);
• перечисление тех глобальных симметрий теории, которые могут быть охарактеризованы непрерывным параметром (как правило, абстрактным эквивалентом угла поворота);
• вычисление поправочных членов, которые возникают в результате того, что параметр симметрии может изменяться от места к месту; и
• переосмысление этих поправочных членов как связи с одним или несколькими калибровочными полями и придание этим полям соответствующих членов собственной энергии и динамического поведения.

В этом смысле калибровочная теория «расширяет» глобальную симметрию до локальной симметрии и очень напоминает историческое развитие калибровочной теории гравитации, известной как общая теория относительности.

Физические эксперименты

Калибровочные теории, используемые для моделирования результатов физических экспериментов, включают:

• ограничение вселенной возможных конфигураций до тех, которые согласуются с информацией, используемой для постановки эксперимента, а затем
• вычисление распределения вероятностей возможных результатов, для измерения которых предназначен эксперимент.

Мы не можем выразить математическое описание «информации о настройке» и «возможных результатов измерения» или «граничных условий» эксперимента без ссылки на конкретную систему координат, включая выбор датчика. Предполагается, что адекватный эксперимент изолирован от «внешнего» влияния, что само по себе является калибровочно-зависимым утверждением. Неправильное выполнение расчетов калибровочной зависимости в граничных условиях является частым источником аномалии, а подходы к предотвращению аномалий классифицируют калибровочные теории^{[требуется разъяснение ]}.

Теории континуума

Две упомянутые выше калибровочные теории, электродинамика континуума и общая теория относительности, являются теориями поля континуума. Методики расчета в теория континуума неявно предполагаем, что:

• при полностью фиксированном выборе калибра граничные условия отдельной конфигурации полностью описываются
• при полностью фиксированной калибровке и полном наборе граничных условий наименьшее действие определяет уникальную математическую конфигурацию и, следовательно, уникальную физическую ситуацию, совместимую с этими границами
• фиксация калибровки не вносит никаких аномалий в расчет, либо из-за калибровочной зависимости в описании частичной информации о граничных условиях, либо из-за неполноты теории.

Определение вероятности возможных результатов измерения осуществляется путем:

• установление распределения вероятностей по всем физическим ситуациям, определяемым граничными условиями, в соответствии с информацией о настройке
• установление вероятностного распределения результатов измерения для каждой возможной физической ситуации
• свертывание эти два распределения вероятностей, чтобы получить распределение возможных результатов измерения в соответствии с информацией о настройке

Эти предположения имеют достаточную обоснованность в широком диапазоне энергетических масштабов и экспериментальных условий, чтобы позволить этим теориям делать точные прогнозы почти всех явлений, встречающихся в повседневной жизни: света, тепла и электричества, затмений, космических полетов и т. Д. в самых маленьких и больших масштабах из-за упущений в самих теориях, и когда сами математические методы ломаются, особенно в случае турбулентность и другие хаотичный явления.

Квантовые теории поля

Помимо этих классических теорий континуального поля, наиболее широко известны калибровочные теории: квантовые теории поля, в том числе квантовая электродинамика и Стандартная модель физики элементарных частиц. Отправная точка квантовой теории поля очень похожа на исходную точку ее континуального аналога: калибровочно-ковариантный интеграл действия который характеризует «допустимые» физические ситуации согласно принцип наименьшего действия. Однако континуальные и квантовые теории существенно различаются в том, как они обрабатывают избыточные степени свободы, представленные калибровочными преобразованиями. Теории континуума и большинство педагогических трактовок простейших квантовых теорий поля используют крепление датчика предписание сократить орбиту математических конфигураций, которые представляют данную физическую ситуацию, до меньшей орбиты, связанной с меньшей калибровочной группой (глобальной группой симметрии или, возможно, даже тривиальной группой).

Более сложные квантовые теории поля, в частности те, которые включают неабелеву калибровочную группу, нарушают калибровочную симметрию в рамках техники теория возмущений введя дополнительные поля ( Призраки Фаддеева – Попова ) и контртермы, мотивированные отмена аномалии, в подходе, известном как BRST квантование. Хотя эти проблемы в определенном смысле носят сугубо технический характер, они также тесно связаны с природой измерения, ограничениями знания физической ситуации и взаимодействиями между не полностью определенными экспериментальными условиями и не полностью понятой физической теорией.^{[нужна цитата ]} Математические методы, которые были разработаны, чтобы сделать калибровочные теории понятными, нашли много других приложений, начиная с физика твердого тела и кристаллография к низкоразмерная топология.

Классическая калибровочная теория

Классический электромагнетизм

Исторически первым обнаруженным примером калибровочной симметрии был классический пример. электромагнетизм. В электростатика, можно либо обсудить электрическое поле, E, или соответствующий электрический потенциал, V. Знание одного позволяет найти другое, за исключением потенциалов, различающихся на константу, ${ Displaystyle V mapsto V + C}$, соответствуют одному и тому же электрическому полю. Это потому, что электрическое поле относится к изменения в потенциале из одной точки пространства в другую, а постоянная C будет сокращаться при вычитании, чтобы найти изменение потенциала. С точки зрения векторное исчисление, электрическое поле - это градиент потенциала, ${ displaystyle mathbf {E} = - nabla V}$. Переходя от статического электричества к электромагнетизму, у нас есть второй потенциал, векторный потенциал А, с участием

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} & = - nabla V - { frac { partial mathbf {A}} { partial t}} mathbf {B} & = nabla times mathbf {A} end {выровнено}}}$

Общие калибровочные преобразования теперь становятся не просто ${ Displaystyle V mapsto V + C}$ но

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & mapsto mathbf {A} + nabla f V & mapsto V - { frac { partial f} { partial t}} end { выровнено}}}$

где ж - любая дважды дифференцируемая функция, зависящая от положения и времени. Поля остаются прежними при калибровочном преобразовании, поэтому Уравнения Максвелла все еще довольны. То есть уравнения Максвелла обладают калибровочной симметрией.

Пример: Скалярный O (п) калибровочная теория

Остальная часть этого раздела требует некоторого знакомства с классический или квантовая теория поля, и использование Лагранжианы.

Определения в этом разделе: группа датчиков, калибровочное поле, лагранжиан взаимодействия, калибровочный бозон.

Ниже показано, как локальная калибровочная инвариантность может быть эвристически «мотивирована», исходя из свойств глобальной симметрии, и как она приводит к взаимодействию между изначально невзаимодействующими полями.

Рассмотрим набор п невзаимодействующий реальный скалярные поля, с равными массами м. Эта система описывается действие то есть сумма (обычных) действий для каждого скалярного поля ${ displaystyle varphi _ {я}}$

${ displaystyle { mathcal {S}} = int , mathrm {d} ^ {4} x sum _ {i = 1} ^ {n} left [{ frac {1} {2}} partial _ { mu} varphi _ {i} partial ^ { mu} varphi _ {i} - { frac {1} {2}} m ^ {2} varphi _ {i} ^ { 2} right]}$

Лагранжиан (плотность) можно компактно записать как

${ Displaystyle { mathcal {L}} = { frac {1} {2}} ( partial _ { mu} Phi) ^ { mathsf {T}} partial ^ { mu} Phi - { frac {1} {2}} m ^ {2} Phi ^ { mathsf {T}} Phi}$

путем введения вектор полей

${ Displaystyle Phi = ( varphi _ {1}, varphi _ {2}, ldots, varphi _ {n}) ^ { mathsf {T}}}$

Период, термин ${ Displaystyle partial _ { mu} Phi}$ это частная производная из ${ displaystyle Phi}$ по измерению ${ displaystyle mu}$.

Теперь ясно, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования

${ Displaystyle Phi mapsto Phi '= G Phi}$

всякий раз, когда г это постоянный матрица принадлежащий к п-от-п ортогональная группа O (п).Видно, что это сохраняет лагранжиан, поскольку производная от ${ displaystyle Phi '}$ трансформируется идентично ${ displaystyle Phi}$ и обе величины появляются внутри скалярных произведений в лагранжиане (ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение).

${ Displaystyle ( partial _ { mu} Phi) mapsto ( partial _ { mu} Phi) '= G partial _ { mu} Phi}$

Это характеризует Глобальный симметрии этого конкретного лагранжиана, и группу симметрии часто называют группа датчиков; математический термин структурная группа, особенно в теории G-структуры. Кстати, Теорема Нётер следует, что инвариантность относительно этой группы преобразований приводит к сохранению токи

${ Displaystyle J _ { mu} ^ {a} = я partial _ { mu} Phi ^ { mathsf {T}} T ^ {a} Phi}$

где Т^а матрицы генераторы SO (п) группа. Для каждого генератора существует один сохраняемый ток.

Теперь, требуя, чтобы этот лагранжиан имел местный O (п) -инвариантность требует, чтобы г матрицам (которые ранее были постоянными) должно быть разрешено становиться функциями пространство-время координаты Икс.

В этом случае г матрицы не "проходят" через производные, когда г = г(Икс),

${ Displaystyle partial _ { mu} (G Phi) neq G ( partial _ { mu} Phi)}$

Неспособность производной коммутировать с "G" вводит дополнительный член (в соответствии с правилом произведения), который портит инвариантность лагранжиана. Чтобы исправить это, мы определяем новый оператор производной, такой, что производная от ${ displaystyle Phi}$ снова преобразуется идентично с ${ displaystyle Phi}$

${ Displaystyle (D _ { mu} Phi) '= GD _ { mu} Phi}$

Эта новая «производная» называется (калибровочная) ковариантная производная и принимает вид

${ displaystyle D _ { mu} = partial _ { mu} -igA _ { mu}}$

куда г называется константой связи; величина, определяющая силу взаимодействия. После несложных вычислений мы видим, что калибровочное поле А(Икс) должен преобразоваться следующим образом

${ displaystyle A '_ { mu} = GA _ { mu} G ^ {- 1} - { frac {i} {g}} ( partial _ { mu} G) G ^ {- 1} }$

Калибровочное поле является элементом алгебры Ли и поэтому может быть расширено как

${ Displaystyle A _ { mu} = sum _ {a} A _ { mu} ^ {a} T ^ {a}}$

Таким образом, существует столько калибровочных полей, сколько генераторов алгебры Ли.

Наконец, теперь у нас есть локально калибровочно-инвариантный Лагранжиан

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {loc}} = { frac {1} {2}} (D _ { mu} Phi) ^ { mathsf {T}} D ^ { mu} Phi - { frac {1} {2}} m ^ {2} Phi ^ { mathsf {T}} Phi}$

Паули использует термин калибровочное преобразование первого типа означать преобразование ${ displaystyle Phi}$, а компенсирующее преобразование в ${ displaystyle A}$ называется калибровочное преобразование второго типа.

Диаграмма Фейнмана скалярных бозонов, взаимодействующих через калибровочный бозон

Отличие этого лагранжиана от исходного глобально калибровочно-инвариантный Лагранжиан рассматривается как лагранжиан взаимодействия

${ Displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {int}} = я { гидроразрыва {g} {2}} Phi ^ { mathsf {T}} A _ { mu} ^ { mathsf {T}} partial ^ { mu} Phi + i { frac {g} {2}} ( partial _ { mu} Phi) ^ { mathsf {T}} A ^ { mu} Phi - { frac {g ^ {2}} {2}} (A _ { mu} Phi) ^ { mathsf {T}} A ^ { mu} Phi}$

Этот термин вводит взаимодействия между п скалярные поля просто как следствие требования локальной калибровочной инвариантности. Однако, чтобы сделать это взаимодействие физическим, а не полностью произвольным, посредник А(Икс) необходимо распространяться в космосе. Это рассматривается в следующем разделе, добавляя еще один термин, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {gf}}}$, в лагранжиан. в квантованный версия полученного классическая теория поля, то кванты калибровочного поля А(Икс) называются калибровочные бозоны. Интерпретация лагранжиана взаимодействия в квантовой теории поля имеет скаляр бозоны взаимодействуя путем обмена этими калибровочными бозонами.

Лагранжиан Янга – Миллса для калибровочного поля

Картина классической калибровочной теории, развитая в предыдущем разделе, почти полная, за исключением того факта, что для определения ковариантных производных D, необходимо знать значение калибровочного поля ${ Displaystyle А (х)}$ во всех точках пространства-времени. Вместо того, чтобы вручную указывать значения этого поля, его можно задать как решение уравнения поля. Далее, требуя, чтобы лагранжиан, который порождает это уравнение поля, также был локально калибровочно-инвариантным, одна возможная форма для лагранжиана калибровочного поля будет

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {gf}} = - { tfrac {1} {2}} operatorname {tr} left (F ^ { mu nu} F _ { mu nu} right) = - { tfrac {1} {4}} F ^ {a mu nu} F _ { mu nu} ^ {a}}$

где ${ Displaystyle F _ { mu nu} ^ {а}}$ получены из потенциалов ${ Displaystyle А _ { mu} ^ {а}}$, являясь компонентами ${ Displaystyle А (х)}$, от

${ displaystyle F _ { mu nu} ^ {a} = partial _ { mu} A _ { nu} ^ {a} - partial _ { nu} A _ { mu} ^ {a} + g sum _ {b, c} f ^ {abc} A _ { mu} ^ {b} A _ { nu} ^ {c}}$

и ${ displaystyle f ^ {abc}}$ являются структурные константы алгебры Ли образующих калибровочной группы. Эта формулировка лагранжиана называется Действие Янга – Миллса. Существуют и другие калибровочно-инвариантные действия (например, нелинейная электродинамика, Борн – Инфельд действие, Модель Черна – Саймонса, тета-термин, так далее.).

В этом лагранжевом члене нет поля, преобразование которого уравновешивает преобразование ${ displaystyle A}$. Инвариантность этого члена относительно калибровочных преобразований является частным случаем априори классическая (геометрическая) симметрия. Эта симметрия должна быть ограничена для выполнения квантования, процедура обозначается крепление датчика, но даже после ограничения возможны калибровочные преобразования.^[7]

Полный лагранжиан калибровочной теории теперь

${ displaystyle { mathcal {L}} = { mathcal {L}} _ { text {loc}} + { mathcal {L}} _ { text {gf}} = { mathcal {L}} _ { text {global}} + { mathcal {L}} _ { text {int}} + { mathcal {L}} _ { text {gf}}}$

Пример: электродинамика

В качестве простого применения формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим случай электродинамика, только с электрон поле. Простое действие, которое генерирует электронное поле Уравнение Дирака является

${ displaystyle { mathcal {S}} = int { bar { psi}} left (i hbar c , gamma ^ { mu} partial _ { mu} -mc ^ {2} right) psi , mathrm {d} ^ {4} x}$

Глобальная симметрия для этой системы равна

${ Displaystyle psi mapsto е ^ {я theta} psi}$

Калибровочная группа здесь U (1), просто повороты угол фазы поля, причем конкретное вращение определяется постоянной θ.

«Локализация» этой симметрии подразумевает замену θ на θ (Икс). Тогда подходящей ковариантной производной будет

${ displaystyle D _ { mu} = partial _ { mu} -i { frac {e} { hbar}} A _ { mu}}$

Определение "заряда" е (не путать с математической константой е в описании симметрии) с обычным электрический заряд (отсюда и употребление термина в калибровочных теориях), а калибровочное поле А(Икс) с четырьмявекторный потенциал из электромагнитное поле приводит к лагранжиану взаимодействия

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {int}} = { frac {e} { hbar}} { bar { psi}} (x) gamma ^ { mu} psi (x) A _ { mu} (x) = J ^ { mu} (x) A _ { mu} (x)}$

где ${ Displaystyle J ^ { mu} (x) = { frac {e} { hbar}} { bar { psi}} (x) gamma ^ { mu} psi (x)}$ электрический ток четыре вектора в Поле Дирака. В принцип измерения поэтому естественно вводить так называемый минимальное сцепление электромагнитного поля к электронному полю.

Добавление лагранжиана для калибровочного поля ${ Displaystyle А _ { му} (х)}$ с точки зрения тензор напряженности поля точно так же, как в электродинамике, получается лагранжиан, используемый в качестве отправной точки в квантовая электродинамика.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { text {QED}} = { bar { psi}} left (i hbar c , gamma ^ { mu} D _ { mu} -mc ^ {2} right) psi - { frac {1} {4 mu _ {0}}} F _ { mu nu} F ^ { mu nu}}$

Математический формализм

Калибровочные теории обычно обсуждаются на языке дифференциальная геометрия. Математически калибр это просто выбор (местного) раздел некоторых основной пакет. А калибровочное преобразование это просто преобразование между двумя такими секциями.

Хотя в калибровочной теории преобладает изучение связи (в первую очередь потому, что его в основном изучают физики высоких энергий ) идея связности не является центральной для калибровочной теории в целом. Фактически, результат общей калибровочной теории показывает, что аффинные представления (т.е. аффинный модули ) калибровочных преобразований можно классифицировать как сечения связка струй удовлетворяющие определенным свойствам. Существуют представления, которые преобразуются ковариантно точечно (физики называют калибровочными преобразованиями первого рода), представления, преобразующиеся как форма подключения (называемые физиками калибровочными преобразованиями второго рода, аффинным представлением) и другие более общие представления, такие как поле B в Теория BF. Есть более общие нелинейные представления (реализации), но они чрезвычайно сложны. По-прежнему, нелинейные сигма-модели преобразуются нелинейно, поэтому есть приложения.

Если есть основной пакет п чья базовое пространство является Космос или пространство-время и структурная группа группа Ли, то сечения п сформировать главное однородное пространство группы калибровочных преобразований.

Подключения (калибровочная связь) определяют это главное расслоение, давая ковариантная производная ∇ в каждом связанный векторный пучок. Если выбран локальный фрейм (локальный базис сечений), то эта ковариантная производная представлена форма подключения А, алгебразначная 1-форма, который называется измерить потенциал в физика. Очевидно, это не внутренняя величина, а величина, зависящая от кадра. В форма кривизны F, алгебразначная 2-форма которая является внутренней величиной, строится из формы связи посредством

${ Displaystyle mathbf {F} = mathrm {d} mathbf {A} + mathbf {A} wedge mathbf {A}}$

где d означает внешняя производная и ${ Displaystyle клин}$ стоит за клин. (${ displaystyle mathbf {A}}$ является элементом векторного пространства, натянутого на образующие ${ displaystyle T ^ {a}}$, так что компоненты ${ displaystyle mathbf {A}}$ не ездят друг с другом. Следовательно, произведение клина ${ displaystyle mathbf {A} wedge mathbf {A}}$ не исчезает.)

Инфинитезимальные калибровочные преобразования образуют алгебру Ли, которая характеризуется гладкой алгеброй Ли со значениями. скаляр, ε. При таком бесконечно малый калибровочное преобразование,

${ displaystyle delta _ { varepsilon} mathbf {A} = [ varepsilon, mathbf {A}] - mathrm {d} varepsilon}$

где ${ Displaystyle [ cdot, cdot]}$ - скобка Ли.

Приятно то, что если ${ displaystyle delta _ { varepsilon} X = varepsilon X}$, тогда ${ Displaystyle delta _ { varepsilon} DX = varepsilon DX}$ где D - ковариантная производная

${ Displaystyle DX { stackrel { mathrm {def}} {=}} mathrm {d} X + mathbf {A} X}$

Также, ${ displaystyle delta _ { varepsilon} mathbf {F} = [ varepsilon, mathbf {F}]}$, что значит ${ displaystyle mathbf {F}}$ преобразуется ковариантно.

Не все калибровочные преобразования могут быть получены с помощью бесконечно малый калибровочные преобразования в целом. Пример - когда базовый коллектор это компактный многообразие без граница так что гомотопия класс отображений из этого многообразие группе Ли нетривиальна. Увидеть Немедленное включение для примера.

В Действие Янга – Миллса теперь дается

${ displaystyle { frac {1} {4g ^ {2}}} int operatorname {Tr} [* F wedge F]}$

где * означает Ходж Дуал а интеграл определяется как в дифференциальная геометрия.

Количество, которое калибровочно-инвариантный (т.е. инвариантный при калибровочных преобразованиях) - Петля Вильсона, который определяется над любым замкнутым путем γ следующим образом:

${ displaystyle chi ^ {( rho)} left ({ mathcal {P}} left {e ^ { int _ { gamma} A} right } right)}$

где χ - характер комплекса представление ρ и ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ представляет оператор упорядоченного пути.

Формализм калибровочной теории переносится на общую постановку. Например, достаточно спросить, что векторный набор есть метрическое соединение; при этом обнаруживается, что метрическая связь удовлетворяет уравнениям движения Янга-Миллса.

Квантование калибровочных теорий

Калибровочные теории могут быть квантованы путем специализации методов, применимых к любому квантовая теория поля. Однако из-за тонкостей, налагаемых калибровочными ограничениями (см. Раздел «Математический формализм» выше), необходимо решить множество технических проблем, которые не возникают в других теориях поля. В то же время более богатая структура калибровочных теорий позволяет упростить некоторые вычисления: например Идентификаторы прихода подключить разные перенормировка константы.

Методы и цели

Первая квантованная калибровочная теория была квантовая электродинамика (QED). Первые методы, разработанные для этого, включали фиксацию калибра, а затем применение каноническое квантование. В Гупта-Блейлер также был разработан метод решения этой проблемы. Неабелевы калибровочные теории сейчас обрабатываются самыми разными способами. Методы квантования описаны в статье о квантование.

Главное в квантовании - уметь вычислять квантовые амплитуды для различных процессов, допускаемых теорией. Технически они сводятся к вычислениям определенных корреляционные функции в состояние вакуума. Это предполагает перенормировка теории.

Когда ходовая муфта теории достаточно мала, то все требуемые величины могут быть вычислены в теория возмущений. Схемы квантования, предназначенные для упрощения таких вычислений (например, каноническое квантование ) можно назвать схемы пертурбативного квантования. В настоящее время некоторые из этих методов позволяют проводить наиболее точные экспериментальные проверки калибровочных теорий.

Однако в большинстве калибровочных теорий есть много интересных вопросов, которые не являются пертурбативными. Схемы квантования, подходящие для этих задач (например, решеточная калибровочная теория ) можно назвать схемы непертурбативного квантования. Для точных вычислений в таких схемах часто требуется суперкомпьютеры, и поэтому в настоящее время они менее развиты, чем другие схемы.

Аномалии

Тогда оказывается, что некоторые из симметрий классической теории не соблюдаются в квантовой теории; явление, называемое аномалия. Среди наиболее известных:

• В аномалия масштаба, что приводит к постоянная муфты. В КЭД это приводит к явлению Полюс Ландау. В квантовая хромодинамика (QCD) это приводит к асимптотическая свобода.
• В хиральная аномалия либо в киральной, либо в векторной теории поля с фермионами. Это имеет тесную связь с топология через понятие инстантоны. В КХД эта аномалия вызывает распад пион до двух фотоны.
• В калибровочная аномалия, что должно сокращаться в любой последовательной физической теории. в электрослабая теория эта отмена требует равного количества кварки и лептоны.

Чистый калибр

Чистая калибровка - это набор конфигураций поля, полученных с помощью калибровочное преобразование на конфигурации нулевого поля, т. е. калибровочное преобразование нуля. Так что это особая «калибровочная орбита» в пространстве конфигурации поля.

Таким образом, в абелевом случае, когда ${ Displaystyle A _ { mu} (x) rightarrow A '_ { mu} (x) = A _ { mu} (x) + partial _ { mu} f (x)}$, чистая калибровка - это просто набор конфигураций поля ${ Displaystyle A '_ { mu} (x) = partial _ { mu} f (x)}$ для всех ж(Икс).

Смотрите также

использованная литература

Список используемой литературы

Обычные читатели

• Шумм, Брюс (2004) Вещи в глубине души. Издательство Университета Джона Хопкинса. Esp. гл. 8. Серьезная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартная модель с небольшим количеством формальной математики.

Тексты

• Грейнер, Уолтер; Мюллер, Берндт (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий. Springer. ISBN  3-540-67672-4.
• Cheng, T.-P .; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц. Oxford University Press. ISBN  0-19-851961-3.
• Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Вайли-ВЧ.
• Кейн, Г.Л. (1987). Современная физика элементарных частиц. Книги Персея. ISBN  0-201-11749-5.

Статьи

• Бекки, К. (1997). «Введение в калибровочные теории». arXiv:hep-ph / 9705211.
• Гросс, Д. (1992). «Калибровочная теория - прошлое, настоящее и будущее». Получено 2009-04-23.
• Джексон, J.D. (2002). «От Лоренца к Кулону и другие явные калибровочные преобразования». Am. J. Phys. 70 (9): 917–928. arXiv:физика / 0204034. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. Дои:10.1119/1.1491265.
• Светличный, Георгий (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv:math-ph / 9902027.

внешние ссылки

• «Калибровочная трансформация», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнения Янга – Миллса на DispersiveWiki
• Калибровочные теории в Scholarpedia