Индийская математика - Indian mathematics

Индийская математика возник в Индийский субконтинент^[1] с 1200 г. до н.э.^[2] до конца 18 века. В классический период индийской математики (400–1200 гг. Нашей эры) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара II, и Варахамихира. В десятичная система счисления используется сегодня^[3] впервые был записан в индийской математике.^[4] Индийские математики сделали ранний вклад в изучение концепции нуль как число,^[5] отрицательные числа,^[6] арифметика, и алгебра.^[7] Кроме того, тригонометрия^[8]получил дальнейшее развитие в Индии, и, в частности, современные определения синус и косинус были развиты там.^[9] Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу.^[7] и привела к дальнейшим разработкам, которые теперь составляют основы многих областей математики.

Древние и средневековые индийские математические работы, все составленные в санскрит, обычно состояла из секции сутры в котором набор правил или задач был сформулирован с большой экономией в стихах, чтобы помочь ученику запомнить. Затем последовал второй раздел, состоящий из прозаических комментариев (иногда с множеством комментариев разных ученых), в которых более подробно объяснялась проблема и приводилось обоснование решения. В разделе, посвященном прозе, форма (и, следовательно, ее запоминание) не считалась столь важной, как задействованные идеи.^[1][10] Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н.э .; впоследствии они были переданы как устно, так и в рукописной форме. Самый старый из сохранившихся математических документ на Индийском субконтиненте производится береста Бахшалинская рукопись, обнаруженный в 1881 году в селе Бахшали, возле Пешавар (современный день Пакистан ) и, вероятно, датируется 7 веком нашей эры.^[11][12]

Более поздней вехой в индийской математике было развитие серии расширения для тригонометрические функции (синус, косинус и арктангенс ) математиками Школа Кералы в 15 веке н.э. Их замечательная работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисление в Европе, при условии, что сейчас это считается первым примером степенной ряд (кроме геометрических рядов).^[13] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференциация и интеграция, и нет никаких непосредственный доказательства того, что их результаты передаются за пределы Керала.^{[14][15][16][17]}

Предыстория

Раскопки на Хараппа, Мохенджо-Даро и другие сайты Цивилизация долины Инда обнаружили свидетельства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда производили кирпичи, размеры которых составляли 4: 2: 1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов на основе соотношений: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, с единицей измерения вес равен примерно 28 граммам (и примерно равен английской унции или греческой унции). Они массово производили гири в обычных геометрический формы, в том числе шестигранник, бочки, шишки, и цилиндры, тем самым демонстрируя знание основных геометрия.^[18]

Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение длины с высокой степенью точности. Они разработали линейку - Правитель Мохенджо-Даро- единица длины которой (приблизительно 1,32 дюйма или 3,4 см) была разделена на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, целые кратные этой единице длины.^[19][20]

Полые цилиндрические предметы из скорлупы, найденные на Лотал (2200 г. до н.э.) и Дхолавира продемонстрирована способность измерять углы на плоскости, а также определять положение звезд для навигации.^[21]

Ведический период

История науки и технологии в Индийский субконтинент
Изобретений Наука в Индии Наука в Бангладеш Наука в Пакистане
По теме
Математика Астрономия Календарь Системы измерения Меры измерения Картография География Печать Металлургия Чеканка Индийская алхимия Традиционная медицина сельское хозяйство Образование Архитектура Мосты Транспорт Морская история Навигация Военный

Самхиты и брахманы

Религиозные тексты Ведический период предоставить доказательства использования большие числа. К моменту Yajurvedasaṃhitā- (1200–900 до н.э.), численность достигает 10¹² были включены в тексты.^[2] Например, мантра (священное чтение) в конце аннахома («обряд жертвоприношения»), совершаемый во время ашвамедха, произнесенный непосредственно перед-, во время- и сразу после восхода солнца, вызывает степень десяти от сотни до триллиона:^[2]

Приветствую шата ("сотня" 10²), приветствую сахасра ("тысяча," 10³), приветствую Аюта ("десять тысяч," 10⁴), приветствую Ниюта ("сто тысяч," 10⁵), приветствую прайута ("миллион," 10⁶), приветствую арбуда ("десять миллионов," 10⁷), приветствую Ньярбуда ("сто миллионов," 10⁸), приветствую самудра ("миллиард" 10⁹, буквально "океан"), приветствую мадхья ("десять миллиардов", 10¹⁰, буквально "середина"), приветствую анта ("сто миллиардов", 10¹¹, букв., "конец"), приветствую парардха ("один триллион," 10¹² букв., "вне частей"), радуйся до зари (uṣas), слава сумраку (вьюти), приветствую того, кто встанет (удэят), приветствую восходящего (удят), приветствую того, что только что встал (Удита), приветствую сварга (небо), приветствую Мартья (мир), приветствую всех.^[2]

Раствор частичного дробления был известен Ригведам как говорится в Пуруш Сукта (RV 10.90.4):

На три четверти Пуруша поднялся вверх: четверть его снова была здесь.

В Сатапатха Брахмана (примерно 7 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, которые похожи на сутры Сульбы.^[22]

Ulba Sūtras

В Ulba Sūtras (буквально «Афоризмы аккордов» в Ведический санскрит ) (ок. 700–400 до н. э.) перечисляют правила строительства жертвенных огненных алтарей.^[23] Большинство математических задач, рассмотренных в Ulba Sūtras происходят из «единого богословского требования»,^[24] строительство огненных алтарей, имеющих разные формы, но занимающих одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с дополнительным условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей.^[24]

В соответствии с (Хаяси 2005, п. 363), Ulba Sūtras содержат «самое раннее из сохранившихся словесных выражений Теорема Пифагора в мире, хотя это уже было известно Старые вавилоняне."

Диагональная веревка (акшайа-раджу) продолговатого (прямоугольника) образует обе боковые стороны (паршвамани) и горизонтальный (тирьямани) <веревки> производим отдельно. "^[25]

Поскольку заявление является сутра, он обязательно сжат и какие веревки производить не уточняется, но контекст явно подразумевает квадратные области, построенные по их длине, и учитель мог бы объяснить это ученику.^[25]

Они содержат списки Пифагорейские тройки,^[26] которые являются частными случаями Диофантовы уравнения.^[27] Они также содержат утверждения (которые, как мы знаем задним числом, являются приблизительными) о квадрат круга и «кружить по площади».^[28]

Баудхаяна (ок. 8 в. до н. э.) составил Баудхаяна Сульба Сутра, самые известные Сульба Сутра, который содержит примеры простых троек Пифагора, таких как: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), и (12, 35, 37),^[29] а также утверждение теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая по диагонали квадрата, дает площадь, вдвое превышающую размер исходного квадрата».^[29] Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, образует площадь, которую вертикальная и горизонтальная стороны составляют вместе».^[29] Баудхаяна дает выражение квадратный корень из двух:^[30]

${ displaystyle { sqrt {2}} приблизительно 1 + { frac {1} {3}} + { frac {1} {3 cdot 4}} - { frac {1} {3 cdot 4 cdot 34}} = 1,4142156 ldots}$

Выражение имеет точность до пяти десятичных знаков, истинное значение - 1,41421356 ...^[31] Это выражение похоже по структуре на выражение на месопотамской табличке.^[32] из древневавилонского периода (1900–1600 гг.) До н.э. ):^[30]

${ displaystyle { sqrt {2}} приблизительно 1 + { frac {24} {60}} + { frac {51} {60 ^ {2}}} + { frac {10} {60 ^ { 3}}} = 1.41421297 ldots}$

который выражает √2 в шестидесятеричной системе с точностью до 5 знаков после запятой.

По словам математика С. Г. Дани, вавилонская клинопись Плимптон 322 написано ок. 1850 г. до н.э.^[33] "содержит пятнадцать пифагоровых троек с довольно большими записями, включая (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой,^[34] указывая, в частности, на то, что существовало сложное понимание темы «в Месопотамии в 1850 г. до н.э.». Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальный вид некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание было бы там и в Индии ».^[35] Дэни продолжает:

В качестве основной цели Сульвасутры должен был описать конструкции алтарей и геометрические принципы, связанные с ними, предметом пифагорейских троек, даже если это было хорошо понято, возможно, все еще не фигурировало в Сульвасутры. Появление троек в Сульвасутры сравнима с математикой, которую можно встретить во вводной книге по архитектуре или другой подобной прикладной области, и не соответствовала бы непосредственно общим знаниям по теме в то время. Поскольку, к сожалению, не было найдено никаких других современных источников, возможно, никогда не удастся удовлетворительно решить этот вопрос.^[35]

Всего три Сульба Сутры были составлены. Остальные два, Манава Сульба Сутра состоит из Манава (эт. 750–650 до н. э.) и Апастамба Сульба Сутра, состоит из Апастамба (ок. 600 г. до н. э.), содержал результаты, аналогичные результатам Баудхаяна Сульба Сутра.

Вьякарана

Важной вехой ведического периода были работы Грамматик санскрита, Панини (ок. 520–460 гг. до н. э.). Его грамматика включает раннее использование Логическая логика, из ноль оператор, и контекстно-свободные грамматики, и включает предшественник Форма Бэкуса – Наура (используется в описании языки программирования ).^[36][37]

Пингала (300 г. до н.э. - 200 г. до н.э.)

Среди ученых постведического периода, внесших вклад в математику, наиболее заметным является Пингала (Piṅgalá) (эт. 300–200 до н.э.), а теоретик музыки кто является автором Чхандас Шастра (чандах-шастра, также Чхандас Сутра чхандах-сутра), а санскрит трактат о просодия. Есть свидетельства того, что в своей работе по перечислению слоговых комбинаций Пингала наткнулся на оба Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты, хотя он не знал биномиальная теорема сам.^[38][39] Работа Пингалы также содержит основные идеи Числа Фибоначчи (называется Маатраамеру). Хотя Чанда сутра не сохранился полностью, есть комментарий Халаюды в X веке. Халаюда, который называет треугольник Паскаля Меру -prastāra (буквально «лестница на гору Меру») гласит:

Нарисуйте квадрат. Начиная с половины квадрата, нарисуйте под ним еще два таких же квадрата; под этими двумя, тремя другими квадратами и так далее. Маркировку следует начинать с нанесения 1 в первом квадрате. Положить 1 в каждом из двух квадратов второй линии. В третьей строке поставьте 1 в двух квадратах на концах и в среднем квадрате - сумма цифр в двух квадратах, лежащих над ним. В четвертой строке поставьте 1 в два квадрата на концах. В средние поместите сумму цифр в двух квадратах над каждым. Действуйте таким же образом. Из этих строк вторая дает комбинации из одного слога, третья - комбинации из двух слогов, ...^[38]

Текст также указывает, что Пингала знал о комбинаторный личность:^[39]

${ displaystyle {n choose 0} + {n choose 1} + {n choose 2} + cdots + {n choose n-1} + {n choose n} = 2 ^ {n}}$

Катьяяна

Катьяяна (ок. 3-го века до н. э.) известен тем, что был последним из ведических математиков. Он написал Катьяяна Сульба Сутра, который представил много геометрия, включая общие теорема Пифагора и вычисление квадратный корень из 2 с точностью до пяти десятичных знаков.

Джайнская математика (400 г. до н.э. - 200 г. н.э.)

Несмотря на то что Джайнизм это религия, и философия предшествует своему самому известному представителю, великому Махавирасвами (6 век до нашей эры), большинство джайнских текстов на математические темы были составлены после 6 века до нашей эры. Джайн Математики исторически важны как важнейшие звенья между математикой ведийского периода и математикой «классического периода».

Значительный исторический вклад джайнских математиков состоял в том, что они освободили индийскую математику от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечности привело их к классификации чисел на три класса: перечислимые, бесчисленные и бесконечный. Не довольствуясь простым понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечное в одном направлении, бесконечное в двух направлениях, бесконечное по площади, бесконечное везде и бесконечное вечно. Кроме того, джайнские математики разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что позволило им определять простые алгебраические уравнения (Beejganita Samikaran). Математики-джайны, по-видимому, также первыми использовали слово шунья (в прямом смысле пустота в санскрит ) для обозначения нуля. Более чем через тысячелетие их название стало английским словом «zero» после мучительного путешествия переводов и транслитераций из Индии в Европу. (Видеть Ноль: этимология.)

В добавление к Сурья Праджняпти, важные джайнские работы по математике включали Стхананга Сутра (ок. 300 г. до н.э. - 200 г. н.э.); в Ануйогадвара Сутра (ок. 200 г. до н. э. - 100 г. н. э.); и Саткхандагама (ок. 2 век н. э.). Включены важные джайнские математики Бхадрабаху (ум. 298 г. до н. э.), автор двух астрономических работ, Бхадрабахави-Самхита и комментарий к Сурья Праджинапти; Ятивришам Ачарья (ок. 176 г. до н. Э.), Автор математического текста под названием Тилояпаннати; и Умасвати (около 150 г. до н. э.), который, хотя и более известен своими влиятельными трудами по философии джайнов и метафизика, составил математический труд под названием Таттвартхадхигама-сутра Бхашья.

Устная традиция

Математики древней и раннесредневековой Индии были почти все санскрит пандиты (Paita "ученый человек"),^[40] которые были обучены санскритскому языку и литературе и обладали «общими знаниями грамматики (вьякарана ), экзегетика (mīmāṃsā ) и логика (ньяя )."^[40] Запоминание «услышанного» (шрути на санскрите) посредством декламации играла важную роль в передаче священных текстов в древней Индии. Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалам и грамматике. Современные ученые древней Индии отметили «поистине замечательные достижения индийских пандитов, которые тысячелетиями сохраняли громоздкие устные тексты».^[41]

Стили запоминания

Колоссальная энергия была затрачена древней индийской культурой на то, чтобы эти тексты передавались из поколения в поколение с необычайной точностью.^[42] Например, запоминание священного Веды включал до одиннадцати форм чтения одного и того же текста. Тексты были впоследствии «вычитаны» путем сравнения различных прочитанных версий. Формы декламации включали джана-патха (буквально «сетчатое чтение»), в котором каждые два соседних слова в тексте сначала произносились в исходном порядке, затем повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в исходном порядке.^[43] Таким образом, чтение продолжалось как:

В другой форме декламации, дхваджа-патха^[43] (буквально «декламация флага») последовательность N слова произносились (и запоминались) путем объединения первых двух и последних двух слов в пару, а затем следующих действий:

Самая сложная форма декламации, гхана-патха (буквально «плотное чтение»), согласно (Филлиозат 2004 г., п. 139), приняла вид:

Об эффективности этих методов свидетельствует сохранение древнейшего индийского религиозного текста, Агведа (ок. 1500 г. до н.э.), как единый текст, без каких-либо вариантов прочтения.^[43] Аналогичные приемы использовались и для запоминания математических текстов, передача которых до конца 2010 г. оставалась исключительно устной. Ведический период (ок. 500 г. до н. э.).

В Сутра жанр

Математическая деятельность в Древней Индии началась как часть «методологической рефлексии» священного Веды, который принял форму произведений, названных Веданги, или «Дополнения Вед» (VII – IV вв. до н.э.).^[44] Необходимость сохранить звучание священного текста с помощью шикша (фонетика ) и чхандас (метрики ); сохранить его значение с помощью вьякарана (грамматика ) и нирукта (этимология ); и правильно выполнять обряды в нужное время с помощью калпа (ритуал ) и джйотиша (астрология ), дала начало шести дисциплинам Веданги.^[44] Математика возникла как часть двух последних дисциплин, ритуальной и астрономии (в которую также входила астрология). Веданги непосредственно предшествовавшие употреблению письма в Древней Индии, они сформировали последнюю из исключительно устной литературы. Они были выражены в сильно сжатой мнемонической форме, сутра (буквально «нить»):

Знающие сутра знайте, что в нем мало фонем, он лишен двусмысленности, содержит суть, обращен ко всему, без пауз и без возражений.^[44]

Чрезвычайная краткость была достигнута несколькими способами, включая использование многоточие "за пределами терпимости естественного языка",^[44] использование технических имен вместо более длинных описательных имен, сокращение списков путем упоминания только первой и последней записей и использование маркеров и переменных.^[44] В сутры создается впечатление, что общение посредством текста было «только частью всей инструкции. Остальная часть инструкции должна была быть передана так называемым Гуру-шишья парампара, 'непрерывная преемственность от учителя (гуру) студенту (шися) », и он не был открыт для широкой публики» и, возможно, даже держался в секрете.^[45] Краткость, достигнутая в сутра демонстрируется в следующем примере из Баудхаяны. Śulba Sūtra (700 г. до н.э.).

Дизайн домашнего жертвенника огня в Śulba Sūtra

Домашний алтарь огня в Ведический период Ритуал требовал, чтобы основание было квадратным и состояло из пяти слоев кирпичей, по 21 кирпичу в каждом слое. Один из методов строительства алтаря заключался в том, чтобы разделить одну сторону квадрата на три равные части с помощью шнура или веревки, чтобы затем разделить поперечную (или перпендикулярную) сторону на семь равных частей и тем самым разделить квадрат на 21 равный прямоугольник. . Затем кирпичи были спроектированы так, чтобы они имели форму составляющего прямоугольника, и был создан слой. Для формирования следующего слоя использовалась та же формула, но кирпичи располагались поперечно.^[46] Затем процесс был повторен еще три раза (с чередованием направлений), чтобы завершить строительство. В Баудхаяне Śulba Sūtra, эта процедура описывается следующими словами:

II.64. Разделив четырехугольник на семь, можно разделить поперечный [шнур] на три.
II.65. В другом слое помещается [кирпичи], указывающие на север.^[46]

В соответствии с (Филлиозат 2004 г., п. 144), у служителя, строящего алтарь, есть только несколько инструментов и материалов: шнур (санскрит, раджу, е.), два колышка (санскрит, Шанку, м.), и глина для изготовления кирпичей (санскрит, ишака, е.). Лаконичность достигается в сутра, не упоминая явно, что квалифицирует прилагательное «поперечный»; однако из женской формы употребляемого (санскритского) прилагательного легко сделать вывод, что оно квалифицируется как «шнур». Точно так же во второй строфе «кирпичи» явно не упоминаются, но снова подразумеваются женской формой множественного числа «указывающие на север». Наконец, первая строфа никогда прямо не говорит, что первый слой кирпичей ориентирован в направлении восток-запад, но это также подразумевается явным упоминанием «северной ориентации» в второй строфа; ибо, если ориентация должна была быть одинаковой в двух слоях, она либо вообще не упоминалась бы, либо упоминалась только в первой строфе. Все эти заключения делает чиновник, вспоминая формулу.^[46]

Письменная традиция: прозаический комментарий

С ростом сложности математики и других точных наук требовались и письмо, и вычисления. Следовательно, многие математические работы стали записываться в рукописи, которые затем копировались и переписывались из поколения в поколение.

Сегодня в Индии насчитывается около тридцати миллионов рукописей, это самый большой объем рукописных материалов для чтения в мире. Грамотная культура индийской науки восходит к пятому веку до нашей эры. ... как показывают элементы месопотамской литературы и астрономии, которые вошли в Индию в то время и (не были) определенно ... сохранены устно.^[47]

Самый ранний комментарий математической прозы касался работы, Ryabhaīya (написано 499 г. н.э.), работа по астрономии и математике. Математическая часть Ryabhaīya состоял из 33 сутры (в стихотворной форме) состоящий из математических утверждений или правил, но без каких-либо доказательств.^[48] Однако согласно (Хаяси 2003, п. 123), «это не обязательно означает, что их авторы не доказали их. Вероятно, дело было в стиле изложения». С момента Бхаскара I (С 600 г. н.э.), прозаические комментарии все чаще стали включать некоторые производные (Упапатти). Комментарий Бхаскары I к Ryabhaīya, имел следующую структуру:^[48]

• Правило ('сутра') в стихах Ryabhaa
• Комментарий Бхаскара I, состоящий из:
  • Разъяснение правила (производные тогда были редкостью, но позже стали более распространенными)
  • Пример (уддешака) обычно в стихах.
  • Параметр (ньяса / стхапана) числовых данных.
  • Работающий (карана) решения.
  • Проверка (пратьяякарана, буквально «убедить») в ответе. К XIII веку они стали редкостью, и к тому времени стали популярны выводы или доказательства.^[48]

Как правило, по любой математической теме студенты в древней Индии сначала запоминали сутры, которые, как объяснялось ранее, были "намеренно неадекватными"^[47] в пояснительных деталях (чтобы содержательно передать простые математические правила). Затем ученики прорабатывали темы комментариев в прозе, записывая (и рисуя диаграммы) на доске для пыли и мела (т.е. доски покрытые пылью). Последнее занятие, являющееся основным продуктом математической работы, позже побудило математика-астронома: Брахмагупта (эт. 7 век н.э.), чтобы охарактеризовать астрономические вычисления как «работу с пылью» (санскрит: Дхуликарман).^[49]

Цифры и десятичная система счисления

Хорошо известно, что десятичная система счисления используется сегодня был впервые записан в Индии, затем передан в исламский мир и, в конечном итоге, в Европу.^[50] Сирийский епископ Северус Себохт писал в середине 7 века н.э. о «девяти знаках» индейцев для выражения чисел.^[50] Однако как, когда и где была изобретена первая десятичная система значений, не так ясно.^[51]

Самый ранний из сохранившихся сценарий использовался в Индии Kharoṣṭhī сценарий, используемый в Гандхара культура северо-запада. Считается, что это арамейский происхождения, и он использовался с 4 века до нашей эры до 4 века нашей эры. Почти одновременно с этим появился другой сценарий, Брахманское письмо, появился на большей части субконтинента и позже стал основой многих шрифтов Южной и Юго-Восточной Азии. В обоих шрифтах использовались цифровые символы и системы счисления, которые изначально были нет основанный на системе ценностей.^[52]

Самые ранние сохранившиеся свидетельства использования десятичных значений в Индии и Юго-Восточной Азии относятся к середине первого тысячелетия нашей эры.^[53] На медной пластине из Гуджарата, Индия, упоминается дата 595 г. н.э., записанная в виде десятичного знака, хотя есть некоторые сомнения в подлинности пластины.^[53] Десятичные числа, обозначающие 683 год нашей эры, также были найдены в каменных надписях в Индонезии и Камбодже, где влияние индийской культуры было значительным.^[53]

Существуют более старые текстовые источники, хотя сохранившиеся рукописные копии этих текстов относятся к гораздо более поздним датам.^[54] Вероятно, самым ранним из таких источников является работа буддийского философа Васумитры, датируемая, вероятно, I веком нашей эры.^[54] Обсуждая счетные ямы торговцев, Васумитра замечает: «Когда [одна и та же] глиняная счетная деталь находится на месте единиц, она обозначается как единица, когда в сотнях - сто».^[54] Хотя такие ссылки, кажется, подразумевают, что его читатели знали о представлении значений десятичных знаков, «краткость их намеков и двусмысленность их дат, однако, не позволяют прочно установить хронологию развития этой концепции».^[54]

Третье десятичное представление использовалось в технике композиции стихов, позже названной Бхута-санкхья (буквально «номера объектов»), использовавшиеся ранними санскритскими авторами технических книг.^[55] Поскольку многие ранние технические работы были составлены в стихах, числа часто представлялись объектами в естественном или религиозном мире, которые им соответствовали; это позволило установить соответствие «многие к одному» для каждого числа и упростило сочинение стихов.^[55] В соответствии с Плофкер 2009, например, число 4 можно представить словом "Веда «(так как этих религиозных текстов было четыре), число 32 - словом« зубы »(поскольку полный набор состоит из 32), а число 1 - словом« луна »(поскольку луна только одна).^[55] Таким образом, Веда / зубы / луна соответствовали бы десятичной цифре 1324, поскольку по соглашению для чисел их цифры перечислялись справа налево.^[55] Самая ранняя ссылка, в которой используются номера объектов, - это ок. 269 ​​г. н.э. санскритский текст, Яванаджатака (буквально «греческий гороскоп») Сфуджидваджи, стихотворения более ранней (около 150 г. н.э.) индийской прозаической адаптации утерянного произведения эллинистической астрологии.^[56] Такое использование, кажется, доказывает, что к середине III века н.э. десятичная система значений была знакома, по крайней мере, читателям астрономических и астрологических текстов в Индии.^[55]

Была выдвинута гипотеза, что индийская десятичная система значений была основана на символах, используемых на китайских счетных досках еще с середины первого тысячелетия до нашей эры.^[57] В соответствии с Плофкер 2009,

Эти счетные доски, как и индийские счетные ямы, ... имели структуру десятичных знаков ... Индийцы, возможно, узнали об этих "стержневых числах" десятичных знаков от китайских буддийских паломников или других путешественников, или они, возможно, разработали концепция независимо от их прежней системы безразличных ценностей; не сохранилось никаких документальных свидетельств, подтверждающих любой вывод ».^[57]

Бахшалинская рукопись

Самая старая из дошедших до нас математических рукописей в Индии - это Бахшалинская рукопись, рукопись из бересты, написанная на "гибридном буддийском санскрите"^[12] в Āradā письменность, которая использовалась в северо-западном регионе Индийского субконтинента между 8 и 12 веками нашей эры.^[58] Рукопись была обнаружена в 1881 году крестьянином при раскопках в каменной ограде в селе Бахшали, недалеко от Пешавар (затем в Британская Индия а теперь в Пакистан ). Авторство неизвестно и сейчас хранится в Библиотека имени Бодлея в Оксфордский университет рукопись датируется по-разному - иногда даже «ранними веками христианской эры».^[59] 7 век н.э. теперь считается вероятной датой.^[60]

У сохранившейся рукописи семьдесят листов, некоторые из которых фрагментированы. Его математическое содержание состоит из правил и примеров, написанных стихами, вместе с комментариями в прозе, которые включают решения к примерам.^[58] Рассматриваемые темы включают арифметику (дроби, квадратные корни, прибыль и убыток, простой процент, правило трех, и Regula Falsi ) и алгебры (одновременные линейные уравнения и квадратные уравнения ) и арифметические прогрессии. Кроме того, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах твердых тел неправильной формы). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля».^[58] Многие из его проблем относятся к категории, известной как «проблемы выравнивания», которые приводят к системам линейных уравнений. Один из примеров из фрагмента III-5-3v:

У одного торговца семь Асава лошадей, у второго девять хая лошади, а у третьего - десять верблюдов. Они одинаково высоко ценят своих животных, если каждый дает по два животных, по одному каждому другому. Найдите цену каждого животного и общую стоимость животных, которыми владеет каждый торговец.^[61]

Комментарий в прозе, сопровождающий пример, решает проблему, преобразовывая его в три (недоопределенных) уравнения с четырьмя неизвестными и предполагая, что все цены являются целыми числами.^[61]

В 2017 году три образца из рукописи были показаны радиоуглеродное датирование происходить из трех разных веков: 224–383 гг., 680–779 г. и 885–993 гг. Неизвестно, как были упакованы фрагменты разных веков.^[62][63][64]

Классический период (400–1600 гг.)

Этот период часто называют золотым веком индийской математики. В этот период появились такие математики, как Арьябхата, Варахамихира, Брахмагупта, Бхаскара I, Махавира, Бхаскара II, Мадхава Сангамаграмы и Нилаканта Сомаяджи дать более широкую и ясную форму многим разделам математики. Их вклад распространился на Азию, Ближний Восток и, в конечном итоге, на Европу. В отличие от ведической математики, их работы включали как астрономические, так и математические достижения. Фактически математика того периода была включена в «астральную науку» (джйотишшастра) и состоял из трех субдисциплин: математические науки (гаита или же тантра), гороскоп астрология (хора или же джатака) и гадание (самхита).^[49] Это трехстороннее разделение видно в компиляции Варахамихиры 6 века:Панчасиддхантика^[65] (в прямом смысле панча, "пять," сиддханта, "Заключение совещания" от 575 г. CE ) - из пяти ранних работ, Сурья Сиддханта, Ромака Сиддханта, Паулиса Сиддханта, Васиштха Сиддханта и Пайтамаха Сиддханта, которые были адаптированы еще более ранние работы месопотамской, греческой, египетской, римской и индийской астрономии. Как объяснялось ранее, основные тексты были составлены в стихах на санскрите с комментариями в прозе.^[49]

Пятый и шестой века

Сурья Сиддханта

Хотя его авторство неизвестно, Сурья Сиддханта (ок. 400 г.) содержит корни современного тригонометрия.^{[нужна цитата ]} Поскольку в нем много слов иностранного происхождения, некоторые авторы считают, что он был написан под влиянием Месопотамия и Греция.^{[66][нужен лучший источник ]}

В этом древнем тексте впервые используются следующие тригонометрические функции:^{[нужна цитата ]}

• Синус (Джя ).
• Косинус (Кодзя ).
• Обратный синус (Otkram jya).

Он также содержит самые ранние варианты использования:^{[нужна цитата ]}

• Касательная.
• Секант.

Позже индийские математики, такие как Арьябхата, ссылались на этот текст, а позже арабский и латинский переводы были очень влиятельны в Европе и на Ближнем Востоке.

Календарь чхеди

Этот календарь Чхеди (594 г.) содержит раннее использование современного номинальная стоимость Индусско-арабская система счисления теперь используется повсеместно.

Арьябхата I

Арьябхата (476–550) написал Арьябхатия. Он описал важные фундаментальные принципы математики в 332 г. шлоки. Трактат содержал:

• Квадратные уравнения
• Тригонометрия
• Значение π, исправьте до 4 знаков после запятой.

Арьябхата также написал Арья Сиддханта, который сейчас утерян. Вклад Арьябхаты:

Тригонометрия:

(Смотрите также : Таблица синусов Арьябхаты )

• Представил тригонометрические функции.
• Определил синус (Джя ) как современные отношения между половиной угла и половиной хорды.
• Определил косинус (Коджа ).
• Определил Версина (уткрама-джйа ).
• Определил обратный синус (Otkram jya).
• Приведены методы расчета их примерных числовых значений.
• Содержит самые ранние таблицы значений синуса, косинуса и версина с интервалами 3,75 ° от 0 ° до 90 °, с точностью до 4 десятичных знаков.
• Содержит тригонометрическую формулу sin (п + 1)Икс - грех nx = грех nx - грех (п − 1)Икс - (1/225) грех nx.
• Сферическая тригонометрия.

Арифметика:

• Непрерывные дроби.

Алгебра:

• Решения одновременных квадратных уравнений.
• Целое число решений линейные уравнения методом, эквивалентным современному методу.
• Общее решение неопределенного линейного уравнения.

Математическая астрономия:

• Точные вычисления астрономических констант, таких как:
  • Солнечное затмение.
  • Лунное затмение.
  • Формула суммы кубики, что явилось важным шагом в развитии интегрального исчисления.^[67]

Варахамихира

Варахамихира (505–587) произвел Панча Сиддханта (Пять астрономических канонов). Он внес важный вклад в тригонометрию, включая таблицы синусов и косинусов с точностью до 4 десятичных знаков и следующие формулы, относящиеся к синус и косинус функции:

• ${ Displaystyle грех ^ {2} (х) + соз ^ {2} (х) = 1}$
• ${ displaystyle sin (x) = cos left ({ frac { pi} {2}} - x right)}$
• ${ displaystyle { frac {1- cos (2x)} {2}} = sin ^ {2} (x)}$

Седьмой и восьмой века

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD.

В 7 веке два отдельных поля, арифметика (который включал измерение ) и алгебра, начали появляться в индийской математике. Эти два поля позже будут называться пани-ганита (буквально «математика алгоритмов») и биджа-ганита (букв. «математика семян», где «семена» - как семена растений - представляют неизвестные, потенциально способные порождать, в данном случае, решения уравнений).^[68] Брахмагупта, в его астрономической работе Брахма Сфуна Сиддханта (628 г. н.э.), включал две главы (12 и 18), посвященные этим областям. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на две части: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловка леса и штабелирование зерна).^[69] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях циклический четырехугольник:^[69]

Теорема Брахмагупты: Если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикуляр друг к другу, то перпендикулярная линия, проведенная от точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.

Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение Формула Герона ), а также полное описание рациональные треугольники (т.е. треугольники с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: Площадь, А, вписанного четырехугольника со сторонами длин а, б, c, dсоответственно определяется выражением

${ Displaystyle А = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}} ,}$

куда s, то полупериметр, данный ${ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: Треугольник с рациональными сторонами ${ displaystyle a, b, c}$ а рациональная зона имеет вид:

${ displaystyle a = { frac {u ^ {2}} {v}} + v, b = { frac {u ^ {2}} {w}} + w, c = { frac {u ^ {2}} {v}} + { frac {u ^ {2}} {w}} - (v + w)}$

для некоторых рациональных чисел ${ displaystyle u, v,}$ и ${ displaystyle w}$.^[70]

Глава 18 содержала 103 санскритских стиха, которые начинались с правил арифметических операций с нулями и отрицательными числами.^[69] и считается первым систематическим лечением этого предмета. Правила (которые включали ${ Displaystyle а + 0 = а}$ и ${ Displaystyle а раз 0 = 0}$) были правильными, за одним исключением: ${ displaystyle { frac {0} {0}} = 0}$.^[69] Позже в этой главе он дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение задачи квадратное уровненеие:

${ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$

К абсолютному числу, умноженному на квадрат [коэффициент при], прибавьте квадрат [коэффициента при] среднего члена; квадратный корень из того же, за вычетом [коэффициента] среднего члена, деленный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением.^[71]

Это эквивалентно:

${ displaystyle x = { frac {{ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}}$

Также в главе 18 Брахмагупта смог добиться прогресса в поиске (интегральных) решений Уравнение Пелла,^[72]

${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1,}$

куда ${ displaystyle N}$ - неквадратное целое число. Он сделал это, открыв следующую личность:^[72]

Личность Брахмагупты: ${ displaystyle (x ^ {2} -Ny ^ {2}) (x '^ {2} -Ny' ^ {2}) = (xx '+ Nyy') ^ {2} -N (xy '+ x'y) ^ {2}}$что было обобщением более раннего тождества Диофант:^[72] Брахмагупта использовал свое тождество для доказательства следующей леммы:^[72]

Лемма (Брахмагупта): Если ${ Displaystyle х = х_ {1}, у = у_ {1} }$ это решение ${ Displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1},}$ и,${ Displaystyle х = х_ {2}, у = у_ {2} }$ это решение ${ Displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {2},}$, тогда:

${ displaystyle x = x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2}, y = x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} }$ это решение ${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k_ {1} k_ {2}}$

Затем он использовал эту лемму для генерации бесконечного числа (интегральных) решений уравнения Пелла по одному решению и сформулировал следующую теорему:

Теорема (Брахмагупта): Если уравнение ${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$ имеет целочисленное решение для любого из ${ displaystyle k = pm 4, pm 2, -1}$ затем уравнение Пелла:

${ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$

также имеет целочисленное решение.^[73]

Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а разработал примеры, используя свой метод. Он представил первый пример:^[72]

Пример (Брахмагупта): Найти целые числа ${ Displaystyle х, у }$ такой, что:

${ displaystyle x ^ {2} -92y ^ {2} = 1}$

В своем комментарии Брахмагупта добавил: «Человек, решающий эту задачу в течение года, является математиком».^[72] Он предложил следующее решение:

${ Displaystyle х = 1151, у = 120}$

Бхаскара I

Бхаскара I (ок. 600–680) расширил деятельность Арьябхаты в своих книгах под названием Махабхаскария, Арьябхатийа-бхашйа и Лагху-бхаскария. Он произвел:

• Решения неопределенных уравнений.
• Рациональное приближение функция синуса.
• Формула для вычисления синуса острого угла без использования таблицы с точностью до двух знаков после запятой.

С девятого по двенадцатый века

Вирасена

Вирасена (8 век) был математиком-джайном при дворе Раштракута король Амогхаварша из Маняхета, Карнатака. Он написал Дхавала, комментарий к джайнской математике, который:

• Имеет дело с концепцией Ардхачеда, количество раз, которое можно уменьшить вдвое, и перечислены различные правила, связанные с этой операцией. Это совпадает с двоичный логарифм когда применяется к силы двух,^[74][75] но отличается по другим числам, более похожим на 2-адический порядок.
• Та же концепция для базы 3 (Trakacheda) и основание 4 (Caturthacheda).

Вирасена также дал:

• Вывод объем из усеченный своего рода бесконечной процедурой.

Считается, что большая часть математического материала в Дхавала можно отнести к предыдущим писателям, особенно Кундакунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве, и датировать их авторами между 200 и 600 годами нашей эры.^[75]

Махавира

Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатака, последний из выдающихся джайнских математиков, жил в 9 веке и находился под покровительством царя Раштракуты Амогхаварши. Он написал книгу под названием Ганит Саар Санграха по вычислительной математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относятся математика:

• Нуль
• Квадраты
• Кубики
• квадратные корни, кубические корни, а серии выходит за рамки этих
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Проблемы, связанные с отливкой тени
• Полученные формулы для расчета площади эллипс и четырехугольник внутри круг.

Махавира также:

• Утверждалось, что квадратный корень из отрицательное число не существует
• Выдал сумму ряда, члены которого квадраты из арифметическая прогрессия, и дал эмпирические правила для площади и периметр эллипса.
• Решенные кубические уравнения.
• Решенные уравнения четвертой степени.
• Решил некоторые уравнения пятой степени и более высокого порядка многочлены.
• Даны общие решения полиномиальных уравнений высшего порядка:
  • ${ displaystyle ax ^ {n} = q}$
  • ${ displaystyle a { frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = p}$
• Решенные неопределенные квадратные уравнения.
• Решенные неопределенные кубические уравнения.
• Решенные неопределенные уравнения высшего порядка.

Шридхара

Шридхара (ок. 870–930), жившие в Бенгалия, написал книги под названием Нав Шатика, Три Шатика и Пати Ганита. Он дал:

• Хорошее правило для определения объема сфера.
• Формула решения квадратные уравнения.

В Пати Ганита это работа по арифметике и измерение. Он занимается различными операциями, в том числе:

• Элементарные операции
• Извлечение квадратных и кубических корней.
• Дроби.
• Для операций с нулем дано восемь правил.
• Методы суммирование различных арифметических и геометрических рядов, которые должны были стать стандартными ссылками в более поздних работах.

Манджула

Дифференциальные уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджала), который понял, что выражение^[76]

${ Displaystyle грех ш '- грех ш}$

можно приблизительно выразить как

${ Displaystyle (ш'-ш) соз ш}$

Он понял концепцию дифференцирования после решения дифференциального уравнения, которое возникло в результате подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение Арьябхаты.^[76]

Арьябхата II

Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат. Маха-сиддханта. Маха-Сиддханта состоит из 18 глав, в которых обсуждаются:

• Вычислительная математика (Анк Ганит).
• Алгебра.
• Решения неопределенных уравнений (Куттака).

Шрипати

Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги Сиддханта Шекхара, крупный труд по астрономии в 19 главах, и Ганит Тилака, неполный арифметический трактат в 125 стихах, основанный на произведении Шридхары. В основном он работал над:

• Перестановки и комбинации.
• Общее решение одновременного неопределенного линейного уравнения.

Он также был автором Дхикотидакарана, произведение из двадцати стихов на:

• Солнечное затмение.
• Лунное затмение.

В Дхруваманаса это произведение из 105 стихов на:

• Расчет планетарной долготы
• затмения.
• планетарный транзиты.

Немичандра Сиддханта Чакравати

Немичандра Сиддханта Чакравати (ок. 1100 г.) написал математический трактат под названием Гоме-мат Саар.

Бхаскара II

Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, написавшим ряд важных трактатов, а именно: Сиддханта Широмани, Лилавати, Биджаганита, Гола Аддхая, Гриха Ганитам и Каран Каутоохал. Некоторые его работы позже были переданы на Ближний Восток и в Европу. Его вклад включает:

Арифметика:

• Расчет процентов
• Арифметические и геометрические прогрессии
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Тень гномон
• Решения комбинации
• Дали доказательство того, что деление на ноль бесконечность.

Алгебра:

• Распознавание положительного числа, имеющего два квадратных корня.
• Surds.
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.
• Решения:
  • Квадратные уравнения.
  • Кубические уравнения.
  • Уравнения четвертой степени.
  • Уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Общая форма Уравнение Пелла с использованием чакравала метод.
  • Общее неопределенное квадратное уравнение с использованием чакравала метод.
  • Неопределенные кубические уравнения.
  • Неопределенные уравнения четвертой степени.
  • Неопределенные полиномиальные уравнения высокого порядка.

Геометрия:

• Дал доказательство теорема Пифагора.

Исчисление:

• Задумал дифференциальное исчисление.
• Обнаружил производная.
• Обнаружил дифференциальный коэффициент.
• Развитая дифференциация.
• Заявлено Теорема Ролля, частный случай теорема о среднем значении (одна из важнейших теорем исчисления и анализа).
• Выведен дифференциал синусоидальной функции.
• Вычислено π, исправьте до пяти десятичных знаков.
• Рассчитана длина обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 9 знаков после запятой.

Тригонометрия:

• Разработки сферическая тригонометрия
• Тригонометрические формулы:
  • ${ Displaystyle грех (а + б) = грех (а) соз (б) + грех (б) соз (а)}$
  • ${ Displaystyle грех (а-б) = грех (а) соз (б) - грех (б) соз (а)}$

Математика Кералы (1300–1600)

В Керальская школа астрономии и математики был основан Мадхава Сангамаграмы в Керале, Южная Индия и вошли в его состав: Парамешвара, Нилаканта Сомаяджи, Джйештадева, Ачюта Пишарати, Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачюта Паниккар. Он процветал между 14 и 16 веками, и оригинальные открытия школы, кажется, закончились Нараяной Бхаттатхири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, астрономы из школы Кералы независимо создал ряд важных математических концепций. Важнейшие результаты, разложение в ряд для тригонометрические функции, были даны в санскрит стих из книги Нилаканта под названием Тантрасанграха и комментарий к этой работе под названием Тантрасанграха-вакхья неизвестного авторства. Теоремы сформулированы без доказательства, но доказательства серии для синус, косинус, и обратный касательная были представлены столетием позже в работе Юктибхана (c.1500 – c.1610), написано на Малаялам, Джьестадева, а также в комментарии к Тантрасанграха.^[77]

Их открытие этих трех важных расширений серий исчисление - за несколько веков до того, как математический анализ был разработан в Европе Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц - было достижением. Однако школа Кералы не изобрела исчисление,^[78] потому что, пока они могли развиваться Серия Тейлор расширения для важных тригонометрические функции, дифференциация, посередине интеграция, тесты сходимости, итерационные методы для решений нелинейных уравнений и теории о том, что площадь под кривой является ее интегралом, они не разработали ни теорию дифференциация или же интеграция, ни основная теорема исчисления.^[79] Результаты, полученные школой Кералы, включают:

• (Бесконечный) геометрическая серия: ${ displaystyle { frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + cdots { text {for}} | x | <1}$^[80] Эта формула уже была известна, например, в работе арабского математика X века. Альхазен (латинизированная форма имени Ибн аль-Хайтам (965–1039)).^[81]
• Полустрогое доказательство (см. Замечание "индукции" ниже) результата: ${ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + cdots + n ^ {p} приблизительно { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}}}$ для больших п. Этот результат был также известен Альхазену.^[77]
• Интуитивное использование математическая индукция, Тем не менее индуктивная гипотеза не был сформулирован или использован в доказательствах.^[77]
• Применение идей (которые впоследствии стали) дифференциального и интегрального исчисления для получения (Тейлора – Маклорена) бесконечный ряд для sin x, cos x и arctan x.^[78] В Тантрасанграха-вакхья дает ряд в стихах, который в математическом переводе может быть записан как:^[77]

${ displaystyle r arctan left ({ frac {y} {x}} right) = { frac {1} {1}} cdot { frac {ry} {x}} - { frac { 1} {3}} cdot { frac {ry ^ {3}} {x ^ {3}}} + { frac {1} {5}} cdot { frac {ry ^ {5}} { x ^ {5}}} - cdots, { text {where}} y / x leq 1.}$

${ displaystyle sin x = xx { frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} + x { frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} cdot { frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} - cdots}$

${ displaystyle r- cos x = r { frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - r { frac {x ^ {2}} { (2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} { frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} + cdots,}$

где, для р = 1, ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

и

${ displaystyle cos x = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} - { frac {x ^ {6} } {6!}} + Cdots}$

• Использование выпрямления (вычисления длины) дуги окружности для доказательства этих результатов. (Более поздний метод Лейбница, использующий квадратуру, т.е. вычисление площадь под дуга круга, была нет использовал.)^[77]
• Использование расширения серии ${ displaystyle arctan x}$ получить Формула Лейбница для π:^[77]

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + cdots}$

• Рациональное приближение ошибка за конечную сумму интересующего их ряда. Например, ошибка, ${ displaystyle f_ {i} (n + 1)}$, (за п странно, и я = 1, 2, 3) для ряда:

${ displaystyle { frac { pi} {4}} приблизительно 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - cdots + (- 1) ^ {( n-1) / 2} { frac {1} {n}} + (- 1) ^ {(n + 1) / 2} f_ {i} (n + 1)}$

${ displaystyle { text {where}} f_ {1} (n) = { frac {1} {2n}}, f_ {2} (n) = { frac {n / 2} {n ^ { 2} +1}}, f_ {3} (n) = { frac {(n / 2) ^ {2} +1} {(n ^ {2} +5) n / 2}}.}.$

• Манипулирование членом ошибки для получения более быстрого сходящегося ряда для ${ displaystyle pi}$:^[77]

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = { frac {3} {4}} + { frac {1} {3 ^ {3} -3}} - { frac {1} { 5 ^ {3} -5}} + { frac {1} {7 ^ {3} -7}} - cdots}$

• Используя улучшенный ряд, чтобы получить рациональное выражение,^[77] 104348/33215 для π исправить до 9 десятичные знаки, т.е. 3.141592653.
• Использование интуитивно понятного понятия предела для вычисления этих результатов.^[77]
• Полустрогий (см. Замечание о пределах выше) метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций.^[79] Однако они не сформулировали понятие функция, или иметь представление об экспоненциальных или логарифмических функциях.

Работы школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином. СМ. Whish в 1835 году. По словам Виша, математики Кералы "заложил основу для полной системы флюсий"и этих работ предостаточно"с плавными формами и сериями, которых нет ни в одной зарубежной работе."^[82]

Однако результатами Виша почти полностью пренебрегли, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Раджагопалом и его сотрудниками. Их работа включает комментарии к доказательствам серии arctan в Юктибхана дан в двух статьях,^[83][84] комментарий к Юктибхана 's доказательство синуса и косинуса ряда^[85] и две статьи, содержащие санскритские стихи Тантрасанграхавакхья для серии для arctan, sin и косинус (с английским переводом и комментариями).^[86][87]

Среди математиков Кералы Нараяна Пандит^{[сомнительный – обсуждать]} (ок. 1340–1400), составивший два сочинения, арифметический трактат, Ганита Каумуди, и алгебраический трактат, Биджганита Ватамса. Нараяна также считается автором подробного комментария к Бхаскара II с Лилавати под названием Кармапрадипика (или же Карма-паддхати). Мадхава Сангамаграмы (ок. 1340–1425) был основателем школы Кералы. Хотя не исключено, что он написал Карана Паддхати работа, написанная где-то между 1375 и 1475 годами, все, что мы действительно знаем о его работе, исходит из работ более поздних ученых.

Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к произведениям Бхаскара I, Арьябхата и Бхаскара II. Его Лилавати бхашья, комментарий к Бхаскара II Лилавати, содержит одно из его важных открытий: версию теорема о среднем значении. Нилаканта Сомаяджи (1444–1544) составил Тантра Самграха (что породило более поздний анонимный комментарий Тантрасанграха-вьяхья и дальнейший комментарий по имени Юктидипайка, написано в 1501 г.). Он разработал и расширил вклады Мадхавы.

Читрабхану (ок. 1530) был математиком 16 века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типу систем двух одновременный алгебраические уравнения с двумя неизвестными. Эти типы представляют собой всевозможные пары уравнений следующих семи форм:

${ displaystyle { begin {align} & x + y = a, xy = b, xy = c, x ^ {2} + y ^ {2} = d, [8pt] & x ^ {2} - y ^ {2} = e, x ^ {3} + y ^ {3} = f, x ^ {3} -y ^ {3} = g end {выровнено}}}$

Для каждого случая Читрабхану дал объяснение и обоснование своего правления, а также пример. Некоторые из его объяснений являются алгебраическими, а другие - геометрическими. Джьестадева (ок. 1500–1575) был еще одним членом школы Кералы. Его ключевой работой была Юкти-бхана (написано на малаялам, региональном языке штата Керала). Джьестадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками Керальской школы.

Обвинения в евроцентризме

Этот раздел может давать в долг чрезмерный вес к определенным идеям, инцидентам или противоречиям. Пожалуйста, помогите создать более сбалансированную презентацию. Обсуди и разрешить перед удалением этого сообщения. (Сентябрь 2014 г.)

Было высказано предположение, что вклад Индии в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения Индийские математики в настоящее время культурно приписываются их Западный аналоги, в результате Евроцентризм. Согласно мнению Дж. Джозефа, "Этноматематика ":

[Их работа] принимает во внимание некоторые возражения, выдвинутые против классической евроцентрической траектории. Скорее всего, осведомленность [об индийской и арабской математике] будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций, в первую очередь Китая и Индии, воспринимается либо как заемщик из греческих источников, либо внесший лишь незначительный вклад в развитие математики. К сожалению, отсутствует открытость к результатам более свежих исследований, особенно в случае индийской и китайской математики "^[88]

Историк математики, Флориан Каджори, предположил, что он и другие "подозревают, что Диофант получил свой первый проблеск алгебраических знаний из Индии ».^[89] Однако он также написал, что «несомненно, что части индуистской математики имеют греческое происхождение».^[90]

Совсем недавно, как обсуждалось в предыдущем разделе, бесконечная серия исчисление для тригонометрических функций (заново открытых Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17 века) были описаны (с доказательствами и формулами для ошибки усечения) в Индии математиками Школа Кералы, что примечательно примерно двумя столетиями ранее. Некоторые ученые недавно предположили, что информация об этих результатах могла быть передана в Европу по торговому пути из Керала трейдерами и Иезуит миссионеры.^[91] Керала поддерживала постоянный контакт с Китаем и Аравия, а с 1500 года - с Европой. Наличие коммуникационных путей и подходящая хронология, безусловно, делают такую ​​передачу возможной. Однако нет никаких прямых доказательств в виде соответствующих рукописей, что такая передача действительно имела место.^[91] В соответствии с Давид Брессуд «Нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века».^[78][92]

И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые теперь считаются частью математического анализа.^[79] Однако они этого не сделали, поскольку Ньютон и Лейбниц "объединил множество различных идей в рамках двух объединяющих тем производная и интеграл, покажите связь между ними и превратите вычисления в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня ».^[79] Интеллектуальная карьера Ньютона и Лейбница хорошо задокументирована, и нет никаких указаний на то, что их работа не является их собственной;^[79] однако достоверно неизвестно, предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля, узнали о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас не известны».^[79] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриб. Это исследование проводится, среди прочего, в Национальном центре научных исследований в Париже.^[79]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1998), Элементы истории математики, Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag, 301 стр., ISBN  978-3-540-64767-6.
• Boyer, C.B .; Мерцбак (далее Исаак Азимов), США (1991), История математики, Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 736 страниц, ISBN  978-0-471-54397-8.
• Брессуд, Дэвид (2002), «Исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal (математический доцент, американский), 33 (1): 2–13, Дои:10.2307/1558972, JSTOR  1558972.
• Бронкхорст, Йоханнес (2001), «Панини и Евклид: размышления об индийской геометрии», Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 29 (1–2): 43–80, Дои:10.1023 / А: 1017506118885, S2CID  115779583.
• Бернетт, Чарльз (2006), «Семантика индийских цифр в арабском, греческом и латинском языках», Журнал индийской философии, Спрингер-Нидерланды, 34 (1–2): 15–30, Дои:10.1007 / s10781-005-8153-z, S2CID  170783929.
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: введение, McGraw-Hill Companies, Inc., стр. 193–220..
• Кук, Роджер (2005), История математики: краткий курс, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN  978-0-471-44459-6.
• Дэни, С. Г. (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских тройках в Шулвасутрах» (PDF), Текущая наука, 85 (2): 219–224.
• Датта, Бибхутибхусан (декабрь 1931 г.), "Ранние литературные свидетельства использования нуля в Индии", Американский математический ежемесячник, 38 (10): 566–572, Дои:10.2307/2301384, JSTOR  2301384.
• Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1962), История индуистской математики: справочник, Бомбей: издательство Asia Publishing House.
• Де Янг, Грегг (1995), "Евклидова геометрия в математической традиции исламской Индии", Historia Mathematica, 22 (2): 138–153, Дои:10.1006 / hmat.1995.1014.
• Британская энциклопедия (Ким Плофкер) (2007), "математика, Южная Азия", Энциклопедия Britannica Online: 1–12, получено 18 мая 2007.
• Филлиозат, Пьер-Сильвен (2004), «Математика древнего санскрита: устная традиция и письменная литература», в Chemla, Karine; Коэн, Роберт С .; Ренн, Юрген; и другие. (ред.), История науки, история текста (Бостонская серия по философии науки), Dordrecht: Springer, Нидерланды, 254 стр., Стр. 137–157, стр. 360–375, Дои:10.1007/1-4020-2321-9_7, ISBN  978-1-4020-2320-0.
• Фаулер, Дэвид (1996), "Биномиальная функция коэффициента", Американский математический ежемесячник, 103 (1): 1–17, Дои:10.2307/2975209, JSTOR  2975209.
• Хаяси, Такао (1995), Рукопись Бахшали, древнеиндийский математический трактат, Гронинген: Эгберт Форстен, 596 страниц, ISBN  978-90-6980-087-5.
• Хаяси, Такао (1997), "Правило Арьябхаты и таблица синусоидальных различий", Historia Mathematica, 24 (4): 396–406, Дои:10.1006 / hmat.1997.2160.
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук, 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 страниц, ISBN  978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», в книге «Флуд», Гэвин (ред.), Товарищ Блэквелла в индуизме, Oxford: Basil Blackwell, 616 страниц, стр. 360–375, стр. 360–375, ISBN  978-1-4051-3251-0.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в Сульба Сутрах», в Горини, Екатерина А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии, 53, pp. 39–45, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки Примечания, 236 стр., Стр. 39–45, ISBN  978-0-88385-164-7.
• Джозеф, Г. Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN  978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), "Идеи исчисления в исламе и Индии", Математический журнал (доц. Математики), 68 (3): 163–174, Дои:10.2307/2691411, JSTOR  2691411.
• Кац, Виктор Дж., Изд. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 страниц, стр 385–514, ISBN  978-0-691-11485-9.
• Келлер, Агата (2005), "Заставляя диаграммы говорить, в комментарии Бхаскары I к Арьябхатия" (PDF), Historia Mathematica, 32 (3): 275–302, Дои:10.1016 / j.hm.2004.09.001.
• Kichenassamy, Satynad (2006), «Правило Баудхаяны для квадратуры круга», Historia Mathematica, 33 (2): 149–183, Дои:10.1016 / j.hm.2005.05.001.
• Пингри, Дэвид (1971), «О греческом происхождении индийской планетной модели с использованием двойного эпицикла», Журнал исторической астрономии, 2 (1): 80–85, Bibcode:1971JHA ..... 2 ... 80P, Дои:10.1177/002182867100200202, S2CID  118053453.
• Пингри, Дэвид (1973), "Месопотамское происхождение ранней индийской математической астрономии", Журнал исторической астрономии, 4 (1): 1–12, Bibcode:1973JHA ..... 4 .... 1P, Дои:10.1177/002182867300400102, S2CID  125228353.
• Пингри, Дэвид; Стаал, Фриц (1988), "Обзор работ: Верность устной традиции и истоки науки Фриц Стаал", Журнал Американского восточного общества, 108 (4): 637–638, Дои:10.2307/603154, JSTOR  603154.
• Пингри, Дэвид (1992), «Гелленофилия против истории науки», Исида, 83 (4): 554–563, Bibcode:1992Исис ... 83..554П, Дои:10.1086/356288, JSTOR  234257
• Пингри, Дэвид (2003), «Логика незападной науки: математические открытия в средневековой Индии», Дедал, 132 (4): 45–54, Дои:10.1162/001152603771338779, S2CID  57559157.
• Плофкер, Ким (1996), "Пример секущего метода итерационной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века", Historia Mathematica, 23 (3): 246–256, Дои:10.1006 / hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), "Ошибка" в индийском "приближении ряда Тейлора" к синусу ", Historia Mathematica, 28 (4): 283–295, Дои:10.1006 / hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (2007), «Математика Индии», в Каце, Виктор Дж. (Ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 страниц, стр. 385–514, стр. 385–514, ISBN  978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии: 500 г. до н.э. – 1800 г. н.э., Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. Стр. 384., ISBN  978-0-691-12067-6.
• Прайс, Джон Ф. (2000), «Прикладная геометрия сутр Сульба» (PDF), в Горини, Екатерина А. (ред.), Геометрия в действии: статьи по прикладной геометрии, 53, стр. 46–58, Вашингтон, округ Колумбия: Заметки математической ассоциации Америки, 236 страниц, стр. 46–58, ISBN  978-0-88385-164-7.
• Рой, Ранджан (1990), "Открытие формулы ряда для ${ displaystyle pi}$ Лейбница, Грегори и Нилакантха ", Математический журнал (доц. Математики), 63 (5): 291–306, Дои:10.2307/2690896, JSTOR  2690896.
• Сингх А. Н. (1936), "Об использовании рядов в индуистской математике", Осирис, 1 (1): 606–628, Дои:10.1086/368443, JSTOR  301627
• Стаал, Фриц (1986), Верность устной традиции и истоки науки, Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Леттеркунде, NS 49, 8. Амстердам: издательство North Holland Publishing Company, 40 страниц..
• Стаал, Фриц (1995), "Санскрит науки", Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 23 (1): 73–127, Дои:10.1007 / BF01062067, S2CID  170755274.
• Стаал, Фриц (1999), «Греческая и ведическая геометрия», Журнал индийской философии, 27 (1–2): 105–127, Дои:10.1023 / А: 1004364417713, S2CID  170894641.
• Стаал, Фриц (2001), «Квадраты и прямоугольники в Ведах», Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 29 (1–2): 256–272, Дои:10.1023 / А: 1017527129520, S2CID  170403804.
• Стаал, Фриц (2006), «Искусственные языки в разных науках и цивилизациях», Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 34 (1): 89–141, Дои:10.1007 / s10781-005-8189-0, S2CID  170968871.
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Спрингер, Берлин и Нью-Йорк, 568 страниц, Дои:10.1007/978-1-4684-9281-1, ISBN  978-0-387-95336-6.
• Тибо, Джордж (1984) [1875], Математика в процессе становления в Древней Индии: переиздания «О Сульвасутрах» и «Баудхьяяна Сулва-сутра», Калькутта и Дели: К. П. Багчи и компания (исходный журнал Азиатского общества Бенгалии), 133 страницы.
• ван дер Варден, Б. Л. (1983), Геометрия и алгебра в древних цивилизациях, Берлин и Нью-Йорк: Springer, 223 стр., ISBN  978-0-387-12159-8
• ван дер Варден, Б. Л. (1988), "О ромака-сиддханте", Архив истории точных наук, 38 (1): 1–11, Дои:10.1007 / BF00329976, S2CID  189788738
• ван дер Варден, Б. Л. (1988), «Реконструкция греческой таблицы аккордов», Архив истории точных наук, 38 (1): 23–38, Bibcode:1988АГЭС ... 38 ... 23В, Дои:10.1007 / BF00329978, S2CID  189793547
• Ван Ноутен, Б. (1993), "Двоичные числа в индийской древности", Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 21 (1): 31–50, Дои:10.1007 / BF01092744, S2CID  171039636
• Whish, Чарльз (1835), «О хинду-квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех Шастрах, Тантре Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала», Сделки Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии, 3 (3): 509–523, Дои:10.1017 / S0950473700001221, JSTOR  25581775
• Яно, Мичио (2006), «Устная и письменная передача точных наук на санскрите», Журнал индийской философии, Springer Нидерланды, 34 (1–2): 143–160, Дои:10.1007 / s10781-005-8175-6, S2CID  170679879

дальнейшее чтение

Источники на санскрите

• Келлер, Агата (2006), Разъяснение математического семени. Vol. 1: Перевод: перевод Бхаскары I по математической главе Арьябхатии, Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 172 страницы, ISBN  978-3-7643-7291-0.
• Келлер, Агата (2006), Разъяснение математического семени. Vol. 2: Дополнения: Перевод Бхаскары I по математической главе Арьябхатии, Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 206 страниц, ISBN  978-3-7643-7292-7.
• Нойгебауэр, Отто; Пингри, Дэвид, ред. (1970), Панчасиддхантика Варахамихира, Новое издание с переводом и комментариями, (2 тт.), Копенгаген.
• Пингри, Дэвид, изд. (1978), Яванаджатака Сфуджидваджи, отредактировано, переведено и прокомментировано Д. Пингри, Кембридж, Массачусетс: Гарвардская восточная серия 48 (2 тт.).
• Сарма, К.В., изд. (1976), Ryabhaīya из Ryabhaa с комментарием Сурьядевы Яджвана, критически отредактированный с введением и приложениями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Sen, S. N .; Сумка, А. К., ред. (1983), Шулбасутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы, с текстом, английским переводом и комментариями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла К.С., изд. (1976), Ryabhaīya из Ryabhaa с комментарием Бхаскары I и Сомешвары, критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла К.С., изд. (1988), Ryabhaīya ryabhaa, критически отредактированный с Введение, английский перевод, примечания, комментарии и указатели, в сотрудничестве с К.В. Сарма, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.

внешняя ссылка

• Наука и математика в Индии
• Обзор индийской математики, Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет, 2000.
• Индийские математики
• Индекс древнеиндийской математики, Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс, 2004 г.
• Индийская математика: восстановление баланса, Студенческие проекты по истории математики. Ян Пирс. Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Индийская математика на В наше время на BBC
• InSIGHT 2009 г., семинар по традиционным индийским наукам для школьников, проведенный факультетом компьютерных наук Университета Анна, Ченнаи, Индия.
• Математика в Древней Индии Р. Шридхарана
• Комбинаторные методы в Древней Индии
• Математика до С. Рамануджана